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【优教通,同步备课】高中数学(北师大版)选修2-2教案:第3章 导数与函数的单调性 第二课时参考教案


第二课时
一、教学目标:

导数与函数的单调性(二)

1、知识与技能:⑴理解函数单调性的概念;⑵会判断函数的单调性,会求函 数的单调区间。 2、过程与方法:⑴通过具体实例的分析,经历对函数平均变化率和瞬时变化 率的探索过程;⑵通过分析具体实例,经历由平均变化率及渡到瞬时变化率的过 程。 3、情感、态度与价值观:让学生感悟由具体到抽象,由特殊到一般的思想方 法。 二、教学重点:函数单调性的判定 教学难点:函数单调区间的求法 三、教学方法:探究归纳,讲练结合 四、教学过程 (一) 、问题情境 1.情境:作为函数变化率的导数刻画了函数变化的趋势(上升或下降的陡峭 程度) ,而函数的单调性也是对函数变化的一种刻画.2.问题:那么导数与函数 的单调性有什么联系呢? (二) 、学生活动:结合一个单调函数的图象,思考在函数单调递增的部分其 切线的斜率的符号. (三) 、建构数学 如果函数 f ( x) 在区间 ( a, b) 上是增函数, 那么对任意 x1 ,x2 ? ( a, b) , 当 x1 ? x2 时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) , 即 x1 ? x2 与 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 同号, 从而 这表明,导数大于 0 与函数单调递增密切相关. 一般地,我们有下面的结论:设函数 y ? f ( x) ,如果在某区间上 f ?( x) ? 0 , 那么 f ( x) 为该区间上的增函数;如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上 的减函数;如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的常数函数. 上述结论可以用下图来直观理解.
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?y f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?0. 即 ? 0, ?x x1 ? x2

思考:试结合 y ? x3 :如果 f ( x) 在某区间上单调递增,那么在该区间上必有
f ?( x) ? 0 吗?

说明: 若 f ( x) 为某区间上的增 (减) 函数, 则在该区间上 f ?( x) ? 0( f ?( x) ? 0 ) 不一定成立. 即如果在某区间上 f ?( x) ? 0( f ?( x) ? 0 ) 是 f ( x) 在该区间上是增 (减) 函数的充分不必要条件. (四) 、知识运用 1、例题探析:例 1、确定函数 f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 在哪个区间内是增函数,哪 个区间内是减函数. 解: f ?( x) ? 2 x ? 4 .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 2 .因此,在区间 (2, ??) 内, f ( x) 是增函数. 同理可得,在区间 (??, 2) 内, f ( x) 是减函数(如左图) .

例 2、确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在哪些区间内是增函数. 解: f ?( x) ? 6 x2 ?12 x .令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? 0 或 x ? 2 . 因此,在区间 (??, 0) 内, f ( x) 是增函数;在区间 (2, ??) 内,
f ( x) 也是增函数.

例 3、确定函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, 2? ] 的单调减区间.

? 3? 0 ,又 x ? [0,2 ? ] ,所以 x ? ( , ) . 解: f ( x)? ? cos x .令 f ?( x) ?0 ,即 cos x ? 2 2 ? 3? 故区间 ( , ) 是函数 f ( x) ? sin x , x ? [0, 2? ] 的单调减区间.注意:所求的 2 2
单调区间必须在函数的定义域内.

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例 4、 已知曲线 y ? x3 ? 3x2 ? 6 x ? 10 , (1) 用导数证明此函数在 R 上单调递增; (2)求曲线的切线 l 的斜率的取值范围. (1)证明:

y? ? 3x2 ? 6x ? 6 ? 3( x2 ? 2x ? 1) ? 3 ? 3( x ? 1)2 ? 3 ? 0 恒成立.所以此函数在 R 上递
增. (2)解:由(1)可知 f ?( x) ? 3( x ? 1)2 ? 3 ? 3 ,所以 l 的斜率的范围是 k ? 3 . 2、巩固练习:练习册 1,2,3. (五) .回顾小结:函数单调性与导数的关系:函数 y ? f ( x) ,如果在某区间 上 f ?( x) ? 0 , 那么 f ( x) 为该区间上的增函数; 如果在某区间上 f ?( x) ? 0 , 那么 f ( x) 为该区间上的减函数;如果在某区间上 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x) 为该区间上的常数函 数。用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数 f(x)的导数 f′ (x)。②令 f′ (x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区 间。③令 f′ (x) ? 0 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间。 (六) 、作业布置:1、已知函数 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? ax ? d 的图象过点 P(0,2), 且在点 M (?1, f (?1)) 处的切线方程为 6 x ? y ? 7 ? 0(Ⅰ) . 求函数 y ? f ( x) 的解析式; (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调区间。 解: (Ⅰ)由 f ( x) 的图象经过 P(0,2) ,知 d=2,所以 f ( x) ? x 3 ? bx2 ? cx ? 2, 由在 M (?1, f (?1)) 处的切线方程是 6 x ? y ? 7 ? 0 ,知

f ?( x) ? 3x 2 ? 2bx ? c. ? 6 ? f (?1) ? 7 ? 0,即f (?1) ? 1, f ?(?1) ? 6.

?3 ? 2b ? c ? 6, ?2b ? c ? 3, ?? 即? 解得b ? c ? ?3. 故所求的解析式是 ?? 1 ? b ? c ? 2 ? 1. ?b ? c ? 0,
f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2.
(Ⅱ) f ?( x) ? 3x 2 ? 6x ? 3.

令3x 2 ? 6x ? 3 ? 0,即x 2 ? 2x ? 1 ? 0.

解得 x1 ? 1 ? 2, x2 ? 1 ? 2. 当 x ? 1 ? 2, 或x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0; 当 1 ? 2 ? x ? 1 ? 2时, f ?( x) ? 0. 故 f ( x) ? x 3 ? 3x 2 ? 3x ? 2在(??,1 ? 2 ) 内是增 函数,

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在 (1 ? 2,1 ? 2 ) 内是减函数,在 (1 ? 2 ,??) 内是增函数. 2、已知向量 a ? ( x 2 , x ? 1),b ? (1 ? x, t ),若函数f ( x) ? a ? b 在区间(-1,1)上 是增函数,求 t 的取值范围。 解: 依定义 f ( x) ? x 2 (1 ? x) ? t ( x ? 1) ? ? x 3 ? x 2 ? tx ? t ,

f ?( x) ? ?3x 2 ? 2 x ? t. 若f ( x)在(?1,1)上是增函数 , 则在(?1,1)上可设f ?( x) ? 0.

? f ?( x) 的图象是开口向

下的抛物线,?当且仅当f ?(1) ? t ? 1 ? 0, 且f ?(?1) ? t ? 5 ? 0时
f ?( x)在(?1,1)上满足f ?( x) ? 0,即f ( x)在(?1,1)上是增函数 . 故t的取值范围是 t ? 5.

五、教后反思:

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