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不等式和线性规划试题


高 2015 级高二下期线性规划和不等式集训试题
3 月 2 日星期天下午 2:30 高二十班教室(带必修 5)
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 1、设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最小值为( ?x ?1 ? 0 ?
A. ?6 答案:B B. ?4 C. 2 D

. )

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 2、设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,则目标函数 z ? 2 y ? 3x 的最大值为( ?x ?1 ? 0 ?
A.-3 【答案】C B.2 C .4 D.5

)

x+y-1≥0, ? ? 3、 点(x, y)满足?x-y+1≥0, ? ?x≤a, A.1 C.-3

若目标函数 z=x-2y 的最大值为 1, 则实数 a 的值是(

)

B.-1 D.3

选 A 由题意可知,目标函数经过点(a,1-a)时达到最大值 1,即 a-2(1-a)=1,解得 a=1.

C

5、设 ?

? x ? y ? 0, 2 与抛物线 y ? ?4 x 的准线围成的三角形区域(包含边界)为 D , P( x, y ) x ? y ? 0 ?
) D. 3

为 D 内的一个动点,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为( A. ?1 B. 0 C. 2

?x ? 0 4 6、若不等式组 ? ? x ? 3 y ? 4 所表示的平面区域被直线 y ? kx ? 3 ?3 x ? y ? 4 ? ,

分为面积相等的两部分,则 k 的值是( B ) A、
7 3

B、

3 7

C、

4 3

D、

3 4

?y ? x ? 7、已知 z ? 2x ? y , x,y 满足 ? x ? y ? 2 ,且 z 的最大值是最小值的 4 倍,则 m 的值是 ?x ? m ?



) A.

1 4

B.

1 5

C.

1 6

D.

1 7

考点:简单线性规划

?x ? y ? 2 ? 8、已知变量 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,若 x ? 2 y ? a 恒成立,则实数 a 的取值范围为 ?x ? 1 ?
( A.(-∞,-1] 【答案】A B.(-∞,2] C.(-∞,3] D.[-1,3] )

x ?1 ? ? 2 2 9、 已知点 P ? x, y ? 的坐标满足条件 ? , 那么 ?x ? 1? ? y 的取值范围为 ( y?2 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?



A. ?2,8?

B. ?2,8?

C. ? ,8? ?5 ?

?16 ?

D. ?

? 16 ? ,8? ? 5 ?

? x ? 1, ? 2 2 10、如果实数 x, y 满足不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0, 则 x ? y 的最小值是( ? 2 x ? y ? 2 ? 0, ?
A.25 【答案】B B.5 C .4 D.1

)

?0 ? x ? 1, 1 11、 在平面区域 ? 内任取一点 P( x, y) , 若 (x 则b 的 , y ) 满足 2 x ? y ? b 的概率大于 , 0 ? y ? 1 4 ?

取值范围是(

) (B) (0, 2) (C) (1,3) (D) (1, ??)

(A) (??,2)

【答案】D 【解析】

12、设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A ,与 y 轴相交于点 B ,且坐标原 点 O 到直线的距离为 3 ,则 ?AOB 的面积 S 的最小值为( A. ) D.4

1 2

B.2

C.3

二、填空题

? 3x ? y ? 0 ??? ? ??? ? ? OA ? OP ? ? 的 13、已知点 A(3, 3) , O 为坐标原点,点 P ( x, y ) 满足 ? x ? 3 y ? 2 ? 0 ,则 Z ? ??? | OA | ? y?0 ? ?
最大值是___________
【答案】 3

?x ? 3y ? 4 ? 0 ? 2 2 14 、若在区域 ? y ? 0 内任取一点 P ,则点 P 落在单位圆 x ? y ? 1 内的概率是 ?x ? 0 ?
_______

答案:

?x ? 2 y ? 5 ? 0 ? 15、在圆 ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? 4 内任取一点,则该点恰好在区域 ? x ? 2 y ? 3 ? 0 内的概率为 ?x ? 3 ?
2 2

___

1 答案: 2?
?x ? y ? 2 ? 0 ?4 x ? y ? 4 ? 0 ? 16、设 x 、 y 满足约束条件 ? ,若目标函数 z ? ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大 x ? 0 ? ? ?y ? 0 1 2 值为 6 ,则 log 3 ( ? ) 的最小值为 . a b
答案:2

17、已知函数 f ( x) ? ln( x 2 ? x ? 2 ) 满足 f(2-a)=f(b),a>0,b>0.则 的最小值为
18、若直线 ax ? by ? 2 ? 0 4,则

1 1 ? a b



? a ? 0, b ? 0? 被圆 x2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? 1 ? 0 截得的弦长为


1 1 ? 的最小值是 a b

19、)若正数 x,y 满足 x+3y=5xy,则 3x+4y 的最小值是___)5 _____ x≥0, ? ? 20、 设 D 为不等式组?2x-y≤0, ? ?x+y-3≤0 距离的最小值为________ .解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点 B(1,0)到直线 2x-y |2×1-0| 2 5 2 5 =0 的距离最小,d= = ,故最小距离为 . 2 5 5 2 +1 2x-y-2≥0, ? ? 21、在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ? ?3x+y-8≤0 点,则直线 OM 斜率的最小值为________. 2x-y+1>0, ? ? (2)(2013· 北京改编)设关于 x、y 的不等式组?x+m<0, ? ?y-m>0

所表示的平面区域, 区域 D 上的点与点(1,0)之间的

所表示的区域上一动

表示的平面区域内存在点

P(x0,y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是________. 答案 1 (1)- 3 2 -∞,- ? (2)? 3? ?

解析

? ?x+2y-1=0, (1)由? ?3x+y-8=0 ?

得 A(3,-1). 1 此时线 OM 的斜率最小,且为- . 3 (2)当 m≥0 时,若平面区域存在,则平面区域内的点在第二象限,平面区域内不可能存 在点 P(x0,y0)满足 x0-2y0=2,因此 m<0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域. 1 要使可行域内包含 y= x-1 上的点,只需可行域边界点(-m, 2 1 1 m)在直线 y= x-1 的下方即可,即 m<- m-1,解得 2 2

x-y+1≥0, ? ? 22、已知点 A(2,-2),点 P(x,y)在?x+y+1≥0, ? ?2x-y-1≤0 向上投影的取值范围是________.

→ → 所表示的平面区域内,则OP在OA方

答案

[-

2 2 , ] 2 2

解析 不等式组表示的平面区域,如图所示:

由向量投影的几何意义知,当点 P 与点 D 重合时投影最大,当点 P 与点 B 或点 C 重合 时投影最小. 又 C(-1,0),D(0,-1), → → ∴OC=(-1,0),OD=(0,-1), → → OD· OA 2 → → ∴OD在OA方向上的投影为 = , 2 → |OA| → → OC· OA 2 → → OC在OA方向上的投影为 =- , 2 → |OA| 2 2 → → 故OP在OA方向上投影的取值范围是[- , ]. 2 2 x-2y+3≥0, ? ? 23、已知变量 x,y 满足约束条件?x-3y+3≤0, ? ?y-1≤0, 到最大值,则实数 a 的取值范围为________. 1 ? 答案 ? ?2,+∞? 解析 如图所示,在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域 及直线 y-ax=0, 要使目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取到 最大值(即直线 z=y-ax 仅当经过该平面区域内的点(-3,0)时, 在 y 轴上的截距达到最大), 1 结合图形可知 a> . 2 y≥0, ? ? 24. 已知实数 x,y 满足?y-x+1≤0, ? ?y-2x+4≥0, 个,则 a 的值为________.

若目标函数 z=y-ax 仅在点(-3,0)处取

若 z=y-ax 取得最大值时的最优解(x,y)有无数

答案 1

?3 x ? 4 y ? 19, ? 25、将一个质点随机投放在关于 x, y 的不等式组 ? x ? 1, 所构成的三角形区域内,则 ?y ?1 ?
该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于 1 的概率是 .

考点:1.简单的线性规划;2.几何概


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