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直线与椭圆的位置关系1101


直线与椭圆的位置关系

复习:判断直线与圆的位置关系的方法
方法一:几何法。

利用圆心到直线的距离d与圆半径r之间的关 系判断。 d>r——直线与圆相离 d=r——直线与圆相切 d<r——直线与圆相交

方法二:代数法(判别式法)

即将已知直线方程代入圆方程,消元

/>得一元二次方程,利用△判别解的个数。 △>0 直线与圆有两个交点——相交

△=0 直线与圆有一个交点——相切
△<0 直线与圆没有交点——相离

问题:椭圆与直线的位置关系?

问题:怎么判断它们之间的位置关系?能用几何法吗? 不能! 因为他们不像圆一样有统一的半径。 所以只能用代数法

一、直线与椭圆的位置关系的判定 代数法
由方程组: x 2
a
2

Ax+By+C=0
? y b
2 2

这是求解直线与二 mx2+nx+p=0(m≠ 0) 次曲线有关问题的 通法。 2
= n -4mp >0 =0 <0
方程组有两解 方程组有一解 方程组无解 两个交点 一个交点 无交点 相交 相切 相离

?1

例1.已知直线y=x的位置关系。
解:联立方程组
1 y? x? 2

1 2

与椭圆x2+4y2=2,判断它们

消去y

x2+4y2=2 因为 ?=36>0,所以方程(1)有两个根, 则原方程组有两组解. 所以该直线与椭圆相交.

2 5 x ? 4 x ? 1 ? 0 ----- (1)

例2 判断直线kx-y+3=0与椭圆 系
? y ? kx ? 3 ? 2 2 解 :由 ? x ? y ? ? 1 ? 4 ? 16 ? ? ? 16 ?16 k (1 ) ? ? 0 , 即 k ? ( 2 ) ? ? 0,即 k ? ( 3 ) ? ? 0,即 5 4
2

x

2

?

y

2

? 1的位置关

16
2

4
? 24 k x ? 20 ? 0

?4 x

2

? 1?x

? 5? 5 或k ? ? 5 4 ? k ? 5 4 或k ? ? 5 4 5 4 时,相离 时,相切 时,相交

4

例3 直线y=kx+1(k∈R)与椭圆 求m的取值范围。
? y ? kx ? 1 ? 2 解 : ? x2 y ? ?1 ? m ? 5
2 2 2

x 5

2

?

y

2

?1

恒有公共点,

m

? ( m ? 5 k ) x ? 1 0 kx ? 5 ? 5 m ? 0

△ ? 1 0 k) ? 4 ( m ? 5 k ( 5 ? 5 m)? 0 ( )
2

? m ? (5 k ? 1) m ? 0
2 2

即 m ? 1 ? 5k

2

由 m ? 1 ? 5 k 恒成立得
2

m ?1

又 m ? 0且 m ? 5 所以 m ? 1且 m ? 5

二、弦长公式:
设直线 l与曲线C 相交于A( x1 ,y1) ,B( x2,y2 ),
1 k
2

则 |AB|= 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ?
2

y1 ? y2

其中 k 是直线的斜率
| A B |?
?

1? k

2

x1 ? x 2
2

1 ? k ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2
2

例1已知斜率为1的直线l过椭圆 的右焦点,交椭圆于A,B两点,求弦AB之长.
解 : 由 椭 圆 方 程 知 : a ? 4, b ? 1, c ? 3 .
2 2 2

右 焦 点 F ( 3 , 0 ).

直 线 l方 程 为 : y ? x ? 消 y 得 :x ? 8 3 x ? 8 ? 0 5
2

3.

?y ? x? 3 ? ? x2 2 ? y ?1 ? ? 4

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

? x1 ? x 2 ?

8 3 5

, x1 ? x 2 ?

8 5
2

? AB ?

1? k

2

x1 ? x 2 ?

1? k

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 ? x 2
2

?

8 5

? ? 1 的左、右 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 ? 2 1 焦点,过 F2 作倾斜角为 的直线,求 △F1 AB 的面积. 4 2
解:∵椭圆
x ? y ? 1 的两个焦点坐标 F 1 ( ? 1, 0 ), F 2 (1, 0 )
2

x

2

y

2

∴直线 AB 的方程为 y ?
? y ? x ?1 ? 由? x2 2 ? y ? 1 ? ? 2

2

x?1

设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )

消去 y 并化简整理得

3x


2

? 4x ? 0
2

∴ x1
2

? x2 ?
2

4 3
?

, x1 x 2 ? 0
2 2 ?( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ? ? ?

AB ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )

?

2( x1 ? x 2 )

=

4 3

2

∵点 F 1 到直线 A B 的距离 d
∴ S F AB
1

?
2

0 ? (? 1) ? 1 2
4 3

=

2

?

1 2

? d ? AB

=

1 2

?

2?

4 3

=

.

答:

△ F1 A B

的面积等于

4 3

三、中点弦问题
例1、已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被

16

4

平分,求此弦所在直线的方程. 解 法 一

韦达定理→斜率 韦达定理法:利用韦达定理及中点坐标公式来构造

题型三:中点弦问题
例1、已知椭圆
x
2

?

y

2

? 1过点P(2,1)引一弦,使弦在这点被

16

4

平分,求此弦所在直线的方程.

点 作差

点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作差构造 出中点坐标和斜率.

例2、如图,已知椭圆 ax 2 ? by 2 ? 1 与直线x+y-1=0交

于A、B两点,AB ? 2 2, AB的中点M与椭圆中心连线的
斜率是
2

2 2

,试求a、b的值。
2

?ax ? by ? 1 解 :? ?x ? y ?1 ? 0
2

y

消 y得 : (a ? b ) x ? 2bx ? b ? 1 ? 0 A
2

? ? = 4 b - 4 ( a ? b )( b ? 1) ? 0

? ab ? a ? b

M

o
B

x

设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 )
? x1 ? x 2 ? ? k MO ? a b 2b a?b
? 2 2

, x1 ? x 2 ?

b ?1 a?b

? A B中 点 M (

b

a?b a?b
2

,

a

)

?b ?

2a

又 AB ?

1? k

2

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2

?2 2 ?

2

(

2b a?b

) ?4
2

b ?1 a?b

?a ?

1 3

,b ?

2 3

例3、焦点分别为 0,5 2 和 0,?5 2 的椭圆 截直线y ? 3 x ? 2所得椭圆的弦的中点 的横坐标为 ,求此椭圆方程。 2 1

?

? ?

?

例4、 ( 2010福建)已知中心在坐标原点O的椭圆C 经过点A?2,3?,且点F ?2,0 ?为其右焦点

( )求椭圆C的方程; 1

(2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C 有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求 出直线l的方程;若不存在,说明理由。

小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法; 解方程组消去其中一元得一元二次型方程 △< 0 相离 △= 0 相切 △> 0 2、弦长的计算方法: 弦长公式:
2 |AB|= 1 ? k 2 · x1 ? x2) ? 4 x1 x2 (

相交

=

1?

1 k
2

· y1 ? y2) 4 y1 y2 ( ?

(适用于任何二次曲线)

3、中点弦问题的两种处理方法: (1)联立方程组,消去一个未知数,利用韦达定理; (2)设两端点坐标,代入曲线方程相减可求出弦的斜率(点差法)

弦中点问题:“点差法”、“韦达定理”

遇到弦中点,两式减一减;
若要求弦长,韦达来帮忙.

知识点3:中点弦问题
点差法:利用端点在曲线上,坐标满足方程,作 差构造出中点坐标和斜率.
设 A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), A B中 点 M ( x 0 , y 0 ), 则 有 : x 0 ? x1 ? x 2 , 2 y 0 ? y 1 ? y 2 2 y1 ? y 2 又 k AB ? x1 ? x 2 ? A ( x1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) 在 椭 圆 上 ,
2 2

x1 a

2

?

y1 b

2

?1
2

x2 a
2

2

2

?
2

y2 b

2

2

?1
2 2 2

两式相减得:

b ( x1 ? x 2 ) ? a ( y 1 ? y 1 ) ? 0

由 b ( x1 ? x 2 ) ? a ( y 1 ? y 1 ) ? 0
2 2 2 2 2 2



y1 ? y1
2

2 2

x1 ? x 2
2

? ?
2 2

b a

2 2

? k AB ?

y1 ? y1 x1 ? x 2

? ?

b a

x1 ? x 2 y1 ? y1

? ?

b a

2 2

x0 y0

直线和椭圆相交有关弦的中点问题,常用设而不求的 思想方法.


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