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2014届高三第一次质量检测数学试题含答案


2014 届高三第一次质量检测数学试题

1

2

3

4

数学答案
一、选择题答案: 1 C 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 B 9 D 10 C

二、填空题答案: 11、

5? , 6

/>
12、 S 3 ? S1 ? S 2 ,

13、①②③ ,

14、

1 , 10

15、 ?

3 2

三、解答题: 16、 (1) B ?

?
3

;(2)

2? ? A) ? 2 sin A(? cos A ? 3 sin A) 3 ? ? ? 5? ? 3 ? 2 sin(2 A ? ),? 2 A ? ? ( , ) ? 3 3 3 3 4 sin A cosC ? 4 sin A cos(
范围为 [ 3 ? 2, 3 ? 2] 17、证明: (1) ? AS ? AB , AF ? SB , F是AB 的中点,又? E是SA的中点,? G是SC 的 中点,EF 是 ?SAB 的中位线,∴EF//AB,EF//面 ABC 同理 FG//面 ABC, EF ? 面EFG, FG ? 面EFG ∴平面 EFG // 平面 ABC ;

, AF ? SB , ( 2 ) ∵ AB ? BC, 平 面 S A B ? 平 面 S B C

BC ? 面SBC,? AF ? BC
∴ BC ? 面SAB, SA ? 面SAB,? BC ? SA 18、解:

a , f ?( x) ? ln x ? 1 ? ax ,? f (1) ? 1 ? a 2 a 切线为 y ? (1 ? a ) x ? ? 1 2
(1)∵ f (1) ? ? (2)∵ f ( x) 在 (0,??) 上单调递减,∴ f ?( x) ? ln x ? ax ? 1 ? 0 在 (0,??) 上恒成立,

ln x ? 1 ln x ? 1 ln x , g ?( x) ? ? 2 , g ( x) 在 x ? 1 处取得 在 (0,??) 上恒成立 . 令 g ( x) ? x x x 最大值,∴ a ? 1 , a 的最小值为 1.
∴a ? 19、解: (1)设 {an } 的首项为 a1 ,公差为 d , {bn } 的公比为 q ,

5

a1 ? 2 ? 4 ? ? 则 ? a1 ? d ? 2q ? 9 ∴ a1 ? 2, q ? 2, d ? 3 ∴ a n ? 3n ? 1 ?a ? 2d ? 2q 2 ? 16 ? 1
(2) Tn ?

1 1 1 ? ??? 2?5 5?8 (3n ? 1) ? (3n ? 2)

20、

1 1 1 1 1 1 1 ? [( ? ) ? ( ? ) ? ? ( ? )] 3 2 5 5 8 3n ? 1 3n ? 2 1 1 1 1 ? ( ? )? 3 2 3n ? 2 6 (1)证明:∵ AB ? BC ,D 是 AC 的中点,
∴ BD ? AC, 面AC1 ? 面ABC,

面AC1 ? 面ABC ? AC, BD ? 面ABC
∴平面 BC1 D ? 平面 ACC1 A1 BD ? 面AC1, (2)如图建系设 BB1∵=2,则 AB=2 2 ,∴

C1 (2 2,0,0), B(0,2,0), D( 2,2, 2 ) , BC1 ? (2 2,?2,0), BD ? ( 2,0, 2 )
设面 BC1 D 的法向量为 n1 ? ( x, y, z) ,则

? ?2 2 x ? 2 y ? 0 ?n ? BC1 ? 0 ,即 ? , n1 ? (?1,? 2 ,1) , ? ? ? x?z ?0 ? n ? BD ? 0
又∵面 CBC1 的法向量为 n2 ? (0,0,1) ∴两面的夹角 ? 满足: cos? ?|

n1 ? n 2 n1 n2

|?

1 2

??

?
3
x 2

21、设函数 f ( x) ? ( x ? 1)e ? kx (k ? R) (1)当 k ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)当 k ? ? ,1? 时,①求证: ln 2 k ? k ;②求函数 f ( x)在?0, k ? 上的最大值. 2
x 2 x x 解:(1) k ? 1 时, f ( x) ? ( x ? 1)e ? x , f ?( x) ? xe ? 2x ? x(e ? 2)

?1 ? ? ?

令 f ?( x) ? 0, 则x ? 0或x ? ln 2 ,增区间为 (??,0), (ln 2,??) ,减区间为 (0, ln 2) ;

6

(2)①令 h(k ) ? ln 2k ? k , 则h?(k ) ?

1? k ? 0,? h(k ) 增,又∵ h(1) ? ln 2 ? 1 ? 0 k

∴ h(k ) ? ln 2k ? k ? 0, ln 2k ? k ② ∵

f ?( x) ? x(e x ? 2k )



f ( x)在(0,??)













x ? ln 2k ,当0 ? x ? ln 2k时,f ?( x) ? 0,当ln 2k ? x ? k时,f ?( x) ? 0
∴ f ( x)在[0, ln 2k ]减, [ln 2k , k ]增,f ( x) max ? f (0)或f (k ) ,比较 f (0)与f (k ) 的大小得

?1 ? g (k ) ? f (k ) ? f (0) ? (k ? 1)e k ? k 3 ? 1, k ? ? , k ? ?2 ? g ?(k ) ? ke k ? 3k 2 ? k (e k ? 3k ) ?1 ? 令G (k ) ? e k ? 3k , k ? ? ,1?, G ?(k ) ? e k ? 3 ? 0 ?2 ? 1 3 G (k ) 减,∵ G ( ) ? e ? ? 0, G (1) ? e ? 3 ? 0 , G (k ) 有唯一零点 k0, 2 2 1 ∴当 ? k ? k 0 时, g ?(k ) ? k (e k ? 3k ) ? kG(k ) ? kG(k0 ) ? 0 2
当 k 0 ? k ? 1 时, g ?(k ) ? k (e k ? 3k ) ? kG(k ) ? kG(k0 ) ? 0

1 g (k )在( , k 0 ]上增,在 [k 0 ,1]上减 2 1 g (k ) 的最小值是 g ( )或g (1) 2

1 7?4 e g( ) ? ? 0, g (1) ? 0 ,∴ g (k ) ? 0 , f ( x) 的最大值为 f (k ) ? (k ? 1)e k ? k 3 2 8

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