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高二文科数学圆锥曲线五基础训练一


高二文科数学圆锥曲线(五) 基础训练(一)
1 . k 为何值时,直线 y=kx+2 和椭圆 2x ? 3 y ? 6 有两个交点
2 2

5. 若椭圆

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? n ? 0) 和双曲线 ? ? 1(a ? b ? 0) 有 a b m n

10. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 右两焦点分别为 F1 , F2 , a2 b2

相同的焦点 F1 、 F2 ,P 是两曲线的一个公共点,则 | PF 1 | ? | PF2 | 的 值是( ) A.m-a B.

? 点 A 在椭圆上, AF 1 AF2 ? 45 ,则椭圆的离心率 1 ?F 1 F2 ? 0 , ?F

e 等于 (
1 (m ? a) 2
C. m ? a
2 2

) B. 2 ? 1 C. 3 ? 1 D.

( A.—



D. m ? a

A.

6 6 <k< 3 3 6 3
?k?

B.k>

6 6 或 k< — 3 3 6 6 或 k? — 3 3

3 3

5 ?1 2

【答案】A 【解析】设 P 是第一象限的交点,由定义可知 ?

【答案】B

C.—

6 3

D.k ?

? ? PF1 ? PF2 ? 2 m ? ? PF1 ? PF2 ? 2 a

? 由 AF ? AF1 ? F1F2 1 AF2 ? 45 , 1 ?F 1F 2 ,又 ?F 1 ?F 1 F2 ? 0 得 AF

【答案】B 【解析】 试题分析:由 ?

? PF1 ?PF2 ? m ? a
? y ? kx ? 2 可得 :( 2+3k2 ) x2+12kx+6=0 ,由 2 2 ?2 x ? 3 y ? 6
6 6 或 k< — ,此时直线和椭圆 3 3
6.已知点 F1 (?4,0) 和 F2 (4,0) ,曲线上的动点 P 到 F1 、 F2 的距离 之差为 6,则曲线方程为()



b2 ? 2c ,整理的 c2 ? 2ac ? a 2 ? 0 ?e2 ? 2e ? 1 ? 0, e ? 2 ? 1 a

11.中心在原点,焦点在 x 轴上,若长轴长为 18,且两个焦点恰好 将长轴三等分,则此椭圆的标准方程为___________

△=144k2-24(2+3k2)>0 得 k> 有两个公共点。

x2 y2 ? ?1 A. 9 7 x2 y2 y2 x2 ? ? 1或 ? ?1 C. 9 7 9 7
【答案】D

y2 x2 ? ? 1( y ? 0) B. 9 7 x2 y2 ? ? 1( x ? 0) D. 9 7

【答案】 【解析】

x2 y2 ? ?1 81 72

试题分析:椭圆长轴的长为 18,即 2a=18,得 a=9,因为两个焦点恰 好将长轴三等分,∴2c= ) 再结合椭圆焦点在 y 轴上,可得此椭圆方程为

2.抛物线 y ? 4x 上一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是
2

( A. 0

) B.

15 16

C.

7 8

D.

17 16

x2 y2 x2 y2 ? ? 1和 ? ?1有 ( 7.已知 k <4,则曲线 9 4 9?k 4?k
A. 相同的准线 C. 相同的离心率 【答案】B 8.抛物线 y ? ax2 (a ? 0) 的焦点坐标是( ) A .? B. 相同的焦点 D. 相同的长轴

1 ?2a=6,得 c=3,因此,b2=a2-c2=81-9=72, 3

x2 y2 ? ? 1. 72 81

【答案】A 试题分析:设 M ?x0 , y0 ? ,因为 M 到焦点的距离为 1,所 以 x0 ? 1 ? 1 ,所以 x0 ? 0 ,代入抛物线方程 y ? 4x 得 y0 ? 0 。
2

12.过椭

x2 y2 + =1 的右焦点作一条斜率为 2 的直线与椭圆交于 5 4

3.过点(0,1)与双曲线 共有 ( A.1 条 【答案】D )

x ? y ? 1 仅有一个公共点的直线
2 2

A、B 两点,O 为坐标原点,求弦 AB 的长_______【答案】 D. ? 0,?

5 5 3

B.2 条

C.3 条

D.4 条

?1 ? a,0 ? ?2 ?

B. ? 0,

? ?

1 ? a? 2 ?

C. ? 0,

? ?

1 ? ? 4a ?
2 2

? ?

1 ? ? 4a ?

13.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一个焦点 F 作一条渐近线 a 2 b2

【答案】C 9.抛物线 y ? 12 x 的准线与双曲线
2

的垂线,若垂足恰在线段 OF ( O 为原点)的垂直平分线上,则双曲线

4.椭圆的一个顶点和两个焦点构成等腰直角三角形,则此椭圆的离 心率为( A. )

x y ? ? 1 的两条渐近线所围 9 3

的离心率为

.【答案】 2
2 2 2

成的三角形面积等于(

) B. 2 3 C.2 D. 3

14.过点 (1, 2) 总可作两条直线与圆 x ? y ? kx ? 2 y ? k ?15 ? 0 相切,则实数 k 的取值范围是 【答案】 2 ? k ? .

1 2

B.

3 2

C.

2 2

D.

3 3

A. 3 3 【答案】A

【答案】C

8 3 8 3 或? ? k ? ?3 3 3

【 解 析 】 x2 ? y 2 ? kx ? 2 y ? k 2 ?15 ? 0 表 示 圆 需 要 满 足

所以 sin∠F1PF2=

k 2 ? 22 ? 4(k 2 ?15) ? 0 ,解得 ?

8 3 8 3 ,又因为过圆外一 ?k? 3 3

5 7 ,所以 S ?PF1F2 =|PF1||PF2|sin∠F1PF2= 15 7 。 16

A(x1,y1),B(x2,y2)两点,抛物线的顶点是 O . (ⅰ)证明: OA ? OB 为定值; (ⅱ)若 AB 中点横坐标为 2,求 AB 的长度及 L 的方程.
2 【解析】 (ⅰ) 设直线 L 的方程为 x ? m y ? 1 ,代入 y ? 4 x ,得
2 y12 y 2 ? ?1, y ? 4my ? 4 ? 0 ,∴ y1 y 2 ? ?4 ,∴ x1 x2 ? 4 4

18.(本题满分 12 分)双曲线与椭圆 点( 15 ,4),求其方程. 解:椭圆

点可以作两条直线与圆相切,所以点 (1, 2) 在圆外, 所以 12 ? 22 ? k ? 2 ? 2 ? k 2 ? 15 ? 0 ,所以 k ? ?3 或 k ? 2 ,

x y ? ? 1 有相同焦点,且经过 27 36

2

2

8 3 8 3 综上所述,实数 k 的取值范围是 2 ? k ? 或? ? k ? ?3 3 3
15.已知抛物线 C : x ? 2 py( p ? 0) 上一点 A( m, 4) 到其焦点的距离为
2

y 2 x2 ? ? 1 的焦点为(0,?3),c=3, 36 27

2

5 ,则 m=

.【答案】 ?4 .

y2 x2 ? 1, 设双曲线方程为 2 ? a 9 ? a2
16 15 ? 1 得 a2=4 或 36,而 a2<9,∴a2=4, ∵过点( 15 ,4),则 2 ? a 9 ? a2
双曲线方程为

∴ OA ? OB = x1 x2 ? y1 y2 ? -3 为定值; (ⅱ) L 与 X 轴垂直时,AB 中点横坐标不为 2,
2 设 直 线 L 的 方 程 为 y ? k ( x ? 1) , 代 入 y ? 4 x , 得

16. 在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 C 的中心为原点,焦点 F1 , F2 在 离心率为 x 轴上,

k 2 x 2 ? 2(k 2 ? 2) x ? k 2 ? 0 ,
∵AB 中点横坐标为 2,∴

2 。 过 F1 的直线交椭圆 C 于 A, B 两点, 且 ?ABF2 2

y 2 x2 ? ?1. 4 5

的周长为 16,那么 C 的方程为

x2 y 2 ? ?1 。 【答案】 16 8

2(k 2 ? 2) ? 4 ,∴ k ? ? 2 , k2

19. (本题满分 12 分)
2 2 已知椭圆 4 x ? y ? 1 及直线 y ? x ? m .

L 的方程为 y ? ? 2 ( x ? 1) .
|AB|= x1 ? x2 ? 2 = 22.已知椭圆 G:

?c ? ? 2 【解析】 有题意易知:? a 所以 a ? 4,b ? 2 2,c ? 2 2 , 2 , ? 4 a ? 16 ?
x2 y 2 ? ?1 所以 C 的方程为 16 8 。
x2 y2 ? ? 1 ,F 1 , F2 分别为它的左、右焦点,P 为 17.已知双曲线 4 21
双曲线上一点,且 PF 1 F2 的面积 1, F 1 F2 , PF 2 成等差数列,则 ?PF 为 【解析】 试 题 分 析 : 不 妨 设 P 为 双 曲 线 右 支 上 一 点 , 则 |PF1|-|PF2|=4………………① 又 |PF1| , |F1F2| , |PF2| 成 等 差 数 列 , |F1F2|=10 , 所 以 |PF1|+|PF2|=20………………② 由 ①② 可 得 |PF1|=12 , |PF2|=8 . 所 以 由 余 弦 定 理 得 : cos∠F1PF2= . 【答案】 15 7

(1)当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点? (2)若直线被椭圆截得的弦长为

2(k 2 ? 2) ? 4 ? 2 ? 6 ,AB 的长度为 6. k2
x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F 为 (2 2 ,0) , a2 b2

2 10 ,求直线的方程. 5

2 2 【解析】 ( 1 )把直线方程 y ? x ? m 代入椭圆方程 4 x ? y ? 1 得

G 上的点到点 F 的最大距离为 2( 3 ? 2 ) ,斜率为 1 的直线 l 与椭 圆 G 交与 A 、 B 两点,以 AB 为底边作等腰三角形,顶点为 P(-3,2)

4x2 ? ?x ? m? ? 1 ,
2

5x 2 ? 2mx? m2 ? 1 ? 0
? ? ?2m? ? 4 ? 5 ? m2 ?1 ? ?16m2 ? 20 ? 0
2



(1)求椭圆 G 的方程; (2)求 ?PAB 的面积。 【解析】 (1)因为椭圆 G:

?

?







?

5 5 . ?m? 2 2

x2 y2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点 F 为 a2 b2

(2 2 ,0) ,所以 c= 2 2 ,
因 为 G 上 的 点 到 点 F 的 最 大 距 离 为 2( 3 ? 2 ) , 所 以
2 2 2 a+c= 2( 3 ? 2 ) , 又因为 a ? b ? c , 所以 a= 2 3 , b=2, c= 2 2 ,

(2)设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 x1 , x2 ,由(1)得

x1 ? x2 ? ?

2m m2 ? 1 , x1 x2 ? . 5 5
2

根据弦长公式得 : 1 ? 1 ? ? ?

m 2 ? 1 2 10 ? 2m ? ? . 解得 ? ? 4? 5 5 ? 5 ?

2

所以椭圆 G 的方程为

x2 y2 ? ? 1。 12 4

(2)易知直线 l 的斜率存在,所以设直线 l 为: y ? x ? m ,联立椭

122 ? 8 2 - 102 9 ? , 2 ? 12 ? 8 16

m ? 0 .方程为 y ? x .
2 20 . (本小题满 分 12 分)过点 (1,0) 直线 L 交抛物线 y ? 4 x 于

? y ? x?m ? 2 2 圆 方 程 ? x2 得 : 4 x ? 6mx ? 3m - 12 ? 0 , 设 y2 ? ? 1 ? ? 12 4

A( x1 , y1 ),B(x 2,y 2 )
x1 ? x 2 ? -





故 kMA· kMB= ?

3m 3m 2 - 12 m ,x1 x2 ? , y1 ? y 2 ? , 2 4 2

1 ,即直线 MA,MB 的斜率之积为定值。 4

②解法一: 设 P(4, y1), Q(4, y2), 则 kMA=kPA=

过点 P(-3,2)且与 l 垂直的直线为: y ? - x - 1 ,A、B 的中点 M 在 此直线上,所以 m ? 2. 所以 A、B 的中点坐标为 M( - , ) ,所以|PM|= 由①得

y1 y kMB=kBQ= 2 6 , 2 ,

y1 y2 1 ? ?? 即 y1y2=-3,当 y1>0,y2<0 时,|PQ|=|y1- 6 2 4,

3 1 2 2

3 2 , 2
9 。 2

y2|≥2

? y1 y2 = 2 3



当且仅当 y1= 3 ,y2=- 3 时等号成立.

又|AB|= 1 ? k 2 | x 1 - x 2 |? 3 2 ,所以 S= ? | PM || AB |? 22 . ( 15 分 ) 已 知 椭 圆 C :

1 2

同理,当 y1<0,y2>0 时,当且仅当 y1=? 3 ,y2= 3 时,|PQ|有 最小值 2 3 . 解法二:设直线 MA 的斜率为 k,则直线 MA 的方程为 y=k(x+2), 从而 P(4,6k) 由①知直线 MB 的斜率为 ? 2), 故得 Q (4, ?

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0), 以 双 曲 线 a 2 b2

x2 ? y 2 ? 1的焦点为顶点,其离心率与双曲线的离心率互为倒数. 3
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若椭圆 C 的左、右顶点分别为点 A,B,点 M 是椭圆 C 上异于 A, B 的任意一点. ①求证:直线 MA,MB 的斜率之积为定值; ②若直线 MA,MB 与直线 x=4 分别交于点 P,Q,求线段 PQ 长度 的最小值. (1)易知双曲线 【解析】 为

1 1 ,则直线 MB 的方程为 y= ? (x- 4k 4k

1 3 1 ), 故P 当且仅当 k ? ? 时 Q ?6 k ? ? 2 3 , 2k 6 2k

等号成立,即|PQ|有最小值 2 3 .

x2 ? y 2 ? 1的焦点为(-2,0),(2,0),离心率 3

2 3 则在椭圆 C 中 a=2,e= 2 , 3,
b=1,所以椭圆 C 的方程为 ,

故在椭圆 C 中 c= 3

x2 ? y2 ? 1 4

(2)①设 M(x0,y0)(x0≠±2),由题易知 A(-2,0),B(2,0), 则 kMA =

y0 y0 y0 y0 kMB = 故 kMA· kMB = x0 ? 2 , x0 ? 2 , x0 ? 2 x0 ? 2 =

y0 2 x0 2 ? 4 ,
点 M 在椭圆 C 上, 则

1 x0 2 x2 ? y0 2 ? 1 即 y0 2 ? 1 ? 0 ? ? ( x0 2 ? 4) , 4 4 4 ,


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