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【智慧测评】2015高考数学(人教A版,理科)大一轮总复习滚动检测2]


滚动检测(二)
一、选择题(每小题 6 分,共 60 分) 1.(2014 河南省六市第二次联考)若全集 U={-1,0,1,2},P={x∈Z|x2<2},则?UP 等 于( ) A.{2} C.{-1,2} B.{0,2} D.{-1,0,2}

解析:P={-1,0,1},∴?UP={2}.故选 A. 答案:A 2.(2014 哈尔滨市第三中学

模拟)△ABC 中,m=(cos A,sin A),n=(cos B,-sin B), 1 若 m· n= ,则角 C 为( 2 π A. 3 π C. 6 ) 2π B. 3 5π D. 6

1 1 π 2π 解析:m· n=cos Acos B-sin Asin B= ,即 cos(A+B)= ,所以 A+B= ,所以 C= . 2 2 3 3 故选 B. 答案:B 3.(2014 银川、吴忠联考)下列结论正确的是( A.若 p∨q 为真命题,则 p∧q 为真命题 B.“x=5”是“x2-4x-5=0”的充分不必要条件 C.命题“若 x<-1,则 x2-2x-3>0”的否命题为“若 x<-1,则 x2-2x-3≤0” D.已知命题 p:?x∈R,使得 x2+x-1<0,则綈 p:?x∈R,使得 x2+x-1>0 解析:对于 A,“p 真 q 假”时,p∨q 为真命题,但 p∧q 为假命题,即 A 错;对于 B, x=5 时 x2-4x-5=0, 当 x2-4x-5=0 时 x=-1 或 5, 即 B 正确; 对于 C, 否命题应为“若 x≥-1,则 x2-2x-3≤0”,即 C 错;对于 D,綈 p 应为“?x∈R,使得 x2+x-1≥0”, 即 D 错.故选 B. 答案:B 4.(2014 河南省六市第二次联考)设 a=20.3,b=0.32,c=logx(x2+0.3)(x>1),则 a,b, c 的大小关系是( A.a<b<c C.c<b<a
2

)

) B.b<a<c D.b<c<a

解析:∵x>1,∴c=logx(x +0.3)>logxx2=2,

又∵1<a<2,0<b<1,∴b<a<c.故选 B. 答案:B π 2 5.(2014 唐山模拟)已知 α∈(0,π),cos(α+ )= ,则 tan 2α 等于( 6 2 A. 3 3 B.- 3 3 )

C. 13

D.- 13

π 2 解析:∵cos(α+ )= ,α∈(0,π), 6 2 π π π ∴α+ = ,解得 α= . 6 4 12 π 3 ∴tan 2α=tan = .故选 A. 6 3 答案:A π ωx+ ?的图象与 y=1 的图象的两相邻交点间的距离为 π,要得到 y 6.已知 f(x)=cos? 3? ? =f(x)的图象,只需把 y=sin ωx 的图象( 5 A.向左平移 π 个单位长度 12 5 B.向右平移 π 个单位长度 12 7 C.向左平移 π 个单位长度 12 7 D.向右平移 π 个单位长度 12 解析:依题意 y=f(x)的最小正周期为 π,故 ω=2, π? π π? ? 因为 y=cos? ?2x+3?=sin?2x+3+2? 5π? =sin? ?2x+ 6 ? )

? 5π?? =sin? ?2?x+12??,
π? 5π 所以把 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度即可得到 y=cos? ?2x+3?的图象.故选 12 A. 答案:A 7.在△ABC 中, 2 1 A. b+ c 3 3 ,若点 D 满足 5 2 B. c- b 3 3 ,则 等于( )

2 1 C. b- c 3 3

1 2 D. b+ c 3 3

解析:如图所示,

2 2 1 =c+ (b-c)= b+ c, 3 3 3 故选 A. 答案:A 8.(2014 郑州市第二次质检)函数 f(x)=x-ex 在 R 上的零点个数是( A.0 C.2 B.1 D.3 )

解析:f′(x)=1-ex,令 f′(x)>0 得 x<0,令 f′(x)<0 得 x>0,即 f(x)在(-∞,0)上 是增函数,在(0,+∞)上是减函数,f(x)max=f(0)=-1<0,因此 f(x)不存在零点.故选 A. 答案:A 9.(2013 年高考福建卷)在四边形 ABCD 中, 面积为( A. 5 C.5 解析:因为 =(1,2)· (-4,2) ) B.2 5 D.10 =(1,2), =(-4,2),则该四边形的

=1×(-4)+2×2=0, 所以 ,且 = 12+22= 5,

= ?-4?2+22=2 5, 所以 S 四边形 ABCD= 答案:C 10.(2013 年高考辽宁卷)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos 1 C+csin Bcos A= b,且 a>b,则∠B 等于( 2 π A. 6 π B. 3 ) 1 2 1 = × 5×2 5=5.故选 C. 2

2π C. 3

5π D. 6

1 解析:由 asin Bcos C+csin Bcos A= b 得 2 1 sin Asin Bcos C+sin Csin Bcos A= sin B, 2 因为 sin B≠0, 1 所以 sin Acos C+cos Asin C= , 2 1 1 即 sin(A+C)= ,sin B= , 2 2 π 又 a>b,则∠B= .故选 A. 6 答案:A 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 11.若向量 a=(-1,x)与 b=(-x,2)共线且方向相同,则 x=________. 解析:∵a∥b,∴-1×2+x2=0,∴x=± 2, ∵a 与 b 同向,∴a· b>0,即-1×(-x)+2x>0, ∴x>0,因此 x= 2. 答案: 2 1 12.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程是 y= x+2,则 f(1)+f′(1) 2 =________. 1 5 解析:点 M 在切线上,∴f(1)= ×1+2= . 2 2 1 5 1 又 f′(1)=k= ,∴f(1)+f′(1)= + =3. 2 2 2 答案:3 13.(2013 年高考福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC 2 2 = ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为________. 3 解析:因为 AD⊥AC, 所以∠BAD=∠BAC-90° , 2 2 所以 cos∠BAD=cos(∠BAC-90° )=sin∠BAC= , 3 在△ABD 中,由余弦定理得, BD= AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD= 3. 答案: 3

14.(2014 山西康杰中学模拟)设 F 为抛物线 y2=4x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三 点,若 =0,则 =________.

解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3), ∵ =0 且 F(1,0),∴(x1-1,y1)+(x2-1,y2)+(x3-1,y3)=(0,0).

∴x1+x2+x3=3. ∴ 答案:6 三、解答题(共 70 分) 15.(本小题满分 10 分) 已知 sin α= π? 5 1 ,α∈? ?0,2?,tan β=3. 5 =x1+x2+x3+3=3+3=6.

(1)求 tan α 的值; (2)求 tan(α+2β)的值. 解:(1)∵sin α= π? 5 ,α∈? ?0,2?, 5 1 2 5 1- = . 5 5

∴cos α= 1-sin2 α= 5 5 sin α 1 ∴tan α= = = . cos α 2 5 2 5 1 (2)法一 ∵tan β= , 3 2tan β ∴tan 2β= = 1-tan2 β

1 2× 3 3 = , 1 ?2 4 1-? ?3?

1 3 + 2 4 tan α+tan 2β ∴tan(α+2β)= = =2. 1 3 1-tan αtan 2β 1- × 2 4 1 法二 ∵tan β= , 3 1 1 + 2 3 tan α+tan β ∴tan(α+β)= = =1, 1 1 1-tan αtan β 1- × 2 3

1 1+ 3 tan?α+β?+tan β ∴tan(α+2β)= = =2. 1 1-tan?α+β?tan β 1-1× 3 16.(本小题满分 12 分) 已知 O 为坐标原点,向量 满足 . π π? ,α∈? ?-8,2?,求函数 f(α)的值域; =(sin α,1), =(cos α,0), =(-sin α,2),点 P

(1)记函数 f(α)=

(2)若 O、P、C 三点共线,求|OA― →+OB― →|的值. 解:(1) 则 由 故 =(cos α-sin α,-1),设 =(x,y),

=(x-cos α,y). 得 x=2cos α-sin α,y=-1, =(2cos α-sin α,-1). =(sin α-cos α,1), =(2sin α,-1),

f(α)=

=(sin α-cos α,1)· (2sin α,-1)=

2sin2α-2sin αcos α-1=-(sin 2α+cos 2α)= π? - 2sin? ?2α+4?, π π? 又 α∈? ?-8,2?, π 5π 故 0<2α+ < , 4 4 π? ? 2 ? 所以 sin? ?2α+4?∈?- 2 ,1?, 故函数 f(α)的值域为[- 2,1). (2)由(1)知 =(2cos α-sin α,-1), =(-sin α,2),

由 O、P、C 三点共线可得 (-1)×(-sin α)=2×(2cos α-sin α), 4 得 tan α= . 3 2sin αcos α 2tan α 24 sin 2α= 2 = = . sin α+cos2α 1+tan2α 25 ∴ = ?sin α+cos α?2+1=

2+sin 2α=

74 . 5

17.(本小题满分 12 分) (2014 兰州市第三次诊断)已知△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 2(a2 +b2-c2)=3ab. (1)求 sin2 A+B ; 2

(2)若 c=2,求△ABC 面积的最大值. a2+b2-c2 3 3 解:(1)∵a2+b2-c2= ab,∴cos C= = ,∵A+B=π-C, 2 2ab 4 ∴sin2 A+B 1-cos?A+B? 1+cos C 7 = = = . 2 2 2 8

3 3 3 (2)∵a2+b2-c2= ab,且 c=2,∴a2+b2-4= ab,又∵a2+b2≥2ab,∴ ab≥2ab-4, 2 2 2 ∴ab≤8,当且仅当 a=b 时取等号. 3 ∵cos C= ,∴sin C= 1-cos2 C= 4 1 ∴S△ABC= absin C≤ 7, 2 即△ABC 面积的最大值为 7. 18.(本小题满分 12 分) (2014 哈师大附中模拟)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m= C cos ,1,n=(-1,sin(A+B)),且 m⊥n. 2 (1)求角 C 的大小; (2)若 3 = ,且 a+b=4,求 c. 2 3 7 1- 2= . 4 4

解:(1)∵m⊥n,∴m· n=0, C ∴-cos +sin(A+B)=0, 2 C C C C ∴-cos +sin C=0,∴-cos +2sin cos =0, 2 2 2 2 C π 且 0<C<π,∴0< < , 2 2 C C 1 C π π ∴cos ≠0,∴sin = ,∴ = ,∴C= . 2 2 2 2 6 3 1 3 (2)∵CA― →· CB― →=abcos C= ab= , 2 2 ∴ab=3.

又∵a+b=4, ∴c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-2ab-ab=16-9=7,∴c= 7. 19.(本小题满分 12 分) 1 3cos x, ?,函数 f(x)=(m+n)· 已知向量 m=(sin x,1),n=? m. 2? ? (1)求函数 f(x)的最小正周期 T 及单调递增区间; (2)已知 a、b、c 分别为△ABC 内角 A、B、C 的对边,A 为锐角,a=2 3,c=4,且 f(A) π? 是函数 f(x)在? ?0,2?上的最大值,求△ABC 的面积 S. 解:(1)f(x)=(m+n)· m 1 =sin2 x+1+ 3sin xcos x+ 2 = = 1-cos 2x 3 1 +1+ sin 2x+ 2 2 2 3 1 sin 2x- cos 2x+2 2 2

π? =sin? ?2x-6?+2. 因为 ω=2, 2π 所以 T= =π. 2 π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z), 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z). 6 3 π π? 故所求单调递增区间为? ?kπ-6,kπ+3?(k∈Z). π? (2)由(1)知 f(A)=sin? ?2A-6?+2, π? π π 5π 又 A∈? ?0,2?,∴-6<2A-6< 6 . π π ∴当 2A- = , 6 2 π 即 A= 时,f(x)取得最大值 3. 3 由余弦定理,a2=b2+c2-2bccos A. 1 可得 12=b2+16-2×4b× , 2 ∴b=2. 1 1 π 从而 S= bcsin A= ×2×4×sin =2 3. 2 2 3

20.(本小题满分 12 分) 1 1 (2014 德阳市一诊)已知函数 f(x)=a+ ln x+ -x(a>0). a x (1)求 f(x)的极值; (2)若曲线 y=f(x)上总存在不同两点 P(x1,f(x1)),Q(x2,f(x2)),使得曲线 y=f(x)在 P、Q 两点处的切线互相平行,证明 x1+x2>2. 11 1 (1)解:f′(x)=a+ - 2-1 ax x 1 x2-a+ x+1 a =- 2 x 1 ?x-a?x- a =- (x>0). x2 1 1 1 当 a>1 时,0< <a,f(x)的单调递减区间是 0, ,(a,+∞),单调递增区间是 ,a. a a a 1 1 1 1 f(x)极小值=f =a+ ln +a- = a a a a 1 1 -a+ ln a+a- , a a 1 1 f(x)极大值=f(a)=a+ ln a-a+ . a a ?x-1?2 当 a=1 时,f′(x)=- ≤0,f(x)无极值. x2 1 1 当 0<a<1 时,0<a< ,f(x)的单调递减区间是(0,a), ,+∞,单调递增区间是 a, a a 1 . a 1 1 1 f(x)极大值=f =-a+ ln a+a- , a a a 1 1 f(x)极小值=f(a)=a+ ln a-a+ . a a (2)证明:依题意知, 11 1 f′(x1)=a+ - 2-1=f′(x2) ax1 x1 11 1 =a+ - 2-1, ax2 x2 1 1 1 x1+x2 故 a+ = + = . a x1 x2 x1x2 ?x1+x2?2 由 x1+x2>2 x1x2得 x1x2< , 4



x1+x2 4 > , x1x2 x1+x2

1 x1+x2 4 故存在 x1,x2 使 a+ = > , a x1x2 x1+x2 4 即 x1+x2> . 1 a+ a 1 当 a>0 时,a+ ≥2,当且仅当 a=1 时取等号. a 4 所以 x1+x2> =2. 1max a+ a 即 x1+x2>2.


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