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压轴题经典题-解析几何部分


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压轴题经典题——解析几何部分 22. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 如图, 已知直线 L:x ? m y ? 1过椭圆C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F, 且交椭圆 C 于

A、 a2 b2

B 两点,点 A、F、B 直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D、K、E。 (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 当 m 变化时,求

?1 ? ?2 的值;
(3)连接 AE、BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求 出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。

22.解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

????2 分

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4
x2 y2 ? 椭圆C的 方 程 为 ? ?1 4 3
(2)? l与y轴交于 M (0,? ????4 分

1 ) m

?x ? m y ? 1 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6m y ? 9 ? 0 ? ? 1 4 ( 4 m 2 ? 1) ? 0

?

1 1 2m (*) ? ? y1 y 2 3

????6 分

又由MA ? ?1 AF ? ( x1 , y1 ? ? ?1 ? ?1 ? 1 m y1
1 m y2

1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

同理 ?2 ? ?1 ?

????8 分

1

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? ?1 ? ?2 ? ?2 ?
? ?1 ? ? 2 ? ? 8 3

1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3
????10 分

(3)? F (1,0), k ? (a 2 ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 中点 N 且 N(

a2 ?1 ,0) 2

????11 分

a2 ?1 ,0) 猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N ( 2
证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a 2 , y2 ), D(a 2 , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

????12 分

?x ? m y ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2m b2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0 (? a ? 1) ? y1 ? y2 又K AN ? 2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? m y1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 2 而K AN ? K EN ? ?0 1? a2 a2 ?1 ( ? m y1 ) 2 2 a2 ?1 (这是 ? ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 2 a2 ?1 2m b2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m ? 2 a ? m 2b 2 a 2 ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (m b2 ? m b2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴KAN=KEN ∴A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线 ∴AE 与 BD 相交于定点 N (

a2 ?1 ,0) 2

????18 分

22. (本小题 14 分) 已知椭圆 9x2+2y2=18 上任意一点 P,由 P 向 x 轴作垂线段 PQ,垂足为 Q,点 M 在线段 PQ 上,且

PM ? 2MQ ,点 M 的轨迹为曲线 E.
(Ⅰ)求曲线 E 的方程;
2

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(Ⅱ)若过定点 F(0,2)的直线交曲线 E 于不同的两点 G,H(点 G 在点 F,H 之间) ,且满足

FG ? ? FH,求? 的取值范围.
22.解: (I)设点 P(x0,y0) ,是椭圆上一点,则 Q(x0,0) ,M(x,y) 由已知得:x0=x,y0=3y 代入椭圆方程得 9x2+18y2=18 即 x2+2y2=2 为曲线 E 的方程.??????????????4 分 (II)设 G(x1,y1) ,H(x2,y2) 当直线 GH 斜率存在时,设直线 GH 的斜率为 k 则直线 GH 的方程为:y=kx+2,??????????????5 分 代入 x2+2y2=2,得: ( 由△>0,解得:k2>

1 2 2 +k )x +4kx+3=0 2

3 ????????????????6 分 2

x1 ? x 2 ?

? 4k 3k , x1 ? x 2 ? ???? (1) ???? 7分 1 1 2 2 ?k ?k 2 2

? FG ? ( x1 , y1 ? 2), FH ? ( x 2 , y 2 ? 2), 又有FG ? ? FH

? x1 ? ?x2
2 ? x1 ? x2 ? (1 ? ? ) x2 , x1 ? x2 ? ?x2

?(

x1 ? x2 2 x ?x 2 ) ? x2 ? 1 2 ??????????????(2) 1? ? ?
16 1 3(1 ? 2 ) 2k ? (1 ? ? ) 2
??????9 分

∴将(1)代入(2)整理得:

?

?k2 ?

3 ,? 4 ? 2 ?

16 3(1 ? 1 ) 2k 2

?

16 ??????11分 3

?4 ?

(1 ? ? ) 2

?

16 1 16 ,即4 ? ? ? ? 2 ? 3 ? 3

1 ? ? ? ? 3, 且? ? 1??????12分 3
又∵0<λ <1,∴

1 <λ <1??????13 分 3 1 FH 3

当直线 GH 斜率不存在时,直线 GH 的方程为 x ? 0, FG ? ∴λ =

1 3 1 ≤λ <1??????????14 分 3

∴所求λ 的范围为 22. (本小题满分 14 分)

3

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x2 y2 已知直线 y ? ? x ? 1 与椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 相交于 A、B 两点. a b
(Ⅰ)若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

(Ⅱ)若向量 OA 与向量 OB 互相垂直(其中 O 为坐标原点) ,当椭圆的离心率

1 2 e ?[ , ] 时,求椭圆的长轴长的最大值. 2 2
22.解: (Ⅰ)? e ?

3 c 3 ,2c ? 2,即 ? 3 a 3

? a ? 3, 则b ? a 2 ? c 2 ? 2

∴椭圆的方程为

x2 y2 ? ? 1 ??????????????????????2 分 3 2

? x2 y2 ?1 ? ? 联立 ? 3 消去 y 得: 5 x 2 ? 6 x ? 3 ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 2 ? y ? ?x ? 1 ?
则 x1 ? x 2 ?

6 3 , x1 x 2 ? ? 5 5

?| AB |? ( x1 ? x 2 ) 2 ? ( y1 ? y 2 ) 2 ? [1 ? (?1) 2 ] ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2

6 12 8 3 ? 2 ( )2 ? ? ???????????????????????6 分 5 5 5
(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 )

? OA ? OB

? OA ? OB ? 0 ,即 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0

? x2 y2 ?1 ? ? 由 ?a2 b2 消去 y 得 (a 2 ? b 2 ) x 2 ? 2a 3 x ? a 2 (1 ? b 2 ) ? 0 ? y ? ?x ? 1 ?
由 ? ? (?2a ) ? 4a (a ? b )(1 ? b ) ? 0
2 2 2 2 2 2
2 2 整理得 a ? b ? 1 ?????8 分

又 x1 ? x 2 ?

2a 2 a2 ? b2

x1 x2 ?

a 2 (1 ? b 2 ) a2 ? b2

? y1 y2 ? (? x1 ? 1)(? x2 ? 1) ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1
由 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 得: 2 x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 0

4

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2a 2 (1 ? b 2 ) 2a 2 ? ? 2 ?1 ? 0 a2 ? b2 a ? b2
整理得: a 2 ? b 2 ? 2a 2 b 2 ? 0 ????????????????????10 分

? b 2 ? a 2 ? c 2 ? a 2 ? a 2 e 2 代入上式得

2a 2 ? 1 ?

1 1 ? e2

?a2 ?

1 1 (1 ? ) ????????????????12 分 2 1 ? e2

?
?

1 2 ?e? 2 2

?

1 1 ? e2 ? 4 2

?

1 3 ? 1 ? e2 ? 2 4

4 1 7 1 ? ?2 ? ? 1? ?3 2 3 1? e 3 1 ? e2 7 3 ? ? a2 ? 适合条件 a 2 ? b 2 ? 1 6 2
由此得

42 6 ?a? 6 2

?

42 ? 2a ? 6 3

故长轴长的最大值为 6 ??????????????????????? 14 分 22. (本小题满分 14 分) 如图,已知圆 O: x 2 ? y 2 ? 4 与 y 轴正半轴交于点 P,A(-1,0) ,B(1,0) ,直线 l 与圆 O 切于点 S(l 不垂直于 x 轴) ,抛物线过 A、B 两点且以 l 为准线。 (Ⅰ)当点 S 在圆周上运动时,求证:抛物线的焦点 Q 始终在某一椭圆 C 上,并求出该 椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设 M、N 是(Ⅰ)中椭圆 C 上除短轴端点外的不同两点,且 PM ? t PN(t ? R) , 问:△MON 的面积是否存在最大值?若存在,求出该最大值;若不存在,请说明理由。

22. (Ⅰ)证明:设 Q(x,y) ,如图所示,作 AA′,BB′垂直于直线 l,A′,B′为垂足,连结 AQ, BQ,OS,则 OS⊥l ∵OS 是直角梯形 AA′B′B 的中位线, ∴|AA′|+|BB′|=2|OS| 由抛物线的定义,知|AA′|=|AQ|,|BB′|=|BQ|。 ∴|QA|+|QB|=|AA′|+|BB′|=2|OS|=4>2=|AB|,??3 分 由椭圆的定义,得焦点 Q 在以 A,B 为焦点的椭圆 上,且 2a=4,2c=2,∴b2=3
5

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x2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 ? ? 1. ????5 分 4 3
(Ⅱ)∵ PM ? t PN(t ? R) ∴P、M、N 三点共线 ????????6 分 由题意,直线 PN 的斜率存在,设直线 PN 的方程为 y=kx+2, 代入椭圆方程

x2 y2 ? ? 1 ,得 (3 ? 4k 2 ) x 2 ? 16kx ? 4 ? 0 4 3

1 1 ,即 | k |? ????8 分 4 2 16 k 4 , x1 · x2 ? 设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 ) ,由韦达定理,得 x1 ? x 2 ? ? , 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2
2 2 4 ? 0,得 k 2 ? 由 ? ? (16 k ) ? 4(3 ? 4k )·

∴ | MN |? 1 ? k

2

( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 4 3 1 ? k
2

2

4k 2 ? 1 3 ? 4k 2

原点 O 到直线 PN 的距离为 d ?

2 1? k 2

????10 分

∴ S ?MON ? · | MN | ?d ? 4 3

1 2

4k 2 ? 1 3 ? 4k 2
4 3 4 4k 2 ? 1

?

4 3 4k 2 ? 1 ? 4 4k 2 ? 1

?

2 4k 2 ? 1 ?

? 3

??????13 分
2

当且仅当 4k ? 1 ?

4 4k ? 1
2

时,即 k=±

5 时取等号。 2

∴△MON 的面积有最大值 3. (21) (本小题满分 12 分)

??????14 分

如图,已知直线 l 与抛物线 x 2 ? 4 y 相切于点 P(2, 1),且与 x 轴交于点 A,定点 B 的坐标为(2, 0) . (I)若动点 M 满足 AB ? BM ? 2 AM ? 0 ,求点 M 的轨迹 C; (II)若过点 B 的直线 l ? (斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、F 之间) , ? ? 试求 OBE 与 OBF 面积之比的取值范围.
2 解: (I)由 x ? 4 y 得 y ?

1 2 1 x , ∴ y? ? x . 4 2

∴ 直线 l 的斜率为 y ?

x ?2

? 1,

6

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故 l 的方程为 y ? x ? 1 ,

∴点 A 的坐标为(1,0).

设 M ( x, y ) ,则 AB ? (1,0) , BM ? ( x ? 2, y) , AM ? ( x ? 1, y) , 由 AB ? BM ? 2 AM ? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ?

2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0 ,

整理,得

x2 ? y2 ? 1. 2

∴动点 M 的轨迹 C 为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为 2 的椭圆. (II)如图,由题意知 l ? 的斜率存在且不为零, 设 l ? 方程为 y ? k ( x ? 2)(k ? 0) ①,

将①代入

x2 ? y 2 ? 1 ,整理,得 2

1 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 ,由 ? ? 0 得 0 ? k 2 ? . 2
设 E ( x1 , y1 ) 、 F ( x2 , y 2 ) ,

? 8k 2 x ? x ? 2 ? ? 1 2k 2 ? 1, 则? 2 ? x1 x 2 ? 8k ? 2 ? 2k 2 ? 1 ?
令? ?



BE S ?OBE , 则? ? , BF S ?OBF

由此可得

BE ? ? ? BF , ? ?
( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ?

x1 ? 2 ,且 0 ? ? ? 1 . x2 ? 2

由②知

?4 , 1 ? 2k 2 2 . 1 ? 2k 2

( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ?

? 2k 2 ? 1 4? 1 ∴ , 即k2 ? ? . ? 2 2 2 8 (1 ? ? ) (1 ? ? )


0 ? k2 ?

1 4? 1 1 ,∴ 0 ? ? ? , 2 2 2 2 (1 ? ? )

解得

3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2.

7

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又∵ 0 ? ? ? 1 ,

∴ 3 ? 2 2 ? ? ? 1,

∴ ? OBE 与 ? OBF 面积之比的取值范围是( 3 ? 2 2 , 1). 22. (本题满分 18 分) 已知动点 M 到定点(1,0)的距离比 M 到定直线 x ? ?2 的距离小 1。 ⑴求证: M 点轨迹为抛物线,并求出其轨迹方程; (2)大家知道,过圆上任意一点 P ,任意作相互垂直的弦 PA, PB ,则弦 AB 必过圆心(定点) ,受此 启发,研究下面的问题: ①过(1)中的抛物线的顶点 O 任作相互垂直的弦 OA, OB ,则弦 AB 是否经过一个定点?若经过定 点(设为 Q ) ,请求出 Q 点的坐标,否则说明理由; ②研究:对于抛物线 y 2 ? 2 px 上顶点以外的定点是否也有这样的性质?请提出一个一般的结论, 并证明。 22、 (18 分) (1) M 到定点 (1,0) 的距离等于到定直线 x ? ?1 的距离

? 轨迹为抛物线;
轨迹方程为 y 2 ? 4 x 。 (2)①设 OA : y ? kx , OB : y ? ? 由?

2分 2分

1 x k
2分

? y ? kx 2 ? y ? 4x

得 A(

4 4 , ), k2 k

同理 B(4k 2 ,?4k )

2分

4 ? 4k 因此 AB 方程为 y ? 4k ? k ( x ? 4k 2 ) 4 ? 4k 2 2 k
即 y ? 4k ?

1 1 ?k k

( x ? 4k 2 )

2分

令y?0

得 4k (

1 ? k ) ? x ? 4k 2 k
2分
2

?x ? 4

? 直线AB必过定点Q(4, 0)
2

②设点 P(x0,y0) 为 y ? 2 px 上一定点,则 y0 ? 2 px0 过 P 作互相垂直的弦 PA ,PB

1分

设 A(x1,y1) , B(x2,y2) ,则 y1 ? 2 px1 , y2 ? 2 px2 ,
8

2

2

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?

y ? y0 y2 ? y0 y1 ? y0 y2 ? y0 ? 2 ? ?1 ? ? ?1 ? 21 2 2 x1 ? x0 x2 ? x0 y1 y0 y2 y0 ? ? 2p 2p 2p 2p
2 2

化简得 ( ) ? y0 ? 4 p ? 0 (*) 2 分 (y1 ? y0)(y2 ? y0) ? ?4 p2 即 y1 y2 ? y 0 y1 ? y2 假设 AB 过定点 Q(a,b) ,则有

y1 ? b y2 ? b ? x1 ? a x2 ? a
2分



y1 ? b y ?b 化简得 y1 y2 ? b( y1 ? y2 ) ? 2 pa ? 0 (**) ? 22 2 y1 y2 ?a ?a 2p 2p

比较(*) 、 (**)得 a ? 2 p ? x0 , b ? ? y0

? 过定点 Q( x0 ? 2 p,? y0 )

1分

22. (本小题满分 14 分) 如图,与抛物线 x2=-4y 相切于点 A(-4,-4)的直线 l 分别交 x 轴、y 轴于点 F、E,过点 E 作 y 轴的垂线 l0. (I)若以 l0 为一条准线,中心在坐标原点的椭圆恰与直线 l 也相切,切点为 T,求椭圆的方程及点 T 的坐标; (II)若直线 l 与双曲线 6x2-λ y2=8 的两个交点为 M、N,且点 A 为线段 MN 的中点,又过点 E 的直 线与该双曲线的两支分别交于 P、Q 两点,记

FE | FE |

在 x 轴正方向上的投影为 p,且

2 ( OP ? OQ ) p ? m, m ? [ , ] ,求(I)中切点 T 到直线 PQ 的距离的最小值.

4 8 3 3

2 22.解:抛物线 x ? ?4 y中,? 导数 y ? ? ?

1 x, 2

∴直线 l 的斜率为 y ? | x ??4 ? 2. 故直线的 l 方程为 y ? 2 x ? 4. ∴点 F、E 的坐标分别为 F(-2,0) 、E(0,4).????????????1 分 (I)∵直线 l0 的的方程为 y=4, ∴以 l0 为一条准线,中心在坐标原点的椭圆方程可设为

y2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0). a2 b2

9

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? y2 x2 a2 ?1 ? ? ? 4. 由 ? a 2 b 2 则 ? (4b 2 ? a 2 ) x 2 ? 16b 2 x ? 16b 2 ? a 2 b 2 ? 0. c ? y ? 2x ? 4 ?
∵直线 l 与椭圆相切,? ? ? 162 b 2 ? 4(4b 2 ? a 2 )(16b 2 ? a 2b 2 ) ? 0.



a2 ? 4, a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a 2 ? 4, b 2 ? 3. c
????????3 分

y2 x2 ∴所求椭圆方程为 ? ? 1. 4 3
此时, x ? ?

3 16b 2 16 ? 3 3 ?? ? ? ,即切点 T 的坐标为 T ( ? ,1). ??1 分 2 2 2 2(12 ? 4) 2 2(4b ? a )

(II)设 l 与双曲线 6 x 2 ? ?y 2 ? 8 的两个交点为 M ( x1 , y1 ) 、 N ( x2 , y 2 ) ,显然 x1 ? x 2 . ∵点 A 为线段 MN 的中点,? x1 ? x2 ? ?8, y1 ? y 2 ? ?8 , 由?
2 2 ? ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) 6 ?6 x1 ? ?y1 ? 8 ? ? . 2 2 ( x ? x )( x ? x ) ? ? 6 x ? ? y ? 8 1 2 1 2 2 ? 2

而 k1 ?

y1 ? y 2 6 ? ? 2 ? ? ? 3. x1 ? x2 ?
2 2

∴双曲线的方程为 6 x ? 3 y ? 8, 即

x2 y2 ? ? 1 ,??????????1 分 4 8 3 3

?

FE | FE |

在x 轴正方向上的投影为 p,

? p 2 ? cos2 ?EFO ?

1 1 1 1 ? ? ? . ????????1 分 2 1 ? tan ?EFO 1 ? k1 1 ? 4 5
2

设直线 PQ 的方程为 y ? kx ? 4 (斜率 k 必存在) ,点 P( x3 , y3 ),Q( x4 , y4 ) ,

? OP ? OQ ? x3 x4 ? y3 y 4 ?
而 m ? [ , ],?

m ? 5. p2

4 8 3 3

20 40 ? OP ? OQ ? x3 x 4 ? y3 y 4 ? . 3 3

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? x2 y2 ? ?1 ? 8 ?4 ? (6 ? 3k 2 ) x 2 ? 24kx ? 56 ? 0. 由? 3 ?3 ? y ? kx ?4 ?
∵P、Q 两点分别在双曲线的两支上,? 6 ? 3k 2 ? 0.

? ?? ? 242 k 2 ? 4 ? 56(6 ? 3k 2 ) ? 0 ? ? 14 ? k ? 14, ? 24k ? ? ? x3 ? x 4 ? , 6 ? 3k 2 ? ? 56 ? x3 ? x 4 ? ? 0 ? ? 2 ? k 2. ? 6 ? 3k 2 ? ? ? 2 ? k ? 2.
此时 y3 y4 ? (kx3 ? 4)(kx4 ? 4) ? k 2 x3 x4 ? 4k ( x3 ? x4 ) ? 16.

? x3 x 4 ? y 3 y 4 ? (1 ? k 2 ) x3 x 4 ? 4k ( x3 ? x 4 ) ? 16 ? ? ? 56k 2 ? 56 ? 96k 2 ? 96 ? 48k 2 40 ? 8k 2 ? .??????????? 4分 6 ? 3k 2 3(2 ? k 2 ) 20 40 ? 8k 2 40 ? ? . 3 3(2 ? k 2 ) 3

2 2 ? 5 ?40 ? 20k ? 40 ? 8k ?? ? 0 ? k2 ? . 2 2 4 ? ?40 ? 8k ? 80 ? 40k

5 5 5 又 ? 2 ? k ? 2 ,?k 2 ? [0, ],即k ? [? , ]. ??????????1 分 4 2 2
而切点 T 到直线 PQ 的距离为

3 | ? k ?1? 4 | 3 (k ? 2) 2 3 k 2 ? 4k ? 4 3 3 ? 4k d? 2 ? ? ? 1? 2 . 2 2 2 2 2 2 1 ? k 1 ? k k ? 1 1? k 3 ? 4k 5 5 , k ? [? , ]. 2 2 2 k ?1 ? 4(k 2 ? 1) ? 2k (3 ? 4k ) 2(2k ? 1)(k ? 2) ? 则t ? ? . (k 2 ? 1) 2 (k 2 ? 1) 2 1 令t ? ? 0 ? k ? ? 或k ? 2. 2 3 ? 4k 5 1 1 5 ?t ? 2 在[? ,? ]上单调递增 , 在[? ,? ]上单调递减 . 2 2 2 2 k ?1 设t ? 又k ? ? 5 5 5 5 时, d ? 2 ? ;k ? 时, d ? 2 ? . 2 2 2 2
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? d min ? 2 ?

5 5 ,即切点T到直线PQ的距离的最小值为 2? . ????2 分 2 2

22. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的方程为 Q 两点. (Ⅰ)若 OP ? OQ 与 a =(-3,1)共线,求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)已知直线 l: x ? y ?

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) , 过其左焦点 F1 (-1, 0) 斜率为 1 的直线交椭圆于 P、 a 2 b2

1 ? 0 ,在 l 上求一点 M,使以椭圆的焦点为焦点且过 M 点的双曲线 E 的 2

实轴最长,求点 M 的坐标和此双曲线 E 的方程. 22. (本小题满分 14 分)

x2 y2 解: (Ⅰ)将直线 PQ 的方程为 y ? x ? 1, 代入 2 ? 2 ? 1 , a b 2 2 2 2 2 2 2 化简得 (a ? b ) x ? 2a x ? a ? a b ? 0 .
令 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), 则 x1 ? x2 ? ? 由 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) ,

2a 2 . ????????? 2 分 a 2 ? b2

3( y1 ? y2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 0.
2

OP ? OQ 与 a =(-3,1)共线,得 ∴ 3( x1 ? x2 ? 2) ? ( x1 ? x2 ) ? 0 .

2a 3 3 ? ? ,∴ a 2 ? 3b 2 . ??????? 4 分 ∴ x1 ? x2 ? ? ,即 ? 2 2 2 2 a ?b
2 2 又∵ a ? b ? 1 ,

2 ∴a ?

3 1 , b2 ? . 2 2

所以椭圆 C 的方程为

2x2 ? 2 y 2 ? 1 . ?????????????? 6 分 3
1 ?0, 因为 M 在双曲线 E 上, 要双曲线 E 的实轴最大, 只须||MF1|-|MF2|| 2

(Ⅱ)设椭圆 C 的右焦点为 F2,则易知 F1(-1,0)F2(1,0) ,

x? y? 直线 l 的方程为:
最大,

???????????????????? 8 分

设 F2(1,0)关于直线 l 的对称点为 F2 ' , 则可求 F2 ' (

1 1 ,- ) ,则直线 F1 F2 ' 与直线 l 的交点为所求 M, 2 2

1 ? y ? ?x ? ? 5 3 ? 2 得 M( ,- ) . ??????????????? 10 分 ? 1 1 4 4 ?y ? ? x ? ? 3 3 ?
又 2a =||MF1|-|MF2||=||MF1|-|M F2 ' ||≤ | F1 F2 ' | =
'

10 , ??? 12 分 2

12

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∴ a 'max ?

10 6 ,b' ? . 4 4

8x2 8 y 2 ? ? 1 . ???????????? 14 分 故所求双曲线 E 方程为: 5 3
22. (本题满分 18 分)本题共有 3 小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分。 如图, 已知直线 L:x ? m y ? 1过椭圆C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F, 且交椭圆 C 于 A、 a2 b2

B 两点,点 A、F、B 直线 G : x ? a 2 上的射影依次为点 D、K、E。 (1)若抛物线 x 2 ? 4 3 y 的焦点为椭圆 C 的上顶点,求椭圆 C 的方程; (2)对于(1)中的椭圆 C,若直线 L 交 y 轴于点 M,且 MA ? ?1 AF, MB ? ?2 BF, 当 m 变化时,求

?1 ? ?2 的值;
(3)连接 AE、BD,试探索当 m 变化时,直线 AE、BD 是否相交于一定点 N?若交于定点 N,请求 出 N 点的坐标,并给予证明;否则说明理由。

22.解: (1)易知 b ? 3 ?b 2 ? 3, 又F (1,0)

????2 分

?c ? 1 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 4
x2 y2 ? 椭圆C的 方 程 为 ? ?1 4 3
(2)? l与y轴交于 M (0,? ????4 分

1 ) m

?x ? m y ? 1 设A( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) 由? 2 2 ?3x ? 4 y ? 12 ? 0 ? (3m 2 ? 4) y 2 ? 6m y ? 9 ? 0 ? ? 1 4 ( 4 m 2 ? 1) ? 0

?

1 1 2m (*) ? ? y1 y 2 3

????6 分

13

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又由MA ? ?1 AF ? ( x1 , y1 ? ? ?1 ? ?1 ? 1 m y1
1 m y2

1 ) ? ?1 (1 ? x1 ,? y1 ) m

同理 ?2 ? ?1 ?

????8 分

? ?1 ? ?2 ? ?2 ?
? ?1 ? ? 2 ? ? 8 3

1 1 1 2 8 ( ? ) ? ?2 ? ? ? m y1 y 2 3 3
????10 分

(3)? F (1,0), k ? (a 2 ,0) 先探索,当 m=0 时,直线 L⊥ox 轴,则 ABED 为矩形,由对称性知,AE 与 BD 相交于 FK 中点 N 且 N(

a2 ?1 ,0) 2

????11 分

a2 ?1 ,0) 猜想:当 m 变化时,AE 与 BD 相交于定点 N ( 2
证明:设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), E(a 2 , y2 ), D(a 2 , y1 ) 当 m 变化时首先 AE 过定点 N

????12 分

?x ? m y ? 1 ?? 2 2 即(a 2 ? b 2 m 2 ) y 2 ? 2m b2 y ? b 2 (1 ? a 2 ) ? 0 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b ? 0 ? ? 4a 2 b 2 (a 2 ? m 2 b 2 ? 1) ? 0 (? a ? 1) ? y1 ? y2 又K AN ? 2 , K EN ? a ?1 1? a2 ? m y1 2 2 2 a ?1 ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 2 而K AN ? K EN ? ?0 1? a2 a2 ?1 ( ? m y1 ) 2 2 a2 ?1 (这是 ? ( y1 ? y 2 ) ? m y1 y 2 2 a2 ?1 2m b2 b 2 (1 ? a 2 ) ? ? (? 2 ) ? m ? 2 a ? m 2b 2 a 2 ? m 2b 2 (a 2 ? 1) ? (m b2 ? m b2 ) ? ? 0) a 2 ? m 2b 2
∴KAN=KEN ∴A、N、E 三点共线 同理可得 B、N、D 三点共线
14

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a2 ?1 ∴AE 与 BD 相交于定点 N ( ,0) 2
22. (本小题满分 14 分)

????18 分

已知 F 点 P满足 PF , 0?, 的轨迹为E, 1 ? ?2,0? , F 2 ?2 1 ? PF 2 ? 2, 记点P (1)求轨迹 E 的方程; (2)若直线 l 过点 F2 且与轨迹 E 交于 P、Q 两点, ①无论直线 l 绕点 F2 怎样转动,在 x 轴上总存在定点 M ? m,0? ,使 MP ? MQ 恒成立,求实数 m 的值; ②过 P、Q 作直线 x ?

PA ? QB 1 的垂线 PA、QB,垂足分别为A、B,记? = ,求 ? 的取值范围. 2 AB

22. (本小题满分 14 分)

P 的轨迹 E 是以 F1 , F2 为焦点的双曲线右支, (1)由 | PF 1 | ? | PF 2 |? 2 ?| F 1F 2 | 知,点
由 c ? 2, 2a ? 2 得 b2 ? 3 ,故轨迹 E 的方程为 x ?
2

y2 ? 1( x ? 1) 3

3分

(2)当直线 l 的斜率存在时,设直线方程为 y ? k ( x ? 2), P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) 与双曲线方程联立消去 y 得: (k 2 ? 3) x2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 3 ? 0

?k 2 ? 3 ? 0 ? ?? ? 0 2 ? 2 ∴ ? x ? x ? 4k ? 0 ,解得 k ? 3 1 2 2 k ?3 ? ? 4k 2 ? 3 ? x1 ? x2 ? 2 ?0 k ?3 ?
① MP ? MQ ? ( x1 ? m)( x2 ? m) ? y1 y2

??????5 分

? (k 2 ? 1) x1 x2 ? (2k 2 ? m)( x1 ? x2 ) ? m2 ? 4k 2 ?
∵ MP ? MQ ,∴ MP ? MQ ? 0 ,

3 ? (4m ? 5)k 2 ? m2 2 k ?3

2 2 2 2 故得 3(1 ? m ) ? k (m ? 4m ? 5) ? 0 对任意的 k ? 3 恒成立,
2 ? ?1 ? m ? 0 ,解得 m ? ?1 ,∴当 m ? ?1 时, MP ? MQ ?????8 分 2 m ? 4 m ? 5 ? 0 ? ?

∴?

当直线 l 的斜率不存在时,由 P(2,3), Q(2, ?3) 及 M (?1, 0) 知结论也成立 综上,当 m ? ?1 时, MP ? MQ ?????9 分
15

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1 是双曲线右准线, 2 1 1 1 由双曲线定义得 | PA |? | PF2 |? | PF2 |,| QB |? | QF2 | e 2 2
②∵ a ? 1, c ? 2 ,∴直线 x ? ∴? ?

1 ? k 2 | x2 ? x1 | 1 ? k 2 | x2 ? x1 | | PQ | 1? k 2 1 1 ? ? ? ? 1? 2 2 | AB | 2 | y2 ? y1 | 2 | k ( x2 ? x1 ) | 2| k | 2 k
1 1 1 3 ? ,故 ? ? ? 2 k 3 2 3
1 2

∵ k 2 ? 3 ,∴ 0 ?

注意到直线的斜率不存在时, | PQ |?| AB | ,此时 ? ? 综上, ? ? [ ,

1 3 ) 2 3

?????14 分

22. (本小题满分 12 分) 抛物线 C 的方程为 y ? ax2 (a ? 0),过抛物线 C上一点P( x0 , y0 )(x0 ? 0) ,作斜率为 k1 , k 2 的两 条 直 线 , 分 别 交 抛 物 线 C 于 A ( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) 两 点 ( P 、 A 、 B 三 点 互 不 相 同 ) ,且满足

k 2 ? ?k1 ? 0(? ? 0且? ? ?1).
(1)求抛物线 C 的焦点坐标和准线方程; (2)设直线 AB 上一点 M 满足 BM ? ? MA, 证明:线段 PM 的中点在 y 轴上; (3)当 ? ? 1 时,若点 P 的坐标为(1,—1) ,求∠PAB 为钝角时,点 A 的纵坐标的取 值范围. 22. (1)由抛物线 C 的方程 y ? ax2 (a ? 0) 得, 焦点坐标为 (0,

1 1 ), 准线方程为 y ? ? . ??????????????2 分 4a 4a

(2)设直线 PA 的方程为 y ? y0 ? k1 ( x ? x0 ), 直线PB的方程为 y ? y0 ? k 2 ( x ? x0 ) 点 P( x0 , y 0 )和点A( x1 , y1 )的坐标是方程组 ?
2

? y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) ① ? y ? ax
2

的解



将②式代入①式,得 ax ? k1 x ? k1 x0 ? y0 ? 0 , 于是 x1 ? x0 ?

k1 k , 故x1 ? 1 ? x0 a a

③????????????????4 分

又点 P( x0 , y 0 )和点B( x2 , y 2 )的坐标是方程组 ?

? y ? y 0 ? k1 ( x ? x0 ) ④
2 ? y ? ax



的解

将⑤式代入④式,得 ax2 ? k 2 x ? k 2 x0 ? y0 ? 0 ,
16

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于是 x 2 ? x0 ?

k2 k , 故x2 ? 2 ? x0 ????????????????4 分 a a

由已知得, k 2 ? ??k1 , 则x 2 ? ?

?
a

k1 ? x 0 .



设点 M 的坐标为 ( x M , y M ),则BM ? ? MA, 则x M ?

x 2 ? ?x1 . 1? ?

将③式和⑥式代入上式,得 x M ?

? x0 ? ?x0 ? ? x0 ,即x M ? x0 ? 0. 1? ?

所以线段 PM 的中点在 y 轴上 ????????????????????8 分 (3)因为点 P(1,-1)在抛物线 y ? ax2 上, 所以a ? ?1, 所以抛物线的方程为 y ? ?x 2 . 由③式知 x1 ? ?k1 ? 1, 代入y ? ? x 2 , 得y1 ? ?(k1 ? 1) 2 将 ? ? 1 代入⑥式得 x2 ? k1 ? 1, 代入y ? ? x 2 , 得y1 ? ?(k1 ? 1) 2 因此,直线 PA、PB 分别与抛物线 C 的交点 A、B 的坐标为

A(?k1 ? 1,?k 2 ? 2k1 ? 1), B (k1 ? 1,?k12 ? 2k1 ? 1). 于是, AP ? (k1 ? 2, k12 ? 2k1 ), AB ? (2k1 ,4k1 ) 所以AP ? AB ? 2k1 (k1 ? 2) ? 4k1 (k12 ? 2k1 ) ? 2k1 (k1 ? 2)(2k1 ? 1), 因为?PAB为钝角且P, A, B三点互不相同 , 故必有AP ? AB ? 0 求得k1的取值范围是k1 ? ?2或 ?
故当 k1 ? ?2时, y1 ? ?1;当 ?

1 ? k1 ? 0.又点A的纵坐标y1满足y1 ? ?(k1 ? 1) 2 2

1 1 ? k1 ? 0时,?1 ? y ? ? 2 4

即 y1 ? (?? ,?1) ? (?1,? ) ?????????????????????12 分

1 4

x2 y2 (22)设 F1、F2 分别是椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点,B 是其上顶点,椭圆的右准线与 x 轴 a b
交于点 N,已知 3BF2 ? BF1 ? 2BN, 且 BN ? 2 5 . (Ⅰ)求此椭圆的方程; (Ⅱ)若 M 是坐标平面内一动点,G 是三角形 MF1F2 的重心,且 GF2 ? OM ? 0 ,其中 O 是坐标原点,求 动点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)点 P 是此椭圆上一点,但非短轴端点,并且过 P 可作(Ⅱ)中所求得轨迹 C 的两条不同的切线,Q、 R 是两个切点,求 PQ ? PR 的最小值. (22) (Ⅰ)设 F1 (?c,0) , F2 (c,0)(c ? 0) ,
17
F1 F2 x y B

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a2 2 2 2 则 N ( ,0), a ? b ? c , c
因为 3BF2 ? BF 1 ? 2BN ,

所以 BF2 ? BF1 ? 2(BN ? BF2 ),即F1F2 ? 2F2 N ,
所以(2c,0)= 2(

a2 2b 2 2b 2 ? c,0) ? ( ,0), 2c ? ? b ? c, a ? b 2 ? c 2 ? 2c. c c c

从而 N(2c,0) ,B(0,c) 所以 | BN |?

(2c) 2 ? (c) 2 ? 2 5 , c ? 2, a ? 2c ? 2 2 , b ? c ? 2

因此所求椭圆的方程为

x2 y2 ? ?1 . 8 4

(Ⅱ)设 M(x,y) ,则由(1)得 F1(-2,0) ,F2(2,0) ,

x y x Y ) ,从而 GF 2 ? (2 ? ,? ), OM ? ( x, y) .因为 GF2 ? OM ? 0 3 3 3 3 x y x y 2 2 所以有 (2 ? ,? ) ? ( x, y ) ? (2 ? ) x ? (? ) y ? 0, 即x ? y ? 6 x ? 0 3 3 3 3
所以 G ( , 由于 G 是三角形 MF1F2 的重心,即 M,F1,F2 应当是一个三角形的三个顶点, 因此所求的轨迹 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 (y≠0) . (Ⅲ)由(Ⅱ)知轨迹 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 6x ? 0 ,即 ( x ? 3) 2 ? y 2 ? 9 (y≠0) . 显然轨迹 C 是以点 C(3,0)为圆心,半径 r=3 的圆除去两点(0,0)和(6,0)剩余部分的部分曲线. 设 P(m,n) ,则根据平面几何知识得 | PQ |?| PR | | PC | ?r
2 2

? (m ? 3) 2 ? n 2 ? 9

cos PQ, PR ? cos2?QPC ? 1 ? 2 sin 2 ?QPC ? 1 ? 2 ? (
量数量积的定义及均值不等式得

r | PC |

)2 ? 1 ?

18 从而根据平面向 (m ? 3) 2 ? n 2

PQ ? PR ?| PQ | ? | PR | cos PQ, PR ? [(m ? 3) 2 ? n 2 ? 9] ? [1 ? ? [(m ? 3) 2 ? n 2 ] ?

18 ] (m ? 3) 2 ? n 2

162 ? 27 ? 2 162 ? 27 ? 18 2 ? 27. (m ? 3) 2 ? n 2
(※)

当且仅当 (m ? 3) 2 ? n 2 ? 9 2 时,取“=”

x2 y2 2 2 ? ?1 上(非短轴端点) 由点 P(m,n)在椭圆 , 并 且 在 圆 ( x ? 3) ? y ? 9 外 , 可 知 8 4
3 ?| PC |? 3 ? 2 2但 | PC |?| BC |? 13 ? (m ? 3) 2 ? n 2 ? (9,13) ? (13,17 ? 12 2 ]

18

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由于 9 2 ? (9,13) ,所以条件(※)的要求满足. 因此 PQ ? PR 的最小值为 18 2 ? 27.

19


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