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2.1空间点-直线-平面之间的位置关系


构成图形的基本元素
D′ A′ D B′ C′

点无大小

线无粗细

C
面无厚薄

A

B 点、线、面



直线

可无限延伸的

平面

平面是可

无限延展的

桌面

海平面

教学目标: 1、掌握平面的表示法及水平放置的 直观图; 2、会用符号表示出点与直线,点与 平面,直线和平面以及平面与平面相 交的位置关系; 3、掌握平面的基本性质(三个公理) 及作用; 4、培养学生的空间想象能力。

平面的表示
一般来说,常用正方形或长方形表示平面,如 图一, 在画立体图时,为了增强立体感, 常常把平 面画成平行四边形,如图二是按照斜二测画法得到的 平面的水平直观图.

图一

图二

概念:平面是无限延伸的.
几何画法:通常用平行四边形来表示平面. 符号表示:通常用希腊字母 ? , ? , ? 等来表示,如: 平面 ? 也可用表示平行四边形的两个相对顶点的 字母来表示,如:平面AC.

表示两平面相交的画法

巩固:

判断下列各题的说法正确与否,在正 确的说法的题号后打 ,否则打 .

1、一个平面长 4 米,宽 2 米;
2、平面有边界; 3、一个平面的面积是 25 cm 2;

(
( (

)
) )

4、平面是无限延展、没有厚度的 ;

(

)
)

5、一个平面可以把空间分成两部分. (

点与平面的位置关系

A ?? 点A 在平面内,记作:
点B 在平面外,记作: B ??

2.平面的基本性质 思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上所有的点都在这个平面内.

A ? l , B ? l , A ?? , B ? ? ? l ? ?

作用:用于判定线在面内

注 :空间中线与面的位置关系
直线a在平面 内 记作:a ?

? 直线a在平面?外

? 记作:a ? ?

强调: 空间中点与线(面)只有∈和? 关系 空间中线与面只有 ? 与 ? 的关系

推导符号“?”的使用: 条件1 ?结论 条件?结论 条件2



思考2:固定一扇门需要几样东西?

回答:确定一个平面需要什么条件?

公理2 经过不在同一条直线上的三点,有且 只有一个平面.

A, B, C不共线? A, B, C确定一平面

作用:用于确定一个平面.

确定一平面还有哪些方法?
公理2.不共线的三点确定一个平面.
B

?

A

C

推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2.两条相交直线确定一个平面。 推论3.两条平行直线确定一个平面。

应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一 张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提 议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳 捆扎一下作桌脚(如图所示),问至少要 几根木棍,才可能使桌面稳定??

答:至少3根

应用2:过空间中一点可以做几个平面? 过空间中两点呢?三点呢?

结论:过空间中一点或两点可以做无数个 平面,过空间中不共线的三点只能做一个, 否则有无数个。

思考3:如图所示,两个平面?、?,若相交 于一点,则会发生什么现象?

?
l

?

P

公理3 如果两个平面有一个公共点,那么它们还 有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线.

P ?? ? ? ? ? ? ?? ? l且P ? l
两面共一点则两面共一线且点在线上

作用:用于证明点在线上或多点共线.

课堂练习
1.正方体的各顶点如图所示,正方体的三个面所在平 面 A1C1 , A1B1 , B1C1,分别记作?、?、? ,试用适当的符号填 空. (1) A1 _______ ? , B1 _______ ?
? (2) B1 _______ ? , C1 _______
(3) A1 _______? , D1 _______?

(4)? _______? ? A1B1

? _______ ? ? BB1
? (5) A1B1 ________ ? , BB1 ________

A1B1 ________ ?

2 .根据下列符号表示的语句,说出有关点、线、 面的关系,并画出图形.
(1) A ?? , B ??
(2)l ? ? , m ? ?

(3)? ? ? ? l

(4) P ? l , P ?? , Q ? l , Q ??

3、一个平面把空间分成____部分,两个平面把空间 最多分成____部分,三个平面把空间最多分成 ____部分. 4、正方体中,试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的 平面截得正方体的截面形状.

2.1.2

空间中直线与直线 之间的位置关系

两条直线的位置关系
思考1:同一平面内两条直线有几种位置关系? 空间中的两条直线呢?

b
C

a

1)教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何?

2)天安门广场上,旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何?

观察

如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中,线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线,线段 BC所在直线,线段CD所在直线的位置关系如何?
D' A' D A B B' C C'

两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.

a
b

a

b

异面直线的图示

问题 关于异面直线的定义,你认为下列哪个说法 最合适?

A. B. C. D. E.

空间中既不平行又不相交的两条直线; 平面内的一条直线和这平面外的一条直线; 分别在不同平面内的两条直线; 不在同一个平面内的两条直线; 不同在任何一个平面内的两条直线.

空间中的直线与直线之间有三种位置关系:
相交直线: 同一平面内,有且只有一 个公共点; 平行直线: 同一平面内,没有公共点; 异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点

共面直线

探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原

为正方体,那么AB,CD,EF,GH这四条线段所在直线 是异面直线的有多少对?
C G D
H E F E 直线EF 和直线HG 直线AB 和直线CD A A H B F D

B

G
C

答:3对

直线AB 和直线HG

平行直线
观察

如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中, BB′∥AA′,DD′∥AA′,那么BB′与DD′平行 吗 ? D'
C'

A'
D A 答:平行

B'

C B

平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b,b//c,那么a//c 空间中的平行线具有传递性 C F D F

D
A C

B

E

A

B

三条平行线共面

E 三条平行线不共面

平行直线
问题

已知三条直线两两平行,任取两条直线能确 定一个平面,问这三条直线能确定几个平面?
D C

F

D
A C E
三条平行线不共面

F

B

E

A

B

三条平行线共面

平行直线
例2 如图,空间四边形ABCD中,E,F,G,H分 别是AB,BC,CD,DA的中点. 求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:连接BD,

因为
所以 同理

EH是 ?ABD 的中位线,
1 EH // BD ,且 EH ? BD 2 1 FG // BD ,且 FG ? BD 2

A E H

D
F

G C

因为 EH // FG ,且 EH ? FG B 所以 四边形EFGH 是平行四边形.

探究 在上例中,如果再加上条件AC=BD,那么四 边形EFGH 是什么图形? 答:四边形EFGH是菱形 A H

1 1 因为EF ? AC, EH ? BD 2 2 且AC ? BD 所以EF ? EH 所以平行四边形 EFGH是菱形
B

E
D F G C

等角定理 思考1 在平面上,我们容易证明“如果一个角的 两边和另一个角的两边分别平行, 那么这两个 角相等或互补”.空间中,结论是否仍然成立?

思考2: 如图,四棱柱ABCD--A′B′C′D′的底面是平行 四边形,∠ADC与∠A′D′C′, ∠ADC与∠B′A′D′ 的两边分别对应平行,这两组角的大小关系如何 ? C' C' B' B' A' A' D' D' C C B B

D

A
∠ADC=∠A′D′C′

D

A

∠ADC+∠B′A′D′=1800

思考3

如图,在空间中AB// A′B′,AC// A′C′, 你能证明∠BAC与∠B′A′C′ 相等吗?

E? A? E D? C

C?

B?

A

D

B

等角定理
定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
AC // A?C?, ? AB // A?B?
C
C

? A
C?

B

? A

B
C?

?

A?

B?

?

B?

A?

等角定理:空间中如果两个角的两边分别 对应平行且方向相同,那么这两个角相等.

异面直线所成的角
思考 在同一平面内两条相交直线形成四个角,常 取较小的一组角来度量这两条直线的位置关系,这 个角叫做两条直线的夹角.在空间中怎样度量两条 异面直线的位置关系呢?

a

a b b
平面内两条相交直线 空间中两条异面直线

已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直 线 a? // a, ?b? // b ,把 a? 与 b ? 所成的锐角(或直角)叫 做异面直线a与b所成的角.
b

b?

b

?

a

O

a?

?

O

a? a

异面直线所成的角
探究

我们规定两条平行直线的夹角为0°,那么 两条异面直线所成的角的取值范围是什么?
b

? ?? ? 0, ? ? 2?

?

a

如果两条异面直线所成角为900,那么这两 条直线垂直. 记直线a垂直于b为:a?b

异面直线所成的角
探究 (1)在长方体ABCD ? A?B?C ?D?中,有没有两条棱 所在的直线是相互垂直的异面直线? 如: AD与BB?, A?D?与BB? 等.
D?

C?
B? C

(2)如果两条平行直线中的 D 一条与某一条直线垂直,那么, 另一条直线是否也与这条直线 A B 垂直? 垂直 (3)垂直于同一条直线的两条直线是否平行?

A?

不一定,如上图的立方体中 AB ? BB?, BC ? BB?, 直线AB与BC相交,

异面直线所成的角
例3 已知正方体 ABCD ? A?B?C ?D? . (1)哪些棱所在直线与直线 BA? 是异面直线? (2)直线 BA? 和CC ? 的夹角是多少? (3)哪些棱所在的直线与直线 AA? 垂直? 解:(1)由异面直线的定义可知, D? C? 棱 AD, ? A? DC , ? C C?, ? D D?, D?C?, ?B?C? 所在 B? 的直线分别与直线 BA?是异面直线. D C ?B?BA? 为 (2)由 BB? // CC ? 可知, A B ?B?BA? ? 45?, 异面直线 BA? 与 CC ?的夹角, 所以 BA? 与 CC ? 的夹角为 45? . BC , ? CD , ? DA , ?A?B?, ?B?C?, ?C?D?, ?D?A? (3)直线 AB, ? 分别与直线 AA? 垂直.

练习1 在如图所示的长方体中,AB= 3 ,且 AA1=1,求直线BA1和CD所成角的度数.

D1

C1

A1
D
A

B1
C
B
O

30

练习2
如图,在四面体ABCD中,E,F分别是棱AD, BC上的点,且 EF ? 3 , 求异面直线AB和CD所成的角. A E
AE BF 1 ? ? ,已知AB=CD=3, ED FC 2

D

练习3

B

F

C

n直线相交最多有几个交点?

2.1.3
空间中直线与平面之间 的位置关系

直线与平面
思考?

1)一支铅笔所在的直线 与一个作业本所在的平面, 可能有几种关系?
2)如图,线段A’B所在直 线与长方体ABCD-A’B’C’D’的六 A' 个面所在平面有几种位置关 系? A D' B' C'

D
B

C

直线与平面
直线和平面的位置关系有且只有三种 (1)直线在平面内 有无数个公共点

a ?

记为:a??

直线与平面
(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点

a

?

A

记为:a??=A

直线与平面

(3)直线与平面平行
a

没有公共点

?

记为:a//?

直线与平面
直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 记为:a?? a//?
a a

a??=A 或

A ?

?

直线与平面
例1. 下列命题中正确的个数是 ( B ) 1)若直线 l 上有无数个点不在平面?内,则 l//? 2) 若直线 l 与平面?平行,则 l 与平面?内的任意 一条直线都平行 3)如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那 么另一条也与这个平面平行 4)若直线 l与平面?平行,则 l与平面?内的任意一 条直线都没有公共点.

(A) 0

(B) 1

(C)

2

(D)

3

2.1.4

平面与平面之间的 位置关系

平面与平面之间的位置关系
思考 (1)拿出两本书,看作两个平面,上下、左 右移动和翻转,它们之间的位置关系有几种?

(2)如图,围成长方体ABCD-A′B′C′D′的六个面, 两两之间的位置关系有几种?
D' A' D A B B' C'

C

两个平面的位置关系
两个平面的位置关系有且只有两种 ①两个平面平行——没有公共点 ②两个平面相交——有一条公共直线. 分类的依据是什么?

公理3 如果两个不重合的平面有一个公共 点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

两个平面平行或相交的画法及表示
? ? ? ? m

?//?

???=m

探究1

? ,直线a、b,且?//?,a??,b??, 已知平面? 、 则直线a与直线b具有怎样的位置关系?

a ? b

?

答:平行或异面

探究2 如果三个平面两两相交,那么它们的交线 有多少条?画出图形表示你的结论.

b β γ
α
相交于一条交线

β

l

a

b

l a

γ

α

三条交线

三条交线

探究3

? 一个平面可以把空间分成几个部分? ? 两个平面可以把空间分成几个部分? ? 三个平面可以把空间分成几个部分?


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