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2012届高三数学最新复习课件:数列的综合应用(共56张PPT)


§5.5 数列的综合应用

§ 5.5

双基研习?面对高考

数 列 的 综 合 应 用

考点探究?挑战高考

考向瞭望?把脉高考

双基研习?面对高考

基础梳理

1.解答数列应用题的步骤 (1)审题——仔细阅

读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将 实际问题转化成数学问题,弄清该数列的特征、要 求是什么. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.

2.数列应用题常见模型

增加(或减少) (1)等差模型:如果____________的量是一个固定
量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是

公差.
(2)等比模型:如果后一个量与前一个量的___是一 比

个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数
就是公比.

(3)递推数列模型:如果题目中给出的是前后两项之 间的关系不固定,是随项的变化而变化时,应考虑 是 an 与 an+1 的递推关系,还是前 n 项和 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系. (4)分期付款模型:设贷款总额为 a,年利率为 r,等 r?1+r?n 额还款数为 b,分 n 期还完,则 b= a. n ?1+r? -1

思考感悟 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型? 提示:单利公式——设本金为a元,每期利率为r, 存期为n,则本利和an=a(1+rn),属于等差模型. 复利公式——设本金为a元,每期利率为r,存期为n, 则本利和an=a(1+r)n,属于等比模型.

课前热身
1.(2009年高考四川卷)等差数列{an}的公差不

为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则
数列{an}的前10项之和是( )

A.90
C.145

B.100
D.190

答案:B

2.已知等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1, 且公差d>0,公比q>1,则集合{n|an=bn}(n∈N+)的 元素的个数最多为( A.1 C.3 答案:B ) B.2 D.4

3.(教材改编题)电子计算机中使用的二进制与十 进制的换算关系如下表所示: 十进 1 2 3 4 5 6 7 8 … 制 100 二进 1 10 11 100 101 110 111 … 0 制 观察二进制为1位数、2位数、3位数时,对应的十 进制数,当二进制为6位数时,能表示十进制中的 最大数是( ) A.31 B.63 C.111111 D.999999 答案:B

4.已知三个数a、b、c成等比数列,则函数f(x) =ax2+bx+c的图像与x轴公共点的个数为 ________. 答案:0 5.近年来,太阳能技术运用的步伐日益加快, 2008年全球太阳电池的年生产量达到670兆瓦, 年生产量的增长率为34%,以后四年年生产量的 增长率逐年递增2%(2009年的增长率为36%),则 预算2012年全球太阳电池的年生产量为 ________. 答案:2499.8兆瓦

考点探究?挑战高考

考点突破 等差、等比数列的综合问题 等差数列与等比数列结合的综合问题是高考考查 的重点,特别是等差、等比数列的通项公式,前n 项和公式以及等差中项、等比中项问题是历年命 题的热点.

例1

(2010年高考陕西卷)已知{an}是公差不为

零的等差数列,a1=1,且a1,a3,a9成等比数
列.

(1)求数列{an}的通项;
(2)求数列{2an}的前n项和Sn.

【思路点拨】

由已知条件列方程可求得等差数

列的公差d,由等比数列的前n项和公式可求Sn.

【解】

(1)由题设知公差 d≠0, 1+2d 1+8d 由 a1=1,1, 3, 9 成等比数列, a a a 得 = , 1 1+2d 解得 d=1,d=0(舍去), 故{an}的通项 an=1+(n-1)×1=n. (2)由(1)知 2an=2n,由等比数列前 n 项和公式, 得 n 2?1-2 ? 2 3 n n+1 Sn=2+2 +2 +…+2 = =2 -2. 1-2

【名师点评】

解决等差数列与等比数列的综合问

题的关键在于综合运用等差数列和等比数列知识解 题,也就是涉及哪个数列问题就灵活地运用相关知 识解决. 等差数列与等比数列之间是可以相互转化的.即{an} 为等差数列?{aan}(a>0且a≠1)为等比数列;{an}为正

项等比数列?{ logaan}(a>0且a≠1)为等差数列.

变式训练1

(2010年高考重庆卷)已知{an}是首项为19,

公差为-2的等差数列,Sn为{an}的前n项和. (1)求通项an及Sn;

(2)设{bn-an}是首项为1,公比为3的等比数列,求数
列{bn}的通项公式及前n项和Tn.

解:(1)因为{an}是首项为 a1=19,公差为 d=-2 的等差数列,所以 an=19-2(n-1)=-2n+21. n?n-1? Sn=19n+ · (-2)=-n2+20n. 2 n-1 (2)由题意知 bn-an=3 , - - 所以 bn=3n 1+an=3n 1-2n+21. 3n-1 - Tn=Sn+(1+3+…+3n 1)=-n2+20n+ . 2

等差、等比数列的实际应用
与数列有关的应用题大致有三类:一是有关等差 数列的应用题;二是有关等比数列的应用题;三 是有关递推数列中可化成等差、等比数列的问 题.当然,还包括几类问题的综合应用.其中第 一类问题在内容上比较简单,建立等差数列模型

后,问题常常转化成整式或整式不等式处理,很

容易计算.对第二类问题,建立等比数列的模型
后,弄清项数是关键,运算中往往要运用指数或

对数不等式,常需要查表或依据题设中所给参考
数据进行近似计算,对其结果要按照要求保留一 定的精确度.注意答案要符合题设中实际需 要.对于第三类问题,要掌握将线性递推数列化 成等比数列求解的方法.

(2010年高考湖北卷)已知某地今年年初拥有 居民住房的总面积为a(单位:m2),其中有部分旧住 房需要拆除.当地有关部门决定每年以当年年初住 房面积的10%建设新住房,同时也拆除面积为b(单 位:m2)的旧住房. (1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的 表达式; (2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的 住房面积增加了30%,则每年拆除的旧住房面积b 是多少?(计算时取1.15=1.6) 【思路点拨】 可逐年写出第一年末至第五年末的 住房面积,然后列方程解出b.

例2

【解】 b(m2),

11 (1)第一年末的住房面积为 a· -b=1.1a- 10

11 11 11 2 第二年末的住房面积为(a· -b)· -b=a· ) - ( 10 10 10 11 b(1+ )=1.21a-2.1b(m2). 10 11 2 11 11 (2)第三年末的住房面积为[a· ) -b(1+ )] -b ( 10 10 10 11 3 11 11 2 =a· ) -b[1+ +( ) ], ( 10 10 10

11 4 11 11 2 第四年末的住房面积为 a· ) -b[1+ +( ) + ( 10 10 10 11 3 ( ) ], 10 11 5 11 11 2 第五年末的住房面积为 a· ) -b[1+ +( ) + ( 10 10 10 1-1.15 11 3 11 4 ( ) +( ) ]=1.15a- b=1.6a-6b. 10 10 1-1.1 a 依题意可知,1.6a-6b=1.3a,解得 b= , 20 a 2 所以每年拆除的旧住房面积为 (m ). 20

【规律小结】

用数列知识解相关的实际问题,关

键是合理建立数学模型——数列模型,弄清所构造

的数列的首项是什么,项数是多少,然后转化为解
数列问题.求解时,要明确目标,即搞清是求和, 还是求通项,还是解递推关系问题,所求结论对应 的是解方程问题,还是解不等式问题,还是最值问 题,然后进行合理推算,得出实际问题的结果.

变式训练2

职工小张年初向银行贷款2万元用于

购房,银行贷款的年利率为10%,按复利计算(即
本年的利息计入次年的本金).若这笔贷款要分10

年等额还清,每年年初还一次,并且从借款后次
年年初开始还款,那么每年应还多少元?(精确到

1元)

解:设每年还款x元,需10年还清,那么每年所还 款及利息的情况如下: 第10年还款x元,此次欠款全部还清; 第9年还款x元,过1年欠款全部还清时,所还款连 同利息之和为x(1+10%)元; 第8年还款x元,过2年欠款全部还清时,所还款连

同利息之和为x(1+10%)2元;
……

第 1 年还款 x 元,过 9 年欠款全部还清时,所还 款连同利息之和为 x(1+10%)9 元. 根据题意可得 x+x(1+10%)+x(1+10%)2+…+x(1+10%)9 =20000(1+10%)10, 20000×1.110×0.1 所以 x= ≈3255.所以每年应还 10 1.1 -1 款 3255 元.

数列与解析几何、不等式、函数的 交汇问题 数列与其它知识的综合问题主要指的是用几何方法 或函数的解析式构造数列,用函数或方程的方法研 究数列问题.函数与数列的综合问题主要有以下两 类: 一是已知函数的条件,利用函数的性质图像研究数 列问题,如恒成立,最值问题等;二是已知数列条 件,利用数列的范围、公式、求和方法等知识对式 子化简变形,从而解决函数问题.

例3

(2010 年高考安徽卷)设 C1, 2, Cn, C …, …

是坐标平面上的一列圆,它们的圆心都在 x 轴的正 3 半轴上, 且都与直线 y= x 相切. 对每一个正整数 3 n,圆 Cn 都与圆 Cn+1 相互外切,以 rn 表示圆 Cn 的 半径,已知{rn}为递增数列.

(1)证明:{rn}为等比数列; n (2)设 r1=1,求数列{r }的前 n 项和. n
【思路点拨】 (1)充分利用切线、半径、原 点与圆心的连线所构成的直角三角形可证{rn} 为等比数列. (2)利用错位相减法求和.

3 【解】 (1)证明: 将直线 y= x 的倾斜角记为 θ, 3 3 1 则有 tan θ= ,sin θ= . 3 2 rn 1 设 Cn 的圆心坐标为(λn,0), 则由题意知 = , λn 得 λn 2 =2rn;同理 λn+1=2rn+1,从而 λn+1=λn+rn+rn+1 =2rn+1,将 λn=2rn 代入,解得 rn+1=3rn. 故{rn}为公比 q=3 的等比数列. n n-1 1-n (2)由于 r1=1,q=3,故 rn=3 ,从而 =n· , 3 rn 1 2 n 记 Sn= + +…+ , rn r1 r2

则有 Sn=1+2×3 1+3×3 2+…+n×31 n,① Sn - - - - =1×3 1 +2×3 2 +…+(n-1)×31 n +n×3 n. 3 ② ①②两式相减,得 2Sn -1 -2 -n 1-n =1+3 +3 +…+3 -n· 3 3 -n 1-3 3 3 -n -n = -n· = -(n+ )· . 3 3 2 2 2 3 1- n 3 9 1 3 1-n 9-?2n+3?· ∴Sn= - (n+ )· = 3 . 4 2 2 4







【名师点评】

数列、解析几何、不等式是高考

的重点内容,将三者密切综合在一起,强强联合 命制大型综合题是历年高考的热点和重点.数列

是特殊的函数,以数列为背景的不等式证明问题
及以函数作为背景的数列的综合问题,体现了在 知识交汇点上命题的特点,该类综合题的知识综 合性强,能很好地考查逻辑推理能力和运算求解 能力,因而一直是高考命题者的首选.

数列中的探索性问题 探索性问题往往需要由给定的条件去探究相应的 结论或由问题的结论去寻找相应的条件,在解题

时应透过问题的表象去寻求、发现规律性的东
西.

(2009 年高考四川卷)设数列{an}的前 n 项 和为 Sn, 对任意的正整数 n, 都有 an=5Sn+1 成立, 4+an 记 bn= (n∈N+). 1-an (1)求数列{an}与数列{bn}的通项公式; (2)设数列{bn}的前 n 项和为 Rn, 是否存在正整数 k, 使得 Rk≥4k 成立?若存在,找出一个正整数 k;若 不存在,请说明理由; (3)记 cn=b2n-b2n-1(n∈N+), 设数列{cn}的前 n 项和 3 为 Tn,求证:对任意正整数 n,都有 Tn< . 2

例4

【思路点拨】

本题第(1)问中数列{an}的通项公

式由an=5Sn+1推出,再代入bn=可得数列{bn}的
通项公式;第(2)问中,由bn的通项公式知,对{bn} 的前n项和Rn求和,应对n分奇、偶讨论,与4k比 较大小,可先从特值探索;第(3)问中,应考虑适 度放缩,才能顺利求和.

1 【解】 (1)当 n=1 时,a1=5a1+1,∴a1=- . 4 又∵an=5Sn+1,an+1=5Sn+1+1. 1 ∴an+1-an=5an+1,即 an+1=- an. 4 1 ∴数列{an}成等比数列,其首项 a1=- ,公比 q= 4 1 - . 4 1n 4+?- ? 4 1n ∴an=(- ) .∴bn= . 4 1n 1-?- ? 4

(2)不存在正整数 k,使得 Rk≥4k 成立. 下面证明: 对任意的正整数 n, 都有 Rn<4n 成立. 5 由(1)知 bn=4+ . n ?-4? -1 5 5 ∵b2k-1+b2k=8+ + 2k-1 ?-4? -1 ?-4?2k-1 5 20 =8+ k - k 16 -1 16 +4 15×16k-40 =8- k <8. k ?16 -1??16 +4? ∴当 n 为偶数时,设 n=2m(m∈N+).

则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-1+b2m)<8m=4n; 当 n 为奇数时,设 n=2m-1(m∈N+), 则 Rn=(b1+b2)+(b3+b4)+…+(b2m-3+b2m-2)+b2m-1 <8(m-1)+4=8m-4=4n. ∴对一切的正整数 n,都有 Rn<4n. ∴不存在正整数 k,使得 Rk≥4k 成立. 5 (3)证明:由(1)知 bn=4+ . n ?-4? -1 25×16n 5 5 ∴cn=b2n-b2n-1= 2n + 2n-1 = n 4 -1 4 +1 ?16 -1??16n+4?

25×16n 25×16n 25 = n2 < . n n 2 = 16n ?16 ? +3×16 -4 ?16 ? 13 4 又 b1=3,b2= ,∴c1= . 3 3 3 当 n=1 时,T1< . 2 4 1 1 1 当 n≥2 时,Tn< +25×( 2+ 3+…+ n) 3 16 16 16 1 1 n-1 1 [1-? ? ] 162 16 162 4 4 69 3 = +25× < +25× = < . 3 1 3 1 48 2 1- 1- 16 16

【名师点评】

本题主要考查数列、不等式

等基础知识,化归思想、分类整合思想等数

学思想方法,以及推理论证、分析与解决问
题的能力.

方法感悟 方法技巧 1.深刻理解等差(比)数列的性质,熟悉它们的推导 过程是解题的关键.两类数列性质既有相似之处, 又有区别,要在应用中加强记忆.同时,用好性质 也会降低解题的运算量,从而减少差错.(如例4) 2.在等差数列与等比数列中,经常要根据条件列 方程(组)求解,在解方程组时,仔细体会两种情形 中解方程组的方法的不同之处.(如例1)

3.数列的渗透力很强,它和函数、方程、三角形、
不等式等知识相互联系,优化组合,无形中加大了

综合的力度.解决此类题目,必须对蕴藏在数列概
念和方法中的数学思想有所了解,深刻领悟它在解 题中的重大作用,常用的数学思想方法有:“函数 与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换” 等.(如例3)

4.在现实生活中,人口的增长、产量的增加、

成本的降低、存贷款利息的计算、分期付款问题
等,都可以利用数列来解决,因此要会在实际问 题中抽象出数学模型,并用它解决实际问 题.(如例2)

失误防范 1.等比数列的前n项和公式要分两种情况:公比 等于1和公比不等于1.最容易忽视公比等于1的情 况,要注意这方面的练习. 2.数列的应用还包括实际问题,要学会建模, 对应哪一类数列,进而求解. 3.在有些情况下,证明数列的不等式要用到放 缩法.

考向瞭望?把脉高考

考情分析
数列的综合应用是每年高考必考的内容,特别是等 差数列与等比数列交汇,数列与解析几何、不等式、 函数交汇是高考的热点,题型以解答题为主,难度 偏高,主要考查学生分析问题和解决问题的能力. 预测2012年高考,等差数列与等比数列交汇、数列 与不等式交汇是高考的主要考点,重点考查运算能 力和逻辑推理能力.

规范解答


(本题满分12分)已知{an}是公差为d的等差数列,

{bn}是公比为q的等比数列. (1)若an=3n+1,是否存在m、k∈N+,有am+am+1 =ak?请说明理由; (2)若bn=aqn(a、q为常数,且aq≠0),对任意m存在k, 有bm·m+1=bk,试求a、q满足的充要条件; b

(3)若an=2n+1,bn=3n,试确定所有的p,使数列
{bn}中存在某个连续p项的和是数列{an}中的一项,

请证明.
(注:(a+b)n=Ca0bn+Cabn-1+…+Carbn-r+…+

Canb0)

【思路点拨】

处理第(1)问时,将等差数列{an}的

通项公式代入等式am+am+1=ak,然后从整除的角
度判断等式是否有整数解;处理第(2)问时,将等比

数列{bn}的通项公式代入bm·m+1=bk,研究等式成 b
立的充要条件;处理第(3)问时,注意到an=2n+1 是奇数,bn=3n也是奇数,当p是偶数时,偶数个奇 数的和不可能是奇数,等式不能成立,所以只需对 p为奇数进行讨论.

【解】

(1)由 am+am+1=ak,得 6m+5=3k+1, ………2 分 4 整理后,可得 k-2m= , 3 ∵m、k∈N+,∴k-2m 为整数. ∴不存在 m、k∈N+,使等式成立. ……….4 分 (2)当 m=1 时,则 b1·2=bk,∴a2·3=aqk. b q - ∴a=qk 3, a=qc, 即 其中 c 是大于等于-2 的整数. ………..6 分 反之当 a=qc 时,其中 c 是大于等于-2 的整数, 则 bn=qn+c,

∴a、q 满足的充要条件是 a=qc,其中 c 是大 于等于-2 的整数. ………8 分 (3)设 bm+1+bm+2+…+bm+p=ak,(*) 当 p 为偶数时, (*)式左边为偶数, 右边为奇数, ∴p 为偶数时,(*)式不成立. m+ 1 p 3 ?1-3 ? m+ 1 p 由(*)式得 =2k+1,整理得 3 (3 1-3 -1)=4k+2, 当 p=1 时,符合题意. 当 p≥3,p 为奇数时, 3p-1=(1+2)p-1

=C0+C1·1+C2·2+…+Cp·p-1 p p2 p2 p2 =C1·1+C2·2+…+Cp·p p2 p2 p2 1 2 p p-1 =2(Cp+Cp· 2+…+Cp· ) 2 =2[2(C2+C2·2+…+Cp·p-2)+p], ……10 分 p p2 p2 ∴由 3m+1(3p-1)=4k+2,得 + - 3m 1[2(C2+C3· 2+…+Cp·p 2)+p]=2k+1. 2 p p p ∴当 p 为奇数时,此时,一定有 m 和 k 使上 式一定成立. ∴当 p 为奇数时,命题都成立. ………12 分

【名师点评】

(1)本题易错点有:一是解题过程

中忽视了正整数的限制,导致推理不严密或是解 题错误;二是不会进行正整数的奇偶性分析,对 处理不定方程缺少必要的方法,导致解答错 误.数列试题往往涉及整数,根据题目的具体情 况,要会合理使用整数的有关性质解决问题.

(2)对任意的正整数m,等式bm·m+1=bk都成立,不 b
妨取m=1,求出a、q满足的条件为a=qk-3,再从 一般情形去验证这个条件在一般情况下是否成立, 这是求解探索性问题的一种常见的思考方法. (3)本题从最常见的两个数列——等差数列和等比

数列入手命制考题,在第(1)和第(2)问中,设计判
断满足条件的等式是否成立和等式成立的充要条件 是什么?解题时的入手很低,仅需要将数列的通项

公式代入等式展开判断和讨论即可.但是,解题

的过程却需要有较强的数学知识的思辨能力和数
学推理能力,这恰好是考生应该具备的数学素质

和数学能力.从基本的数学知识入手,站在“能
力立意”的高度命题,既注重对数学知识的考查,

更注重对考生数学能力的考查,是近年来高考命
题的指导思想.

名师预测
?x>0 ? 设不等式组 ?y>0 ? ?y≤-nx+3n

所表示的平面区域为

Dn,记 Dn 内的格点(格点即横坐标和纵坐标均为整 数的点)的个数为 f(n)(n∈N+). (1)求 f(1)、f(2)的值及 f(n)的表达式; (2)记 bn=2nf(n),Sn 为{bn}的前 n 项和,求 Sn; f?n?f?n+1? (3)设 Tn= ,若对一切正整数 n,总有 n 2 Tn≤m 成立,求实数 m 的取值范围.

解:(1)f(1)=3,f(2)=6. 当 x=1 时,y=2n,可取格点 2n 个;当 x=2 时,y =n,可取格点 n 个.∴f(n)=3n. (2)由题意知 bn=3n·n,∴Sn=3·1+6·2+9·3+… 2 2 2 2 +3(n-1)·n-1+3n·n,∴2Sn=3·2+6·3+…+3(n 2 2 2 2 n n+ 1 -1)· +3n· . 2 2 1 2 3 n n+1 ∴-Sn=3· +3· +3· +…+3· -3n· =3(21 2 2 2 2 2 n+1 2-2 2 n n+ 1 n+ 1 +2 +…+2 )-3n· =3· 2 -3n· 2 1-2 + + =3(2n 1-2)-3n·n 1, 2 n+ 1 n+1 ∴-Sn=(3-3n)· -6,∴Sn=6+(3n-3)2 . 2

f?n?f?n+1? 3n?3n+3? (3)∵Tn= = , 2n 2n ?3n+3??3n+6? n+ 1 2 Tn+1 n+2 ∴ T = = , 2n 3n?3n+3? n 2n n+2 n+2 当 n=1 时, >1; n=2 时, 当 =1; n≥3 当 2n 2n n+2 时, <1,∴T1<T2=T3>T4>…>Tn,故 Tn 的最 2n 27 27 大值是 T2=T3= ,∴m≥ . 2 2


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