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证两次相似解平面几何竞赛题


2014年第1期

中学数学研究

?47?

证两次相似解平面几何竞赛题
浙江省宁波东海实验学校(,315800)
相似三角形知识作为平面几何的核心内容,也 是竞赛题命题的重点.虽然平面几何竞赛题的求解 方法多样,但本人对近年来的竞赛试题研究分析,发 现许多试题均可以通过两次运用相似三角形的判定 和

性质(简称“两次相似”)解决.本文通过实例分 析说明“两次相似”在解竞赛题中的应用.


陈明儒

的长均为正整数,求线段AD的长.(2013年长沙市 “学用杯”数学应用与创新能力大赛题) 分析:由直径,想到连弦 端,构造出直角三角形ABC. 通过设AD=fit,DB=b,由两 对直角三角形相似,得到两个 等式,再把问题转化为关于 fit,厶,的一个不定方程,然后求

证线段相等(或求线段长度) 如图1,在OD中,

例1

弦cD垂直于直径AB,M是

OC的中点,AM的延长线交
00于点E,DE与BC交于点

Ⅳ.求证:BN=CN.(2007年 全国初中数学联赛四川初赛
题)

名 飞憋

、\


方程的整数解.

图2

t解:连结AC、BC,则二A佃=900.又CD上AB,
DE』CO,由RtACDE一尺tACOD,可得CE?CO=

C矿,曲RtAACD—RtACBD,可得CD2=AD?BD,所

矗歹

以,CE?CD=AD?肋.
设AD=口,DB=b,口,b为正整数,则CO=



.分析:抓住题目中的重要

图1

条件“弦CD垂直于直径AB”,联想到垂径定理及圆 周角定理,想到连结AC、BD,构造两对相似三角形, 通过比例式的传递,就可得出所求证的两条线段相
等.

生岩又cE:10,代入上式得10.生#:口6,整理

/-

得(口一5)(b一5)=25.考虑到o>b,只能是口一5 >b一5>0,得a一5=25,b一5=1.因此,AD=
口=30.

证明:如图l,连结AC、BD.因为弦CD上AB,则
BC=BD,所以LBCD=LBDC,因OA=OC,有

评注:解几何计算题往往要运用方程思想,通过 勾股定理及相似三角形的性质作为等量关系,列方 程(组)解决.


LOCA=£OAC,又LBDC=[OAC,则LBCD=

LOCA,i欢ABCD—zaOCA,于是有器=等在
ACDN与△CAM中,因为LDCN=LACM,LCDN

证角相等(或求角


度) 例3

如图3,P、Q分别 若
图3

=/_CAM,所以厶cDⅣ”△cA胍从而砑CN=筹=

是圆内接四边形ABcD的对

角线AC、BD的中点.
LBPA=LDPA,证明:

历CB=舞,所以cⅣ=÷∞,BN=cⅣ.
评注:本题构造的两对相似三角形,分别有一条
公共边,这样可以实现前后比例式的联系与转化,这

LAQB=LCQB.(2011年全 国高中数学联合竞赛题)

是运用“两次相似”证题的一般特征,难点是在复杂 图形中快速找到两对符合特征的相似三角形.其实,
这个问题也可以通过证zIBCD—AOCA与ABDN一 ,40AM解决. 例2 如图2,已知AB为圆D的直径,C为圆周

证明:延长线段卯、AQ分别与圆交于E、F,则
LCPE=LDPA=LBPA.由P点是线段AC的中

点,知AB=衄,从而LCDP=./_ADB.因为LABD

=。Z.PCD,所以,AABD,i,APCD=,嚣D=历PC,酬B?
CD=PC?BD.故AB?CD=÷AC?BD=

上一点,D为线段OB上一点(不是端点),满足CD
上AB,DE上CO,垂足为E.若CE=10,且AD与DB

万方数据

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中学数学研究

2014年第1期

Ac(21__BD)=AC?加,即丽AB=盟CD"又/__ABq=
/_ACD,则△ABQ—zMCD专/_OAB=/_DAC.故 /_CAB=/_DAF毒BC=DF.由Q是BD的中点,知

C妒=CE?CA②
①+②得AB?AD+c伊=CA?AE+cA?cE
=CA2.从而cA2一CB2=AB?AD.

解法2:如图6,以点C 为圆心,CB长为半径画圆 C,交AC及AC的延长线分 别于点E、F,连结BE、BF、 DF、BD.因为CD=CB,于
是得/_BAE=£cAD=

zcq8=/_DqF=£A叩.
例4 如图4,AD、AH分

别是ZXABC(其中AB>AC) 的角平分线、高线,肘是AD的 中点,△MDH的外接圆与CM

交于点E,求证£A船=900.
(2011年全国初中数学联赛 四川省决赛(初三)题)

么支
图4

£CBD.又因为CB=CE,

图6

所以£CBD+/__EBD=£鲋E+£ABE则/_EBD
=£A引殳由于/_EBD=/_AFD,所以/__AFD=

证明:连结删、EIt.由舾
是R枷肋斜边AD的中点知,MA=MH=MD.则

[A朋.因此zMBE一从FD.

£脚=£MDI-I.由朋、D、口、层四点共圆得£脚
=厶BDM=厶cHM.又厶CMH=厶HME。飚

于是有等=万AB,AB?AD=胁AF=(cA
—CE)(CA+C匹)=CA2一CE2=CA2一C82.

△伽一ZII'IMEj筹=黔MIt2=脚?
MC号MA2=ME?肘C因为/_CMA=LAME,所以

从而CA2一倒=AB?An
解法3:如图7,不妨设
[A8C≥[D.二ABC≥900.

△侧一△A肘Ej£MCA=乞MAE.故£BIlE+
£BAE=£DHE+£BAD+ZIffAE=£DHE+

过点C作AB的垂线,垂足为
F,延长BF至E,使EF=BF,

£朋AC+£』IfCA=二DHE+乞DME=180。.

连结CE则[E=/EBC= £D.因为CD=CB,所以


因此,A、曰、日、E四点共圆,从而/_AEB=
/_AttB=90。.

[EAC=/_DAC因此△EAC

图7

评注:例3、例4证明的共同点是将第一对相似 三角形导出的比例式用题中的等线代替,得到新的 比例式,再通过新的比例式寻找第二对相似三角形, 这时发现新三角形的两条对应边的夹角相等或为公 共角,从而证明第二对相似三角形.


望△DA c.故AE=AD.又因为£CFA=900,于是有

CA2一C曰2=AP—BP=(AF+8F)fAF—BF)=

AB?AE=AB?AD.即CA2一僭=AB?AD.
评注:解法1是用两次相似解决;解法2尽管只 用一次相似,但构造辅助圆很难想到;解法3勾股定 理用了两次.尽管解法l用两次相似解决,但是它的 辅助线最简洁,它充分展示了数学的简洁美.一般 地,遇到a2—62=cd或口6+cd=矿型问题时,经常 要将问题转化为ab=ed型,这中间要用到两次及以 上相似三角形的判定和性质,托勒密定理的证明就 是一个最经典的例子.


证比例式(或求比值) 如图5,圆内接四边形ABCD中,CD=

例5

CB.求证:CA2一CB2=AB?AD.(2013年全国初中 数学联赛(初三组)初赛试题) 解法1:如图5,连结BD 交AC于点E由CD=CB,得 /_BAE=/CAD.因为/_ABE =/_ACD,所以△A曰E—

证相似

例6

如图8,ZMBC中,

z▲ACD.于是有差=A_.B即
AB?AD=CA?AE①又因为
£CBE=/_BAC./_BCE=

D、层分别为BC、AC的中点, AD、BE相交于P.若乞BPD=
图5

乞c.求证:以AABC三条中线“
为边构成的三角形与ZlABC相


/_ACB.所以,z▲CBE

v,zlCAB.于是得筹=面CA即

似.(2004年全国初中数学联

图8

万方数据

2014年第1期 赛CASIO杯武汉选拔赛题)

中学数学研究 中还可以得出如下重要结论:如 图10,在AABC中,DE∥曰C,EF

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分析:涉及中线问题.常常可以倍长,再构造平 行四边形,这时得到的三角形APCF与原三角形的 三条中线为边构成的三角形相似,剩下的只要说明
△PCF—AABC.

∥AB,若记s伽=S1,s△唧=
s2.s抛EF=s。赋S=2霜夏.


其它

证明:延长肋至F,使DF=PD,连结BF、FC、
PC、DE,则四边形BFCP为平行四边形。因为LBPD =LACB,贝|J
ABPD







例8

如图1l,已知矩形
图10

ABCD,AD:2,DC:4,BN:

ABCE.所以,丽BP=器.因此

2AM=2MN,点P在CD上移动,AP交DM于点E, PN交CM于点F,设四边形MEPF的面积为S.求S 的最大值.(2004年荆州市初中数学竞赛(初三)
题)

ABPC V、厶BDE.嵌厶PCB=厶DEB。LEPC=

[CDE.因此£PCF=£CDE=LABC.而£PFC =ABPD=LACB,所以APCF—AABC.

解:连结PM.设DP=菇,则PC=4一算.因为AM

又因为APCF各边长为AABC中线长的÷,故
APCF与以AABC三条中线为边构成的三角形相似. 由相似的传递性得证. 评注:本题也可通过P、D、C、E四点共圆,证明
APCF一△A8C.


#oP,所以筹=劢DP]ff_疋日雨PE
旦呈 期P—E—一—羔一 一DP 4-AM’“”PA一戈4-1‘


’且。脚M一 又蕊SAMEP=一PEPA,且s△APM=
八Js从跗一

图11

求面积 如图9,点P为

例7

丢A肘?AD=1,则s删船二

△ABC内一点,过P分别作
AABC三边BC、CA、AB的平行

线DE、GH、MN,已知△舳、

南.同理s一=鲁故s=南+曼=2 一南一圭=2一j丢鬲=2+ 一而一五2 z一-=_:F_=_j鬲2
8 Ⅳ H C

APDG、APNH的面积分别为l, 4和9,求AABC的面积.

解:因为PE∥NC,则



瓦茄≤2一手=了4.当省=2时,上式等号
成立.因此,s的最大值为争
三角彤的性后.有时经常用两次相似解决. 参考文献
(9).

z十

足一 APME—AMNC,所以≥竺
,ISkⅥNc



丝们



评注:遇到X或A型的图形时,往往要用到相似

隅譬=篇. 因为朋=观所以譬=器② ①+②得』曼竺+』圣竺:1.化简得 ①+鼢卷JAMNC+卷3aMN。“惴得
Is。PⅣc£=2 ̄/—SAPME Z—SAPNH=6.
4-6

[1]2007年全国初中数学联赛四川初赛[J].中等数学,2007 [2]2011年全国高中数学联合竞赛[J].中等数学,2011
(12).





[312011年全国初中数学联赛四川省决赛(初三)[J].中等
数学,2012(3).

同理可求S口P批G=4,S口PD8Ⅳ=12.所以S“嬲=
1 4-4 4-9.4-4

4-12=36.即AABC的面积为36.

[412004年全国初中数学联赛CASIO杯武汉选拔赛[J].中
等数学,2005(1). [5]2004年荆州市初中数学竞赛(初三)[J].中等数学,2005
(11).

评注:本题两次运用相似三角形的性质,即相似 三角形的面积之比等于相似比的平方.从这个问题

万方数据


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