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广东省潮州市2013届高三上学期期末教学质量检测数学理试题


理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分,考试时间 120 分钟。 考生注意事项: 1.答第Ⅰ卷时,每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用 橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号. 2.答第Ⅱ卷时,必须答题卡上作答.在试题卷上作答无效. 参考公式:

如果事件 A 、 B 互斥,那么 P( A ? B ) ? P( A ) ? P( B ) 如果事件 A 、 B 相互独立,那么 P( AB ) ? P( A ) P( B ) 棱柱的体积公式 V ? Sh ,其中 S 、 h 分别表示棱柱的底面积、高. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符 合题目要求. 1. 1 ? 2i ? i A. ? 2 ? i B. ? 2 ? i C. 2 ? i D. 2 ? i 2.集合 A ? { x | | x ? 2 | ? 2} , B ? { y | y ? ?x2 , ?1 ? x ? 2} ,则 A ? B ? A. R B. { x | x ? 0} C. {0} D. ?

3.若抛物线 y2 ? 2 px 的焦点与双曲线 A. ?2 B. 2 C. ?4

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为 2 2
D. 4

1 ? 0 成立的一个充分不必要条件是 x A. ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 B. x ? ?1 或 0 ? x ? 1 C. x ? ?1 D. x ? 1 5.对于平面 ? 和共面的两直线 m 、 n ,下列命题中是真命题的为 A.若 m ? ? , m ? n ,则 n // ? B.若 m // ? , n // ? ,则 m // n C.若 m ? ? , n // ? ,则 m // n D.若 m 、 n 与 ? 所成的角相等,则 m // n ??? ???? ???? ? ??? ??? ? ? ? 6.平面四边形 ABCD 中 AB ? CD ? 0 , ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,则四边形 ABCD 是
4.不等式 x ? A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.梯形 7.等比数列 { an } 中 a1 ? 512 ,公比 q ? ?

1 ,记 ?n ? a1 ? a 2??? an (即 ? n 表示 2

数列 { an } 的前 n 项之积) ?8 , ?9 , ?10 , ?11 中值为正数的个数是 , A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

8.定义域 R 的奇函数 f ( x ) ,当 x ? ( ? ? , 0) 时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 恒成立,若

a ? 3 f ( 3) , b ? (log? 3) ? f (log? 3) , c ? -2f (-2 ,则 )
A. a ? c ? b B. c ? b ? a C. c ? a ? b D. a ? b ? c 第Ⅱ卷(非选择题,共 110 分) 二 填空题:本题共 6 小题,共 30 分,把答案填在答题卷相应的位置上. 9.某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手,抽 到高一男生的概率是 0.2 ,现用分层抽样的方法在全校抽取 100 名奥运志愿者,则在高二抽取的学生 人数为______. 高一 高二 高三 y 女生 600 650 x z 男生 750

?x ? y ?1 ? 0 ? 10.如果实数 x 、 y 满足条件 ? y ? 1 ? 0 ,那么 2x ? y 的最大值为______. ?x ? y ?1 ? 0 ?
11.在 ?ABC 中角 A 、 B 、 C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,若 ( 2b ? c ) cos A ? a cos C , 则 cos A ? ________. 开始

1 1 1 1 12.右图给出的是计算 ? ? ? ? ? ? ? 的值 2 4 6 20
的一个程序框图,其中判断框内应填入的条 件是 i ? ___? 13.由数字 0 、 1 、 2 、 3 、 4 组成无重复数字的 五位数,其中奇数有 个. 14.若一个正三棱柱的三视图如下图所示,则这 个正三棱柱的体积为__________.
2 主视图

S ? 0, n ? 2, i ? 1
是 否

S?S?

1 n

输出 S 结束

n ? n?2 i ? i ?1
题 12 图

2 3
左视图

俯视图

三.解答题(本大题共 6 小题,共 80 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题共 12 分)已知函数 f ( x) ? sin x ? cos x , f ?( x) 是 f ( x ) 的导函数. (1)求函数 g ( x) ? f ( x) ? f '( x) 的最小值及相应的 x 值的集合; (2)若 f ( x) ? 2 f ?( x) ,求 tan( x ? 16. (本题满分 12 分)

?
4

) 的值.

近年来,政府提倡低碳减排,某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符 合低碳观念.若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族” ,否则称为“非低碳族” .数据如下表(计算 过程把频率当成概率) .

A 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.5

0.5

B 小区 频率 p

低碳族

非低碳族

0.8

0.2

(1)如果甲、乙来自 A 小区,丙、丁来自 B 小区,求这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率; (2) A 小区经过大力宣传,每周非低碳族中有 20% 的人加入到低碳族的行列.如 果 2 周后随机地从 A 小区中任选 25 个人,记 X 表示 25 个人中低碳族人数,求 E ( X ) . 17. (本小题满分 14 分) 已知点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) ,若动点 P 满足 MN ? MP ? 6 | NP | . (1)求动点 P 的轨迹 C ; (2)在曲线 C 上求一点 Q ,使点 Q 到直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离最小. 18.(本小题满分 14 分)已知梯形 ABCD中, AD ∥ BC , ?ABC ? ?BAD ?

???? ???? ?

??? ?

?
2



AB ? BC ? 2 AD ? 4 , E 、 F 分别是 AB 、 CD 上的点, EF ∥ BC , AE ? x .
沿 EF 将梯形 ABCD翻折,使平面 AEFD ⊥平面 EBCF(如图). G 是 BC 的 中点,以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x ) . (1)当 x ? 2 时,求证: BD ⊥ EG ; (2)求 f ( x ) 的最大值; (3)当 f ( x ) 取得最大值时,求异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值.

19. (本题满分 14 分)

1 2 ,前 n 项和 Sn ? n an ? n( n ? 1) , n ? 1 , 2 ,?. 2 n ?1 (1)证明数列 { (2)求 S n 关于 n 的表达式; S n }是等差数列; n
数列 { an } 中 a1 ?

(3)设 bn ?


n3

Sn ,求数列 { bn } 的前 n 项和 Tn .
1 . 4

20. (本题满分 14 分)二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 ,且最小值是 ? (1)求 f ( x) 的解析式;

1 (2)设常数 t ? ( 0 , ) ,求直线 l : y ? t 2 ? t 与 f ( x) 的图象以及 y 轴所围成封闭 2 图形的面积是 S ( t ) ; 1 1 (3)已知 m ? 0 , n ? 0 ,求证: ( m ? n ) 2 ? ( m ? n ) ? m n ? n m . 2 4

答案及评分标准:

1 1 ~ 8 :CCDD;CBBA;9. 30 ;10. 1 ;11. ;12. 10 ;13. 36 ;14. 8 3 . 2
以下是各题的提示: 1 ? 2i ?i 2 ? 2i 1. ? ? 2?i . i i 2. A ? [ 0 , 4] , B ? [ ? 4 , 0 ] ,所以 A ? B ? {0} .

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为 ( 2 , 0 ) ,所以抛物线 y2 ? 2 px 的焦点为 ( 2 , 0 ) ,则 p ? 4 . 2 2 1 4.画出直线 y ? x 与双曲线 y ? ,两图象的交点为 (1 , 1) 、 ( ? 1 , ? 1) ,依图知 x 1 x ? ? 0 ? ?1 ? x ? 0 或 x ? 1 (*),显然 x ? 1 ? (*);但(*) ? x ? 1 . ? x
3.双曲线 5.考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断. 6.由 AB ? CD ? 0 ,得 AB ? ?CD ? DC ,故平面四边形 ABCD 是平行四边形, 又 ( AB ? AD ) ? AC ? 0 ,故 DB ? AC ? 0 ,所以 DB ? AC ,即对角线互相垂直. 7.等比数列 { an } 中 a1 ? 0 ,公比 q ? 0 ,故奇数项为正数,偶数项为负数, ∴ ?11 ? 0 , ?10 ? 0 , ?9 ? 0 , ?8 ? 0 ,选 B.

??? ??? ? ?

?

??? ?

??? ?

????

??? ???? ???? ?

??? ???? ?

x 8. g (x) ?xf ( ) , 设 依题意得 g ( x) 是偶函数, x ? ( ? ? , 0) 时 f ( x) ? xf '( x) ? 0 , g ( x ? 恒 当 即 ' ) 0
成立,故 g ( x) 在 x ? ( ? ? , 0) 单调递减,则 g ( x) 在 ( 0 , ? ? ) 上 递增, a ? 3 f (3) ? g (3) , b ? (log? 3) ? f (log? 3) ? g(log? 3) ,

c ? ?2 f ( ? 2 ) ? g ( ? 2 ) ? g ( 2 ) .
又 log? 3 ? 1 ? 2 ? 3 ,故 a ? c ? b .

9.依表知 x ? y ? z ? 4000 ? 2000 ? 2000 ,

x ? 0.2 ,于是 x ? 800 , 4000

y ? z ? 1200 ,高二抽取学生人数为 1200 ?

1 ? 30 . 40

10.作出可行域及直线 l : 2 x ? y ? 0 ,平移直线 l 至可行域的点 ( 0 , ? 1) 时

2x ? y 取得最大值.
11.由 ( 2b ? c ) cos A ? a cos C ,得 2b cos A ? c cos A ? a cos C ,

2sin B cos A ? sin C cos A ? sin A cos C ,故 2sin B cos A ? sin( A ? C ) ,
又在 ?ABC 中 sin( A ? C ) ? sin B ? 0 ,故 cos A ?

1 , 2

12.考查循环结构终止执行循环体的条件.
1 1 3 13. C2 ? C3 ? A3 ? 6 ? 6 ? 36 .

14.由左视图知正三棱柱的高 h ? 2 ,设正三棱柱的底面边长 a ,则

3a ? 2 3 ,故 a ? 4 ,底面积 2

1 S ? ? 4 ? 2 3 ? 4 3 ,故 V ? Sh ? 4 3 ? 2 ? 8 3 . 2
15.解: (1)∵ f ( x) ? sin x ? cos x ,故 f '( x) ? cos x ? sin x , ∴ g ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? (sin x ? cos x )( cos x ? sin x ) ?? 2 分

? cos2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ,
∴当 2 x ? ?? ? 2k? ( k ? Z ) ,即 x ? ? 相应的 x 值的集合为 { x | x ? ?

??? 4 分

?
2

? k? ( k ? Z ) 时, g ( x) 取得最小值 ? 1 ,
??? 6 分

?
2

? k? , k ? Z } .

评分说明:学生没有写成集合的形式的扣 1 分. (2)由 f ( x) ? 2 f ?( x) ,得 sin x ? cos x ? 2cos x ? 2sin x ,

1 , 3 1 ? 1? tan x ? tan ? 3 ?2. 4 ? ∴ tan( x ? ) ? ? 1 4 1 ? tan x tan 1? 4 3
∴ cos x ? 3sin x ,故 tan x ?

?? 10 分

?? 12 分

16.解: (1)设事件 C 表示“这 4 人中恰有 2 人是低碳族” .

?? 1 分

2 2 1 1 2 2 P(C ) ? C2 ? 0.52 ? C2 ? 0.22 ? C2 ? 0.5 ? 0.5 ? C2 ? 0.2 ? 0.8 ? C2 ? 0.52 ? C2 ? 0.82

?? 4 分 0 .? 6 .0 . 3 3 1 答:甲、乙、丙、丁这 4 人中恰有 2 人是低碳族的概率为 0.33 ; ?? 5 分

?0.01 0.16 ? ?

a ? 0.5 ? (1 ? 20% ) 2 ? 0.32 . (2)设 A 小区有 a 人,两周后非低碳族的概率 P ? a
故低碳族的概率 P ? 1? 0.32 ? 0.68 . ???? 9 分 随机地从 A 小区中任选 25 个人,这 25 个人是否为低碳族相互独立,且每个 人是低碳族的概率都是 0.68 ,故这 25 个人中低碳族人数服从二项分布,即

X ~ B( 25 ,

17 17 ) ,故 E( X ) ? 25 ? ? 17 . 25 25

???? 12 分

17.解: (1)设动点 P( x , y ) ,又点 M ( 4 , 0 ) 、 N (1 , 0 ) , ∴ MP ? ( x ? 4 , y ) , MN ? ( ? 3 , 0 ) , NP ? ( x ? 1 , y ) . ??? 3 分 由 MN ? MP ? 6 | NP | ,得 ?3( x ? 4) ? 6 (1? x )2 ? ( ? y )2 , ??? 4 分 ∴ ( x2 ? 8x ?16) ? 4( x2 ? 2x ?1) ? 4 y2 ,故 3x2 ? 4 y2 ? 12 ,即 ∴轨迹 C 是焦点为 ( ? 1 , 0) 、长轴长 2a ? 4 的椭圆;

????

???? ?

??? ?

???? ???? ?

??? ?

x2 y 2 ? ? 1, 4 3
??? 7 分

评分说明:只求出轨迹方程,没有说明曲线类型或交代不规范的扣 1 分. (2)椭圆 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最值等于平行于直线 l : x ? 2 y ? 12 ? 0 且与椭圆 C 相切的直线 l1 与直线 l 的距离. 设直线 l1 的方程为 x ? 2 y ? m ? 0 ( m ? ?12 ) . ??? 8 分

?3x 2 ? 4 y 2 ? 12 2 2 由? ,消去 y 得 4 x ? 2mx ? m ? 12 ? 0 (*) . ?x ? 2 y ? m ? 0
2 依题意得 ? ? 0 ,即 4m2 ? 16( m2 ? 12) ? 0 ,故 m ? 16 ,解得 m ? ?4 .

当 m ? 4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与 l1 的距离 d ?

| 4 ? 12 | 16 5 ? . 5 1? 4 | ?4 ? 12| 8 5 ? . 5 1? 4

当 m ? ?4 时,直线 l1 : x ? 2 y ? 4 ? 0 ,直线 l 与 l1 的距离 d ?

由于

8 5 16 5 8 5 ,故曲线 C 上的点 Q 到直线 l 的距离的最小值为 .?12 分 ? 5 5 5

2 当 m ? ?4 时,方程(*)化为 4 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ?1)2 ? 0 ,解得 x ? 1 .

由 1 ? 2 y ? 4 ? 0 ,得 y ? ∴曲线 C 上的点 Q(1,

3 3 ,故 Q(1, ) . 2 2

??? 13 分

3 ) 到直线 l 的距离最小. ??? 14 分 2 18. (法一) (1)证明:作 DH ? EF ,垂足 H ,连结 BH , GH ,
∵平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , DH ? 平面 EBCF , ∴ DH ? 平面 EBCF,又 EG ? 平面 EBCF,故 EG? DH , ∵ EH ? AD ?

1 BC ? BG , EF // BC , ?ABC ? 90? . 2

∴四边形 BGHE为正方形,故 EG ? BH . 又 BH 、 DH ? 平面 DBH ,且 BH ? DH ? H ,故 EG ? 平面 DBH . 又 BD ? 平面 DBH ,故 EG ? BD. (2)解:∵ AE ? EF ,平面 AEFD ? 平面 EBCF ,交线 EF , AE ? 平面 AEFD . ∴ AE ? 面 EBCF .又由(1) DH ? 平面 EBCF,故 AE // DH , ∴四边形 AEHD 是矩形, DH ? AE ,故以 F 、 B 、 C 、 D 为顶点的三棱 锥 D ? BCF 的高 DH ? AE ? x ,

1 1 BC ? BE ? ? 4 ? ( 4 ? x ) ? 8 ? 2 x . 2 2 ∴三棱锥 D ? BCF 的体积 1 1 1 2 8 f ( x) ? S?BFC ? DH ? S?BFC ? AE ? (8 ? 2 x ) x ? ? x 2 ? x 3 3 3 3 3 2 8 8 ? ? ( x ? 2)2 ? ? . 3 3 3 8 ∴当 x ? 2 时, f ( x ) 有最大值为 . 3
又 S?BCF ? (3)解:由(2)知当 f ( x ) 取得最大值时 AE ? 2 ,故 BE ? 2 , 由(2)知 DH // AE ,故 ?BDH 是异面直线 AE 与 BD 所成的角. 在 Rt ?BEH 中 BH ?

BE 2 ? EH 2 ? 4 ? AD 2 ? 2 2 ,

由 DH ? 平面 EBCF, BH ? 平面 EBCF,故 DH ? BH 在 Rt ?BDH 中

BD ? BH 2 ? DH 2 ? 8 ? AE 2 ? 2 3 ,

∴ cos ?BDH ?

DH 2 3 ? ? . BD 2 3 3

∴异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值为

3 . 3

法二: 证明: (1) ∵平面 AEFD ? 平面 EBCF , 交线 EF ,AE ? 平面 AEFD ,AE ? EF , AE ⊥ 故 平面 EBCF ,又 EF 、 BE ? 平面 EBCF , ∴ AE ⊥ EF , AE ⊥ BE ,又 BE ⊥ EF ,取 EB 、 EF 、 EA 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴,建立空间坐标系 E ? xyz ,如图所示. 当 x ? 2 时, AE ? 2 , BE ? 2 ,又 AD ? 2 , BG ?

1 BC ? 2 . 2

∴ E ( 0 , 0 , 0) , A( 0 , 0 , 2) , B( 2 , 0 , 0) , G ( 2 , 2 , 0) , D( 0 , 2 , 2 ) . ∴ BD ? ( ? 2 , 2 , 2 ) , EG ? ( 2 , 2 , 0 ) , ∴ BD ? EG ? ?4 ? 4 ? 0 . ∴ BD ? EG ,即 BD ? EG ; (2)解:同法一; (3)解:异面直线 AE 与 BD 所成的角 ? 等于 ? AE , BD ? 或其补角.

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? AE ? BD ?4 3 ? ??? ? ? 又 AE ? ( 0 , 0 , ? 2 ) , 故 cos ? AE , BD ? ? ??? ?? 3 | AE | ? | BD | 2 4 ? 4 ? 4
∴ cos ? ?

3 3 ,故异面直线 AE 与 BD 所成的角的余弦值为 . 3 3

2 2 19. (1)证明:由 Sn ? n an ? n( n ? 1) ,得 S n ? n ( S n ? S n ?1 ) ? n( n ? 1) ( n ? 2 ) . 2 2 ∴ ( n ? 1) Sn ? n Sn ?1 ? n( n ? 1) ,故

n ?1 Sn } 是首项 2S1 ? 2a1 ? 1 ,公差 d ? 1 的等差数列; ?? 4 分 n n ?1 (2)解:由(1)得 Sn ? 2 S1 ? ( n ? 1)d ? 1 ? n ? 1 ? n .??? 6 分 n n2 ∴ Sn ? ; ???8分 n ?1
∴数列由 {

n ?1 n Sn ? Sn?1 ? 1 ( n ? 2) .?2分 n n ?1

1 n2 1 1 1 (3)由(2) ,得 bn ? 3 Sn = 3 ? = .?? 10 分 ? ? n n n ? 1 n( n ? 1) n n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ∴数列 { bn } 的前 n 项和 Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? bn ? 1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 2 2 3 n ?1 n n n ? 1



2分

? 1?

20.解: (1)由二次函数 f ( x) 满足 f (0) ? f (1) ? 0 .设 f (x) ? ax( x ?1) ( a ? 0) ,

1 n . ? n ?1 n ?1

??? 14 分

1 a 则 f ( x) ? ax 2 ? ax ? a ( x ? ) 2 ? . 2 4
又 f ( x) 的最小值是 ? ∴ f ( x) ? x2 ? x ;

?????? 2分

1 ?a 1 ? ? .解得 a ? 1 . ,故 4 4 4
??????4分

(2)依题意,由 x 2 ? x ? t 2 ? t ,得 x ? t ,或 x ? 1? t . t 1 ? t )??6分 ( ? 由定积分的几何意义知

S ( t ) ? ? [( x2 ? x ) ? ( t 2 ? t )]dx ? (
0

t

x3 x 2 2 2t 3 t 2 ? ? t x ? tx ) |t0 ? ? ? ?? 8分 3 2 3 2

(3)∵ f ( x) 的最小值为 ?

1 1 1 ,故 m ? m ? ? , n ? n ? ? . ?? 10分 4 4 4

1 1 ∴ m ? n ? ( m ? n ) ? ? ,故 m ? n ? ? m ? n . 2 2 1 1 ∵ ( m ? n ) ? mn ? 0 , m ? n ? ? m ? n ? 0 , 2 2 1 1 ∴ ( m ? n )( m ? n ? ) ? mn ( m ? n ) ? m n ? n m , 2 2 1 1 ∴ ( m ? n )2 ? ( m ? n ) ? m n ? n m . 2 4

??? 12 分 ??? 13 分

??? 14 分


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