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1.2.1几个常见函数的导数


复习回顾

Vy f ( x0 + V x ) - f ( x 0 ) = lim ( x0 )? y ' x=x = lim 即f? V x? 0 V x 0 V x? 0 Vx
2.导数的几何、物理意义: 函数f(x)在x=x0处的导数
切线的斜率为:k ? f '( x0 )
y=f(x) y P1 P2

P3 P4

1.函数导数的定义: f ( x0 + V x ) - f ( x 0 ) 把 lim 叫做函数f(x)在x=x0处导数, V x? 0 Vx

就是其图像上过点P(x0, f(x0))的切线的斜率,

P5 △yT x
x0+?x

物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度 P .△x
O x0

3. 求导数或切线的斜率的三步法

?y ( 3) 求极限 k ? lim . ?x ?0 ?x
4. 导函数

?y f ( x 0 ? ?x ) ? f ( x 0 ) ( 2) 算比值 ? ; ?x ?x

当x变化时,f ’(x)是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数.
简称导数. y=f(x)的导函数有时也记作y’, 即
' ?x ? 0

f ' ? x ? ? y ? lim

f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ?x

.

5. 导数符号与单调性的关系
一般地,如果函数y ? f ( x)在x0的导数f ' ? x0 ? ? 0,

函数f(x)在x0附近单调递增. 如果函数y=f(x)在x0的导数 f ’(x0)<0. 函数f(x)在x0附近单调递减. 反之也成立.
f ' ? x0 ? 越大,

函数f ? x ?在x0附近变化得越快.

6.微积分中重要的思想方法: 以直代曲.

1.2.1 几个常用函数的导数

求下列函数的导数,并画出导数的大致图像.
1.函数y=f(x)=c的导数
?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? c ? c ? ? 0, ? ? ?x ?x ?x
y

y?c

?y ? y ' ? lim ? lim 0 ? 0. ?x ? 0 ? x ?x ? 0
若y ? c表示路程关于时间的函数,

O

x

y ' ? 0表示函数 y ? c上每一点处的切线的斜率都为0.

图1.2 ? 1

则 y ' ? 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为 0,
即一直处于静止状态.

2.函数y=f(x)=x的导数

y

y?x ?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? O ? ? x ?x ?x x ? ?x ? x ? ? 1, ?x ?y 图1.2 ? 2 ? y ' ? lim ? lim 1 ? 1. ?x ? 0 ?x ?x ? 0 y' ?1 表示函数 y ? x图象上每一点处的切线的斜率都为1.

若y ? x表示路程关于时间的函数,

则 y ' ? 1 可以解释为某物体做瞬时速度为 1的匀速运动.

y

3.函数y=f(x)=x2的导数

y ? x2

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? ?x ?x

?x 2 2 x ? 2 x ? ?x ? ? ?x ? ? x 2 ? ?x ? 2 x ? ?x,
?y ? y ' ? lim ? lim ? 2 x ? ?x ? ? 2 x . ?x ? 0 ?x ?x ? 0

x ? ?x ? ? ?

2

O

?x

x

2

图1.2 ? 3

1 4.函数y=f(x)= 的导数 x

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? ?x ?x

1 1 ? ? x ? ?x x ?x

x ? ? x ? ?x ? 1 ? ?? 2 , x ? x ? ?x ? ?x x ? x ? ?x

1 ?y 1 ? ? ?? 2. ? y ' ? lim ? lim ? ? 2 ? ?x ?0 ?x ?x ? 0 x ? x ? x ? ?x ? 1 探究 画出函数y ? 的图象.根据图象, 描述它的 x ?1,1?处的切线方程 变化情况, 并求出曲线在点 .

5.函数y=f(x)=

x 的导数

?y f ? x ? ?x ? ? f ? x ? ? ? ? ?x ?x

x ? ?x ? x ?x

? ?
?

x ? ?x ? x ?x

?

??
,

x ? ?x ? x

x ? ?x ? x

?

?

1 x ? ?x ? x

?y 1 1 y ' ? lim ? lim ? . ?x ? 0 ?x ?x ? 0 x ? ?x ? x 2 x

基本初等函数的导数公式:

1. c ' ? 0
3. (sin x )' ? cos x
5. (a )' ? a ln a ;
x x

2. ? x

?

?' ? ? x
x

? ?1

4. (cos x )' ? ? sin x
6. (e )' ?
x '

e ;

1 ; 7. (loga x )' ? x ln a

1 8. (ln x ) ? . x
记背!

例1 .求下列函数的导数 ? 2 (1). 若 y ? sin (2). y ? x ;
(3). y ? cos x
3

(4). y ? 2 x
(6). f ? x ? ? lg x
1 x (8). f ? x ? ? ( ) . 2

(5). f ? x ? ? log 2 x
(7). f ? x ? ? ln x.
解(1) y ' ? 0;

(2). y ' ? 2 x; x (4). y ' ? 2 ln 2 (3). y ' ? ? sin x; 1 1 ; (5). f ' ? x ? ? ; (6). f ' ? x ? ? x ln10 x ln 2
1 (7). f ' ? x ? ? ; x 1 x 1 (8). f ? x ? ? ( ) ln . 2 2

例2 假设某国家在 20 年期间的年通货膨胀率为 5%,物价p ?单位 :元?与时间t ?单位 : 年?有如下函数 关系 p ? t ? ? p0 ? 1 ? 5% ? , 其中 p0 为t ? 0时的物价.假
t

定某商品的p0 ? 1, 那么在第10个年头, 这种商品的 的价格上涨的速度大约是多少( 精确到0.01)?

解:

p(t)=p0×1.05t =1.05t

p ' ? t ? ? 1.05 ln1.05.
t

? p ' ?10? ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08 ?元 / 年? .
因此, 在第10个年头, 这种商品的价格约以0.08元/年 的速度上涨.
思考 如果上式中某种商品的p0=5,那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少?

p(t)=p0×1.05t =5×1.05t 这时p(t)的导数可以看成f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数, 下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函 数加、减、乘、除的求导问题.

解:

p(t)=p0×1.05t =1.05t

p ' ? t ? ? 1.05 ln1.05.
t

? p ' ?10? ? 1.0510 ln1.05 ? 0.08 ?元 / 年? .
因此, 在第10个年头, 这种商品的价格约以0.08元/年 的速度上涨.
思考 如果上式中某种商品的p0=5,那么在第10个年头, 这种商品的价格上涨的速度大约是多少?

p(t)=p0×1.05t =5×1.05t 这时p(t)的导数可以看成f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数, 下面的“导数运算法则”可以帮助我们解决两个函 数加、减、乘、除的求导问题. 导数的运算法则:

1. ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ' ? f '? x ? ? g '? x ?;
推论: [c ? f ( x )]' ? c ? f ' ? x ?

2. ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ' ? f '? x? g ? x ? ? f ? x ? g '? x ? ;

f '? x ? g ? x ? ? f ? x ? g '? x ? f ( x) g ? x ? ? 0? . 3. [ ]' ? ? 2 g( x ) ? ? g ? x ?? ?

例3 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则求下列的函数的导数 , . (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

x?l (6). f ? x ? ? ( x ? l)(2 x ? 3) (7). f ? x ? ? 2x ? 3 ? ?1 ? 2. x ' ? ? x 1. c ' ? 0 3. (sin x )' ? cos x 4. (cos x )' ? ? sin x 解(1): ? y ' ? x 3 ? 2 x ? 3 '? x 3 '? ? 2 x ? '? ? 3 ? '

(3). y ? x ? 2 ; (5). f ? x ? ? lg x ? ln x
2 x

(2). y ? sin x cos x 3 (4). y ? x

? ?

? 3 x 2 ? 2. y ' ? 3 x 2 ? 2. (2). y ' ? (sin x cos x )' ? (sin x )'cos x ? sin x(cos x )' 2 2 ? cos x ? sin x ? cos 2 x.

?

? ? ?

例3 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则求下列的函数的导数 , . (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

(3). y ? x ? 2 ; (5). f ? x ? ? lg x ? ln x
2 x

(2). y ? sin x cos x 3 (4). y ? x

x?l (6). f ? x ? ? ( x ? l)(2 x ? 3) (7). f ? x ? ? 2x ? 3 2. x? ' ? ? x? ?1 5. (a x )' ? a x ln a ;

? ?

解(3): ? y ' ? ( x ? 2 )' ? ( x 2 )'? 2 x ? x 2 (2 x )'
2 x

? 2 x ? 2 ? x ? 2 ? ln 2 ? x ? 2 2 1 1 ? 1 3 3 3 (4). y ? x , y ' ? ( x )' ? x 3
x 2 x

x ?1

? x ? 2 ? ln 2
2 x

例3 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则求下列的函数的导数 , . (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

x?l (6). f ? x ? ? ( x ? l)(2 x ? 3) (7). f ? x ? ? 2x ? 3 1 1 ' ; 7. (loga x )' ? 8. (ln x ) ? . x ln a x 解(5): f ' ? x ? ? (lg x ? ln x )' ? (lg x )'? (ln x )'
2 f ' x ? (2 x ? x ? 3)' ? ? ? 4 x ? 1. (6). f ? x ? ? 2 x ? x ? 3
2

(3). y ? x ? 2 ; (5). f ? x ? ? lg x ? ln x
2 x

(2). y ? sin x cos x 3 (4). y ? x

1 1 ? ? x ln10 x

例3 根据基本初等函数的导数公式 和导数运算法则求下列的函数的导数 , . (1) y ? x ? 2 x ? 3
3

x?l (6). f ? x ? ? ( x ? l)(2 x ? 3) (7). f ? x ? ? 2x ? 3
解(7): (x+ 1)’(2x-3) -(x+ 1) (2x-3)’ f '? x ? ? (2x-3)2

(3). y ? x ? 2 ; (5). f ? x ? ? lg x ? ln x
2 x

(2). y ? sin x cos x 3 (4). y ? x

5 (2x-3) -2(x+ 1) ? ? = (2x-3)2 (2 x ? 3)2

练习: P18: 1、2(1)~(4)

基本初等函数的导数公式:

1. c ' ? 0

3. (sin x )' ? cos x 5. (a x )' ? a x ln a ;
1 ; 7. (loga x )' ? x ln a 导数的运算法则:

2. ? x? ? ' ? ? x? ?1 4. (cos x )' ? ? sin x

6. (e )' ?
x '

1 8. (ln x ) ? . x

e ;

x

推论: [c ? f ( x )]' ? c ? f ' ? x ?

2. ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ' ? f '? x? g ? x ? ? f ? x ? g '? x ? ;

1. ? ? f ? x ? ? g ? x ?? ? ' ? f '? x ? ? g '? x ?;

f '? x ? g ? x ? ? f ? x ? g '? x ? f ( x) g ? x? ? 0 . 3. [ ]' ? 2 g( x ) ? ? g ? x ?? ?

?

?

本节课到此结束, 请同学们课后再 做好复习与作业。谢谢!

Homework: 习题1.2 :1~3 聚焦课堂:

再见!
1


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