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《1.3.3进位制》课件


案例3

进位制

[问题1]我们常见的数字都是十进制的,但是并 不是生活中的每一种数字都是十进制的.比 如时间和角度的单位用六十进位制,电子计 算机用的是二进制.那么什么是进位制?不 同的进位制之间又有什么联系呢?
进位制是人们为了计数和运算的方便而约定的 一种记数系统,约定满二进一,就是二进制; 满十进一,就是十进制;满十六

进一,就是十 六进制;等等.

“满几进一”,就是几进制,几进制的基数就是几.
可使用数字符号的个数称为基数.基 数都是大于1的整数.

如二进制可使用的数字有0和1,基数是2; 十进制可使用的数字有0 , 1 , 2 , ? , 8 , 9等 十个数字,基数是10; 十六进制可使用的数字或符号有0 ~ 9等10 个数字以及A ~ F等6个字母(规定字母A ~ F对应 10~15),十六进制的基数是16.

注意:为了区分不同的进位制,常在数字的 右下脚标明基数. 如111001(2)表示二进制数,34(5)表示5进制数. 十进制数一般不标注基数.

[问题2]十进制数3721中的3表示3个千,7 表示7个百,2表示2个十,1表示1个 一,从而它可以写成下面的形式: 3721=3×103+7×102+2×101+1×100. 想一想二进制数1011(2)可以类似的写 成什么形式? 1011(2)=1×23+0×22+1×21+1×20.

同理: 3421(5)=3×53+4×52+2×51+1×50.
C7A16(16)=12×164+7×163+10×162 +1×161+6×160.

一般地,若k是一个大于1的整数,那么以 k为基数的k进制数可以表示为一串数字连 写在一起的形式

anan-1…a1a0(k) (0<an<k,0≤an-1,…,a1,a0<k)
意思是:(1)第一个数字an不能等于0; (2)每一个数字an,an-1,…,a1,a0都须小于k. k进制的数也可以表示成不同位上数字与 基数k的幂的乘积之和的形式,即

anan-1…a1a0(k)=an×kn+an-1×kn-1

注意这是一 +…+a1×k1+a0×k0 . 个n+1位数.

[问题3]二进制只用0和1两个数字,这 正好与电路的通和断两种状态相 对应,因此计算机内部都使用二进 制.计算机在进行数的运算时,先把 接受到的数转化成二进制数进行 运算,再把运算结果转化为十进制 数输出. 那么二进制数与十进制数之 间是如何转化的呢?

例1:把二进制数110011(2)化为十进制数. 分析:先把二进制数写成不同位上数 字与2的幂的乘积之和的形式,再按照十进 制数的运算规则计算出结果. 解:110011(2) =1×25+1×24+0×23+0×22+1×21+1×20 =1×32+1×16+1×2+1=51.

[问题4]你会把三进制数10221(3)化为十进制数吗?
解:10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31 +1×30 =81+18+6+1=106.

k进制数转化为十进制数的方法
先把k进制的数表示成不同位上数字 与基数k的幂的乘积之和的形式,即 anan-1…a1a0(k)

=an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 .
再按照十进制数的运算规则计算出结果.

设计一个算法,把k进制数a(共有n位数)转 化成十进制数b。 开始
算法步骤: s1,输入a,b,n的值。 s2,赋值b=0,i=1。 s3,b=b+ai· ki-1,i=i+1。
s4,判断i>n是否成立。若 是,则执行s5;否则, 返回s3。 s5,输出b的值。
输入a,k,n b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki-1 i=i+1 i>n? Y 输出b
结束

N

设计一个算法,把k进制数a(共有n 位数)转化成十进制数b。
开始

输入a,k,n
b=0 i=1 把a的右数第i位数字赋给t b=b+t· ki-1 i=i+1 i>n? Y 输出b
结束

N

程序: INPUT “a,k,n=”;a,k,n b=0 i=1 t=amod10 DO b=b+t*k^(i-1) a=a\10 t=amod10 i=i+1 LOOP UNTIL i>n PRINT b END

例2:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的运算式为:

89 = 5 ? 17 + 4 = 5 ? (5 ? 3 + 2) + 4 = 3 ? 52 + 2 ? 5 + 4 = 324(5)
5 89 5 17 5 3 0 余数 4 2 3

∴ 89=324(5).

例3:把89化为二进制的数. 分析:把89化为二进制的数,需想办法将 89先写成如下形式

89=an×2n+an-1×2n-1+…+a1×21+a0×20 .
89=64+16+8+1=1×26+0×25+1×24 +1×23+0×22+0×21+1×20 =1011001(2).
但如果数太大,我们是无法这样凑出来的,怎么办?

89=44×2+1, 44=22×2+0, 11=5×2+1, 2=1×2+0,

22=11×2+0, 5=2×2+1, 1=0×2+1,

例3:把89化为二进制的数.

我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余 余数 2 89 数从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.

例4 设计一个程序,实现“除k取余法” 步骤: s1,给定十进制正整数a和转化后的数的基数k. s2,求出a除以k所得的商q,余数r. s3,把得到的余数依次从右到左排列. s4,若q=0则输出全部余数r排列得到的k进制数; 否则a=q,返回s2.

开始

输入a,k 求出a除以k所得的商q 求出a除以k所得的余数r
把所得的余数依次从右到左排列

a=q q=0?
Y
输出全部余数r排列得到的k进制数

N

结束

程序: INPUT “a,k=”;a,k b=0 i=0 DO q=a\k r=aMODk b=b+r﹡10^i i=i+1 a=q LOOP UNTIL q=0 PRINT b END

思考 你会把三进制数10221(3)化为二进制数吗? 解:第一步:先把三进制数化为十进制数: 10221(3)=1×34+0×33+2×32+2×31+1×30 =81+18+6+1=106.

第二步:再把十进制数化为二进制数: 106=1101010(2).
∴10221(3)=106=1101010(2).


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