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二00五天津重点中学高一数学竞赛试题


二 00 五年天津重点中学高一数学竞赛试题
班别 姓名 分数

(时间:100 分钟, 满分 150 分) 说明:在解答本试题过程中,允许使用统一型号的计算器. 一、选择题(共 6 小题,每小题 6 分,共 36 分) 1,已知 ? ? sin 2005 ,则 ? 是第
0

象限角. D,四

A,一 B,二 C,三 2、定义 A*B,B*C,C*D,D*B 分别对应下列图形

(1) 那么下列图形中

(2)

(3)

(4)

(1) (2) 可以表示 A*D,A*C 的分别是 . A. (1) 、 (2) B. (1) 、 (3) 3,下列恒等式不正确的是 . A,

(3) C. (2) 、 (4)
4 4 2

(4) D. (3) 、 (4)
2

cos ? 1 ? sin ? ? 1 ? sin ? cos ?
2 2 2 2

B, sin ? ? cos ? ? sin ? ? cos ? D,

C, tan ? ? sin ? ? tan ? ? sin ?

1 ? sin ? ? cos ? ? ? tan 1 ? cos ? ? sin ? 2
.

4,等边三角形 ABC 的边长为 1, BC ? a , CA ? b , AB ? c ,则 a ? 2b ? 3c 等于 A, 5 B, 3 C,3 D,

3 2
y

5,如右图,定圆半径为 a,圆心为( b ,c ),则直线 ax ? by ? c ? 0 与直线 cx ? by ? a ? 0 的交点在 A,第一象限 C,第三象限
2

.
x O

B,第二象限 D,第四象限

6,设函数 y ? log a (ax ? x ? a) 的定义域是 R 时,a 的取值 范围为集合 M;它的值域是 R 时,a 的取值范围为集合 N,则下列的表达式中正确的是 . A, N ? M B, M N ? R C, M N ? ? D, M ? N 二、选择题(共 6 小题,每小题 9 分,共 54 分)
1

7, tan15 =

0

.

C

8,(如图),有一个棱长为 1 米的正方体形状的木箱, 在顶点 A 处有一只壁虎,在顶点 C 处有一只甜 睡蚊子,若这壁虎要在最短的时间内把蚊子抓住, 则壁虎在木箱表面所爬行的最短路程是 米. 9,函数 y ? log 1 sin( x ?
2

1 2

?
3

) ,的单调递增区间
.

A

是 10,当 0 ? x ? 值等于

?
2

时,函数 f ( x) ? 3sin 2 x ? 2cos 2 x ? m 的最大值为 2008,则它的最小 . y B

11,(如图),已知 ?OAB 中, OA ? a , OB ? b ,而 M,N 分 别是三角形 OA,OB 上的中点,AN 与 BM 交于点 P, 则 OP =
2 2

. O

N

P x M A

12,若正整数 a , b 满足 b ? a ? 2005 ,则 ab 的值 等于 . 三、解答题(共 3 小题,每小题 20 分,共 60 分)

13, 设 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (2cos x,1) , b ? (cos x, 3sin 2x) , x ? R (I)若 f ( x) ? 1 ? 3 且 x ? [ ? (II)若 x ? [0,

? ?

?
2

, ] ,求 x ; (10 分) 3 3

] ,是否存在整数 m ,使得方程 f ( x) ? m 有且仅有两个不相等的实数根?

若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由. (10 分) 14,如图是一棱长为 1 的正方体的平面展开图. (I)请你把它合原为正方体,并建立适当的空间 直角坐标系,求出点 A,F,N 的坐标;(4 分) (II)求证:平面 AFN//平面 MBD; (6 分) (III)求证:CE⊥平面 AFN; (4 分) (IV)设点 P,Q 分别在 BN,CM 上运动, 试求 PQ 的最小值. (参考知识: (6 分)

N D C M

E

A

B F

设空间向量 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则有结论:① a ?

x12 ? y12 ? z12 ;

② a ? b ? a ? b ? x1x2 ? y1 y2 ? z1z2 ? 0 ;③ a // b ? a ? ?b(? 为非 0 实数.) 15,求方程

1 1 1 4 ? ? ? 的正整数解. x y z 5
2

参考答案
一, 1,D. 2,C. 3,D. 4,B 5,A. 6,C. 二,7, 2 ? 3 . 8,

3 9, (4k? ?
2

?

, 4k? ? ] . 10,2005. 11, 3 3

?

a?b . 12,40195 或 1005006. 3

三,13, 解:(I)可得 f ( x) ? 2 cos x ? 3 sin 2 x ? 1 ? 2sin(2 x ? 由 1 ? 2 sin(2 x ? 又?

?

6

)

?

? 3 ) =1 ? 3 ,得 sin(2 x ? ) ? ? 6 6 2
?
? 2x ?

5? ? ? ? ,有 2 x ? = ? ,解得 x ? ? . 3 3 2 6 6 6 3 4 ? ? m ?1 (II)由 f ( x) ? m ,有 1 ? 2sin(2 x ? ) ? m ,得 sin(2 x ? ) ? , 6 6 2 ? ? ? 7? 1 ? 1 m ?1 ?1 而 0 ? x ? ,得 ? 2 x ? ? ,有 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ,即 ? ? 2 6 6 6 2 6 2 2 于是 0 ? m ? 3 , m 为整数,得 m =0,1,2,3.

?

?x?

?

,得 ?

?

?

经检验只有 m =2 合题意. 14,解:(I)把它合原为正方体 ABCD ? EFMN , (如图),以 D 为原点建立空间直角坐标系.得 A(1,0,0),F(1,1,1),N(0,0,1); (II)可得 B(1,1,0),M(0,1,1),则

z N E D A x P C y B F M Q

NF ? (1,1,0) , DB ? (1,1,0) ,
NF ? DB ,有 NF // DB ,
而 DE ? 平面 MBD,有 NF//平面 MBD. 又 AN ? (?1,0,1) , BM ? (?1,0,1) ,

AN ? BM ,有 AN // BM ,而 BM ? 平面 MBD,有 AN//平面 MBD,
由 AN

NF ? N ,得平面 AFN//平面 MBD.

(III)可得 E(1,0,1),C(0,1,0), CE ? (1, ?1,1) 由?

? ?CE ? AN ? (1, ?1,1) ? (?1, 0,1) ? ?1 ? 0 ? 1 ? 0 ? ?CE ? NF ? (1, ?1,1) ? (1,1, 0) ? 1 ? 1 ? 0 ? 0
NF ? N ,
' '

知 CE⊥AN,CE⊥NF,又 AN 所以 CE⊥平面 AFN.

(IV)作 PP ? 平面 ABCD 于点 P ,则 P 在 DB 上,
'

设 D P = a ,有

'

2 PP' BP' 2 ?a ' a, ,得 PP ? 1 ? ? ? 2 ND BD 2

3

于是 P(

2 2 2 a, a,1 ? a) . 2 2 2 2 2 2 a,1 ? a, b ? 1 ? a) , 2 2 2

又设 CQ ? b ,则 Q (0,1, b) ,得 PQ ? (?

可得 PQ⊥BN,且 PQ⊥CM 时, PQ 有最小值,

? ?( ? ? PQ ? BN ? 0 ? ? 由? ,有 ? ? ? PQ ? CM ? 0 ? (? ? ?

2 a,1 ? 2 2 a,1 ? 2

2 a, b ? 1 ? 2 2 a, b ? 1 ? 2

2 a) ? (?1, ?1,1) ? 0 2 2 a) ? (0, 0,1) ? 0 2

? 2 ? 2 2 2 a? a ?1 ? b ?1 ? a?0 a? ? ? ? ? 2 2 2 2 . 得? ,解得 ? 1 ?b ? ?b ? 1 ? 2 a ? 0 ? ? ? 2 ? 2
这时 PQ ? (?

1 1 1 1 2 , , 0) ,得 PQ ? (? )2 ? ( )2 ? 02 ? 2 2 2 2 2

所以 PQ 的最小值为

2 . 2
1 1 1 ? ? , x y z

15,解:由对称性,不妨设 x ? y ? z ,则



15 1 1 1 1 4 ? ? ? ? ,得 x ? . 4 x x y z 5

又 x 是正整数,所以 x ? 1 或 2 或 3. (1)若 x ? 1 ,

1 1 1 ? ? ? 无正整数解, y z 5
20 2 1 1 4 1 3 ? ? ? ? ? ,得 y ? , 3 y y z 5 2 10

(2)若 x ? 2 ,则

y 是正整数,且 y ? 2 ,于是 y ? 3, 4,5,6 .
当 y ? 3 时, z ? ?30 (舍去);当 y ? 4 时, z ? 20 ;当 y ? 5 时, z ? 10 ;当 y ? 6 , z ? 7.5 (舍去). (3)若 x ? 3 ,则

30 2 1 1 4 1 7 ? ? ? ? ? ,得 y ? , 7 y y z 5 3 15

4

y 是正整数,且 y ? 3 ,于是 y ? 3 或 4,
经检验,这时方程无正整数解, 所以原方程的正整数解为 ( x, y, z ) ? (2, 4, 20) 或(2,5,10).

5


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