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集合中的新定义题完美版


乐 至 中 学 高 2014 级 培 优 资 料

培优专题 1 新定义集合与抽象集合归类
所谓“新定义集合” ,就是在现有的运算法则和运算规律的基础上,定义一种新的运算。 “抽象 集合”只给出集合元素满足的性质,探讨集合中的元素属性,要求有较高的抽象思维和逻辑推理能 力。由于此类题目编制角度新颖,突出能力立意,突出学生数学素质的考查,特别能够考查学生“现 场做题”的能力,并且在近几年高考模拟试题和高考试题中出现频繁出现,甚至将大学集合论中的 有关概念移植到考题中,例如 2008 年福建:数域的判断, 2006 年四川:融洽集判断。下面选取几 例进行分类归纳,解题时应时刻牢记集合元素的三要素:确定性,互异性,无序性。 【题型 1】新运算问题 【例1】定义集合 A 与 B 的运算: A B ? {x | x ? A 或 x ? B, x ? A ? B} ,已知集合

A ? ?1,2,3,4?, B ? ?3,4,5,6,7? ,则 ( A A.?1,2,3,4,5,6,7?

B)

B?(

)

B.?1,2,3,4?

C.?1,2?

D.?3,4,5,6,7?

【例2】设 M , P 是两个非空集合,定义 M 与 P 的差集为 M ? P ? ?x | x ? M , x ? P? ,则 M ? ( M ? P) 等于( A.P ) B.M ? P
C .M ? P D.M

【题型 2】元素或集合的个数问题 【例3】设 P ? ?3,4,5?, Q ? ?4,5,6,7? ,定义 P ※ Q ? ?(a, b) | a ? P, b ? Q? ,则 P ※ Q 中元素的个数为 ( ) A.3
B .4 C .7 D.12

【例4】设 M , P 是两个非空集合,定义 M 与 P 的差集为 M ? P ? ?x | x ? M , x ? P? 。已知

A ? ?1,3,5,7?, B ? ?2,3,5 ? ,则集合 A ? B 的子集个数为(
A.1 B .2 C .3 D .4

)

【题型 3】元素的和问题 【例5】定义集合 A, B 的一种运算: A ? B ? ?x | x ? x1 ? x2 , x1 ? A, x2 ? B? ,若 A ? ?1,2,3?, B ? ?1,2? , 则 A ? B 中的所有元素之和为( A.9 B.14 C .18 【例6】对集合 A ? ?1,2,3, )
D.21

,2001? 及每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”如下:按照

递减的次序重新排列该子集,然后从最大的数开始,交替的减或加后继的数所得的结果。例如,集 合 ?1,2,4,7,10? 的“交替和”为 10 ? 7 ? 4 ? 2 ? 1 ? 6 ,集合 ?7,10? 的“交替和”为 10 ? 7 ? 3,?5? 的“交 替和”为 5 ,等等,试求 A 的所有子集的“交替和”的总和。 【题型 4】集合的分拆问题 【例7】若集合 A1 , A2 满足 A1 ? A2 ? A , 则称 ( A1 , A2 ) 为集合 A 的一个分拆, 并规定: 当且仅当 A1 ? A2 时, ( A1 , A2 ) 与 ( A2 , A1 ) 为集合 A 的同一种分拆,则集合 A ? ?a1 , a2 , a3 ? 的不同分拆种数是 ( )

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A.27

B.26

C .9

D .8

【题型 5】集合长度问题 【例8】设数集 M ? {x | m ? x ? m ? }, N ? {x | n ? ? x ? n} ,且 M , N 都是集合 {x | 0 ? x ? 1} 的子 集,如果把 b ? a 叫做集合 ? x | a ? x ? b? 的“长度” ,那么集 M ? N 的长度的最小值是 【题型 6】理想配集问题 【例9】设 I ? ?1,2,3,4? , A 与 B 是 I 的子集,若 A ? B ? ?1,3? ,则称 ( A, B) 为一个“理想配集” 。那么 符合此条件的“理想配集”的个数是(规定 ( A, B) 与 ( B, A) 是两个不同的“理想配集” )(
A.4 B .8 C .9 D.16

3 4

1 3



)

1.(2010 福建)对于平面上的点集 ? ,如果连接 ? 中任意两点的线段必定包含于 ? ,则称 ? 为平面上 的凸集,给出平面上 4 个点集的图形如下(阴影区域及其边界) :

其中为凸集的是 2.(2013 福建)设 S , T 是 R 的两个非空子集,如果存在一个从 S 到 T 的函数 y ? f ( x) 满足:① T ? { f ( x) | x ? S } ;②对 任意 x1 , x2 ? S ,当 x1 ? x2 时,恒有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,那么称这两个集合“保序 同构”。以下集合对不是“保序同构”的是( ) A. A ? N? , B ? N B. A ? {x | ?1 ? x ? 3}, B ? {x | x ? ?8或0 ? x ? 10} C. A ? {x | 0 ? x ? 1}, B ? R D. A ? Z , B ? Q 3.(2013 广东)设整数 n ? 4 ,集合 X ? ?1,2,3, , n? ,令集合 S ? {( x, y, z ) | x, y, z ? X 且三条件 x ? y ? z , y ? z ? x, z ? x ? y 恰有一个成立 } ,若 ( x, y, z ) 和 ( z , w, x ) 都在 S 中,则下列选项正确的是 ( ) A.( y, z, w) ? S ,( x, y, w) ? S C.( y, z, w) ? S ,( x, y, w) ? S

B.( y, z, w) ? S ,( x, y, w) ? S D. ( y , z , w ? ) S , (x ,y ? ,w ) S

4.设 M 为平面内一些向量组成的集合,若对任意正实数 ? 和向量 a ? M ,都有 ? a ? M ,则称 M 为 “点射域”,则下列平面向量的集合为“点射域”的是

? ? x ? y ? 0? ? ? B. ?( x, y) | ? ? ? ? ? x ? y ? 0? ? 2 2 2 2 C.{( x, y) | x ? y ? 2 y ? 0} D.{( x, y) | 3x ? 2 y ? 12 ? 0} 5.非空集合 G 关于运算 ? 满足: ⑴对任意 a, b ? G , 都有 a ? b ? G ; ⑵存在 c ? G , 使得对一切 a ? G , 都有 a ? c ? c ? a ? a ,则称 G 关于运算 ? 为“融洽集” 。 现给出下列集合和运算:① G ? {非负整数}, ? 为整数的加法;② G ? {偶数}, ? 为整数的乘法; ? 为平面向量的加法; ? 为多项式的加法; ③ G ? {平面向量}, ④ G ? {二次三项式}, ⑤ G ? {虚数}, ? 为复数的乘法。其中 G 关于运算 ? 为“融洽集”的是 6.设全集 I ? ?1,2,3, ,9? , A, B 是 I 的子集,若 A ? B ? ?1,2,3? ,就称集合对 ( A, B) 为好集,那么所 有的好集个数为( ) B.36 C .64 D.729 A.720
A.{( x, y) | y ? x2 }

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