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二元一次不等式组与平面区域线性规划1.2


想 问题 一 在平面直角坐标系中,直线x+y-1=0 想 将平面分成几部分呢? y? 答:分成三部分:
1

(1)点在直线上
1

0

x (2)点在直线的右上方
x+y-1=0

(3)点在直线的左下方

?不等式x+y-1>0对应平面内哪部分的点呢?

探索规律

表示直线x +y-1=0 (1,1) (0,0) 右上方的平面区域; (2,0) (-1,0) 2、点集{(x,y)|x+y-1<0} 代入点的坐标 表示直线 x) +y-1=0 (2,1 (-1,1) 左下方的平面区域。 (-1,-1) (2,2) 3、直线x+y-1=0 正 叫做这两个 负 x+y-1值的正负 区域的边界。

区域内的点

直线上的点的坐标满足x+y-1=0,那么直 线两侧的点的坐标代入x+y-1中,也等于 0吗?先完成下表,再观察有何规律呢? y 1、点集{(x,y)|x+y-1>0}
右上方点 左下方点

1

0

1

x x+y-1=0

同侧同号,异侧异号

画二元一次不等式表示的平面区域的步骤: 1、一般地,在平面直角坐标系中,二元一次不等式 Ax+B y+C>0表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的 1、线定界(注意边界的虚实) 平面区域,我们把直线画成虚线,以表示区域不包含 边界;不等式 Ax+By+C≥0表示的平面区域包括边界, 把边界画成实线。 由于直线同侧的点的坐标代入Ax+By+C中,所得 2、 2、点定域(代入特殊点验证) 实数符号相同,所以只需在直线的某一侧取一个 特别地,当C≠0时常把原点作为特殊点。 特殊点代入Ax+By+C中,从所得结果的正负即可 判断Ax+By+C>0表示哪一侧的区域。

方法总结:

典例精析 题型一:画二元一次不等式表示的区域 例1、画出 x+4y<4 表示的平面区域

y
x+4y>4

(1)x +4y>4 变式: (2)x-y-4<0 (3)x-y-4>0

x+4y=4

o

x
x+4y<4

y
o
x-y-4>0 x-y-4=0

x

题型二:画二元一次不等式组表示的区域

例2、画出不等式组表示的平面区域。

y

x-y+5≥0 x+y≥0 x ≤3
画二元一次不等式组表 分析: 由于所求平面区域的点的坐
示的平面区域的步骤: 标需同时满足两个不等式, 因此二元一次不等式组表示 的区域是各个不等式表示的 区域的交集,即公共部分。
-5

x-y+5=0
5

o

x
4

x+y=0 x=3

跟踪练习

如图,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y)所在区域应为:( )
y 1 O y 1 O 2 2

B y
O y 1

1

(A)

χ

2

χ

(B)

(C)

χ

O

2

(D)

χ

题型五:综合应用

例 4、 试确定m的范围,使点(1,2)和 (1,1)在3x-y+m=0的异侧。 变式:若在同侧,m的范围又是什么呢?
解析: 由于在异侧,则( 解析 : 由于在同侧,则(1 1, ,2 2)和( )和(1 1, ,1 1) )
代入 代入3x-y+m 3x-y+m 所得数值异号, 所得数值同号, 则有( <0 0 则有(3-2+m 3-2+m)( )(3-1+m 3-1+m) )>

所以( <0 所以(m+1 m+1) )(m+2) (m+2)> 0
即: 即:-2<m<-1 m <-2或m>-1

题型四:综合应用

x-y+5≥0

例 5、 求二元一次不等式组 y≥2
0≤x≤2

y
5

C x-y+5=0 D

所表示的平面区域的面积
解析: 如图,平面区域为直角梯形,易得 A(0,2),B(2,2),C(2,7),D(0,5)

所以AD=3,AB=2,BC=5
故所求区域的面积为 1 S= ?3 ? 5?? 2 ? 8 2 -5

2A

B
2 x=2

y=2

o

x

y
求表示图中阴影部分 的不等式组 1 0 y=-1
B

x-y=0 1
(2,-1) A

x

(-1,-1)

某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品,每生产一件 甲产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙产品使用4个B配 件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配 件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
把有关数据列表表示如下:
甲产品 (1件) 乙产品 (1件) 0 4 2 资源限额

资源
A种配件 B种配件 所需时间 4 0 1 ≤16 ≤12

≤8

设甲、乙两种产品分别生产x、y件.

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
y
4

y?3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

设甲、乙两种产品分别生产x、y件,由己知 条件可得二元一次不等式组:
? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.
y
4

y?3
2

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

若生产一件甲产品获利2万元,生产一件乙产品 获利3万元,采用哪种生产安排利润最大? 设生产甲产品 x 件,乙产品 y 件时,工厂获得 的利润为 z ,则 z ? 2 x ? 3 y.
y
2x ? 3 y ? 0
4 B N M

y?3

2

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? ? ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

z ? 2x ? 3 y

不等组(1)是一组对变量 x、 y 的约束条件,这组约束条 件都是关于 x、 y 的一次不等式, 所以又称为线性约束条件.

函数 z ? 2 x ? 3 y 称为目标函 数,又因这里的 z ? 2 x ? 3 y 是 关于变量 x、 y 的一次解析式, 所以又称为线性目标函数.

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题, 统称为线性规划问题.

满足线性约束条 件的解 ( x , y ) 叫做 可行解.

y
4

由所有可行解组 成的集合叫做可行域.

y?3
2x ? 3 y ? 0
2 M

使目标函数取得 最大值或最小值的可 行解叫做线性规划问 题的最优解.

o

2

4

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

? x ? 2 y ? 8, ? 4 x ? 16, ? 在线性约束条件 ? 下, ? 4 y ? 12, ? x ? 0, ? ? ? y ? 0.

求(1)目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值; (2)目标函数 z ? x ? y 的最大值和最小值.
y
4
x? y ?0

B
x ? 2y ? 0

N
M

y?3

2

o

2

4A

6

8

x
x ? 2y ? 8 ? 0

x?4

解决线性规划问题的步骤:画,移,求,答

①画——画出可行域,画出l0:ax+by=0 ②移——平移l0,b>0时,越往上移z越大, b<0时,越往上移z越小. ③求——解有关的方程组求出最优解的坐标,再 代入目标函数,求出最值. ④答

举一反三

x-y≥0 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=2x-y最大值与最小值 。

y
x+y=1 1 0
C

y=2x

①作可行域(如图) 解:

x-y=0
x 1
(2,-1) A

②由z=2x-y得y=2x-z,因此平行移动 直线y=2x,若直线截距-z取得最大 值,则z取得最小值;截距-z取得最 小值,则z取得最大值.

y=-1

③因此z在A(2,-1)处取得最大值, 即Zmax=2×2+1=5; 在B(-1,-1)处取得最小值, 即Zmin=2×(-1)-(-1)=-1。 ④综上,z最大值为5;z最小值为-1.

B(-1,-1)

变式演练

x-y≥0 设x,y满足约束条件: x+y-1 ≤ 0 y ≥ -1
求z=-x-y最大值与最小值 。

y x+y=1 1 0
C

①作可行域(如图) 解:

y=-x

x-y=0 x

②由z=-x-y得y=-x-z,因此平行移动 直线y=-x,若直线截距-z取得最大值, 则z取得最小值;截距-z取得最小值, 则z取得最大值. y=-1 ③因此z在B(-1,-1)处截距-z取 得最小值,z取得最大值即Zmax=2; 在边界AC处取得截距-z最大值, z取得最小值即Zmin=-2-(-1)=-1。

1
(2,-1) A

B(-1,-1)

?5x+3y≤15, ? ? 【变式1】 已知 x,y 满足约束条件?y≤x+1, ? ? ?x-5y≤3. 的最大值和最小值.
解:

求 z=3x+5y

由图知,当平移l0至经过点A时,z取最大值 当平移l0至经过点B时,z取最小值

5 ? z max ? 3 ? 3 ? 5 ? 2 2 ? 17

?5x ? 3 y ? 15 3 5 ? A( , ), ? 2 2 ? y ? x ?1

?y ? x ?1 ? B(?2,?1) ? ?x ? 5 y ? 3

z min ? ?11


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