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(新课标I版01期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题04 三角函数与三角形(含解析)理


(新课标 I 版 01 期) 2014 届高三数学 名校试题分省分项汇编专题 04 三角函数与三角形(含解析)理
一.基础题组 1. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】在

?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a,b,c 且 a=1,B=45°, S ?ABC =2,则

b 等于( )
A.5 B.25 C. 41 D. 5 2

2. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 已知 sin 2? ? A. ?

1 ? o s ( 2 ? ?) ?( , 则c 3 4



1 3

B. ?

2 3

C.

1 3

D.

2 3

3. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】若 sin( 则 2 cos (
2

?
6

??) ?

?

6 1 A. 3

?

?
2

1 , 3

) ? 1 =( )
B. ?

1 3

C.

7 9

D. ?

7 9

【答案】A. 【解析】

-1-

试题分析: 2 cos (

2

?
6

?

?

? ? ? ? 1 ) ? 1 ? cos( ? ? ) ? sin[ ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) ? ,选 A. 2 3 2 3 6 3
?
6 )( x ? R ) 图像上

考点:三角函数的倍角公式、诱导公式. 4. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】将函数 y ? sin( x ? 所有的点向左平行移动

? 个单位长度,再把图像上各点的横坐标扩大到原来的 2 倍(纵坐标 6
) B. y ? sin(

不变) ,则所得到的图像的解析式为( A. y ? sin( 2 x ?

?
3

)

x ? ? ) 2 3

C. y ? sin

x 2

x D. y ? cos 2

5. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】已知

? 4 3 ? 2? sin(? ? ) ? sin ? ? ? , ? ? ? ? 0, 则 cos(? ? ) 等于( 3 5 2 3
A. ?



4 5

B. ?

3 5

C.

3 5

D.

4 5

6. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】设函数 f ( x) ? sin x cos 2 x 图象的一个对称 轴是( )
-2 -

A. x ? ?

? 4

B. x ? 0

C. x ?

?
4

D. x ?

?
2

7. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】已知函数

f ( x) ? A sin(? x ? ? )(其中 A ? 0, ? ?
的图象,则只需将 f ( x ) 的图象( )

π ) 的部分图象如右图所示, 为了得到 g ( x) ? sin 2 x 2

π 个长度单位 6 π C.向左平移 个长度单位 6
A.向右平移 【答案】A 【解析】

π 个长度单位 12 π D.向左平移 个长度单位 12
B.向右平移

试题分析:由图像知 A ? 1 , T ? 4(

??

?
3

7? ? 2? ? ? ) ?? ? ,∴ ? ? 2 ,又∵ 2 ? ? ? ? ? ,∴ 12 3 ? 3



-3-

∴ f ( x) ? sin(2 x ?

?
3

) 将图像向右平移

π 个长度单位可得到 g ( x) ? sin 2 x . 6

考点:1.由图像确定函数解析式;2.图像变换. 8. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】函数

y ? cos2 x ? 2 sin x ( ?

?
6

?x?

5? )的值域是_______________。 6

9. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】已知 sin ? ?

? cos2? ? ? (0, ) ,则 的值为________. ? 2 sin(? ? ) 4

1 ? cos ? ,且 2

考点:1.二倍角公式;2.两角和与差公式. 10. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】 设 ? 为第

-4-

四象限角, tan(? ?

?
4

)?

1 ,则 sin ? ? cos ? ? 2



11. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】 (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)= sin x -sin(2x- (1)求函数 f(x)的最大值和最小值; (2)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,c=3,f( 求△ABC 的面积.
2

? ) . 2
C 1 )= ,若 sinB=2sinA, 4 2

-5-

12. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中 2014 届高三第一次四校联考】(本小题 满分 12 分)已知函数 f ( x) ? sin(2x ? ) ? 2cos2 x ? 1( x ? R) . 6 (1)求 f ( x) 的单调递增区间; (2)在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c ,已知 f ( A) ?

?

1 , 2 a ? b ? c , bc ? 18 .求 2

a 的值.

∴ f ( x ) 的单调递增区间为 [k? ?

?

, k? ? ](k ? Z ) ………………………6 分 3 6

?

-6-

13.【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】 (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,已知 c sin A ? 3a cos C . (Ⅰ)求 C ; (Ⅱ)若 c ?

7 ,且 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

(Ⅱ)由 sin C ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A ,得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 3sin 2 A , 整理,得 sin B cos A ? 3sin A cos A . 若 cos A ? 0 ,则 A ?

?
2



c ? 21 ? tan , b ? , b 3 3

-7-

14. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 三个内角 A、B、C 的对边分别为 a, b, c ,向量 m ? (cos

??

? ?? ? C C ? n ? (cos , ? sin ) ,且 m 与 n 的夹角为 . 2 2 3
(1)求角 C 的值; (2)已知 c ? 3 , ?ABC 的面积 S ?

C C ,sin ) , 2 2

4 3 ,求 a ? b 的值. 3

-8-

二.能力题组 1. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】 函数

y ? sin(2 x ? ? )(0 ? ? ?
( A. )

?

) 图象的一条对称轴在 ( , ) 内,则满足此条件的一个 ? 值为 2 6 3

? ?

? 12

B.

? 6

C.

? 3

D.

5? 6

2. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题】已知函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为 实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是(

?

?

6

2



A. f ?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5?

-9-

C. f ? x ? 是奇函数

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

3. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B, C 的对边,若 a +b =2014 c ,则 A.0 B.1
2 2

2

2 tan A ? tan B 的值为( tan C (tan A+ tan B)
C.2013 D.2014

)

4. 【河南省方城一高 2014 届高三第一次调研(月考) 】将函数 y ? sin( x ? 横坐标缩短到原来的 方程为( )

?
6

) 图像上各点的

1 ? 倍(纵坐标不变) ,再向右平移 个单位,那么所得图像的一条对称轴 2 3

- 10 -

A. x ? ?

?
4

B. x ? ?

?
2

C. x ?

?
8

D. x ?

?
4

5. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】若

f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? m ,对任意实数 t 都有 f ( ? t ) ? f ( ? t ) ,且 f ( ) ? ?3 ,则实 8 8 8
数 m 的值等于( A. ?1 B. ?5 ) C. ? 5 或 ? 1 D.5 或 1

?

?

?

6. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】已知函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) 在 x ? 有极大值,且 f ( x ? ? ) 为奇函数,则 ? , ? 的一组可能值依次为( (A) ) (D)

? 时 12

?
6

,?

?
12

(B)

? ?
6 12 ,

(C)

? ? ,? 3 6

? ? , 3 6

【答案】D 【解析】 试题分析:因函数 f ( x ) ? sin(2 x ? ? ) 在 x ?

2?

?
12

?? ?

?
2

? 2k? (k ? Z ),?? ??

?
3

? 时有极大值,故 12

? 2k? (k ? Z ); 因 f ( x ? ? ) = sin(2 x ? 2? ? ? ) 为奇

函数,则 ?2? ? a ? k? (k ? Z ), 令 k ? 0,?? ? 考点:三角函数的奇偶性.

?
3

,? ?

?
6

.

- 11 -

7. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】 已知点 M (a, b) (a ? 0, b ? 0) 是圆 C :

x2 ? y 2 ? 1内任意一点,点 P ( x, y ) 是圆上任意一点,则实数 ax ? by ? 1 (
A.一定是负数 B.一定等于 0 C.一定是正数



D.可能为正数也可能为负数

8. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】若函数 f ( x) ? A sin( f(1)=0,则( ) B.f(x+1)—定是偶函数 D.f(x-3)一定是奇函数

?
2

x ? ? )( A ? 0) 满足

A.f(x-2)—定是奇函数 C.f(x+3)一定是偶函数

9. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】 (本小题满分12分) 在 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 a ? 4 , b ? c ? 5 ,

tan A ? tanB ? ? 3?1 ? tan A ? tanB? ,求角 A 的正弦值.

- 12 -

10. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】 (本小题满分 12 分) △ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 ac=b2-a2,A=

? ,求 B. 6

将已知条件代入上式,得 ac ? 3bc ? c ,则 3b ? c ? a ,
2

- 13 -

11. 【石家庄市 2013 届高中毕业班第一次模拟】如图,有 两 座 建 筑 物 AB 和 CD 都在河的对 岸(不知 道它们的高度,且不能到达对岸) ,某人想测量两 座 建 筑 物 尖 顶 A、C 之间的距 离,但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线 EF,用 卷尺测得 EF 的长度 为 a,并用测角仪测量了一些角度: ?AEF ? a , ?AFE ? ? ,

?CEF ? ? , ?CFE ? ? , ?AEC ? ? 请你用文字和公式写出计算 A、C 之间距离 的 步 骤 和
结果.

- 14 -

12. 【河北衡水中学 2013~2014 学年度高三上学期二调高三数学试卷】 (本题 10 分) 在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c , q ? (2a,1) , p ? (2b ? c,cos C) ,且

?

? ?

? ? ? p / / q .求:
(1)求 sin A 的值; (2)求三角函数式

? 2 cos 2C ? 1 的取值范围. 1 ? tan C

? 2 cos 2C 2(cos2 C ? sin 2 C ) ?1 ? 1? ? 1 ? 2 cos2 C ? 2 sin C cosC , (2)原式 ? sin C 1 ? tanC 1? cosC
? sin 2C ? cos 2C ? 2 sin( 2C ?
∵0 ? C ?

?
4

),

2 ? ? 13 2 ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ? ,∴ ? ? sin(2C ? ) ? 1 , 2 4 4 4 12 3
- 15 -

∴ ? 1 ? 2 sin(2C ?

?
4

) ? 2 ,∴ f (C ) 的值域是 (?1, 2 ] .

考点:1.向量的共线;2.正弦定理;3.倍角公式;4.两角和与差的正弦公式;5.三角函数值 域. 13. 【河北省邯郸市 2014 届高三 9 月摸底考试数学】 (本题满分 12 分)设 ?ABC 的内角

A, B, C 所对的边长分别为 a, b, c ,且满足 a2 ? c2 ? b2 ? 3bc .
(1)求角 B 的大小; (2) 若 2b cos A ? 面积.

3 (c cos A ? a cos C ) , BC 边上的中线 AM 的长为 7 ,求 ?ABC 的

方法一:由余弦定理可知:

- 16 -

14. 【河北省高阳中学 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 12 分)已知函数

f ( x) ? cos(2 x ? ) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4
(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (2)求函数 f ( x ) 在区间 [?

?

?

?

, ] 上的值域 12 2

? ?

1 3 ? cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x 2 2

- 17 -

? sin(2 x ? ) 6

?

……4 分

三.拔高题组 1. 【山西省山西大学附中 2014 届高三 9 月月考题数学】 已知函数 f ? x ? ? sin ?2 x ? ? ? ,其中 ? 为实数,若 f ( x) ? f ( ) 对 x ? R 恒成立,且 f ( ) ? f (? ) .则下列结论正确的是(

?

?

6

2



A. f ?

? 11 ? ? ? ? ?1 ? 12 ?

B. f ?

? 7? ? ?? ? ?? f? ? ? 10 ? ?5? ? ?

C. f ? x ? 是奇函数 【答案】D 【解析】

D. f ? x ? 的单调递增区间是 ?k? ?

?
3

, k? ?

??
6? ?

?k ? Z ?

- 18 -

考点:三角函数图象和性质 2. 【唐山市 2013-2014 学年度高三年级摸底考试】设 x, y ? R ,则

(3 ? 4 y ? cos x)2 ? (4 ? 3 y ? sin x)2 的最小值为(
A.4 B.16 C.5 D.25



3. 【河北唐山开滦二中 2013~2014 学年度第一学期高三年级期中考试】已知函数

f ( x) ? 2 cos(2 x ? ) ,下面四个结论中正确的是 6
A.函数 f ( x ) 的最小正周期为 2?

?

(

)

- 19 -

B.函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ?

?
6

对称

C.函数 f ( x ) 的图象是由 y ? 2cos 2 x 的图象向左平移 D.函数 f ( x ?

? 个单位得到 6

?
6

) 是奇函数

4. 【河北省唐山市 2013 届高三第二次模拟考试】函数 f ( x) ? 2 sin ?x ? 3x ? x 2 所有零点 的和等于( (A)6 ) (B)7.5 (C)9 (D)12

- 20 -

考点:函数的零点. 5. 【中原名校联盟 2013——2014 学年高三上期第一次摸底考试】如图所示,M,N 是函数 y =2sin(wx+ ? ) (ω >0)图像与 x 轴的交点,点 P 在 M,N 之间的图像上运动,当△MPN 面 积最大时 PM · PN =0,则ω =

uuu r

uuu r





A.

? 4

B.

? 3

C.

? 2

D.8

考点:三角函数图像与性质,向量的数量积,学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思 想. 6. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】观察下面两个推理过程及结论: (1)若锐角 A, B, C 满足 A ? B +C =? ,以角 A, B, C 分别为内角构造一个三角形, 依据正弦定 理和余弦定理可得到等式: sin A ? sin B ? sin C ? 2sin B sin C cos A ,
2 2 2

- 21 -

(2)若锐角 A, B, C 满足 A ? B +C =? ,则 (

?

2 A ? B ? C ? , ? , ? 分别为内角构造一个三角形,依据正弦定理和余弦定理可以得到的等 2 2 2 2 2 2 B C B C A 2 A ? cos 2 ? cos 2 ? 2 cos cos sin . 式: cos 2 2 2 2 2 2

?

?

A ? B ? C ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ,以角 2 2 2 2 2

则:若锐角 A, B, C 满足 A ? B +C =? ,类比上面推理方法,可以得到的一个等式是 ______________.

7. 【山 西 省 长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中 2013 届 高 三 第 四 次 四 校 联 考 】 已知 点 A(4,0) 、B(0,4) 、C( 3 cos? ,3 sin ? ) (1)若 ? ? (0, ? ) ,且 AC ? BC , ,求 ? 的大小;

2 sin 2 ? ? sin 2? (2) AC ? BC ,求 的值. 1 ? tan?
【答案】 (I) ? ? 【解析】

?
4

; (II) ?

7 . 16

- 22 -

考点:1.向量的坐标运算, 2.同角三角函数关系, 3.二倍角公式. 8. 【河北省保定市八校联合体 2014 届高三上学期第一次月考】 (本小题满分 10 分) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 A ? (1)角 B 的值; (2)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ? B ) 在区间 [0,

2? , a ? 2b cos C ,求: 3

?
2

] 上的最大值及对应的 x 值.

∴B=C

?A?

2? 3

?B ?

?
6

…………… ……………………(4 分)

- 23 -

9. 【2012-2013 学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】 (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin x,?1), n ? (cos x, ) , f ( x) ? (m ? n) ? m. (1) 当 x ? [0,

?
2

3 2

] 时,求函数 f ( x) 的值域:

(2)锐角 ?ABC 中, a , b, c 分别为角 A, B, C 的对边,若 5a ? 4 2c, b ? 7 2 , f ( ) ? 求边 a, c .

B 2

3 2 , 10

所以当 x ? [0,

?

1 2 ] 时,函数 y ? f ( x) 的值域是 [? , ] ;……………………………6 分 2 2 2

- 24 -

10. 【2013 年河南省十所名校高三第三次联考试题】 (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=cos(2x-

? 2 2 )+sin x-cos x. 3
2

(Ⅰ)求函数 f(x)的最小正周期及其图象的对称轴方程; (Ⅱ)设函数 g(x)=[f(x)] +f(x) ,求 g(x)的值域.

- 25 -

- 26 -


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