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2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案及评分标准


2013 年全国高中数学联赛辽宁省初赛参考答案及评分标准
说明: 1.评阅试卷时,请依据本评分标准,选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档,其它各 题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2.如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分,可以 5 分为一个档次,不要再增加其它中间档次。 一.选择题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 1. (B). 2. (D). 3. (C). 4. (B). 5. (C). 6. (A) . 二.填空题(本题满分 30 分,每小题 5 分) 7.

x2 y2 6 34 4 2n . 8. . 9. . 12. an ? (n ? 1)(2n ?1 ? 1) . ? ? 1 . 10. 4212 . 11. 17 16 4 3 n ?1
∴ ? ? ? ? m, ?? ? ?1 ,

三.解答题 13. 解: (Ⅰ)∵ ? , ? 是方程 x 2 ? mx ? 1 ? 0 的两个根, ∴ f (? ) ?

2? ? m 2? ? (? ? ? ) ? ?? 1 , ? ? ? 2 2 ? ?1 ? ? ?? ? (? ? ? ) ?
∴ ? f (? ) ? ? f ( ? ) ? 2 , ……………… (5 分)

∴ ? f (? ) ? 1 , 同理可得 ? f ( ? ) ? 1

2( x 2 ? mx ? 1) 2( x ? ? )( x ? ? ) ?? (Ⅱ)∵ f ?( x) ? ? , 2 2 ( x ? 1) ( x 2 ? 1)2
当 x ? (? , ? ) 时, f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 在 (? , ? ) 上单调递增. ………………………(10 分) (Ⅲ)∵ ∴? ?

?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?? ? (? ? ? ) ?? ? ?0, ?? ? ?0, ??? ??? ??? ???
∴由(Ⅱ)可知, f (? ) ? f (

?? ? ?? ?? ???

?? ? ?? ) ? f (? ) , ???

同理 f (? ) ? f (

?? ? ?? ) ? f (? ) , ???
……………………………(15 分)

∴| f (

?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| f (? ) ? f ( ? ) | , ??? ???
1

由(Ⅰ)可知, f (? ) ? ∴ | f (? ) ? f ( ? ) |?|

?
1

, f (? ) ?

1

?

, ?? ? ?1,

1

?

?

?

|?|

? ?? |?| ? ? ? | , ??
……………………(20 分)

∴| f (

?? ? ?? ?? ? ?? )? f ( ) |?| ? ? ? | . ??? ???

14. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时,由 a2 ? 6 ? ? ? 2 ? 2 得 ? ? ?2 ,
1/3

即 an ? 2n 时, ? ? ?2 . 下面证明当 ? ? ?2 时, an ? 2n .

…………………………(5 分)

当 n ? 2 时, a2 ? 2 ? 2 成立;设当 n ? k (k ? 2) 时, ak ? 2k 成立;则当 n ? k ? 1 时,
2 ak ?1 ? ak ? kak ? ? ? ak (ak ? k ) ? ? ? 2k 2 ? 2 ? 2 ? k ? 1? (k ? 1) ? 2 ? k ? 1? ,

故对所有 n ? 2 , an ? 2n 成立. 当 n ? 1时, a1 ? 3 ? 2 ? 1 成立, 故对所有 n ? N* , an ? 2n 成立. 综上, ? 的取值范围是 ? ? ?2 . ……………………………(10 分)

2 (Ⅱ)当 ? ? ?2 时, a n ?1 ? 2 ? a n ? nan ? 4 ? nan ? 4 ? 2?a n ? 2? ? 0 ( n ? 2 ) ,

?

1 1 1 1 1 1 , ? ? ? ? ? ? ? ?? ? n ?1 ? ? n ?1 ( n ? 3 ) …………………(15 分) a n ? 2 2 a n ?1 ? 2 a1 ? 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? 1 ? ? 2 ? ??? ? n?1 ? 2 ? n?1 ? 2 . ……………(20 分) a1 ? 2 a2 ? 2 an ? 2 2 2 2 2
15.证明:如图,作平行四边形 ABFC 和平行四边形 ABGP , 则 AC ? FB , ?ACE ? ?FBD ,又 BD ? CE , 故 ?AEC ? ?FDB , ………………………(5 分)

A

?BDF ? ?AEC ,所以 FD / / AE ,
又 PD / / AE ,则 P 、 D 、 F 三点共线. ……(10 分) 因此, ?BFP ? ?BFD ? ?EAC ? ?BAP ? ?BGP , 故 B 、 G 、 F 、 P 四点共圆,

P

B

D

E

C

?FBG ? ?FPG ? ?BAP ? ?EAP ? ?CAP 又由于

G

AP ? BG, AC ? BF ,故 ?APC ? ?BGF ,……(20 分)
故 ?ABP ? ?BPG ? ?BFG ? ?ACP . ……(25 分)

F

16.解:(Ⅰ)设点 M ( x,y ) ,由 2 ? MQ ? PQ ,得

???? ?

??? ?

y P A

P( x, 2 y ) ,
由于点 P 在 C1:x ? y ? 2 上,
2 2

M

C
O

T

所以

x2 ? 2 y 2 ? 2 , 即 M 的 轨 迹 方 程 为
Q
………………(5 分)

x2 ? y 2 ? 1. 2
(Ⅱ)设点 T (2,t ) , 则 AT , BT 的方程为

x

D B

A( x1? , y1? ),B( x2? ,y2? ) ,

2/3

x1? x ? y1? y ? 2 , x2? x ? y2? y ? 2 ,
又点 T (2, t ) 在 AT 、 BT 上,则有:

2 x1? ? ty1? ? 2 ①, 2 x2? ? ty2? ? 2 ②,
由①、②知 AB 的方程为: 2 x ? ty ? 2 , 设点 C ( x1 ,y1 ),D( x2 ,y2 ) ,则圆心 O 到 AB 的距离 d ?

……………………(10 分)

2 4 ? t2

,则

| AB |? 2 r 2 ? d 2 ? 2

2t 2 ? 4 ; t2 ? 4

……………………(15 分)

?2 x ? ty ? 2 ? 2 2 又由 ? x 2 ,得 (t ? 8) y ? 4ty ? 4 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?2
2 4t ?4 t2 2 2 ? 4 ? 2t ? 8 t | y1 ? y2 |? 于是 y1 ? y2 ? 2 ,y1 y2 ? 2 , | CD |? 1 ? ∴ , 4 t2 ? 8 t ?8 t ?8

| AB | (t 2 ? 8) t 2 ? 2 ? 于是 , | CD | (t 2 ? 4) t 2 ? 4

| AB | ? 设 t ? 4 ? s ,则 s ? 4 ,于是 | CD |
2

s 3 ? 6s 2 ? 32 6 32 ? 1? ? 3 , 3 s s s



1 1 | AB | ? m,m ? (0, ] ,于是 ? 1 ? 6m ? 32m3 ,……………………(20 分) | CD | s 4
f (m) ? 1 ? 6m ? 32m3 , f ?(m) ? 6 ? 96m2 ,令 f ?(m) ? 0 ,得 m ?
1 ., 4





f (m) 在 (0, ] 上单调递增,故 f (m) ? (1, 2] .,即

1 4

? 2 ? | CD | ,1 ? . 的范围为 ? 2 ? | AB | ? ?

…………………………………………(25 分)

3/3


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