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带电粒子在磁场中运动


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带电粒子在磁场中的运动
专题 带电粒子在磁场中运动
【备考策略】
根据近三年高考命题特点和命题规律,复习专题时,要注意以下几个方面: 1. 通过复习,整合磁场基本知识,弄清楚带电粒子在磁场中运动的基本规律,掌握带电粒子在有界磁场 中运动问题的基本方法

;区分有边界磁场中圆心、半径、临界条件、周期和时间等问题的解决方法, 并注意几何关系的灵活应用 2. 归纳总结复合场的基本知识,加强电场、磁场与力学知识的整合,分清带电粒子在不同复合场中的运 动形式和遵循的运动规律,特别弄清楚粒子在分区域场中的分阶段运动,总结出复合场问题的解题思 路、解题方法、解题步骤. 3. 充分注意带电粒子在复合场中运动规律的实际应用问题.如质谱仪、 回旋加速器、速度加速器、电磁 流量计等.

【考纲点击】
重要考纲 洛伦兹力公式 带电粒子在匀强磁场中的运动 带电粒子在匀强电场中的运动 要求 Ⅱ Ⅱ Ⅱ

【网络互联】

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第 1 讲 带电粒子在磁场中的运动
【核心要点突破】 知识链接
一、洛仑兹力 1、公式:F=qvBsinα(α 为 v 与 B 的夹角) 2、特点:洛伦兹力 F 的方向既垂直于磁场 B 的方向,又垂直于运动电荷的速度 v 的方向,即 F 总是垂直 于 B 和 v 所在的平面.故永远不对运动电荷做功。 3、方向的判断:左手定则 二、带电粒子在匀强磁场中的运动公式

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深化整合

一、 电场力和洛伦兹力的比较

电场力 力存在条件 力力大小 力方向 在同一直线上 力的效果 做功 运动轨迹偏 在匀强电场中偏转,轨迹为抛物线 转 可改变电荷运动速度大小和方向 可以对电荷做功,改变电荷的动能 作用于电场中所有电荷 洛仑兹力作用 F=qE 与电荷运动速度无关 力的方向与电场方向相同或相反, 但总

洛仑兹力 仅对运动着的且速度不跟磁场平行的电荷有

F=Bqv 与电荷的运动速度有关 力的方向始终和磁场方向垂直 只改变电荷速度的方向,不改变速度的大小 不对电荷做功、不改变电荷的动能 在匀强磁场中偏转、轨迹为圆弧

【典例训练 1】不计重力的带电粒子在电场或者磁场中只受电场力或磁场力作用,带电粒子所处的运动状 态可能是( )

A.在电场中做匀速直线运动 B.在磁场中做匀速直线运动 C.在电场中做匀速圆周运动 D.在匀强磁场中做类平抛运动

【解析】选 B、C.带电粒子在电场中必定受电场力作用,因而不能做匀速直线运动,A 错.带电粒子在电场 中可做匀速圆周运动,如电子绕原子核运动,库仑力提供向心力,C 对;带电粒子在磁场中不一定受磁场 力作用,如当运动方向与磁场方向平行时,洛伦兹力为零.粒子做匀速直线运动,B 对.带电粒子在匀强磁 场中不可能做匀变速运动.因速度变化时,洛伦兹力变化,加速度变化,D 错,故选 B、C.
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【典例训练 2】 (2010· 江苏物理卷· T9)如图所示,在匀强磁场中附加另一匀强磁场,附加磁场位于图中阴 影区域,附加磁场区域的对称轴 OO′ SS′ 与 垂直。a、b、c 三个质子先后从 S 点沿垂直于磁场的方向射入磁 场, 它们的速度大小相等, 的速度方向与 SS′ b 垂直,、 的速度方向与 b 的速度方向间的夹角分别为 ?、? , a c 且 ? ? ? 。三个质子经过附加磁场区域后能达到同一点 S′ ,则下列说法中正确的有

A.三个质子从 S 运动到 S′ 的时间相等 B.三个质子在附加磁场以外区域运动时,运动轨迹的圆心均在 OO′ 轴上 C.若撤去附加磁场,a 到达 SS′ 连线上的位置距 S 点最近 D.附加磁场方向与原磁场方向相同 【命题立意】 本题以三个速度大小相同的质子在磁场中运动, 考查带电粒子 在磁场中的运动,题目设置较难。 【思路点拨】解答本题可按以下思路分析: 由洛仑兹力不做功, 速度大小不变 根据三个质子运动轨迹 判断三个质子的运动时间长短

由质子运动半径,以质子 b 为例画出其运动轨迹
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确定运动轨迹的圆心位置

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【规范解答】

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选 CD。三个质子从 S 运动到 S ? 过程,运动轨迹的长度从 a、b、c 依次增大,由于洛仑兹力对质子不做功, 三个质子速度大小始终相等,运动时间不相等,A 错误;三个质子在附加磁场以外区域及附加磁场区域运 动时,以质子 b 为例画出其运动轨迹图两种情况(R>r 和 R<r)如图①所示,由图可以看出质子 b 的运动轨 ② 迹的圆心不在 OO ? 轴上,所以 B 错误;用作图法可知,若撤去附加磁场,a 到达 S S ? 连线上的位置距 S 点 距离为 x a ? 2 R sin(

?
2

? ? ) ? 2 R cos ? , 到达 S S ? 连线上的位置距 S 点距离为 xb ? 2R , 到达 S S ? 连线 b c

上的位置距 S 点距离为 xc ? 2 R sin(

?
2

? ? ) ? 2 R cos ? ,可知 a 到达 SS′ 连线上的位置距 S 点最近,C 正

确;因 b 要增大曲率,才能使到达 S S ? 连线上的位置向 S 点靠近,所以附加磁场方向与原磁场方向相同, D 正确。 【例 3】磁流体发电机原理图如右。等离子体高速从左向右喷射,两极板 间有如图方向的匀强磁场。该发电机哪个极板为正极?两板间最大电压为多 少?5u.com 解:由左手定则,正、负离子受的洛伦兹力分别向上、向下。所以上极板 + + + - + + +

- - - ―R

B

为正。正、负极板间会产生电场。当刚进入的正负离子受的洛伦兹力与电场力等值反向时,达到最大电压: U=Bdv。当外电路断开时,这也就是电动势 E。当外电路接通时,极板上的电荷量减小,板间场强减小,洛 伦兹力将大于电场力,进入的正负离子又将发生偏转。这时电动势仍是 E=Bdv,但路端电压将小于 Bdv。 在定性分析时特别需要注意的是: ?正负离子速度方向相同时,在同一磁场中受洛伦兹力方向相反。 ?外电路接通时,电路中有电流,洛伦兹力大于电场力,两板间电压将小于 Bdv,但电动势不变(和 所有电源一样,电动势是电源本身的性质。 )
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?注意在带电粒子偏转聚集在极板上以后新产生的电场的分析。在外电路断开时最终将达到平衡态。 【例 4】 半导体靠自由电子(带负电)和空穴(相当于带正电)导电,分为 p 型和 n 型两种。p 型中 空穴为多数载流子;n 型中自由电子为多数载流子。用以下实验可以判定一块 半导体材料是 p 型还是 n 型:将材料放在匀强磁场中,通以图示方向的电流 I, 用电压表判定上下两个表面的电势高低,若上极板电势高,就是 p 型半导体; 若下极板电势高,就是 n 型半导体。试分析原因。 解:分别判定空穴和自由电子所受的洛伦兹力的方向,由于四指指电流方向,都向右,所以洛伦兹力 方向都向上,它们都将向上偏转。p 型半导体中空穴多,上极板的电势高;n 型半导体中自由电子多,上 极板电势低。 注意:当电流方向相同时,正、负离子在同一个磁场中的所受的洛伦兹力方向相同,所以偏转方向相 同。 3.洛伦兹力大小的计算 带电粒子在匀强磁场中仅受洛伦兹力而做匀速圆周运动时,洛伦兹力充当向心力,由此可以推导出该 圆周运动的半径公式和周期公式:
r? mv 2?m ,T ? Bq Bq

I

【例 5】 如图直线 MN 上方有磁感应强度为 B 的匀强磁场。正、负电 子同时从同一点 O 以与 MN 成 30°角的同样速度 v 射入磁场(电子质量为 m,电荷为 e) ,它们从磁场中射出时相距多远?射出的时间差是多少? 解:由公式知,它们的半径和周期是相同的。只是偏转方向相反。先确 B M N

v O

定圆心,画出半径,由对称性知:射入、射出点和圆心恰好组成正三角形。所以两个射出点相距 2r,由图 还可看出,经历时间相差 2T/3。答案为射出点相距 s ? 径和用对称。 【例 6】 一个质量为 m 电荷量为 q 的带电粒子从 x 轴上的 P(a,0)点 以速度 v,沿与 x 正方向成 60°的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰 v y

2mv 4?m ,时间差为 ?t ? 。关键是找圆心、找半 Be 3Bq

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O/ o

B
v a x

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好垂直于 y 轴射出第一象限。求匀强磁场的磁感应强度 B 和射出点的坐标。 解:由射入、射出点的半径可找到圆心 O/,并得出半径为 r ? 2a ? mv , 得B ? 3mv ;射出点坐标为 2aq 3 Bq (0,

3a ) 。
带电粒子在磁场中的运动是高中物理的一个难点,也是高考的热点。在历年的高考试题中几乎年

年都有这方面的考题。带电粒子在磁场中的运动问题,综合性较强,解这类问题既要用到物理中的洛仑兹 力、圆周运动的知识,又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识。 1、带电粒子在半无界磁场中的运动 【例 7】一个负离子,质量为 m,电量大小为 q,以速率 v 垂直于屏 S 经过小孔 O 射入存在着匀强磁 场的真空室中,如图所示。磁感应强度 B 的方向与离子的运动方向垂直,并 垂直于图 1 中纸面向里. (1)求离子进入磁场后到达屏 S 上时的位置与 O 点的距离. (2)如果离子进入磁场后经过时间 t 到达位置 P,证明:直线 OP 与离子 入射方向之间的夹角θ 跟 t 的关系是 ? ?

O

v θ

B P

S

qB t。 2m

解析: (1)离子的初速度与匀强磁场的方向垂直,在洛仑兹力作用下,做匀速圆周运动.设圆半径为 r, 则据牛顿第二定律可得:

Bqv ? m

v2 mv ,解得 r ? r Bq

如图所示,离了回到屏 S 上的位置 A 与 O 点的距离为:AO=2r

所以 AO ?

2m v Bq
vt Bq ? t r m

(2)当离子到位置 P 时,圆心角: ? ? 因为 ? ? 2? ,所以 ? ?

qB t. 2m
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连 rv 心

2.穿过圆形磁场区。画好辅助线(半径、速度、轨迹圆的圆心、 线) 。偏角可由 tan

?
2

?

m? r 求出。经历时间由 t ? 得出。 R Bq

O R O/

v

注意:由对称性,射出线的反向延长线必过磁场圆的圆心。

【例 8】如图所示,一个质量为 m、电量为 q 的正离子,从 A 点正对着圆心 O 以速度 v 射入半径为 R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场, 磁感应强度的大小为 B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A 点射出,求 正离子在磁场中运动的时间 t.设粒子与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失,不计 粒子的重力。 解析:由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失,每次碰撞后离子的速度方向都沿半径方 向指向圆心,并且离子运动的轨迹是对称的,如图所示。设粒子与圆筒内壁碰撞 n 次( n ? 2 ),则每相 邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为 2π (n+1) / .由几何知识可知, 的半径为 离子运动

A

v0

B O

r ? R tan

?
n ?1

离子运动的周期为 T ?

v2 2?m ,又 Bqv ? m , r qB
2?R ? tan . v n ?1

所以离子在磁场中运动的时间为 t ?

【例 9】圆心为 O、半径为 r 的圆形区域中有一个磁感强度为 B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场, 与区域边缘的最短距离为 L 的 O'处有一竖直放置的荧屏 MN,今有一质量为 m 的电子以速率 v 从左侧沿 OO'方向垂直射入磁场,越出磁场后打在荧光屏上之 P 点,如图所示, 求 O'P 的长度和电子通过磁场所用的时间。 解析 : 电子所受重力不计。 它在磁场中做匀速圆周运动, 圆心为 O″, 半径为 R。圆弧段轨迹 AB 所对的圆心角为θ ,电子越出磁场后做速率仍 R
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L A

M

O
θ B θ/2 θ/2 P O// P

O,

N

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为 v 的匀速直线运动, 如图 4 所示,连结 OB,∵△OAO″≌△OBO″,又 OA⊥O″A,故 OB⊥O″B,由 于原有 BP⊥O″B,可见 O、B、P 在同一直线上,且∠O'OP=∠AO″B=θ ,在直角三角形OO'P 中,O'

P=(L+r)tanθ ,而 tan ? ?

2 tan(

?
2

)

? 2 1 ? tan 2 ( ) 2 AB ?R ? P 了,电子经过磁场的时间可用 t= 来求得。 V V
由 Bev ? m

,tan( ) ?

?

r ,所以求得 R 后就可以求出 O' R

mv v2 .OP ? ( L ? r ) tan ? 得 R= eB R

? r eBr tan( ) ? ? , 2 R mV
2 tan( ) 2eBrm v 2 ? tan? ? 2 2 ? m v ? e2 B2r 2 1 ? tan2 ( ) 2
O , P ? ( L ? r ) tan ? ? 2( L ? r )eBrmv , m2v 2 ? e2 B 2r 2

?

? ? arctan(
t?

2eBrmv ) m v2 ? e2 B2r 2
2

?R
v

?

m 2eBrmv arctan( 2 2 ) eB m v ? e2 B2r 2

3.穿过矩形磁场区。一定要先画好辅助线(半径、速度及延长线) 。偏转 角由 sinθ =L/R 求出。侧移由 R2=L2-(R-y)2 解出。经历时间由 t ?

m? 得出。 Bq

注意, 这里射出速度的反向延长线与初速度延长线的交点不再是宽度线段 的中点,这点与带电粒子在匀强电场中的偏转结论不同! 【例 10】如图所示,一束电子(电量为 e)以速度 v 垂直射入磁感强度为 B,宽度为 d 的匀强磁场中, 穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是 30°,则电子的质量是 是 。 解析:电子在磁场中运动,只受洛仑兹力作用,故其轨迹是圆弧的一部分,又因为 f⊥v,故圆心在电 子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上,如图中的 O 点,由几何知识知,AB 间圆心角θ =30°,
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,穿透磁场的时间

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OB 为半径。 ∴r=d/sin30°=2d,又由 r=mv/Be 得 m=2dBe/v 又∵AB 圆心角是 30°,∴穿透时间 t=T/12,故 t=π d/3v。 带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界 条件的分析。如已知带电粒子的质量 m 和电量 e,若要带电粒 子能从磁场的右边界射出,粒子的速度 v 必须满足什么条件? 这时必须满足 r=mv/Be>d,即 v>Bed/m.

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【例 11】长为 L 的水平极板间,有垂直纸面向内的匀强磁场,如图所示,磁感强度为 B,板间距离也 为 L,板不带电,现有质量为 m,电量为 q 的带正电粒子(不计重力) ,从左边极板间中点处垂直磁感线以 速度 v 水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可 采用的办法是: A.使粒子的速度 v<BqL/4m; B.使粒子的速度 v>5BqL/4m; C.使粒子的速度 v>BqL/m; D.使粒子速度 BqL/4m<v<5BqL/4m。 解析:由左手定则判得粒子在磁场中间向上偏,而作匀速圆周运动,很明显,圆周运动的半径大于某 值 r1 时粒子可以从极板右边穿出,而半径小于某值 r2 时粒子可从极板的左边穿出,现在问题归结为求粒子 能在右边穿出时 r 的最小值 r1 以及粒子在左边穿出时 r 的最大值 r2,由几何知识得: 粒子擦着板从右边穿出时,圆心在 O 点,有: r12=L2+(r1-L/2)2 得 r1=5L/4, 又由于 r1=mv1/Bq 得 v1=5BqL/4m,∴v>5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时,圆心在 O'点,有 r2=L/4,又由 r2=mv2/Bq=L/4 得 v2=BqL/4m ∴v2<BqL/4m 时粒子能从左边穿出。 综上可得正确答案是 A、B。
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【例 12】带电粒子在匀强磁场中匀速圆周运动基本问题

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找圆心、画轨迹是解题的基础。带电粒子垂直于磁场进入一匀强磁场后在洛伦兹力作用下必作匀速圆 周运动,抓住运动中的任两点处的速度,分别作出各速度的垂线,则二垂线的交点必为圆心;或者用垂径 定理及一处速度的垂线也可找出圆心;再利用数学知识求出圆周运动的半径及粒子经过的圆心角从而解答 物理问题。

(04 天津)钍核

发生衰变生成镭核

并放出一个粒子。设该粒子的质量为 和 间电场时,其速度为 垂直平板电极

、电荷量为 q,它 方向进

进入电势差为 U 的带窄缝的平行平板电极

,经电场加速后,沿 ,当粒子从

入磁感应强度为 B、方向垂直纸面向外的有界匀强磁场, 其速度方向与 方位的夹角

点离开磁场时,

,如图所示,整个装置处于真空中。

(1)写出钍核衰变方程; (2)求粒子在磁场中沿圆弧运动的轨道半径 R; (3)求粒子在磁场中运动所用时间 。 解析:(1)钍核衰变方程 (2)设粒子离开电场时速度为 ,对加速过程有 ①



粒子在磁场中有



由②、③得 (3)粒子做圆周运动的回旋周期





粒子在磁场中运动时间



由⑤、⑥得



【例 13】带电粒子在磁场中轨道半径变化问题
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导致轨道半径变化的原因有:①带电粒子速度变化导致半径变化。如带 电粒子穿过极板速度变化;带电粒子使空气电离导致速度变化;回旋加速器 加速带电粒子等。②磁场变化导致半径变化。如通电导线周围磁场,不同区 域的匀强磁场不同;磁场随时间变化。③动量变化导致半径变化。如粒子裂 变,或者与别的粒子碰撞;④电量变化导致半径变化。如吸收电荷等。总之,



看 m、v、q、B 中某个量或某两个量的乘积或比值的变化就会导致

带电粒子的轨道半径变化。 (06 年全国 2)如图所示,在 x<0 与 x>0 的区域中,存在磁感应强度大小分别为 B1 与 B2 的匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里,且 B1>B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O 以速度 v 沿 x 轴负方向射出,要使 该粒子经过一段时间后又经过 O 点,B1 与 B2 的比值应满足什么条件? 解析:粒子在整个过程中的速度大小恒为 v,交替地在 xy 平面内 B1 与 B2 磁场区域中做匀速圆周运动, 轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q,圆周运动的半径分别为和 r2,有

r1=



r2=



分析粒子运动的轨迹。如图所示,在 xy 平面内,粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距 离为 2 r1 的 A 点,接着沿半径为 2 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴的 O1 点,O1O 距离 d=2(r2-r1) 粒子 y 坐标就减小 d。 设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点。若 OOn 即 nd 满足 nd=2r1 ④ 则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点,式中 n=1,2,3,??为回旋次数。 ③ 此后, 粒子每经历一次 “回旋” (即从 y 轴出发沿半径 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方 y 轴) ,

由③④式解得



由①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件

n=1,2,3,??⑥ 【例 14】带电粒子在磁场中运动的临界问题和带电粒子在多磁场中运动问题 带电粒子在磁场中运动的临界问题的原因有:粒子运动范 围的空间临界问题;磁场所占据范围的空间临界问题,运动电 荷相遇的时空临界问题等。审题时应注意恰好,最大、最多、 至少等关键字 (07 全国 1)两平面荧光屏互相垂直放置,在两屏内分别取垂
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直于两屏交线的直线为 x 轴和 y 轴,交点 O 为原点,如图所示。在 y>0,0<x<a 的区域有垂直于纸面向里 的匀强磁场,在 y>0,x>a 的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场,两区域内的磁感应强度大小均为 B。在 O 点处有一小孔,一束质量为 m、带电量为 q(q>0)的粒子沿 x 轴经小孔射入磁场,最后打在竖直和水平荧 光屏上,使荧光屏发亮。入射粒子的速度可取从零到某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间与在 x>a 的区域中运动的时间之比为 2:5,在磁场中运动的总时间为 7T/12,其 中 T 为该粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的范围(不计重 力的影响) 。

解析:粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中运动半径为: 屏上发亮的范围从 0 到 2a。



速度小的粒子将在 x<a 的区域走完半圆,射到竖直屏上。半圆的直径在 y 轴上,半径的范围从 0 到 a, 轨道半径大于 a 的粒子开始进入右侧磁场,考虑 r=a 的极限情况,这种粒子在右侧的圆轨迹与 x 轴在 D 点相切(虚线) ,OD=2a,这是水平屏上发亮范围的左边界。 速度最大的粒子的轨迹如图中实线所示,它由两段圆弧组成,圆心分别为 C 和 称性可知 在 x=2a 直线上。 ,C 在 y 轴上,有对

设 t1 为粒子在 0<x<a 的区域中运动的时间,t2 为在 x>a 的区域中 运动的时间,由题意可知

由此解得:



③ ⑤

由②③式和对称性可得

⑥ 即弧长 AP 为 1/4 圆周。因此,圆心

所以 在 x 轴上。 可得



设速度为最大值粒子的轨道半径为 R,有直角

⑧ 由图可知 OP=2a+R,因此水平荧光屏发亮范围的右边界的坐标


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【例 15】带电粒子在有界磁场中的极值问题 寻找产生极值的条件:①直径是圆的最大弦;②同一圆中大弦对应大的 圆心角;③由轨迹确定半径的极值。 有一粒子源置于一平面直角坐标原点 O 处,如图所示相同的速率 v0 向第一象限平面内的不同方向发射电子,已知电子质量为 m,电量为 e。 欲使这些电子穿过垂直于纸面、磁感应强度为 B 的匀强磁场后,都能平 行于 x 轴沿+x 方向运动,求该磁场方向和磁场区域的最小面积 s。 解析:由于电子在磁场中作匀速圆周运动的半径 R=mv0/Be 是确定 的,设磁场区域足够大,作出电子可能的运动轨道如图所示,因为电子只能向 第一象限平面内发射,所以电子运动的最上面一条轨迹必为圆 O1,它就是磁 场的上边界。其它各圆轨迹的圆心所连成的线必为以点 O 为圆心,以 R 为半 径的圆弧 O1O2On。由于要求所有电子均平行于 x 轴向右飞出磁场,故由几何 知识有电子的飞出点必为每条可能轨迹的最高点。如对图中任一轨迹圆 O2 而 言,要使电子能平行于 x 轴向右飞出磁场,过 O2 作弦的垂线 O2A,则电子必 将从点 A 飞出,相当于将此轨迹的圆心 O2 沿 y 方向平移了半径 R 即为此电子 的出场位置。由此可见我们将轨迹的圆心组成的圆弧 O1O2On 沿 y 方向向上平 移了半径 R 后所在的位置即为磁场的下边界,图中圆弧 OAP 示。综上所述,要求的磁场的最小区域为弧 OAP 与弧 OBP 所围。利用正方形 OO1PC 的面积减去扇形 OO1P 的面积即为 OBPC 的面积;即 R2-π R2/4。根 据几何关系有最小磁场区域的面积为 S=2(R2-π R2/4)=(π /2 -1) (mv0/Be)2。 【例 16】带电粒子在复合场中运动问题 复合场包括:磁场和电场,磁场和重力场,或重力场、电场和磁场。有带电粒子的平衡问题,匀变速 运动问题,非匀变速运动问题,在解题过程中始终抓住洛伦兹力不做功这一特点。粒子动能的变化是电场 力或重力做功的结果。 (07 四川)如图所示,在坐标系 Oxy 的第一象限中存在沿 y 轴正方形的匀强电场,场强大小为 E。在 其它象限中存在匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里。 是 y 轴上的 A 一点,它到座标原点 O 的距离为 h;C 是 x 轴上的一点,到 O 点的距 离为 l,一质量为 m、电荷量为 q 的带负电的粒子以某一初速度沿 x 轴方向从 A 点进入电场区域,继而通过 C 点进入大磁场区域,并再 次通过 A 点。此时速度方向与 y 轴正方向成锐角。不计重力作用。 试求: (1)粒子经过 C 点时速度的大小合方向; (2)磁感应强度的大小 B。 解析: (1)以 a 表示粒子在电场作用下的加速度,有 ① 加速度沿 y 轴负方向。设粒子从 A 点进入电场时的初速度为 v0,由 A 点运动到 C 点经历的时间为 t,
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则有

② ③

由②③式得



设粒子从点进入磁场时的速度为 v,v 垂直于 x 轴的分量 v1= 由①④⑤式得 ⑤

v1=





设粒子经过 C 点时的速度方向与 x 轴的夹角为α ,则有

tanα =



由④⑤⑦式得



(2)粒子经过 C 点进入磁场后在磁场中作速率为 v 的圆周运动。若圆周的半径为 R,则有

⑨ 设圆心为 P,则 PC 必与过 C 点的速度垂且有 得 ⑩ ⑾ 由⑧⑩⑾式解得 = =R。用β 表示 与 y 轴的夹角,由几何关系

R= 由⑥⑨⑿式得



B=



【例 17】带电粒子在磁场中的周期性和多解问题
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多解形成原因:带电粒子的电性不确定形成多解;磁场方向不确定形成多解;临界状态的不唯一形成 多解,在有界磁场中运动时表现出来多解,运动的重复性形成多解,在半径为 r 的圆筒中有沿筒轴线方向 的匀强磁场,磁感应强度为 B;一质量为 m 带电+q 的粒子以速度 V 从筒壁 A 处沿半径方向垂直于磁场射 入筒中;若它在筒中只受洛伦兹力作用且与筒壁发生弹性碰撞,欲使粒子与筒壁连续相碰撞并绕筒壁一周 后仍从 A 处射出;则 B 必须满足什么条件? 带电粒子在磁场中的运动时间分析:由于粒子从 A 处沿半径射入磁场后必作匀速圆周运动,要使粒子 又从 A 处沿半径方向射向磁场,且粒子与筒壁的碰撞次数未知,故设粒子与筒壁的碰撞次数为 n(不含返

回 A 处并从 A 处射出的一次) ,由图可知

其中 n 为大于或等于 2 的整数(当 n=1 时

即粒子必沿圆 O 的直径作直线运动,表示此时 B=0) 由图知粒子圆周运动的半径 R, ;

再由粒子在磁场中的运动半径

可求出



粒子在磁场中的运动周期为

,粒子每碰撞一次在磁场中转过的角度由图得

,粒子从 A 射入磁场再从 A 沿半径射出磁场的过程中将经过 n+1 段圆弧,故粒子运

动 的 总 时 间 为 :

, 将 前 面 B 代 入 T 后 与

共 同 代 入 前 式 得 。

【高考真题探究】
1.(2010· 新课标全国卷· T25) (18 分)如图所示,在 0≤ x ≤ a、0≤ y ≤

a 范 2

围内有垂直于 xy 平面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为 B。坐标原点 O 处有一个粒子源,在某时刻发射 大量质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子,它们的速度大小相同,速度方向均在 xy 平面内,与 y 轴正方向 的夹角分布在 0 ~90°范围内。己知粒子在磁场中做圆周运动的半径介于 a/2 到 a 之间,从发射粒子到粒子 全部离开磁场经历的时间恰好为粒子在磁场中做圆周运动周期的四分之一。求最后离开磁场的粒子从粒子 源射出时的
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(1)速度的大小; (2)速度方向与 y 轴正方向夹角的正弦。 【命题立意】本题以大量带电粒子沿各个方向在有界匀强磁场中 作匀速圆周运动,建立一幅动态运动图 景, 考查考生空间想象能力和运用数学知识处理物理问题的能力。 【思路点拨】解答本题可按以下思路分析:
画出沿﹢y 方向以 a/2 为半径做圆周运动轨迹

增大半径将运动圆弧以 O 为圆心旋转 再将临界轨迹旋转 比较得到最长时间

圆弧轨迹与磁场上边界相切时为临界轨迹 【规范解答】

(1)设粒子的发射速度为 v,粒子做圆周运动的轨道半径为 R,由牛顿第二定律和洛仑兹力公式,得:

qvB ? m

v2 , R mv qB



(2 分)

由① 解得: R ?

② (1 分)

画出沿﹢y 方向以 a/2 为半径做匀速圆周运动轨迹如图① 所示, 再画出从坐标原点 O 沿与 y 轴正方向以 半径 R0(a/2<R0<a)做匀速圆周运动且圆弧轨迹与磁场上边界相切时的临界轨迹②,然后将临界轨迹②以 O 为圆心顺时针或逆时针旋转,根据在磁场中的轨迹线的长度即可判断运动时间的长短,如下图所示。从 图不难看出临界轨迹② 对应的运动时间最长。 当

a ? R ? a 时,在磁场中运动时间最长的粒子,其轨迹是圆心为 C 的圆弧,圆弧与磁场的上边界相 2

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切,如图所示,设该粒子在磁场中运动的时间为 t,依题意 t ?

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T ,得: 4

?OCA ?

?
2



③ (4 分)

设最后离开磁场的粒子的发射速度方向与 y 轴正方向的夹角为 α,由几何关系可得:

Rs i n ? R ? ?

a 2

④ (2 分) ⑤ (2 分) ⑥ (1 分)

R sin ? ? a ? R cos ?

2 s i n? ? c o 2 ? ?1 s

由④⑥ ⑤式解得: R ? (2 ?

6 )a 2 6 aqB ) 2 m 6? 6 10

⑦ (2 分)

由②式得: ⑦

v ? (2 ?

⑧ (2 分)

(2)由④式得: sin ? ? ⑦

⑨ (2 分)

【答案】 (1) v ? (2 ?

6 aqB 6? 6 (2) sin ? ? ) 2 m 10

2.(2010· 浙江理综· T24) (22分)在一个放射源水平放射出α、β 和 γ 和三种射线,垂直射入如图所示磁 场。区域Ⅰ 的宽度均为d,各自存在着垂直纸面的匀强磁场,两区域的磁感强度大小B 相等,方向相反 和Ⅱ (粒子运动不考虑相对论效应)

。 (1)若要筛选出速率大于v1的β 粒子进入区域Ⅱ ,求磁场宽度d 与B 和v1的关系。 (2)若B=0.0034T,v1=0.1c(c是光速度) ,则可得d,α 粒子的速率为0.001c,计算α 和γ 射线离开区域 Ⅰ 时的距离;并给出去除 α 和 γ 射线的方法。 (3)当d满足第(1)小题所给关系时,请给出速率在,v1<v<v2区间的 β 粒子离开区域Ⅱ 时的位置和方向。 (4)请设计一种方案,能使离开区域Ⅱ β 粒子束在右侧聚焦且水平出射。 的 已知: 电子质量 me ? 9.1?10
?31

kg ,? 粒子质量 m? ? 6.7 ?10?27 kg ,电子电荷量 q ? 1.6 ? 10?19 C ,
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1? x ? 1? x x ?1 ( 时) 2

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【命题立意】本题有机整合了原子物理和磁场内容,体现综合性和新颖性,主要考查带电粒子在磁场中的匀 速圆周运动和对三种射线的理解。 【思路点拨】作图分析,找到β 粒子能进入区域Ⅱ 临界条件,并画出α、β 粒子开区域Ⅰ 和离开区域Ⅱ 时的位 置,充分利用几何关系。 【规范解答】 (1)根据带电粒子在磁场以洛伦兹力作用后作匀速圆周运动的规律

qvb ?

m v2 R

………………①

由临界条件得 d

B和v1 的关系为

d?

me v1 qB

………………②

(2)由① 式可得 ? 粒子的回旋半径

R? ?

m? v? 6.7 ? 10?27 ? 30 ? 105 ? ? 1.84m q? B 2 ? 1.6 ? 10?19 ? 0.0034

由② 式得

d?

me v1 9.1? 10?31 ? 3.0 ? 107 ? ? 0.05m qB 1.6 ? 10?19 ? 0.0034

竖直方向的距离为
2 y ? R? ? R? ? d 2 ? 0.7mm

可见通过区域Ⅰ 的磁场难以将 ? 粒子与 ? 射线分离,可用薄纸挡去 ? 粒子,需用厚铅板挡掉γ 射线。

(3)在上述磁场条件下,要求速率在 v1 ? v ? v2 区间的 ? 粒子离开区域Ⅱ 时的位置和方向。先求出速度为

v2 的 ? 粒子所对应的圆周运动半径
R2 ? me v 2? qB
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该β 粒子从区域Ⅰ 磁场射出时,垂直方向偏离的距离为
2 y 2 ? R2 ? R2 ? d 2 ?

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me 2 (v2 ? v2 ? v12 ) qB

同理可得,与速度为v1对应的β 粒子从区域Ⅱ 时射出时,垂直方向偏离的距离为

Y2 ? 2 y1 ?

2me 2 (v2 ? v2 ? v12 ) qB

同理可得,与速度为v1对应的β 粒子垂直方向偏离的距离为

Y1 ? 2d ?

2me v1 qB

速率在 v1 ? v ? v2 区间射出 ? 粒子束宽为2 Y2 ? 2Y1 ,方向向右侧,如图所示。

(4)由对称性可以设计出如图所示的磁场区域,最后形成聚焦,且方向水平向右。

3.(2010·全国Ⅰ理综·T26)(21 分).如下图 15,在 0 ? x ? 3a 区域内存在 与 xy 平面垂直的匀强磁场,磁感应强度的大小为 B.在 t=0 时刻,一位于坐标原 点的粒子源在 xy 平面内发射出大量同种带电粒子, 所有粒子的初速度大小相同, 方向与 y 轴正方向的夹角分布在 0~180°范围内。已知沿 y 轴正方向发射的粒子 在 t ? t0 时刻刚好从磁场边界上 P( 3a, a) 点离开磁场。求: (1)粒子在磁场中做圆周运动的半径 R 及粒子的比荷 q/m; (2)此时刻仍在磁场中的粒子的初速度方向与 y 轴正方向夹角的取值范围; (3)从粒子发射到全部粒子离开磁场所用的时间。 【命题立意】本题考查了带电粒子在有边界磁场中的运动,正确分析带电粒 程,并作出粒子轨迹的示意图是解题的关键. 【思路点拨】解答本题时可按以下思路分析:
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子在磁场中运动的物理过

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带电粒子在第一 象限有边界磁场 中做一段圆弧运 动,确定其圆心 【规范解答】

由几何知识、洛仑兹 力公式及牛顿第二 定律,求出荷质比.

由同一时刻仍在磁场中的 粒子到 O 的点的距离相等 及几何知识分析,可解答所 求.

? 初速度与 y 轴正方向平行的粒子在磁场中的运动轨迹如图 16 中的弧 OP 所示,其圆心为 C.由题给条件可以 得出 2π ∠OCP= 3 此粒子飞出磁场所用的时间为 T t0= 3 式中 T 为粒子做圆周运动的周期. 设粒子运动速度的大小为 v,半径为 R,由几何关系可得 R= 2 a 3 (2 分) (2 分) (2 分)

由洛仑兹力公式和牛顿第二定律有 v2 qvB =m R T= 2π R v (1 分) (1 分)

解以上联立方程,可得 2π q = 3Bt m 0 (3 分)

(2)依题意,同一时刻仍在磁场内的粒子到 O 的距离相同(2 分),在 t0 时刻仍在磁场中的粒子应位于以 O 点为圆心、OP 为半径的弧 MN 上,如图 16 所示. 设此时位于 P、M、N 三点的粒子的初速度分别为 vp、vM、vN.由对称性可知 vp 与 OP、vM 与 OM、vN. 与 ON 的夹角均为π /3.设 vM、vN.与 y 轴正向的夹角分别为θ θ
M= M、θ N,,由几何关系有

π
3

(1 分) (1 分)

2π θ N= 3

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对于所有此时仍在磁场中的粒子,其初速度与 y 轴正方向所成的夹角θ 应满足

π

3 ≤θ ≤

2π 3

(2 分)

(3)在磁场中飞行时间最长的粒子的运动轨迹应与磁场右边界相切,其轨迹如图 17 所示.由几何关系可 知, 弧长 OM 等于弧长 OP 由对称性可知, 弧长ME等于弧长OP (1 分) (1 分)

所以从粒子发射到全部粒子飞出磁场所用的时间

tm=2 t0

(2 分)

【专题模拟演练】
一、 选择题 1.(2010·扬州四模)如图所示,直角三角形 ABC 区域中存在一匀强磁场,比荷相同的两个粒子沿 AB 方 2 向射入磁场,分别从 AC 边上的 P、Q 两点射出,则( ) , A.从 P 射出的粒子速度大 B.从 Q 射出的粒子速度大 4 , 6

C.从 P 射出的粒子,在磁场中运动的时间长

D.两粒子在磁场中运动的时间一样长 2.如图 1 所示,半圆形光滑槽固定在地面上,匀强磁场与槽面垂直,将质 量为 m 的带电小球自槽口 A 处由静止释放,小球到达槽最低点 C 处时,恰 好对槽无压力,则小球在以后的运动过程中对 C 点的最大压力为( )

A.0

B.2mg

C.4mg

D.6mg

3.圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子 a、b、c,以不同的速率沿 着 AO 方向对准圆心 O 射入磁场,其运动轨迹如图 2 所示.若带电粒子 只受磁场力的作用,则下列说法正确的是( A.a 粒子速率最大
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B.c 粒子速率最大 C.a 粒子在磁场中运动的时间最长 D.它们做圆周运动的周期 Ta<Tb<Tc

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4.(2010·上饶市二模)如图所示,在平面直角坐标系中有一个垂直纸面向里的圆形匀强磁场区域,一质 量为 m、电荷量为 e 的电子从 y 轴上 a(0,L)点以初速度 v0 平行于 x 轴正方向射入磁场,经磁场偏转后从 x 轴上的 b 点射出磁场,此时速度的方向与 x 轴正方向的夹角为 60°,且此磁场区域恰好是满足此电子 偏转的最小圆形磁场区域(此最小圆形磁场未画出),下列说法正确的是:

A.此圆形磁场区域边界不会经过原点 O 2π L B.电子在磁场中运动的时间为 3v 0 3L L C.该圆形磁场区域的圆心坐标为( 2 ,2) D.电子在磁场中做圆周运动的圆心坐标为(0,-2L) 5.如图 4 所示,在 x>0、y>0 的空间中有恒定的匀强磁场,磁感应强度的方向垂直于 xOy 平面向里,大小 为 B.现有一质量为 m,电量为 q 的带电粒子在 x 轴上到原点的距离为 x0 的 P 点,以平行于 y 轴的初速度 射入此磁场,在磁场的作用下沿垂直于 y 轴的方向射出此磁场.不计重力的影响,由这些条件可知( )

A.不能确定粒子通过 y 轴时的位置 B.不能确定粒子速度的大小 C.不能确定粒子在磁场中运动所经历的时间 D.以上三个判断都不对 6.如图 5 所示,一足够长的矩形区域 abcd 内充满方向垂直纸面向里的、磁感应强度为 B 的匀强磁场,在 ad 边中点 O,垂直磁场方向向里射入一速度方向跟 ad 边夹角θ =30°、大小为 v0 的带正电粒子,已知粒 子质量为 m,电量为 q,ad 边长为 L,ab 边足够长,粒子重力不计,则粒子能从 ab 边上射出磁场的 v0 大小范 围( )

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7.两个电荷量分别为 q 和-q 的带电粒子分别以速度 va 和 vb 射入匀强磁场, 两粒子的入射方向与磁场边界 的夹角分别为 30°和 60°,磁场宽度为 d,两粒子同时由 A 点出发,同时到达 B 点,如图 6 所示,则( )

A.a 粒子带正电,b 粒子带负电 B.两粒子轨道半径之比 Ra∶Rb= 3 C.两粒子质量之比 ma∶mb=1∶2 D.两粒子的速度之比 va∶vb=1∶2 二、 计算题 8. 如图 7 所示,匀强磁场磁感应强度为 B,方向垂直于纸面向里,其边界是半径为 R 的圆,AB 为圆的直 径.在 A 点有粒子源向圆平面内的各个方向发射质量为 m、电量为-q 的粒子,粒子重力不计. (1) 一带电粒子以 v= 间 t. (2)若磁场的边界是绝缘弹性边界(粒子与边界碰撞后将以原速率反弹) ,某粒子沿直径方向射入磁场, 经过 2 次碰撞后回到 A 点,试求该粒子的速率.

2qBR 的速度垂直磁场射入圆形区域, 恰从 B 点射出.试求该粒子在磁场中运动的时 m

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9.(19 分)一个质量为 m,电荷量为 q 的带负电的带电粒子,从 A 点射入宽度为 d、磁感应强度为 B 的匀强 磁场,MN、PQ 为该磁场的边缘,磁感线垂直于纸面向里.带电粒子射入时的初速度与 PQ 成 45°角,且粒 子恰好没有从 MN 射出,如图 8 所示. (1)求该带电粒子的初速度 v0. (2)求该带电粒子从 PQ 边界射出的射出点到 A 点的距离 x.

10.(16 分)如图 9 所示,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于 纸面向里,磁感应强度 B=0.60 T.磁场内有一块足够大的平面感光平 板 ab,板面与磁场方向平行.在距 ab 的距离为 L=10 cm 处,有一个点 状的α 粒子放射源 S, 它仅在纸平面内向各个方向均匀地发射α 粒子. 设放射源每秒发射 n=3.0×104 个α 粒子,每个α 粒子的速度都是 v=6.0×106 m/s.已知α 粒子的电荷量与 质量之比

q =5.0×107 C/kg.求每分钟有多少个α 粒子打中 ab 感光平板?(图中 N 为 S 距 ab 最近的点) m

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【达标指要】 1.掌握洛仑兹力的大小和方向的确定,带电粒子在匀强磁场中圆周运动及其规律 2.掌握带电粒子在有界匀强磁场强度中的运动特点 【名题精析】 例 1. 如图 11-3-1 所示, 真空室内有匀强磁场, 磁场方向垂直于纸面向里, 磁感应强度的大小 B=0.60T, 磁场内有一块平行感光板 ab,板面与磁场方向平行,在距 ab 的距离 l=16cm 处,有一个点状的 α 粒子发 射源 S,它向各个方向发射 α 粒子,α 粒子的速度都是 v=3.0×106m/s.已知 α 粒子的电量与质量之比 q/m =5.0×107C/kg,现只考虑在纸平面中运动的 α 粒子,求 ab 上被 α 粒子打中的区域长度.
a P1

M2 P

P2
b 2r M

a l S

b
c

r

Q r S 图 11-3-2

d

图 11-3-1

分析与解:洛伦兹力是 α 粒子作圆运动的向心力;计算出圆半径后,确定圆心的位置就成为解题的关键, α 粒子轨迹与 ab 相切,以及 α 粒子离 S 最远的距离为 2r 是判定最远点的条件.如图 11-3-2. α 粒子带正电,用左手定则判定 α 粒子在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用 r 表示轨道半径, 有 Bqv=m

m 因向不同方向发射的 α 粒子的圆轨迹都过 S,由此可知,某一圆轨迹在图中 N 左侧与 ab 相切,则此 切点 P1 就是 α 粒子能打中的左侧最远点,为定出 P1 的位置,可作平行与 ab 的直线 cd,cd 到 ab 的距离为 r=0.10m.以 S 为圆心,r 为半径,作弧交 cd 于 Q 点,过 Q 作 ab 的垂线,它与 ab 的交点即为 P1.由图中
几何关系得: NP1 ?

v2 v 3 ?106 ,解得 r ? ? m ? 0.10m ,可见 2r>l>r. q 5.0 ?107 ? 0.6 r ( )B

r 2 ?(l ? r ) 2 .

再考虑 N 的右侧,任何 α 粒子在运动中离 S 的距离不可能超过 2r,以 2r 为半径,S 为圆心作圆,交 ab 于 N 右侧的 P2 点,P2 即为 α 粒子在右侧能达到的最远点.由几何关系得: NP2 ? 所求长度为:P1P2=NP1+NP2=0.20m.

4r 2 ? l 2 .

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例 2.在 xOy 平面内有许多电子(质量为 m,电荷量为 e)从坐标原点 O 不断以相同大小的速度 v0 沿不同的方向射入第一象限, 如图 11-3-3 所示. 现加 上一个垂直于 xOy 平面的磁感应强度为 B 的匀强磁场,要求这些电子穿过该磁 场后都能平行于 x 轴向 x 轴正方向运动,试求出符合条件的磁场的最小面积. 分析与解:所有电子在所求的匀强磁场中均做匀速圆周运动,由

y a

vn

b P(x,y)

v2 mv ev0 B ? m 0 ,得半径为 R ? 0 . r eB 设与 x 轴成 α 角入射的电子从坐标为(x,y)的 P 点射出磁场,则有 x2+ (R–y)2=R2 ① ① 式即为电子离开磁场的边界 b, 2 当 α=90°时, 电子的运动轨迹为磁场的上边界 a, 其表达式为 (R–x) +y2=R2 ② 由①式所确定的面积就是磁场的最小范围,如图 11-3-4 所示,其面积为 ②

O R

R On 图 11-3-4

x

S ?( 2

? R2
4

?

mv ? ? 2 R2 )( 0 ) 2 ? 2 eB 2

【思路点拨】 例 1 中左右两边最远点考虑方式不一样,不少同学会利用左右对称来解,这就失去了一半.错误的主 要原因在于对于 α 粒子在空间飞行的轨迹不熟悉 例 2 中电子从原点沿各个不同的方向不断地以速度 v0 射入第一象限中, 要求经过磁场偏转后均能平行 于 x 轴方向,磁感应强度 B 已知,那么电子在磁场中做圆周运动的半径是已知的,实际上相当于每个电子 的轨迹都是已知的: 过原点作速度方向的垂线, 在偏向 x 正方向这一侧上截取一段长为 R 处即为其圆心 On, 在过 On 作与 x 轴的垂线,在此垂线选取 OnP=R,这 P 点就是电子从磁场飞出的点(如图 11-3-4 所示)所有 这些点的集合就是磁场的下边界 b.具体方向就是本题所采用的选一任意角 α,确定其出磁场点 P 的关系 式① 就是这些电子的下边界线了.对于上边界线的确定:只要沿 y 轴正方向运动的电子的轨迹能在磁场中, 也就是说沿 y 轴正方向运动的电子轨迹线就是磁场的上边界. 【益智演练】 1.有一个电子射线管(阴极射线管) ,放在一通电直导线 AB 的上方,发现射线的径迹如图 11-3-5 所示, 则( ) A.直导线电流从 A 流向 B B.直导线电流从 B 流向 A A B C.直导线电流垂直于纸面,并流向纸内 图 11-3-5 D.直导线电流垂直于纸面,并流向纸外 2.赤道附近地磁场方向向北,同时存在方向竖直向下的电场,若在该处发射一电子(重力作用不计) ,电 子沿直线飞行而不发生偏转,则该电子的飞行方向为 ( ) A.水平向东 B.水平向西 C.竖直向上 D.竖直向下 3.在匀强磁场中一个带电粒子做匀速圆周运动,如果又顺利垂直进入另一个磁感应强度是原来磁感应强 度 2 倍的匀强磁场,则( ) A.粒子的速率加倍,周期减半 B.粒子的速率不变,轨道半径减半
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C.粒子的速率减半,轨道半径变为原来的 1/4 D.粒子的速率不变,周期减半 4.如图 11-3-6 所示,ab 是一弯管,其中心线是半径为 R 的一段圆弧,将它置于一给定的匀强磁场中,磁 场方向垂直于圆弧所在平面,并且指向纸外.有一束粒子对准 a 端射入弯管,粒子有不同的质量、不 同的速度,但都是一价正离子,则( ) A.只有速度大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 B.只有质量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 C.只有动量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 图 11-3-6 D.只有能量大小一定的粒子可以沿中心线通过弯管 5.如图 11-3-7 所示,一个带电粒子,在磁感应强度 B=0.8 T 的匀强磁场中运动,其 速度方向与磁场方向垂直, a 到 b 所需时间为 2× -4 s, b 到 a 所需时间为 1× -3 从 10 从 10 b -8 s,已知 a、b 两点距离为 0.3 m,粒子带电量为 3× 10 C,则该粒子的动量大小为 ( ) a A.7.2× -9 kg· 10 m/s B.1.44× -8 kg· 10 m/s 图 11-3-7 C.3.6× -9 kg· 10 m/s D.条件不足,无法确定 6.如图 11-3-8 所示,PQ 是匀强磁场中的一片薄金属片,其平面与磁场方向平行,一个带电粒子从某点以 与 PQ 垂直的速度 v 射出,动能是 E,射出后带电粒子的运动轨迹如图 15-83 所示.今测得它在金属片 两边的轨迹半径之比为 10∶ 9,若在穿越板的过程中粒子受到的阻力大小及电量恒定,则( ) A.带电粒子一定带正电

1 2E 10 m C.带电粒子每穿过一次金属片,动能减少了 0.19E D.带电粒子穿过 5 次后陷在金属片里
B.带电粒子每穿过一次金属片,速度减小了

P B
图 11-3-8

Q

7.一重力可以忽略的带电粒子,以速度 v 射入某一空间,下列各种说法中,正确的( ) A.如果空间只存在电场,则带电粒子穿过该空间时,动能、动量一定发生变化? B.如果空间只存在磁场,则带电粒子穿过该空间时,动能、动量一定发生变化? C.如果空间只存在电场,则带电粒子穿过该空间时,动能可能不变,动量一定发生变化 D.如果带电粒子穿过空间后,动能和动量都不改变,空间也可能同时存在电场和磁场 8.一个原来静止的 U238 原子核,发生 α 衰变,衰变后 α 粒子的初速度方向水平向右,且两个产物均在垂 直于它们速度方向的匀强磁场中运动,它们的轨迹和运动方向可能是下图 11-3-9 中哪一个所示? ( )
M N

a

A

B

图 11-3-9

C

D
v1 图 11-3-10

b 60° v2

9.如图 11-3-10 所示,两电子沿 MN 方向从 M 点射入两平行平面间的匀强磁场 中,它们分别以 v1、v2 的速率射出磁场,则 v1∶2=______,通过匀强磁场所用时间之比 t1∶2=______. v t
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10.如图 11-3-11 所示,在圆心为 O、半径为 r 的圆形区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场,一电子以 速度 v 沿 AO 方向射入,后沿 OB 方向射出匀强磁场,若已知∠ AOB=120°,则电子穿越此匀强磁场所经 历的时间是___________.

O A A
图 11-3-11

B

θ

v0

R

B A
图 11-3-12

L
图 11-3-13

11.如图 11-3-12 所示,半径为 R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为 B.若 在圆心处静止的原子核中释放一个质量为 m、电量为 q 的粒子,粒子的速度 v0 垂直于磁场,则初速度 v0 大小必须满足条件 时,粒子才能从磁场中穿出,粒子穿过磁场需要的最长时间 为 .

12.一质量为 m、带电量为 q 的带电粒子以某一初速射入如图 11-3-13 所示的匀强磁场中(磁感应强度为 B,磁场宽度为 L) ,要使此带电粒子穿过这个磁场,则带电粒子的初速度应为多大?

13.图 11-3-14 中虚线 AB 右侧是磁感应强度为 B1 的匀强磁场,左侧是磁感应强度为 B2 的匀强磁场.已知

B1 ? 2 .磁场的方向都直于图中的纸面并指向纸面内.现有一带正电的粒子自图中 O 处以初速度开 B2
始向右运动,求从开始时刻到第 10 次通过 AB 线向右运动的时间内,该粒子在 AB 方向的平均速度. A O v0

B2 B
图 11-3-14

B1

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14.初速度为零的离子经电势差为 U 的电场加速后,从离子枪 T 中水平射出,经过一段路程后进入水平放 置的两平行金属板 MN 和 PQ 之间,离子所经空间存在一磁感强度为 B 的匀强磁场.如图 11-3-15 所示 (不考虑重力作用) ,离子的比荷 金属板上?
M N

q (q、m 分别是离子的电量和质量)在什么范围内,离子才能打在 m

T

v

d /2

d /2
d

P
图 11-3-15

d

Q

15.如图 11-3-16 所示,一足够长的矩形区域 abcd 内有磁感应强度为 B,方向垂直纸面向里的匀强磁场, 现从 ad 边的中点 O 处,以垂直磁场且跟 ad 边成 30? 角的速度方向射入一带电粒子.已知粒子质量为 m,带电量为 q,ad 边长为 l,不计粒子重力. (1)若粒子从 ab 边上射出,则入射速度 v0 的范围是多少? a b (2)粒子在磁场中运动的最长时间为多少?
O 30? d v0 图 11-3-16 B

c

16.如图 11-3-17 所示,为显像管电子束偏转示意图,电子质量为 m,电量为 e,进入磁感应强度为 B 的 匀强磁场中,该磁场束缚在直径为 l 的圆形区域,电子初速度 v0 的方向过圆形磁场的轴心 O,轴心到 光屏距离为 L(即 P0O=L) ,设某一时刻电子束打到光屏上的 P 点,求 PP0 之间的距离.
l

O v0 图 11-3-17

L

P0 d P

17.如图 11-3-18 所示,在 xoy 平面内有垂直坐标平面的范围足够大的匀强 磁场,磁感强度为 B,一带正电荷量 q 的粒子,质量为 m,从O点以某
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y B

A

O

x

图 11-3-18

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一初速度垂直射入磁场,其轨迹与 x、y 轴的交点 A、B 到 O 点的距离分别为 a、b,试求: (1)初速度方向与 x 轴夹角 θ. (2)初速度的大小.

18. 如图所示, 半径为 R=10cm 的圆形匀强磁场, 区域边界跟 y 轴相切于坐标系原点 O, 磁感应强度 B=0.332T, 方向垂直纸面向里,在 O 处放有一放射源 s,可沿纸面向各个方向射出速率均为 v=3.2×106m/s 的α 粒 子,已知α 粒子质量为 m=6.64×10-27kg,q=3.2×10-19m/s,求: (1)画出α 粒子通过磁场空间做圆周运动的圆心点的连线形状; (2)求出α 粒子通过磁场的最大偏向角; (3)再以过 O 并垂直纸面的直线为轴轴旋转磁场区域,能使穿过磁场区域且偏转角最大的α 粒子射 出磁场后,沿 y 轴正方向运动,则圆形磁场直径 OA 至少应转过多少角度. y s o A x
图 11-3-19

19.图 11-3-20 中,虚线 MN 是一垂直纸面的平面与纸面的交线,在平面右侧的半空间存在一磁感应强度 为 B 的匀强磁场,方向垂直纸面向外.O 是 MN 上的一点,从 O 点可以向磁场区域发射电量为+q、质 量为 m、速率为 v 的粒子.粒子射入磁场时的速度可在纸面内向各个方向.已知先后射入的两个粒子 恰好在磁场中给定的 P 点相遇, 到 O 的距离为 L, P 不计重力及粒子间的相互作用. ? M (1)求所考查的粒子在磁场中的轨道半径.? (2)求这两个粒子从 O 点射入磁场的时间间隔. O P

N

图 11-3-20

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20.如图 11-3-21,两个共轴的圆筒形金属电极,外电极接地,其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝 a、 b、c 和 d,外筒的外半径为 r0.在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场,磁感应强 度的大小为 B.在两极间加上电压,使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电场.一质量为 m、带电 量为+q 的粒子,从紧靠内筒且正对狭缝 a 的 S 点出发,初速为零.如果该粒子经过一段时间的运动之 后恰好又回到出发点 S,则两电极之间的电压 U 应是多少?(不计重力,整个装置 a 在真空中) S +q d O b

c
图 11-3-21

21.边长为 100cm 的正三角形光滑且绝缘的刚性框架 ABC 固定在光滑的水平面上,如图 11-3-22 内有垂直 - 于框架平面 B=0.5T 的匀强磁场.一质量 m=2×10-4kg,带电量为 q=4×10 3C 小球,从 BC 的中点小孔 P 处以某一大小的速度垂直于 BC 边沿水平面射入磁场,设小球与框架相碰后不损失动能,求: (1)为使小球在最短的时间内从 P 点出来,小球的入射速度 v1 是多少? (2)若小球以 v2=1m/s 的速度入射,则需经过多少时间才能由 P 点出来? A

v B 图 11-3-22 C

22.如图 11-3-23 甲所示,MN 为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为 d,两板中央有一个小孔 OO′ 正对, 在两板间有垂直于纸面方向的磁场, 磁感应强度随时间的变化如图乙所示. 有一群正离子在 t=0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场,已知正离子质量为 m、带电量为 q,正离子在磁场中做匀速圆周运 动的周期与磁感应强度的变化周期都为 T0.不考虑由于磁场的变化而产生电场的影响,不计离子所受 重力.求:
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(1)磁感应强度 B0 的大小; (2)要使正离子从 O′孔垂直于 N 板射出磁场,正离子射入磁场时的速度 v0 的可能值.
B Bo O d 甲 图 11-3-23 To -Bo 乙 2To t

M O

N



23.如图 11-3-24 所示,abcd 是一个正方形的盒子,在 cd 边的中点有一小孔 e.盒子中存在着沿 ad 方向 的匀强电场,场强大小为 E.一粒子源不断地从 a 处的小孔沿 ad 方向向盒内发射相同的带电粒子,粒 子的初速度为 v0,经电场作用后恰好从 e 处的小孔射出.现撤去电场,在盒子中加一方向垂直于纸面 的匀强磁场,磁感应强度大小为 B(图中未画出) ,粒子仍恰好从 e 孔射出. (带电粒子的重力、粒子 之间的相互作用力均可忽略) . a b (1)所加的磁场方向如何? v0 (2)电场强度 E 与磁感应强度 B 的比值为多大?
E d e 图 11-3-24 c

24.如图 11-3-25 所示,在虚线范围内,用场强为 E 的匀强电场可使初速度为 v0 的某种正 离子偏转 θ 角.在同样宽度范围内,若改用匀强磁场(方向垂直纸面向外) ,使该离 子通过该区域并使偏转角度也为 θ, 则磁感应强度为多少?离子穿过电场和磁场的时 间之比为多少?

E v0

θ

图 11-3-25

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25.匀强磁场分布在半径为 R 的圆内,磁感应强度为 B,质量为 m、电量为 q 的带电粒子由静止开始经加 速电场加速后,沿着与直径 CD 平行且相距 0.6R 的直线从 A 点进入磁场,如图 11-3-26 所示.若带电 粒子在磁场中运动的时间是

?m
2qB

.求加速电场的加速电压.

A 0.6R C

B D

图 11-3-26

26.如图 11-3-27 所示,一个初速度为零的带正电的粒子经过 MN 两平行板间电场加速后,从 N 板上的孔 射出,当带电粒子到达 P 点时,长方形 abcd 区域内出现大小不变、方向垂直于纸面且方向交替变化 的匀强磁场,磁感应强度 B=0.4T.每经过 t ?

?
4

? 10 ?3 s,磁场方向变化一次,粒子到达 P 点时出现的

磁场方向指向纸外,在 Q 处有一静止的中性粒子,PQ 间距离 s=3.0m,PQ 直线垂直平分 ab、cd.已 知 ab=1.6m,带电粒子的荷质比为 1.0×104 C/kg,不计重力.求: (1)加速电压为 200V 时带电粒子能否与中性粒子碰撞? a d (2)画出它的轨迹; (3)能使带电粒子与中性粒子碰撞时,加速电压的最大值为多大? Q P

b +

c N M
图 11-3-27

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27.某空间存在着一个变化的电场和一个变化的磁场,电场方向向右(如图 11-3-28(a)中由 B 到 C 的方 向) ,电场变化如图(b)中 E-t 图象,磁感应强度变化如图(c)中 B-t 图象.在 A 点,从 t=1 s(即 1 s)开始,每隔 2 s,有一个相同的带电粒子(重力不计)沿 AB 方向(垂直于 BC)以速度 v 射出,恰 能击中 C 点, AC ? 2BC 且粒子在 AC 间运动的时间小于 1 若 s,求
B C E0 v B0 E B

(1)图线上 E0 和 B0 的比值,磁感应强度 B 的方向. (2)若第 1 个粒子击中 C 点的时刻已知为(1+Δt)s,那么 A 第 2 个粒子击中 C 点的时刻是多少? (a)

O

2

4 6 (b) 图 11-3-28

t/s

O

2

4 6 8 (c)

28.如图 11-3-29 所示,有两个方向相反,均垂直于纸面的匀强磁场,磁感应强度分别为 B 和 2B,MN 是 它们的分界面,有一束电量均为 q,但质量不全相同的带电粒子,经相同的电势差 U 加速后从分界面 上的 O 点垂直于分界面射入磁场,求: (1)质量多大的粒子可到达距 O 点为 L 的分界面上的 P 点? (2)这些不同的粒子到达 P 点需要的时间最长是多少?
v0 M O 2B B N P

图 11-3-29 第 35 页 共 35 页

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29.如图 11-3-30(a)所示 x≥0 的区域有如图(b)所示大小不变、方向随时间周期性变化的磁场,磁场方 向垂直纸面向外时为正方向,现有一质量为 m,带电量为 q 的正电粒子,在 t=0 时刻从坐标原点 O 以 速度 v 沿着与 x 轴正方向成 75°射入.粒子运动一段时间到达 P 点,P 点坐标为( a , a ),此时粒子速 度方向与 OP 延长线的夹角为 30°,粒子在这过程中只受磁场力作用. (1)若 B0 为已知量,试求粒子在磁场中运动时轨道半径 R 及磁场 B 变化的周期 T 的表达式 (2) 说明在 OP 间运动时时间跟所加磁场的变化周期 T 之间应有什么样的关系才能使粒子完成上述运 动. (3)若 B0 为未知量,那么所加磁场的变化周期 T、磁感应强度 B0 的大小各应满足什么样的条件,才 能使粒子完成上述运动? B y B0 v0
T 2T

t

-B0 a x
图 11-3-30

b

30.一质量为 m, 电量为 q 的负电荷在磁感应强度为 B 的匀强磁场中绕固定的正电荷沿固定的光滑轨道做匀 速圆周运动,若磁场方向垂直于它运动的平面,且作用在负电荷的电场力恰好是磁场力的三倍,则负电荷 做圆周运动的角速度可能是( )

A.

B.

C.

D.

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31. (07 宁夏)在半径为 R 的半圆形区域中有一匀强磁磁场的方向垂直于纸面,磁感应强度为 B。一 质量为 m,带有电量 q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径 AD 方向经 P 点(AP=d)射入磁场(不计重 力影响) 。 ?如果粒子恰好从 A 点射出磁场,求入射粒子的速度。 ?如果粒子经纸面内 Q 点从磁场中射出, 出射方向与半圆在 Q 点切线方向的 夹角为φ (如图) 。求入射粒子的速度。

32. (新题)如图以 ab 为边界的二匀强磁场的磁感应强度为 B1=2B2,现有一质量为 m 带电+q 的粒子 从 O 点以初速度 V0 沿垂直于 ab 方向发射;在图中作出粒子运动轨迹,并求出粒子第 6 次穿过直线 ab 所 经历的时间、路程及离开点 O 的距离。 (粒子重力不计)

33.一质量 m、带电 q 的粒子以速度 V0 从 A 点沿等边三角形 ABC 的 AB 方向射入 强度为 B 的垂直于纸面的圆形匀强磁场区域中,要使该粒子飞出磁场后沿 BC 射出, 求圆形磁场区域的最小面积。

34.如图所示真空中宽为 d 的区域内有强度为 B 的匀强磁场方向如图,质量 m 带电-q 的粒子以与 CD 成θ 角的速度 V0 垂直射入磁场中; 要使粒子必能从 EF 射出则初速度 V0 应满足什么条件?EF 上有粒子射出 的区域?
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【备考资源】
1.(2009·安徽高考)如图 5-1-9 是科学史上一张著名的实验照片,显示一个带 在云室中穿过某种金属板运动的径迹.云室放置在匀强磁场中,磁场方向垂直 里.云室中横放的金属板对粒子的运动起阻碍作用.分析此径迹可知粒子( A.带正电,由下往上运动 B.带正电,由上往下运动 C.带负电,由上往下运动 D.带负电,由下往上运动 2.(2008·广东高考)带电粒子进入云室会使云室中的气体电离,从而显示其 运动轨迹.图 5-1-10 是在有匀强磁场的云室中观察到的粒子的轨迹,a 和 b 是轨迹上的两点,匀强磁场 B 垂直纸面向里.该粒子在运动时,其质量和电量 不变,而动能逐渐减小,下列说法正确的是( A.粒子先经过 a 点,再经过 b 点 B.粒子先经过 b 点,再经过 a 点 C.粒子带负电 D.粒子带正电 3.如图 5-1-11 所示,ABC 为与匀强磁场垂直的边长为 a 的等边三角形,比荷为 e/m 的电子以速度 v0 从 A 点沿 AB 边出射,欲使电子经过 BC 边,则磁感应强度 B 的取值为( ) ) ) 电粒子 照片向

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4.如图所示,两个横截面分别为圆形和正方形、但磁感应强度均 相同的匀强磁场,圆的直径 D 等于正方形的边长,两个电子以相 同的速度分别飞入两个磁场区域,速度方向均与磁场方向垂直.进 入圆形区域的电子速度方向对准了圆心,进入正方形区域的电子 是沿一边的中心且垂直于边界线进入的,则( )

A.两个电子在磁场中运动的半径一定相同 B.两电子在磁场中运动的时间有可能相同 C.进入圆形区域的电子一定先飞离磁场 D.进入圆形区域的电子一定不会后飞离磁场 5.K-介子衰变的方程为 K-→π -+π 0,其中 K-介子和π -介子带负的元电荷 e,π 0 介子不带电.如图所示, 两匀强磁场方向相同,以虚线 MN 为理想边界,磁感应强度分别为 B1、B2.今有一个 K-介子沿垂直于磁场 的方向射入匀强磁场 B1 中,其轨迹为圆弧 AP,P 在 MN 上,K-介子在 P 点时的速度为 v,方向与 MN 垂直. 在 P 点该介子发生了上述衰变.衰变后产生的π -介子沿 v 的反方向以大小为 v 的速度射出,其运动轨迹为 图中虚线所示的“心”形图线.则以下说法中正确的是( A.π -介子的运动轨迹为 PENCMDP )

2? m B.π -介子运行一周回到 P 点用时为 T= B2 e
C.B1=4B2 D.π 0 介子做匀速直线运动 6.(2010·湖雷模拟)如图 8 所示,在加有匀强磁场的区域中,一垂直于磁场方向射入的带电粒子轨迹如 图 8 所示,由于带电粒子与沿途的气体分子发生碰撞,带电粒子的能量逐渐减小,从图中可以看出(
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A、带电粒子带正电,是从 B 点射入的; B、带电粒子带负电,是从 B 点射入的; C、带电粒子带负电,是从 D、带电粒子带正电,是从 点射入的; 点射入的。

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7.(2009·福建高考)图 5-1-12 为可测定比荷的某装置的简化示意图,在第一象限区域内有垂直于纸面向 里的匀强磁场,磁感应强度大小 B=2.0×10-3 T,在 x 轴上距坐标原点 L=0.50 m 的 P 处为离子的入射口, 在 y 轴上安放接收器.现将一带正电荷的粒子以 v=3.5×104 m/s 的速率从 P 处射入磁场,若粒子在 y 轴上距坐标原点 L=0.50 m 的 M 处被观测到,且运动轨迹半径恰好最小,设带 电粒子的质量为 m,电量为 q,不计其重力. (1)求上述粒子的比荷

q ; m

(2) 如果在上述粒子运动过程中的某个时刻, 在第一象限内 再加一个匀强电场,就可以使其沿 y 轴正方向做匀速直线运 场的场强大小和方向,并求出从粒子射入磁场开始计时经过 个匀强电场. 动,求该匀强电 多长时间加这

8. (10 分) 电视机的显像管中, 电子束的偏转是用磁偏转技术实现的。 电子束经过电压为 U 的加速电场后, 进入一圆形匀强磁场区,如图所示。磁场方向垂直于圆面。磁场区的中心为 O,半径为 r。当不加磁场时, 电子束将通过 O 点儿打到屏幕的中心 M 点。为了让电子束射到屏幕边缘 P,需要加磁场,使电子束偏转一 已知角度θ ,此时磁场的磁感应强度 B 应为多大?(已知电子的质量为 m,带电量的大小为 e)
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【学后反思】 洛仑兹力的方向总是既垂直于运动电荷速度方向又垂直于磁场强度方向.因此洛仑兹力不做功. 准确画出带电粒子的运动轨迹,找出几何关系,轨道半径、轨迹对应的圆心角等,是解决此类问题的 重要步骤.

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