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立体几何中的向量方法(三)空间求角


3.2.3立体几何中的向量方法 ——空间“角”问 题

线线角

空间的角常见的有: 线面角
面面角

一、线线角: 异面直线所成角
C

?? ? ?? 0, ? 2? ? ?

A
?

D
D1
思考:



?

C1

B
? CD, AB ? 与? ?的关系? ? DC, AB ? 与? ?的关系?

一、线线角:异面直线所成角

?? ? ?? 0, ? 2? ? ?

设直线CD的方向向量为a,AB的方向向量为b
?
b a

? ? a??, ??b

a

?
b

? ? ? ? a??, ??b

结论:

?

| cos ? a, b ?|

题型一

求异面直线所成的角

【例 1】在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中,已知 DA=DC=4,DD1=3,求异面直线 A1B 与 B1C 所成角的余弦值.

? 二、线面角: 直线与平面所成角 ? ? [0, ]
2

A

思考:
O

B

?

?

设平面?的法向量为n,则 ? n, BA ? 与?的关系?

二、线面角: 直线与平面所成角
A
n

? ? [0,

?
2

]

? ? ? ? n, BA 2
? ? n, BA ? ?
2
n

A

B?

B?

?

?

结论: sin ?

?

| cos ? n, AB ?|

三、面面角: 二面角的平面角 ? ? [0, ? ]
①方向向量法: 将二面角转化为二面角的两个面内垂直于二 面角棱的直线的方向向量的夹角。如图,设 二面角 ? ? l ? ? 的大小为? , 其中 AB ? l , AB ? ? , CD ? l , CD ? ?
?
B A

?
D

cos ? ? cos AB, CD ?

AB ? CD AB ? CD

l

C

三、面面角: 二面角的范围:? ? [0, ? ]
②法向量法
n1, n2

? ? n1, n2
n2

? ? ? ? n1, n2

?

?
?
l

n2

n1, n2
n1
?

?
n1
l

?

cos ?

?

cos ? n1, n2 ?
?

cos ?
?

?

? cos ? n1 , n2 ?

结论: cos ? ? ? cos n1 , n2

(正负号的取法由 实际图形二面角的 大小决定)

练习:
?ACB ? 90?, AC ? 2BC ? 2, 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
CC1 ? 2, 求 B1C与侧面 A1 ABB 1 所成角的余弦值.

1.异面直线所成角: cos ?

? | cos ? a, b ?| sin ? ? | cos ? n, AB ? | 2.直线与平面所成角:
3.二面角:
①方向向量法:
?
B
C l

②法向量法:

cos ? ? ? cos n1 , n2
A
D
?

?

?

cos ? ? cos AB, CD ?

AB ? CD AB ? CD

正负由实际图形中二 面角的大小决定

思考?如图,甲站在水库底面上的点A处,乙站在水坝
斜面上的点B处,从A,B到直线l(库底与水坝的交线)的 距离AC和BD分别为a,b,CD的长为c,AB的长为d。求库底与 水坝所成二面角的余弦值。
?

?

如果夹角? 可以测出,而AB未知,其它条件不变, 可以计算出AB的长吗?

Thank you!


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