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2016年高考试题Word版分类解析(书稿之一)(1-10考点)


试题部分

第1页

考点 1 集合 【1】 (A, 新课标 I, 文 1) 已知集合 A ? {x | x ? 3n ?

C. {x | 1 ? x ? 2}

D. {x | 2 < x < 3}

【11】 (A,广东,文 1)若集合 M ? ??1,1 ?,<

br />
B ? {6,8,10,12,14} ,则集合 A ? B 中的 2, n ? N,
元素个数为 A.5 B.4 C.3 【2】 (A,新课标Ⅱ,文 1)已知集合 D.2

N ? ??2,1,0? ,则 M ? N ?
A. ?0, ?1? B. ?1? C. ?0? D. ??1,1? 【12】 (A,广东,理 1)若集合 M ? {x ( x ? 4)

A ? ? x ?1 ? x ? 2? , B ? {x 0 ? x ? 3} ,则 A ? B ?
A. (?1,3) B. (?1, 0) C. (0, 2) D. (2,3) 【3】 (A,新课标Ⅱ,理 1)已知集合

?( x ? 1) ? 0} , N ? {x ( x ? 4)(x ?1) ? 0} ,则 M ? N ?
A.{1,4} B.{-1,-4} C.{0} D. ? 【13】 (A, 山东, 文 1) 已知集合 A ? {x 2 ? x ? 4} , B= {x (x ? 1)(x ? 3) ? 0} ,则 A ? B =

A ? ??2, ?1,0,1, 2? , B ? ? x ( x ? 1)( x ? 2) ? 0? ,则
A? B =
A. ?? 1,0? B. ?0,1? C. ?? 1,0,1? D. ?0,1,2? 【4】 (A,北京,文 1)若集合 A ? {x | ?5 ? x ? 2} ,
B ? {x | ?3 ? x ? 3} ,则 A ? B ?

( 1, 3) A.

(1, 4) B.

(2, 3) C.

(2, 4) D.

【14】 (A,山东,理 1)已知集合

A ? x x2 ? 4x ? 3 ? 0 , B ? ?x 2 ? x ? 4?,则
B. (1, 4) C. (2, 3) D. (2, 4)

?

?

A? B = A. (1,3)

A. {x | ?3 ? x ? 2} C. {x | ?3 ? x ? 3}

B. {x | ?5 ? x ? 2} D. {x | ?5 ? x ? 3}

【15】 (A,安徽,文 2)设全集 U ? {1,2,3,4,5,6} ,

【5】 (A, 天津, 文 1) 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,} , 集合 A ? {2,3,5} ,集合 B ? {1,3, 4,6} ,则集合

A ? {1,2} , B ? {2,3,4} ,则 A ? ? UB ?
A. {1,2,5,6} B. {1} C. {2} D. {1,2,3,4}
2

A?? UB=
A. {3} B. {2, 5} C. {1, 4, 6} D. {2,3,5} 【6】 (A,天津,理 1)已知全集 U ? {1, 2, 3, 4,5,

【16】 (A, 浙江, 文 1) 已知集合 P ? {x | x ? 2x ? 3} ,

Q ? {x | 2 ? x ? 4} ,则 P ? Q ?
A. [3,4) B. (2,3] C. (?1,2)
2

D. (?1,3]

6, 7,8} , 集合 A ? {2,3,5,6} , 集合 B ? {1,3, 4,6,7} ,
则集合 A ? ? UB= A. {2, 5} C. {2,5,6} 则 A? B ? A. {2} 则 A. A ? B C. A ? B B. A ? B ? ? D. B ? A B. {1, 2} C. {1,3} D. {1, 2,3} 【8】 (A, 重庆, 理 1) 已知集合 A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,3? , B. {3, 6} D. {2,3,5, 6,8}

【17】 (A, 浙江, 理 1) 已知集合 P ? {x x ? 2x ? 0} ,

Q ? ? x 1 ? x ? 2? ,则 ??R P ? ? Q ?
A. ?0,1? B. ? 0, 2? C. ?1, 2 ? D. ?1, 2?

【18】 (A, 福建, 文 2) 若集合 M ? x ?2 ? x ? 2 ,

【7】 (A, 重庆, 文 1) 已知集 A = {1, 2,3}, B ={1,3} ,

?

?

N ? ?0,1, 2? ,则 M ? N 等于
A. ?0? B. ?1? C. ?0,1, 2? D. ?0,1? 【19】 (A,湖南,理 2)设 A,B 是两个集合,则 “ A ? B ? A ”是“ A ? B ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【20】 (A, 陕西, 文 1 理 1) 设集合 M ? x x ? x ,
2

【9】 (A,四川,文 1)设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,

B ? {x | 1 ? x ? 3} 集合,则 A ? B ?
A. {x | ?1 ? x ? 3} C. {x | 1 ? x ? 2} B. {x | ?1 ? x ? 1} D. {x | 2 ? x ? 3}

N ? ?x lg x ? 0?,则 M ? N ?
A. ?0,1? B. ?0,1? C. ?0,1?

?

?

D. ?? ?,1?

【21】 (A, 上海,文 2 理 1)设全集 U ? R ,若集 合 A ? {1, 2,3, 4} , B ? {x | 2 ? x ? 3} ,则 A ? ? UB = . 【22】 (A,江苏,文理 1)已知集合 A ? {1,2,3} ,

【10】 (A,四川,理 1)设集合 A ? {x | ( x ? 1)(x ?

2) ? 0} ,集合 B ? {x | 1 ? x ? 3} ,则 A ? B ?
A. {x | ?1 ? x ? 3} B. {x | ?1 ? x ? 1}

第2页

试题部分

B ? {2,4,5} ,则集合 A ? B 中元素的个数为

.

D. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 【10】 (A,湖北,文 5) l1 , l2 表示空间中的两条直线, 若 p : l1 , l2 是异面直线; q : l1 , l2 不相交,则 A. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件, 也不是 q 的必要条件 【11】 (A, 四川, 文 4) 设 a , b 为正实数, 则“ a ? b ? 1 ” 是“ log2 a ? log2 b ? 0 ”的 A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【12】 (A,山东,文 5)设 m ? R ,命题“若 m ? 0 , 则方程 x ? x ? m ? 0 有实根”的逆否命题是
2

【23】 (A,湖南,文 11)已知集合 U ? ?1 , 2, 3, 4? ,

A ? ?1,3? , B ? ?1,3,4? , 则 A ? ( ?U B )=
考点 2 常用逻辑用语

.

【1】 (A,新课标 I,理 3)设命题 P : $ n ? N ,

n 2 ? 2n ,则 ? P 为
A. " n ? N , n 2 ? 2 n C. " n ? N , n 2 ? 2 n B. $ n ? N , n 2 ? 2 n D. $ n ? N , n 2 ? 2 n

【2】 (A, 北京, 理 4) 设 ? , ? 是两个不同的平面, m 是直线且 m ? ? .“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 “ | x ? 2 |? 1”的 A.充分而不必要条件 C.充要条件 “ x ? x ? 2 ? 0 ”的
2

B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

【3】 (A,天津,文 4)设 x ? R ,则“ 1 ? x ? 2 ”是 B.必要而不充分条件

A.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2

B.若方程 x ? x ? m ? 0 有实根,则 m ? 0
2 2

C.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0 D.若方程 x ? x ? m ? 0 没有实根,则 m ? 0
2

D.既不充分也不必要条件

【4】 (A,天津,理 4)设 x ? R ,则“ | x ? 2 |? 1”是 A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

,q : ?1 ? x ? 3 , 【13】 (A, 安徽, 文 3) 设 p:x ?3
则 p 是 q 成立的 A.充分必要条件 C.必要不充分条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
x

【5】 (A,上海,文 15)已知 z1 , z2 ? C ,则“ z1 、 z2 均为实数”是“ z1 ? z2 是实数”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件 【6】 (A,上海,理 15)已知 z1 , z2 ? C ,则“ z1 、 z2 中至少有一个是虚数”是“ z1 ? z2 是虚数”的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 A.充要条件 C.必要不充分条件 D.既非充分又非必要条件
2

【14】 (A,安徽,理 3)设 p : 1 ? x ? 2, q : 2 ? 1, 则

p 是 q 成立的
A.充分不必要条件 C.充分必要条件 是“ ab ? 0 ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【16】 (A,浙江,理 4)命题“ ?n ? N*, f (n) ? N* 且 f (n) ? n ”的否定形式是 A. ?n ? N*, f (n) ? N*且 f (n) ? n B. ?n ? N*, f (n) ? N*或 f (n) ? n C. ?n0 ?N*, f (n0 ) ? N*且 f (n0 ) ? n0 D. ?n0 ?N*, f (n0 ) ? N*或 f (n0 ) ? n0
3 【17】 (A, 湖南, 文 3) 设x? R , 则“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

【15】 (A, 浙江, 文 3) 设 a , b 是实数, 则“ a ? b ? 0 ”

【7】 (A,重庆,文 2)“ x =1 ”是“ x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
2

【8】 (A,重庆,理 4)“ x ? 1 ”是“ log 1 ( x ? 2) ? 0 ”的 A.充要条件 B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 【9】 (A,湖北,文 3)命题“ ? x0 ? (0, ??) ,
ln x0 ? x0 ? 1 ”的否定是

的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

A. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 B. ? x0 ? (0, ??) , ln x0 ? x0 ? 1 C. ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1

【18】 (B,北京,文 6)设 a , b 是非零向量,

?

?

? ? ? ? ? ? 是“ a // b ”的 “a ? b ?| a || b | ”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

试题部分

第3页

lg

x 2 ? 5x ? 6 的定义域为 x ?3
A. (2, 3) C. (2, 3) ? (3, 4] B. (2, 4] D. (?1, 3) ? (3, 6]

D.既不充分也不必要条件
2 2

【19】 (B,湖北,理 5)设 a1 , a2 , ???, an ? R , n ? 3 . 若 p : a1 , a2 ,? an 成等比数列; q : (a1 ? a2 ? ? ?

【6】 (A,湖北,理 6)已知符号函数 sgn( x) ?

an?1 )(a2 ? a3 ??an ) ? (a1a2 ? a2a3 ??an?1an )2 ,则
A. p 是 q 的充分条件,但不是 q 的必要条件 B. p 是 q 的必要条件,但不是 q 的充分条件 C. p 是 q 的充分必要条件 D. p 既不是 q 的充分条件, 也不是 q 的必要条件 【20】 (B, 四川, 理 8) 设 a , b 都是不等于 1 的正数, 则“ 3 ? 3 ? 3 ”是“ loga 3 ? logb 3 ”的
a b

2

2

2

2

?1, x ? 0 ? g ( x) ? f ( x) ? ?0, x ? 0 , f ( x) 是 R 上的增函数, ?? 1, x ? 0 ? f (ax) (a ? 1) ,则
A. sgn[ g ( x )] ? sgn x B. sgn[ g ( x )] ? ? sgn x C. sgn[ g ( x)] ? sgn[ f ( x )] D. sgn[ g ( x )] ? ? sgn[ f (x )] 【7】 (A,广东,文 3)下列函数中,既不是奇函数, 也不是偶函数的是 A. y ? x ? sin 2 x
x C. y ? 2 ?

A.充要条件 C.必要不充分条件 “ cos 2? ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

【21】 (B,陕西,文 6 理 6)“ sin ? ? cos ? ”是 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

B. y ? x ? cos x
2

1 2x

D. y ? x ? sin x
2

【8】 (A,广东,理 3)下列函数中,既不是奇函数, 也不是偶函数的是 A. y ? 1 ? x 2 C. y ? 2 x ? B. y ? x ?

考点 3 函数的概念及其性质 【1】 (A,新课标 I,文 10)已知函数

1 x
x

? 2 x ?1 ? 2, x ?1 ,且 f (a) ? ?3 ,则 f ( x) ? ? ?? log 2 ( x ? 1), x ? 1
f (6 ? a) ?

1 2x

D. y ? x ? e

【 9】 (A,安徽,文 4)下列函数中,既是偶函数又 存在零点的是 A. y ? ln x C. y ? sin x 又存在零点的是 A. y ? cos x C. y ? ln x A. y ? B. y ? sin x D. y = x + 1 B. y ? e
x

1 D. ? 4 【2】 (A,新课标 I,文 12)设函数 y ? f ( x) 的图
像与 y ? 2
x?a

7 A. ? 4

5 B. ? 4

3 C. ? 4

B. y ? x ? 1
2

D. y ? cos x

的图像关于直线 y ? ?x 对称,且

【10】 (A,安徽,理 2)下列函数中,既是偶函数

f (?2) ? f (?4) ? 1 ,则 a ?
A. -1 B. 1 C. 2 D. 4 【3】 (A,北京,文 3)下列函数中为偶函数的是 A. y ? x 2 sin x C. y ? | ln x|
? 1, ? sgn x ? ? 0, ? ?1, ? x ? 0, x ? 0, 则 x ? 0.

2

B. y ? x 2 cos x D. y ? 2
x

【11】 (A,福建,文 3)下列函数为奇函数的是

x

【4】 (A,湖北,文 7)设 x ? R ,定义符号函数

C. y ? cos x A. y ?

D. y ? e ? e
x

?x

【12】 (A,福建,理 2)下列函数为奇函数的是

x

B. y ? sin x D. y ? e ? e
x ?x

B.C. y ? cos x B. | x | ? x sgn | x | D. | x | ? x sgn x

A. | x | ? x | sgn x | C. | x | ? | x | sgn x

【13】 (A, 湖南, 文 8 理 5) 设函数 f ( x) ? ln(1 ? x)

? ln(1 ? x) ,则 f ( x) 是
A.奇函数,且在 (0,1) 上是增函数

【5】 (A,湖北,文 6)函数 f ( x) ? 4? | x | ?

第4页

试题部分

B.奇函数,且在 (0,1) 上是减函数 C.偶函数,且在 (0,1) 上是增函数 D.偶函数,且在 (0,1) 上是减函数

B 既是奇函数又是增函数 C.是有零点的减函数 D.是没有零点的奇函数 【20】 (B, 陕西, 文 10 理 9) 设 f ( x) ? ln x,0 ? a ? b , 若 p ? f ( ab) , q ? f (

? ?1 ? x , x ? 0, 【14】 (A,陕西,文 4)设 f ( x) ? ? , x ? 2 , x ? 0 ? 则 f ( f (?2)) ?
A. ? 1 B.

a?b 1 ) , r = ( f (a) + 2 2

1 4

C.

1 2

D.

3 2

f (b)) ,则下列关系式中正确的是 A. q ? r ? p B. p ? r ? q C. q ? r ? p D. p ? r ? q
【21】 (C,新课标 I,理 12)设函数 f ( x) ? e x (2 x

【15】 (B,新课标Ⅱ,理 5)设函数 f ( x )

?1 ? log 2 ? 2 ? x ? , x ? 1 ? ? ? x ?1 ,则 f (?2) ? f (log2 12) ? 2 , x ? 1 ? ? A. 3 B. 6 C. 9 D. 12

?1) ? ax ? a ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 x 0 ,
使得 f ( x0 ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

?3x ? b, x ? 1 【16】 (B, 山东, 文 10) 设函数 f ( x) ? ? x ?2 , x ? 1 5 若 f ( f ( )) ? 4 ,则 b ? 6 7 3 1 A. 1 B. C. D. 8 4 2
【17】 (B,浙江,文 8)设实数 a, b, t 满足 a ? 1 ?

3 3 , ) 2e 4 3 D. [ ,1) 2e 【22】 (C,新课标Ⅱ,文 12)设函数 f ( x )
A. [ ? B. [ ?

3 , 1 ) 2e 3 3 C. [ , ) 2e 4

? ln(1? | x |) ?

1 ,则使得 f ( x) ? f (2 x ? 1) 成立 1 ? x2
B. ( ??, ) U (1, ?? ) D. ( ??, ? ) U ( , ??)

的 x 的取值范围是 A. ( ,1)

sin b ? t ,若 t 确定,则
A. b 唯一确定 C. sin
2

1 3

1 3

B. a ? 2a 唯一确定
2

b 唯一确定 2

C. (? , )

D. a ? a 唯一确定
2

1 1 3 3

1 3

1 3

【23】 (C,新课标Ⅱ,文 11 理 10)如图,长方形

【18】 (B,浙江,文 5)函数 f ( x ) ? ( x ?

1 ) cos x x

ABCD 的边 AB ? 2 , BC ? 1 , O 是 AB 的中点,
点 P 沿着边 BC ,

(?? ? x ? ? 且 x ? 0) 的图象可能为
y
-π y
π

CD 与 DA 运动,
?BOP ? x .将动
点 P 到 A , B 两点
x

D

P

C

O

距离之和表示为 x 的函数 f ( x) ,则
A O

x B



O

π x

y ? f ( x) 的图像大
B.
y
y y y

第 23 题图

A.
y

致为
y

-π O
π x



O

π

x

π π 3π 4 2 4

π x

π π 3π 4 2 4

π

x

π π 3π 4 2 4

π

x

π π 3π 4 2 4

π

x

C. D. 【19】 (B, 陕西, 文 9) 设 f ( x) ? x ? sin x , 则 f ( x) A.既是奇函数又是减函数

A. B. C. D. 【24】 (C,北京,理 8)汽车的“燃油效率”是指汽车 每消耗 1 升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、 丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙

试题部分

第5页

述中正确的是 A.消耗 1 升 汽油,乙车最多 可行驶 5 千米. B.以相同速 度行驶相同路 程,三辆车中, 甲车消耗汽油 最多. 10 升汽油. D.某城市机动车最高限速 80 千米/小时. 相同条 件下,在该市用丙车比用乙车更省油. 【25】 (C,天津,文 8)已知函数
O 40 80 速度(km/h) 15 甲车 10 乙车 5 丙车 燃油效率(km/L)

? x ? 1的图像在点 (1, f (1)) 的处的切线过点 (2,7) ,
则a ? . 【31】 (A, 新课标 I, 理 13) 若函数 f ( x ) ? x ln( x ?

a ? x 2 ) 为偶函数,则 a ?

.

【32】 (A,上海,文 4)设 f ?1 ( x) 为 f ( x) ? 的反函数,则 f ?1 (2) = .

x 2x ?1

第 24 题图

【33】 (B,上海,理 10)设 f ?1 ( x) 为 f ( x) ? 2x?2 ?

C.甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1 小时, 消耗

x , x ? [0, 2] 的反函数, 则 y ? f ( x) ? f ?1 ( x) 的最大 2
值为 . 【34】 (B,山东,理 14)已知函数 f ( x) ? a x ?

? 2 ? x , x ? 2, ,函数 g ( x) ? 3 ? f (2 ? x) , f ( x) ? ? 2 ( x ? 2 ) , x ? 2 ? 则函数 y ? f ( x) ? g ( x) 的零点个数为
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【26】 (C,天津,理 8)已知函数

b(a ? 0, a ? 1) 的定义域和值域都是 [?1,0] ,则
a?b=
. 【35】 (B,浙江,文 12)已知函数 f ( x) ?

? 2 ? x , x ? 2, ,函数 g ( x) ? b ? f (2 ? x) , f ( x) ? ? 2 ( x ? 2 ) , x ? 2 ? 其中 b ? R .若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点,
则 b 的取值范围是

?x 2 , x ?1 ? ,则 f ( f (?2)) ? ______, f ( x ) 的 ? 6 x ? ? 6 , x ? 1 ? x ?
最小值是 .
x ?a

【36】 (B, 福建, 文 15) . 若函数 f ( x) ? 2 则实数 m 的最小值等于 .

( a ? R)

满足 f (1 ? x) ? f (1 ? x) , 且 f ( x) 在 [ m, ?? ) 单调递增, 【37】 (B,福建,理 14)若函数

7 A. ( ,?? ) 4

7 B. ( ?? , ) 4

7 C. (0, ) 4

7 D. ( ,2) 4

1 2 【27】 (C, 四川, 理 9) 如果函数 f ( x) ? (m ? 2) x 2 1 ?(n ? 8) x ? 1 (m ? 0, n ? 0) 在区间 [ , 2] 上单调递 2 减,那么 mn 的最大值为 81 A.16 B.18 C.25 D. 2 ?3x ? 1, x ? 1 【28】 (C, 山东, 理 10) 设函数 f ( x) ? ? x , 2 , x ? 1 ?
则满足 f ( f (a)) ? 2 A. [ ,1]
f (a)

?? x ? 6, x ? 2, ( a ? 0 且 a ? 1 )的值 f ? x? ? ? ?3 ? log a x, x ? 2,
域是 ? 4, ?? ? ,则实数 a 的取值范围是 【38】 (C,北京,理 14)设函数 .

?2 x ? a, x ? 1, f ( x) ? ? ?4( x ? a)( x ? 2a), x ? 1.
①若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值为 是 . ; ②若 f ( x) 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围 【39】 (C,江苏,文理 13)已知函数 f ( x) ? ln x ,

的 a 的取值范围是 C. [ , ??)

2 3

B. [0,1]

2 3

D. [1, ??)

【29】 (C,浙江,理 7)存在函数 f ( x ) 满足:对于 任意 x ?R 都有 A. f ? sin 2x ? ? sin x C. f ( x ? 1) ? x ? 1
2

? ?0,0 ? x ? 1 g ( x) ? ? 2 ,则方程 x ? 4 ? 2 , x ? 1 ? ?

B. f ?sin 2x ? ? x ? x
2

f ( x) ? g( x) ? 1 实根的个数为

.
2

D. f ( x ? 2x) ? x ? 1
2

【40】 (A,上海,文 20)已知函数 f ( x) ? ax ?
3

1 , x

【30】 (A,新课标 I,文 14)已知函数 f ( x) ? ax

其中 a 为常数.

第6页

试题部分
1

(1)根据 a 的不同取值,判断函数 f ( x ) 的奇 偶性,并说明理由; (2)若 a ? (1,3) ,判断函数 f ( x ) 在 [1, 2] 上的 单调性,并说明理由. 【41】 (C, 浙江, 文 20) 设函数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b ,

【5】 (A,北京,文 10) 2 -3 , 3 2 , log2 5 三个数中 最大的数是 . 【6】 (A,四川,文 12) lg 0.01? log2 16 的值是__. 【7】 (A,安徽,文 11) lg

(a, b ?R).

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 2 2



a2 ? 1 时, (Ⅰ)当 b ? 求函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上的 4 最小值 g (a ) 的表达式;
(Ⅱ)已知函数 f ( x ) 在 [ ?1,1] 上存在零点, 0 ?

【8】 (A,浙江,文 9)计算: log2

2 ? ____, 2

2log2 3?log4 3 ? 2a ? 2? a ?

.

【9】 (A,浙江,理 12)若 a ? log4 3 ,则 . 【10】 (B,上海,文 8 理 7)方程 log2 (9x?1 ? 5)

b ? 2a ? 1 ,求 b 的取值范围.
【42】 (C, 浙江, 理 18) 已知函数 f ( x) = x + ax + b
2

(a, b ? R) ,记 M (a, b) 是 | f ( x) | 在区间 [ ?1,1] 上的
最大值. (Ⅰ)证明:当 | a |? 2 时, M (a, b) ? 2 ; (Ⅱ)当 a , b 满足 M (a, b) ? 2 ,求 | a | + | b | 的最大值. 考点 4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】 (A, 重庆, 文 3) 函数 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x ? 3)
2

? log2 (3x?1 ? 2) ? 2 的解为

.
x

【11】 (C,四川,文 15 理 15)已知函数 f ( x) ? 2 ,

g ( x) = x2 + ax , a ? R .对于不相等的实数 x1 , x 2 ,
设m ?

f ( x1 ) ? f ( x2 ) g ( x1 ) ? g ( x2 ) .现有如 ,n? x1 ? x2 x1 ? x2

下命题:①对于任意不相等的实数 x1 , x 2 ,都有

m ? 0 ;②对于任意的 a 及任意不相等的实数

x1 , x 2 ,都有 n ? 0 ;③对于任意的 a ,存在不相等
的实数 x1 , x 2 ,使得 m ? n ;④对于任意的 a ,存在 不相等的实数 x1 , x 2 ,使得 m ? ?n .其中的真命题有 (写出所有真命题的序号). 考点 5 函数模型及其应用 【1】 (C,北京,文 8)某辆汽车每次加油都把油箱 加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.注: “累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这 段时间内,该车每 100 千米平均耗油量为
加油时间 2015 年 5 月 1 日 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 12 48 35000 35600

的定义域是

A. ?? 3,1?

C. ?? ?,?3? ? ? 1,???

B. ?? 3,1? D. ?? ?,?3? ? ?1,???
0.6 1.5

【2】 (A,山东,文 3)设 a ? 0.6 , b ? 0.6 ,

c ? 1.50.6 ,则 a, b, c 的大小关系是
A. a ? b ? c C. b ? a ? c B. a ? c ? b D. b ? c ? a

【3】 (B,北京,理 7)如图,函数 f ( x) 的图象为 折线 ACB,则不等式 f ( x) ? log2 ?x ? 1? 的解集是 A. ?x ? 1 ? x ? 0? B. ?x ? 1 ? x ? 1? C. ?x ? 1 ? x ? 1? D. ?x ? 1 ? x ? 2?
A -1 y 2 C B 2 x

2015 年 5 月 15 日

O

A.6 升 C.10 升

B.8 升 D.12 升
y M O N P x

第 3 题图

【4】 (B,天津,文 7 理 7)已知定义在 R 上的函数

f ( x) ? 2

x?m

【2】 (C,安徽,理 9)函

? 1 ( m 为实数)为偶函数,记

a ? f (log0.5 3) , b ? f (log2 5) , c ? f (2m) ,则
a, b, c 的大小关系为
A. a ? b ? c C. a ? c ? b B. c ? a ? b D. c ? b ? a

ax ? b 数 f ( x) ? 的图像 ( x ? c) 2
如图所示,则下列结论成立 的是 A. a ? 0, b ? 0, c ? 0 C. a ? 0, b ? 0, c ? 0

第 2 题图

B. a ? 0, b ? 0, c ? 0 D. a ? 0, b ? 0, c ? 0

试题部分

第7页

【3】 (C, 陕西, 理 12) 对二次函数 f ( x) = ax2 + bx

为 C ,计划修建的公路为 l , 如图所示,M , N 为 C 的两个 端点,测得点 M 到 l1 , l2 的距 离分别为 5 千米和 40 千米, 点 N 到 l1 , l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米, 以 l1 , l2 所在 的直线分别为 x , y 轴, 建立平
第 9 题图

+ c ( a 为非零整数) ,四位同学分别给出下列结论,
其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是 A. ?1是 f ( x) 的零点 B.1 是 f ( x) 的极值点 C.3 是 f ( x) 的极值 D.点 (2,8) 在曲线 y ? f ( x) 上

π 【4】 (A, 湖北, 文 13) 函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x 2 2 的零点个数为 .
【5】 (A,浙江,理 10)已知函数 f ( x) ?

面直角坐标系 xOy ,假设曲线 C 符合函数

2 ? ? x ? ? 3, x ? 1 3)) ? ,则 f ( f ( ? x ? 2 ?lg( x ? 1), x ? 1 ?
最小值是 .

, f ( x) 的

a (其中 a , b 为常数)模型. x ?b (1)求 a , b 的值; (2)设公路 l 与曲线 C 相切于 P 点, P 的横坐标 为 t .①请写出公路 l 长度的函数解析式 f (t ) ,并写 y?
2

出其定义域;②当 t 为何值时,公路 l 的长度最短? 求出最短长度. 【13】 (C,安徽,文 21)已知函数 f ( x) ?

【6】 (B,湖北,文 17) a 为实数,函数 f ( x) ?

| x 2 ? ax | 在区间 [0,1] 上的最大值记为 g (a) . 当
a ? ________时, g (a) 的值最小.
【7】 (B,湖北,理 12)函数 f ( x) ? 4cos
2

ax ( x ? r)2

(a ? 0, r ? 0) .

x ? cos( ? x) 2 2
.

(1)求 f ( x) 的定义域,并讨论 f ( x) 的单调性; (2)若

? 2 sin x? | ln(x ? 1) | 的零点个数为
?

a ? 400 ,求 f ( x) 在 (0,??) 内的极值. r

【8】 (B, 四川, 文 8 理 13) 某食品的保鲜时间 y(单 位:小时)与储藏温度 x (单位: C )满足函数关 系y?e
?

考点 6 三角函数及其图像与性质 【1】 (A,新课标 I,文 8 理 8)函数 f ( x) ? cos(? x

kx?b

(e ? 2.718?为自然对数的底数, k , b
? ?

为常数). 若该食品在 0 C 的保鲜时间是 192 小时, 在 22 C 的保鲜时间是 48 小时, 则该食品在 33 C 的 保鲜时间是 小时.
x 【9】 (B,湖南,文 14)若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b

?? ) 的部分图像如图所示,则
f ( x ) 的单调递减区间为
1 3 , k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 B. (2k? ? , 2k? ? ), k ? Z 4 4 1 3 C. ( k ? , k ? ), k ? Z 4 4 1 3 D. (2k ? , 2k ? ), k ? Z 4 4
A. ( k? ?

y 1

O 1 4

5 4

x

有两个零点,则实数 b 的取值范围是

第 1 题图

.

3 ? ? x , x ? a, 【10】 (B, 湖南, 理 15) 已知函数 f ( x) ? ? 2 ? ? x , x ? a. 若存在实数 b , 使函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有两个零点,

则 a 的取值范围是

.

【11】 (C,安徽,文 14)在平面直角坐标系 xOy 中, 若直线 y ? 2a 与函数 y ? x ? a ?1 的图象只有一个 交点,则 a 的值为 . 【12】 (B,江苏,文理 17)某山区外围有两条相互 垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状, 计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公 路,记两条相互垂直的公路为 l1 , l2 ,山区边界曲线

【2】 (A,四川,理 4)下列函数中,最小正周期为

? 且图象关于原点对称的函数是 ?
A. y ? cos( 2 x ?

2 C. y ? sin 2 x ? cos2 x

)

) 2 D. y ? sin x ? cos x

B. y ? sin( 2 x ?

?

【3】 (A,福建,文 6)若 sin ? ? ? 四象限角,则 tan ? 的值等于

5 ,且 ? 为第 13

第8页

试题部分

A.

12 5

B. ?

12 5

C.

5 12

D. ?

5 12

? ) ? k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)
的最大值为 . , 最小值是 . 【12】 (B,浙江,文 11)函数 f ( x) ? sin 2 x ?
sin x cos x ? 1 的最小正周期是

【4】 (A,陕西,理 3)如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似 满足函数 y = 3sin(

?
6

y 水深/m

x
2 O 6 18 x 时间/h

【13】 (B,湖南,文 15)已知 ? ? 0 ,在函数 y ?

+ ? ) + k ,据此函数可
知, 这段时间水深 (单位: m)的最大值为 A.5 的奇函数是 A. y ? sin( 2 x ? B.6

2sin ? x 与 y ? 2cos ? x 的图像的交点中, 距离最短
的两个交点的距离为 2 3 ,则 ? = .
第 4 题图

【14】 (C,天津,文 14)已知函数 f ( x) ? sin ? x

C.8

D.10

【5】 (B, 四川, 文 5) 下列函数中, 最小正周期为 ?

?

2 C. y ? sin 2 x ? cos2 x

)

) 2 D. y ? sin x ? cos x

B. y ? cos( 2 x ?

?

?cox?x (? ? 0) , x ? R .若函 f ( x) 在区间 (??, ? ) 内单调递增,且函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 . x ? ? 对称,则 ? 的值为 【15】 (A,北京,文 15)已知函数 f ( x) ? sin x ?
2 3 sin 2 x . 2
2π ] 上的最小值. 3

【6】 (B,湖南,理 9)将函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象 向右平移 ? (0 ? ? ?

(I)求 f ( x) 最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 [0,

?
2

) 个单位后得到函数 g ( x) 的

图象,若对满足 | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 的 x1 , x2 ,有

| x1 ? x2 |min ?
A.

?
3

【16】 (A,北京,理 15)已知函数 f ( x ) ?

2 sin

,则 ? ? B.

x 2

5? 12

? 3

C.

? 4

D.

? 6

x x ? cos ? 2 sin 2 . 2 2
(I)求 f ( x) 的最小正周期; (II)求 f ( x) 在区间 ?? ? ,0? 上的最小值. 【17】 (A,天津,理 15)已知函数 f ( x) ? sin x ?
2

【7】 (C, 安徽, 理 10) 已知函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )

( A,?,? 均为正的常数 ) 的最小正周期为 ? ,当
x? 2? 时,函数 f ( x) 取得最小值,则下列结论正 3

确的是 A. f (2) ? f (?2) ? f (0) B. f (0) ? f (2) ? f (?2) C. f (?2) ? f (0) ? f (2) D. f (2) ? f (0) ? f (?2) 【8】 (A,上海,文 1)函数 f ( x) ? 1 ? 3sin x 的最
2

sin 2 ( x ? ) , x ? R . 6 (I)求 f ( x) 最小正周期;
(II)求 f ( x) 在区间 ?? 小值. 【18】 (A, 重庆, 文 18) 已知函数 f ( x) ?

?

? ? ?? , 上的最大值和最 ? 3 4? ?
1 sin 2 x ? 2

小正周期为

.

【9】 (A,山东,理 12)若“ ?x ? [0, 是真命题,则实数 m 的最小值为

?
4

], tan x ? m ”
.
2

【10】 (A,浙江,理 11)函数 f ( x) ? sin x ?

3 cos2 x . (I)求 f ( x) 的最小周期和最小值;
(II)将函数 f ( x) 的图像上每一点的横坐标伸长 到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数 g ( x) 的图像. 当 x??

sin x cos x ? 1 的最小正周期是
间是 .
y 水深/m

,单调递减区

【11】 (A,陕西,文 14) 如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似 满足函数 y ? 3sin(

?? ? , ? 时,求 g ( x) 的值域. ?2 ? ?

2 O 6 18 x 时间/h

【19】 (A,重庆,理 18)已知函数 f ( x) ? sin x
第 11 题图

?
6

x?

? sin( ? x) ? 3 cos 2 x . 2

?

试题部分

第9页

(I)求 f ( x) 的最小正周期和最大值; (II)讨论 f ( x) 在 ?

cos x) 2 ? cos 2 x .
(1)求 f ( x) 最小正周期;

? ? 2? ? , 上的单调性. ?6 3 ? ?

【20】 (A,湖北,文 18)某同学用“五点法”画函数

π f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内 2 的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

?x ? ?
x
A sin(? x ? ? )

0

π 2 π 3

π

3π 2 5π 6



? ] 上的最大值和最小值. 2 x 【24】 (B, 福建, 文 21) 已知函数 f ( x) ? 10 3 sin 2 x x ? cos ?10 cos 2 . 2 2 (I)求函数 f ( x ) 的最小正周期;
(2)求 f ( x) 在区间 [ 0, (II)将函数 f ( x ) 的图象向右平移

0

5

?5

0

? 个单位长 6

(I)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相 ........ 应位置 ,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; ... (II)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动

度,再向下平移 a ( a ? 0 )个单位长度后得到函数

g ( x) 的图象,且函数 g ( x) 的最大值为 2.
(i)求函数 g ( x) 的解析式; (ii)证明:存在无穷多个互不相同的正整数 x0 , 使得 g ( x0 ) ? 0 . 【25】 (B,福建,理 19)已知函数 f ( x ) 的图像是 由函数 g ( x) = cos x 的图像经如下变换得到:先将

π 个 6

单位长度,得到 y ? g ( x) 图象,求 y ? g ( x) 的图象离 原点 O 最近的对称中心. 【21】 (A,湖北,理 17)某同学用“五点法”画函数

π f ( x) ? A sin(? x ? ? ) (? ? 0, | ? |? ) 在某一个周期内 2 的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:

g ( x ) 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横
坐标不变) , 再将所得到的图像向右平移 度. (I)求函数 f ( x ) 的解析式,并求其图像的对称轴 方程;

?x ? ?
x
A sin(? x ? ? )

0

π 2

π

3π 2

? 个单位长 2



π 3

5π 6

0

5

?5

0

(II)已知关于 x 的方程 f ( x) ? g ( x) ? m 在 [0 ,

(I)请将上表数据补充完整,填写在答题卡上相 应位置,并直接写出函数 f ( x) 的解析式; (II)将 y ? f ( x) 图象上所有点向左平行移动

2? ) 内有两个不同的解 ? , ? .
(1)求实数 m 的取值范围;

? (? ? 0) 个单位长度,得到 y ? g ( x ) 的图象. 若
y ? g ( x ) 图象的一个对称中心为 (

2m 2 ?1 (2)证明: cos(? ? ? ) ? 5
考点 7 平面向量的概念及其运算 【1】 (A,新课标 I,文 2)已知点 A(0,1), B(3, 2) , 向量 AC ? (?4, ?3) ,则向量 BC ? A. (?7, ?4) B. (7, 4) C. (?1, 4) D. (1, 4) 【2】 (A,新课标 I,理 7)设 D 为 ?ABC 所在平面 内一点, BC ? 3CD ,则

5π , 0) ,求 ? 的最 12

小值. 【22】 (A,山东,理 16)设 f ( x) ? sin x cos x ?

??? ?

??? ?

cos 2 ( x ? ) . 4 (I)求 f ( x ) 的单调区间;
(II)在锐角 ?ABC 中,角 A , B , C ,的对边 分别为 a ,b , c ,若 f ( ) ?0 , a ? 1 ,求 ?ABC 面积的最大值. 【23】 (A,安徽,文 16)已知函数 f ( x) ? (sin x ?

?

??? ?

??? ?

A 2

? 4 ???? ???? 1 ??? ? 4 ???? 1 ??? AC B. AD ? AB ? AC 3 3 3 3 ???? 4 ??? ? 1 ???? ???? 4 ??? ? 1 ???? C. AD ? AB ? AC D. AD ? AB ? AC 3 3 3 3 【3】 (A,新课标Ⅱ,文 4)向量 a ? (1, ?1) , b
A. AD ? ? AB ?

????

第 10 页

试题部分

? (?1, 2) ,则 (2a ? b) ? a =

则下列结论正确的是 C.1 D.2 A. | b | =1 C. a ? b ? 1

? ? ? 【4】 (A,重庆,文 7)已知非零向量 a , b 满足 | b | ? ? ? ? ? ? ? 4 | a | ,且 a ? (2a ? b ) ,则 a与b 的夹角为
2? 5? (D) 3 6 【5】 (A,四川,文 2)设向量 a ? (2,4) 与向量
(A)

A. ?1

B. 0

?

B. a ? b D. (4a ? b) ? BC

? 3

(B)

? 2

【13】 (B,福建,理 9)已知 AB ? AC , AB ? ,

??? ?

??? ?

??? ?

(C)

b ? ( x,6) 共线,则实数 x ?
A.2 B.3 C.4 D.6 【6】 (A,广东,文 9)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知四边形 ABCD 是平行四边形, AB ? ?1, ?2? ,

??? ? | AC |? t ,若 P 点是 ?ABC 所在平面内一点,且 ??? ? ???? ??? ? AB 4 AC ??? ? ??? ? AP ? ??? ? ? ???? ,则 PB ? PC 的最大值等于 AB AC
A.13 B.15 C.19 D.21 【14】 (B,湖南,文 9 理 8)已知点 A, B, C 在圆

1 t

??? ?

???? ???? ??? ? AD ? ? 2,1? ,则 AD ? AC ?
A. 5 B. 4

x 2 ? y 2 ? 1 上运动,且 AB ? BC . 若点 P 的坐标
为 ( 2, 0) , 则 | PA ? PB ? PC | 的最大值为 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

C. 3

D. 2

【7】 (A, 山东, 文 4 理 3) 要得到函数 y ? sin(4 x ? 的图象,只需要将函数 y ? sin 4 x 的图象

?
3

)

【15】 (B,陕西,文 8 理 7)对任意向量 a, b ,下列 关系式中不恒成立的是 A. a ? b ? a b B. a ? b ? a ? b C. (a ? b) 2 ? a ? b
2

? ? 个单位 B.向右平移 个单位 12 12 ? ? C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 3 3 【8】 (A, 山东, 理 4) 已知菱形 ABCD 的边长为 a , ??? ? ??? ? ?ABC ? 60? ,则 BD ? CD = 3 2 3 2 3 2 3 2 A. ? a B. ? a C. a D. a 2 4 4 2 ? ? 【9】 (A,福建,文 7)设 a ? (1, 2) , b ? (1,1) , ? ? ? ? ? c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的值等于 5 5 3 3 A. ? B. ? C. D. 3 3 2 2
A.向左平移 【10】 (B,重庆,理 6)若非零向量 a, , b 满足

D. ( a ? b)( a ? b) ? a ? b

2

2

【16】 (A,新课标Ⅱ,理 13)设向量 a, b 不平行, 向量 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,则实数 ? ? . ??? ? ??? ? 【17】 (A,湖北,文 11 理 11)已知向量 OA ? AB , ??? ? ??? ? ??? ? | OA |? 3 ,则 OA ? OB ? . 【18】 (A,江苏,文理 6)已知向量 a ? (2,1) ,

? ?

? ?

?

?

| a |?

2 2 | b | 且 (a ? b) ? (3a ? 2b), ,则 a 与 b 的 3

b ? (1,?2) ,若 ma ? nb ? (9,?8) ( m, n ?R),则 . m ? n 的值为
【19】 (B,北京,理 13)在 ?ABC 中,点 M,N 满 足 AM ? 2MC, BN ? NC 若 MN ? xAB ? y AC , 则x? ;y? . 【20】 (B,天津,文 13)在等腰梯形 ABCD 中,已
? 知 AB ∥ DC , AB ? 2 , BC ? 1 ,∠ ABC ? 60 .

夹角为 A.

? 4

B.

? 2

C.

3? 4

D. ?

【11】 (B,四川,理 7)设四边形 ABCD 为平行四 边形, | AB |? 6, | AD |? 4 ,若点 M , N 满足

动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且

BM ? 3MC, DN ? 2NC ,则 AM ? NM ?
A.20 B.15 C.9 D.6 【12】 (B,安徽,理 8) ?ABC 是边长为 2 的等边 三角形, 已知向量 a , b 满足 AB ? 2a, AC ? 2a ? b ,

2 1 BC , DF ? DC ,则 AE ? AF 的值为__. 3 6 【21】 (B,天津,理 14)在等腰梯形 ABCD 中,已 BE ?
? 知 AB ∥ DC , AB ? 2 , BC ? 1 ,∠ ABC ? 60 .

动点 E 和 F 分别在线段 BC 和 DC 上,且

试题部分

第 11 页

BE ? ? BC ,DF ?
为 .

1 DC ,则 AE ? AF 的最小值 9?

【3】 (C,重庆,理 9)若 tan ? ? 2 tan

?
5

【22】 (B, 浙江, 文 13) 已知 e1 , e2 是平面单位向量, 且 e1 ? e2 ? 则 | b |?

1 .若平面向量 b 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 , 2
.

3? ) 10 则 ? ? sin(? ? ) 5 cos(? ?
A.1 B.2 C.3
?

D.4
?

? ? ? 【23】 (C,上海,文 13)已知平面向量 a, b, c 满足 ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ,且 {| a |,| b |,| c |} = {1, 2,3} ,则 | a ? b ? c |
的最大值是 . 【24】 (C,上海,理 14)在锐角三角形 ABC 中,

【4】 (A,四川,理 12)sin 15 ? sin 75 的值是___. 【5】 (B,四川,文 13)已知 sin ? ? 2 cos ? ? 0 , 则 2 sin ? cos? ? cos2 ? 的值是 . 【6】 (B,江苏,文理 8)已知 tan ? ? ?2 ,

1 , D 为边 BC 上的点,! ABD 与 ! ACD 2 的面积分别为 2 和 4,过 D 作 DE ? AB 于 E , ???? ???? DF ? AC 于 F ,则 DE ? DF = . 【25】 (C,安徽,文 15) ?ABC 是边长为 2 的等边 ? ? ? 三角形,已知向量 a、b 满足 AB ? 2a , ? ? .(写 AC ? 2a ? b ,则下列结论中正确的是 tan A ?
出所有正确结论的编号)

1 ,则 tan ? 的值为 . 7 【7】 (A,广东,文 16)已知 tan ? ? 2 . tan (? ? ? ) ?
(1)求 tan(? ? (2)求

?
4

) 的值;

sin 2? 的值. sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1
2

考点 9 解三角形 【1】 (A,广东,文 5)设△ ABC 的内角 A ,B ,C 的对边分别为 a , b , c .若 a ? 2 , c ? 2 3 ,

? ① a 为单位向量 ? ? ? ③a ?b ④ b // BC
?

? ② b 为单位向量 ? ? ⑤ (4a ? b ) ? BC

【26】 (A,广东,理 16)在平面直角坐标系 xoy 中, 已知向量 m ? (

cos A ?
A. 3

3 ,且 b ? c ,则 b ? 2
B. 2 2 C. 2
D

? 2 2 ,? ) , n ? ? sin x,cos x ? , 2 2

D. 3

x ? (0, ) . 2 ?? ? (1)若 m ? n ,求 tan x 的值; ?? ? ? (2)若 m 与 n 的夹角为 ,求 x 的值. 3
考点 8 三角恒等变换 【1】 (A,新课标 I,理 2) sin 20 cos10 ?
? ?

?

【2】 (A,湖北,文 15 理 13)如图,一辆汽车在一 条水平的公路上向 正西行驶,到 A 处 时测得公路北侧一 山顶 D 在西偏北

30? 的方向上,行驶 600m 后到达 B 处,
测得此山顶在西偏 北 75? 的方向上,仰

C B
第 2 题图

A

cos160? sin10? ?

角为 30? ,则此山的高度 CD ?

m.

1 1 C. ? D. 2 2 1 1 【2】 (A,重庆,文 6)若 tan a = , tan(a + b ) = , 3 2 则 tan b =
1 A. 7 1 B. 6 5 C. 7 5 D. 6

3 A. ? 2

3 B. 2

【3】 (A,广东,理 11) .设 ?ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a ? 3 , sin B ?

1 , 2

C?

?
6

,则 b=

.

【 4】 (A,福建,理 12)若锐角 ?ABC 的面积为

10 3 ,且 AB ? 5, AC ? 8 ,则 BC 等于

.

第 12 页

试题部分

【5】 (B, 北京, 文 11) 在 △ ABC 中,a ? 3 ,b ? 6 ,

对的边分别为 a ,b ,c , 已知△ABC 的面积为 3 15 ,

2π ,则 ?B ? . 3 【6】 (B, 北京, 理 12) 在 ?ABC 中,a ? 4, b ? 5, c ? 6 ?A ?


sin 2 A ? sin C

.

【7】 (B,天津,理 13)在△ ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .已知△ ABC 的面积为

1 b ? c ? 2, cos A ? - . 4 (I)求 a 和 sin C 的值; π (II)求 cos( 2 A ? ) 的值. 6 【17】 (A,山东,文 17) ?ABC 中,角 A, B, C 所
对的边分别为 a, b, c ,且已知 cos B ?

1 . 3 15 , b ? c ? 2 , cos A ? ? ,则 a 的值为 4 【8】 (B,重庆,文 13)设 ?ABC 的内角 A,B,C 1 的对边分别为 a , b, c ,且 a ? 2 , cos C ? ? ,3sin A 4 ? 2 sin B ,则 c ? .
【9】 (B,重庆,理 13)在 ?ABC 中, B ? 120
?

3 , 3

6 , ac ? 2 3 ,求 sin A 和 c 的值. 9 【18】 (A,江苏,文理 15)在 ?ABC 中,已知 sin( A ? B) ?
AB ? 2 , AC ? 3 , A ? 60? . (1)求 BC 的长; (2)求 sin 2C 的值.
【19】 (A,安徽,理 16)在 ?ABC 中, ? A ?

AB ? 2 A 的角平分线 AD ? 3, 则 AC ? ____.
【10】 (B,安徽,文 12)在 ?ABC 中, AB ? 6 ,

3? , 4

? A ? 75? , ?B ? 45? ,则 AC ?

.

【11】 (B,福建,文 14)若 ?ABC 中, AC ? 3 ,

A ? 45? , C ? 75? ,则 BC ?
?

.

AB ? 6 , AC ? 3 2 , D 在 BC 边上, AD ? BD , 求 AD 的长. 【20】 (A,湖南,理 17) ?ABC 的内角 A, B, C
的对边分别为 a, b, c , a ? b tan A ,且 B 为钝角. (I)证明: B ? A ?

【12】 (C,新课标 I,理 16)在平面四边形 ABCD 中, ?A ? ?B ? ?C ? 75 , BC ? 2 ,则 AB 的取 值范围是 . 【13】 (A, 新课标 I, 文 17) 已知 a , b, c 分别是 ?ABC 内角 A, B, C 的对边, sin 2 B ? 2sin A sin C . (I)若 a ? b ,求 cos B ; (II)若 B ? 90 ,且 a ? 2, 求 ?ABC 的面积.
?

?
2



(II)求 sin A ? sin C 的取值范围. 【21】 (A, 陕西, 文 17 理 17)?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c .向量 m ? (a, 3b) 与

n ? (cos A, sin B) 平行.
(I)求 A ; (II)若 a ?

【14】 (A,新课标Ⅱ,文 17)△ ABC 中, D 是 BC 上的点,AD 平分 ?BAC ,

BD ? 2 DC . sin ?B (I)求 ; sin ?C
(II)若 ?BAC ? 60? , 求 ?B .

7 , b ? 2 ,求 ?ABC 的面积.

A

【22】 (B,上海,文 21)如图, O, P, Q 三地有直
C

B

道相通,OP ? 3 千米,PQ ? 4 千米,OQ ? 5 千米. 现甲、 乙两警员同时从 O 出发匀速前往 Q 地, 经过 t 小时,他们之间的距离为 f (t ) (单位:千米).甲的 路线是 OQ ,速度 5 千米/小时,乙的路线是 OPQ , 速度是 8 千米/小时.乙到达 Q 地后在原地等待.设 t ? t1 时, 乙到达 P 地; t ? t2 时,乙到 达 Q 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (2)已知警员的对讲机
O
第 22 题图

D

第 14、15 题图

【15】 (A,新课标Ⅱ,理 17)△ ABC 中, D 是 BC 上的点, AD 平分 ?BAC ,△ ABD 面积是△ ADC 面积的 2 倍. (I)求

Q

sin ? B ; sin ? C

2 , 求 BD 和 AC 的长. (II)若 AD ? 1, DC ? 2
【16】 (A,天津,文 16)△ABC 中,内角 A,B,C 所

P

试题部分

第 13 页

的有效通话距离是 3 千米.当 t1 ? t ? t2 时, 求 f (t ) 的 表达式,并判断 f (t ) 在 [t1 , t2 ] 上的最大值是否超过 3?说明理由. 【23】 (B,上海,理 20)如图, A, B, C 三地有直道 相通, AB ? 5 千米, AC ? 3 千米, BC ? 4 千米. 现甲、乙两警员同时从 A 地出发匀速前往 B 地,经 过 t 小时,他们之间的距离为 f (t ) (单位:千米). 甲的路线是 AB ,速度为 5 千米/小时,乙的路线是

所对的边分别为 a, b, c .已知 A ? (I)求 tan C 的值;

?
4

,b ? a ?
2 2

1 2 c . 2

(II)若△ ABC 的面积为 3 ,求 b 的值. 【28】 (B,湖南,文 17)设 ?ABC 的内角 A, B, C 的 对边分别为 a, b, c, a ? b tan A . (I)证明: sin B ? cos A ; (II)若 sin C ? sin A cos B ?

ACB ,速度为 8 千米/小时.乙到达 B 地后在原地等
待.设 t ? t1 时,乙到 达 C 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值; (2)已知警员的 对讲机的有效通话距 离是 3 千米.当 t1 ? t ? 1 时,求 f (t ) 的表达式,并判 断 f (t ) 在 [t1 ,1] 上的最大值是否超过 3?说明理由. 【24】 (B,四川,文 19)已知 A, B, C 为 ?ABC 的 内角, tan A, tan B 是关于 x 的方程 x ? 3 px
2

3 ,且 B 为锐角, 求 4

A, B, C .
考点 10 不等式及其性质

C

A
第 23 题图

B

【1】 (A, 福建, 文 5) 若直线

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b
C.4 D.5

过点 (1,1) ,则 a ? b 的最小值等于 A.2 B.3

【2】 (A, 湖南, 文 7) 若实数 a , b 满足 则 ab 的最小值为 A. 2 B. 2 C. 2 2

1 2 ? ? ab , a b
D. 4

? p ? 1 ? 0( p ? R) 的两个实根.
(1)求 C 的大小; (2)若 AB ? 3, AC ? 【25】 (B,四川,理 19)如 图, A, B, C , D 为平面四边形

【 3】 (B,上海,文 16)下列不等式中,与不等式

6 ,求 p 的值.
D C

x ?8 ? 2 解集相同的是 x ? 2x ? 3
2

A. ( x ? 8)( x ? 2 x ? 3) ? 2
2

B. x ? 8 ? 2( x ? 2 x ? 3)
2

ABCD 的四个内角.
(1)证明:

C.
A B

1 2 ? 2 x ? 2x ? 3 x ? 8

D.

x2 + 2 x + 3 1 > x+ 8 2

A 1 ? cos A tan ? ; 2 sin A
?

第 25 题图

【4】 (B,浙江,文 6)有三个房间需要粉刷,粉刷 方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜 色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2) 分别为 x, y , z ,且 x ? y ? z ,三种颜色涂料的粉刷 费用 (单位: 元/ m2) 分别为 a , b, c , 且a ? b ? c. 在 不同的方案中,最低的总费用(单位:元)是 A. ax ? by ? cz C. ay ? bz ? cx 则当 a 的值为 B. az ? by ? cx D. ay ? bx ? cz

(2)若 A ? C ? 180 , AB ? 6, BC ? 3,

A B C D CD ? 4, AD ? 5 ,求 tan ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2
的值. 【26】 (B,浙江,文 16)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a , b, c .已知 tan( (I)求

?
4

? A) ? 2 .

【5】 (B, 天津, 文 12) 已知 a ? 0,b ? 0 ,ab ? 8, 时, log2 a ? log2 ?2b? 取得最大值.

sin 2 A 的值; sin 2 A ? cos 2 A

(II)若 B ?

?
4

, a ? 3 ,求 ?ABC 的面积.

【27】 (B,浙江,理 16)在△ ABC 中,内角 A, B, C

第 14 页

试题部分

考点 1 集合 【1】 (A,新课标 I,文 1) 、D 解析:由题,得 A ? B ? {8,14} . 【2】 (A,新课标Ⅱ,文 1) 、A 解析:A ? ?x | ?1 ? x ? 2? , B ? ?x | 0 ? x ? 3? , 所以 A ? B ? ?x | ?1 ? x ? 3? . 【3】 (A,新课标Ⅱ,理 1) 、A 解析:B ? ?x | ?2 ? x ? 1 故 A ? B ? ??1 , 0 ?, 【4】 (A,北京,文 1) 、A 即 ?x ? 3 ? x ? 2?. 解析:由交集定义可得, A ? B 为图中阴影部分,

解析:由题意得, P ? {x x ? 3 或 x ? ?1} ,所以

P ? Q ? [3,4) .故选 A.
【17】 (A,浙江,理 1) 、C 解析:? P ? {x x2 ? 2x ? 0} ? {x x ? 0 或

x ? 2} ,? ?R P ? ? x 0 ? x ? 2? .又因为
Q ? ? x 1 ? x ? 2? ,故 ? ?R P ? ? Q ? ? x 1 ? x ? 2?

?.

【18】 (A,福建,文 2) 、D 解析:由交集的定义 M ? N ? {0,1} ,选 D. 【19】 (A,湖南,理 2) 、C 解析:由题意得, A ? B ? A ? A ? B ,反之,

A ? B ? A ? B ? A ,故为充要条件的充要条件.
【20】 (A,陕西,文 1 理 1) 、A
° 2
第 4 题图

° -5

° -3

° x 3

解析:? M ? ?0,1? , N ? x 0 ? x ? 1 ,

?

?

? M ? N ? ?0,1? .
【21】 (A,上海,文 2 理 1) 、 {1, 4} 解析:因为 ? U B ? {x | x ? 2 或 x ? 3} ,所以

【5】 (A,天津,文 1) 、B 解析: A ? ? U B ? {2,3,5} ? {2,5} ? {2,5} 【6】 (A,天津,理 1) 、A 解析: A ? ? U B ? {2,3,5,6} ? {2,5} ? {2,5}. 【7】 (A,重庆,文 1) 、C 解析:利用交集的定义即得. 【8】 (A,重庆,理 1) 、D 解析:根据集合间的包含关系易得. 【9】 (A,四川,文 1) 、A 解析:由并集定义可知,选 A 【10】 (A,四川,理 1) 、A 解析:由 A ? {x | ?1 ? x ? 2} ,易知

A?? U B ? {1, 4} .
【22】 (A,江苏,文理 1) 、5

{1,2,3,4,5} 可得 A ? B 中元素 解析:由 A ? B=
的个数为 5. 【23】 (A,湖南,文 11) 、{1,2,3}. 解析: ? U B ? {2} , A ? ? U B ? {1, 2,3} . 考点 2 常用逻辑用语 【1】 (A,新课标 I,理 3) 、C
? 2 n 解析: P : ?n ? N , n ? 2 .

A ? B ? {x | ?1 ? x ? 3} ,选 A.
【11】 (A,广东,文 1) 、B 解析:由题知 M ? N ? ? 1?. 解析:? M ? {x ( x ? 4)(x ?1) ? 0} ? {?4,?1 },

【2】 (A,北京,理 4) 、B 解析:两平面平行,则一平面内的任意一条直 线与另一平面平行故“ m ∥ ? ”是“ ? ∥ ? ”的必要而 不充分条件. 【3】 (A,天津,文 4) 、A

【12】 (A,广东,理 1) 、D

N ? {1, 4} , M ? N ? ? ,故选 D.
【13】 (A,山东,文 1) 、C

| x ? 2 |? 1 ,?1 ? x ? 3 ,? “ 1 ? x ? 2 ”是 解析:?
“ | x ? 2 |? 1 ”的充分而不必要条件. 【4】 (A,天津,理 4) 、A

(2, 3) 解析: B ? {x1 ? x ? 3} ,故 A ? B ?
【14】 (A,山东,理 1) 、C 解析: 由 A 得1 ? x ? 3 , 结合 B ? x 2 ? x ? 4? . 【15】 (A,安徽,文 2) 、B 解析: ? , 5, 6}, A ? ? U B ? {1 U B ? {1} . 【16】 (A,浙江,文 1) 、A

| x ? 2 |? 1 ,?1 ? x ? 3 ; 解析:? ? x 2 ? x ? 2 ? 0 ,? x ? ?2 或 x ? 1 .

?

? “ | x ? 2 |? 1 ”是“ x2 ? x ? 2 ? 0 ”的充分而不
必要条件. 【 5】 (A,上海,文 15) 、A 解析:充分:两个实数的差仍是实数.

试题部分

第 15 页

不必要:当 z1 、 z2 的虚部相等(但不等于 0) 时, z1 ? z2 是实数,而 z1 、 z2 是虚数.选 A. 【6】 (A,上海,理 15) 、B 解析:不充分:设 z1 ? 2 ? i, z2 ? 1 ? i ,则

b ? ?1 时, ab ? 0 ,但 a ? b ? 0 ,故是不必要条件.所 以“ a ? b ? 0 ”是“ ab ? 0 ”的既不充分也不必要条件.
故选 D. 【16】 (A,浙江,理 4) 、D 解析:根据命题否定的定义,全称命题的否定 是特称命题即得. 【17】 (A,湖南,文 3) 、C 解析:由题易知“ x ? 1 ”可以推得“ x ? 1”,
3

z1 ? z2 ? 1 不是虚数;
必要:若 z1 ? z2 是虚数,则 z1 、 z2 的虚部不等, 所以 z1 、 z2 中至少有一个虚部不等于 0,所以 z1 、 z2 中至少有一个是虚数.选 B. 【7】 (A,重庆,文 2) 、A 解析:因为 x ? 2 x ? 1 ? 0 可得 ?x ? 1? ? 0 ,
2

“ x ? 1”可以得到“ x ? 1 ”,所以“ x ? 1 ”是“ x ? 1”的
3 3

充要条件.
2

所以可得 x =1,故充分性与必要性都成立. 【8】 (A,重庆,理 4) 、B 解析:由 log 1 ( x ? 2) ? 0 得 x ? ?1, 所以 x ? 1
2

【18】 (B,北京,文 6) 、A ? ? ? ? ? ? 解析: a ? b ?| a | ? | b | cos ? a, b ? ,由已知得

是的 log 1 ( x ? 2) ? 0 充分而不必要条件.
2

? ? ? ? ? ? ? ? cos ? a, b ?? 1,即 ? a, b ?? 0 , a //b .而当 a //b ? ? ? ? ? ? 时, ? a, b ? 还可能是 π ,此时 a ? b ? ? | a || b | ,故 ? ? ? ? ? ? “ a ? b ?| a || b | ”是“ a //b ”的充分而不必要条件.
【19】 (B,湖北,理 5) 、A 解析:由命题 q 知 n ?1维柯西不等式:

【9】 (A,湖北,文 3) 、C 解析:由特称命题的否定为全称命题可知,所 求命题的否定为 ? x ? (0, ??) , ln x ? x ? 1 ,故选 C. 【10】 (A,湖北,文 5) 、A 解析:若 p : l1 , l2 是异面直线,由异面直线的定 义知, l1 , l2 不相交,所以命题 q : l1 , l2 不相交成立, 即 p 是 q 的充分条件;反过来,若 q : l1 , l2 不相交, 则 l1 , l2 可能平行,也可能异面,所以不能推出 l1 , l2 是 异面直线,即 p 不是 q 的必要条件,故选 A. 【11】 (A,四川,文 4) 、A 解析:由 y ? log2 x 为增函数,易知选 A. 【12】 (A,山东,文 5) 、D 解析:根据“若 p 则 q ”的逆否命题为“若 ?q 则

(a1 ? a2 ??an?1 )(a2 ? a3 ??an ) ? (a1a2 ?
a2a3 ? ?an?1an )2 ,等号成立的条件是
a a1 a2 ? ? ? n?1 或者是 an ? 0 ,因而 p 是 q 的充分 a2 a3 an
条件,但不是 q 的必要条件. 【20】 (B,四川,理 8) 、B 解析: 3 ? 3 ? 3 ? a ? b ? 1 ;
a b

2

2

2

2

2

2

loga 3 ? logb 3 ?

lg 3 lg 3 lg a ? lg b ? ? ?0 lg a lg b lg b ? lg a ? a ? b ? 1 或 1 ? a ? b 或 a ? 1 ? b ,从而选 B.
? cos 2? ? 0 ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 0 ? 解析:

【21】 (B,陕西,文 6 理 6) 、A

?p ”,可知选 D.
【13】 (A,安徽,文 3) 、C

sin ? ? ? cos ? .? “ sin ? ? cos ? ”是“ cos 2? ? 0 ”的充分不必要条件.
考点 3 函数的概念及其性质 【1】 (A,新课标 I,文 10) 、A
a ?1

,q : ?1 ? x ? 3 解析:因为 p : x ? 3
所以 q ? p ,但 p 成立时, q 未必成立, 所以 p 是 q 的必要不充分条件. 【14】 (A,安徽,理 3) 、A 解析:因为 q : 2 ? 1, 亦即 q : x ? 0 ,
x

? 2 ? ?3 ,不合题意; 当 a ? 1 时, ? log2 (a ? 1) ? ?3 ∴ a ? 7
解析:当 a ? 1 时, 2 故 f (6 ? a ) ? f (?1) ? 2?1?1 ? 2 ? ? 【2】 (A,新课标 I,文 12) 、C 解析:用 ? y , ? x 分别替代 x, y ,得

所以 p ? q ,但 q 成立时, p 未必成立, 所以 p 是 q 的充分不必要条件. 【15】 (A,浙江,文 3) 、D 解析:采用特殊值法:当 a ? 3, b ? ?1 时, a ? b ? 0 ,但 ab ? 0 ,故是不充分条件;当 a ? ?3 ,

7 . 4

? x ? 2? y ? a 即 y ? ? log 2 (? x) ? a

第 16 页

试题部分

又∵ f (?2) ? f (?4) ? 1 ∴ (? log2 2 ? a) ? (? log 2 4 ? a) ? 1 即 a ? 2 . 【3】 (A,北京,文 3) 、B 解析:根据偶函数的定义 f (? x) ? f ( x) ,A 选 项为奇函数,B 选项为偶函数,C 选项定义域为

f (? x) ? (? x) 2 ? sin(? x) ? x 2 ? sin x ,
f (? x) ? f ( x) ,且 f (? x) ? ? f ( x) ,所以非奇非偶.
【8】 (A,广东,理 3) 、D 解析:令 f ? x ? ? x ? e x ,则 f ?1? ? 1 ? e ,

(0, ??) 不具有奇偶性,D 选项既不是奇函数,也不
是偶函数. 【4】 (A,湖北,文 7) 、D 解析: 对于选项 A, 右边 ? x | sgn x |? ?

f (?1) ? ? 1 ? e?1 ,即 f ? ?1? ? f ?1? ,
f ? ?1? ? ? f ?1? ,所以 y ? x ? e x 既不是奇函 数也不
是偶函数, 而 ABC 依次是偶函数、 奇函数、 偶函数. 【 9】 (A,安徽,文 4) 、D 解析:因为 y ? ln x 的定义域为 (0,??) ,是非 奇非偶函数;函数 y ? x 2 ? 1 是偶函数,但不存在零 点;函数 y ? sin x 是奇函数;函数 y ? cos x 是偶函 数,且有无数个零点. 【10】 (A,安徽,理 2) 、A 解析:因为 y ? ln x 的定义域为 (0,??) ,是非 奇非偶函数;函数 y ? x 2 ? 1 是偶函数,但不存在零 点;函数 y ? sin x 是奇函数;函数 y ? cos x 是偶函 数,且有无数个零点. 【11】 (A,福建,文 3) 、D 解析:函数 y ?

? x, x ? 0 , ?0, x ? 0

? x, x ? 0 而左边 ?| x |? ? ,显然不正确;对于选项 B, ?? x, x ? 0 ? x, x ? 0 ?x, x ? 0 右边 ? x | sgn x |? ? , 而左边 ?| x |? ? , ?0, x ? 0 ?? x, x ? 0

? x, x ? 0 ? 显然不正确;对于选项 C,右边 ?| x | sgn x ? ?0, x ? 0 , ? x, x ? 0 ? ?x, x ? 0 而左边 ?| x |? ? , 显然不正确; 对于选项 D, ?? x, x ? 0 ? x, x ? 0 ? 右边 ? x sgn x ? ?0, x ? 0 , ?? x , x ? 0 ?
而左边 ?| x |? ?

x 和 y ? e x 是非奇非偶函数;

故选 D. y ? cos x 是偶函数;y ? e x ? e? x 是奇函数, 【12】 (A,福建,理 2)D 解析: 函数 y ?

x 是非奇非偶函数, y ? sin x
x ?x

?x, x ? 0 ,显然正确,故选 D. ? x , x ? 0 ?

和 y ? cos x 是偶函数, y ? e ? e 是奇函数,选 D. 【13】 (A,湖南,文 8 理 5) 解析:由题意得 f ( x) 定义域为 (?1,1) ,关于原 点对称,又 f (? x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x)= ? f ( x) ,

【5】 (A,湖北,文 6) 、C 解析: 由函数 y ? f ( x) 的表达式可知, 函数 f ( x)

x2 ? 5x ? 6 的定义域应满足条件: 4? | x |? 0, ? 0 ,解 x ?3 之得 ?2 ? x ? 2, x ? 2, x ? 3 ,即函数 f ( x) 的定义域为
(2, 3) ? (3, 4] ,故选 C .

? f ( x) 为奇函数,又显然 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增
【14】 (A,陕西,文 4) 、C

? f (?2) ? 解析:

1 1 1 ,? f ( f (?2)) ? f ( ) ? . 4 4 2

【6】 (A,湖北,理 6) 、B 解析:由 f ( x) 在 R 上单调递增知:当 x ? 0 且

【15】 (B,新课标Ⅱ,理 5) 、C 解析:由已知得 f (?2) ? 1 ? log2 4 ? 3 ,

a ? 1 时, ax ? x ,则 g ( x) ? f ( x) ? f (ax) ? 0 ;
当 x ? 0 时, g ( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, ax ? x ,

log2 12 ? 1 ,代入得 f (log2 12) ? 2log2 12?1 ?
2log2 12 ? 6 ,所以, f (?2) ? f (log2 12) ? 9 . 2
【16】 (B,山东,文 10) 、D 解析: f ( ) ? 分类讨论:

g ( x) ? 0 .

?? 0, x ? 0 ? 综上, g ( x) ?? 0, x ? 0, sgn[ g ( x)] ? ? sgn x . ?? 0, x ? 0 ?
【7】 (A,广东,文 3) 、D 解析:对于 D,记 f ( x) ? x ? sin x ,则
2

5 6

5 5 ? b ,则由 f ( f ( )) ? 4 进行 2 6

试题部分

第 17 页

(I)当 b ? (II)当 b ?

3 5 时,由 3( ? b) ? 4 解得 b 不符合. 2 2 3 时,由 2 2
5 ?b 2

【22】 (C,新课标Ⅱ,文 12) 、A

? 4得b ?

1 满足. 2
2

1 得,f ( x ) 为 1 ? x2 偶函数, 且在 [0, ??) 为增函数,f ( x) ? f (2 x ? 1) 即
解析: 由 f ( x) ? ln(1? | x |) ?

【17】 (B,浙江,文 8) 、B 解析:因为 | a ? 1 |?| sin b |? t , 所以 (a ? 1) ?

1 故 ? x ? 1. f (| x |) ? f (| 2 x ? 1|) ?| x |?| 2 x ?1| , 3
【23】 (C,新课标Ⅱ,文 11 理 10) 、B 解析:如图所示, 以 A, B 为焦点,
D P C

sin b ? t 2 ,故当 t 确定时,t 2 ? 1 确定,则 a 2 ? 2a
2

唯一确定.故选 B. 【18】 (B,浙江,文 5) 、D

1 解析:因为 f (? x) ? ?( x ? ) cos x ? ? f ( x) ,故 x
函数是奇函数,所以排除 A,B;取 x ? ? ,

f (? ) ? (? ? ) cos ? ? ?(? ? ) ? 0 ,故选 D. ? ?
【19】 (B,陕西,文 9) 、B 解析: Q f (? x) ? ? f ( x) ,? f ( x) 为奇函数, 又? f ?( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,? f ( x) 为增函数. 【20】 (B,陕西,文 10 理 9) 、B 解析:由题意知, p ? ln ab , q ? ln

1

1

BC ? 1 为短半轴长作 椭圆, 易知椭圆与 CD 相切于 CD 中点, 当点 P 在 CD 边上运动时,
由椭圆的定义得,当

A

O

B

第 23 题图

x?

?
2

时, | PA | ? | PB | 取得最小值,故排除 C、D

两项,又当点 P 在 BC 边上运动时,

| PA | ? | PB | ? tan2 x ? 4 ? tan x ,轨迹不是线

a?b , 2

段,故排除 A 选项,B 正确. 【24】 (C,北京,理 8)D 解析:A 问的是纵坐标的最大值. B 消耗 1 升油 甲走最远,则反过来路程相同甲最省油. C 此时甲走 过了 80 千米,消耗 8 升汽油. D 80km/h 以下丙燃油 效率更高,更省油. 【25】 (C,天津,文 8) 、A 解析:法 1 ? f (2 ? x) ? ? 令: h( x) ? f ( x) ?

1 (ln a ? ln b) ? ln ab .因为 0 ? a ? b ,所以 2 a?b ? ab ,又因为函数 由均值不等式得, 2 f ( x) ? ln x 为增函数,所以 p ? r ? q . r?
【21】 (C,新课标 I,理 12) 、D 解析:设 g ( x) ? e (2 x ?1) , y ? ax ? a ,由题
x

?2 ? x ? 2 , x ? 0
2 ?x ,

x?0

,

知存在唯一的正整数

x 0 ,使得 g ( x0 ) 在直线
y ? ax ? a 的下方.
∵ g ?( x) ? e (2 x ? 1)
x

y
1 2

y=ax-a
1
1 2

-1
x

o
-

1 x

y=e (2x-1) 2

-1

? x 2 ? 5 x ? 5, ? f (2 ? x) ? 3 ? ? ? 1, ? x 2 ? x ? 1, ?
令 h( x) ? 0 解得 x1 ?

x?2 0 ? x ? 2, x?0

∴当 x ? ?

1 时, 2

第 21 题图

g ?( x) ? 0 .

5? 5 ?1? 5 , x2 ? , 2 2

1 当 x ? ? 时, g ?( x) ? 0 . 2
? 1 当 x ? ? 时, g ( x) min ? ?2e 2 2 当 x ? 0 时,g (0) ? ?1 ,直线 y ? ax ? a 恒过 (1,0) 1

? 共两个零点,选 A. 法 2 先画出 f ( x ) 的图像, 令 h( x) ? ? f (2 ? x) ,
则 h( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于点 (1,0) 对称,画 出 h( x) 的图像再将向上平移 3 个单位,可得

y ? g ( x) 的图像, 可知 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 的图像
有 2 个公共点,故选 A. 【26】 (C,天津,理 8) 、D 解析:法 1 ? y ? f ( x) ? g ( x) 恰有 4 个零点

且斜率为 a ,故 ? a ? g (0) ? ?1 且

3 g (?1) ? ?3e ? ?a ? a ,解得 ? a ? 1 . 2e
?1

? f ( x) ? f (2 ? x) ? b 恰有 4 个根.

第 18 页

试题部分

?2 ? x ? 2 , x ? 0 ? f ( 2 ? x) ? ? 2 x?0 ?x ,
? x ? 5 x ? 8, x ? 2 ? 令 h( x) ? f ( x) ? f (2 ? x) ? ? 2, 0? x?2 2 ? x ? x ? 2, x ? 0 ?
2

以 f ( f (a)) ? f (3a ?1) ? 23a?1 ? 2 f ( a ) ,满足题意; 若a ?

2 ,则 f (a) ? 3a ? 1 且 3a ? 1 ? 1 ,所以 3

f ( f (a)) ? f (3a ?1) ? 3(3a ? 1)-1 ,而 2 f ( a ) ? 23a ?1 ,
令 3a ? 1 ? t ,则 t ? 1 ,在此前提下,考察函数

画出 h( x) 的图像与 y ? b 的图像可知,若有 4 个交点

y ? 3t -1 与 y ? 2t ,显然有 2t ? 3t ? 1 ,故不满足题意.
【29】 (C,浙江,理 7) 、D 解析:对于选项 A,不妨取 x ? 则 t ? sin 2 x

7 则 ?b?2. 4
法 2 先画出 f ( x ) 的图像, 令 h( x) ? ? f (2 ? x) , 则 h( x) 的图像与 f ( x ) 的图像关于点 (1,0) 对称,画 出 h( x) 的图像再将向上平移,由图像可知

?
4

、x ?

5? , 4

5? x? , x? 4 4

?

? 1 时, f (t ) ? ?

2 ,不满足 2

b ? 0,b ? 1,b ? 2 ,故排除选项 A,B,C,故选 D.
【27】 (C,四川,理 9) 、A 解析:若 m ? 2 ,则应有 n ? 8 ,此时 mn ? 16 ;

函数的定义故排除 A; 对于选项 B,不妨取 x ? ? 、 x ? 5? ,则 4 4

n ?8 ? 2, 若 m ? 2 ,则应有函数 f ( x ) 的对称轴 ? m?2 1 整理得 2m ? n ? 12 ,所以 mn ? ? 2m ? n 2 1 2m ? n 2 ? ( ) ? 18 ,当且仅当 2 m ? n ,即 m ? 3 , 2 2 n ? 6 时等号成立; 若 0 ? m ? 2 ,则应有函数 f ( x ) 的对称轴 n?8 1 x?? ? ,整理得 m ? 2n ? 18 ,由于 m?2 2 m ? 0 ,所以 n ? 9 ,此时 mn ? 18 . 综上,当 m ? 3, n ? 6 时 mn 取得最大值 18.
【28】 (C,山东,理 10) 、B 解析:法 1 利用特殊值法,令 a ? 0 ,则

t ? sin 2 x
f (t ) ?

5? x? , x? 4 4

?

? 1 时, f (t ) ?

?2
16

?

?或
4

25? 2 5? ,不满足函数的定义故排除 B; ? 16 4
2

对于选项 C,不妨取 x ? ?1 ,则 t ? x ? 1 ? 2 时, f (t ) ? 0 或 f (t ) ? 2 ,不满足函数的定义故排 除 C; 对于选项 D,不妨将选项两边平方可得:

f ( x2 ? 2 x) ? x2 ? 2 x ? 1 ,令 t ? x 2 ? 2 x ,故有
2

f 2 (t ) ? t ?1? f (t ) ? 0? ,因此 f (t ) ? t ? 1 .
【30】 (A,新课标 I,文 14) 、1 解析:由题,得 f ?( x) ? 3ax ? 1
2

∴ f ?( x) ? 3a ? 1 又∵ f (1) ? a ? 2 ∴切线的方程为 y ? (a ? 2) ? (3a ? 1)( x ? 1) 又∵切线过点 (2,7) ∴ 7 ? (a ? 2) ? (3a ? 1)(2 ? 1) 即 a ? 1 . 【31】 (A,新课标 I,理 13) 、1 解析:由题,得 y ? ln( x ? a ? x2 ) 是奇函数 所以 ln( x ? a ? x 2 ) ? ln(? x ? a ? x 2 )
2 2 = ln(a ? x ? x ) ? ln a ? 0 ,解得 a ? 1 .

f (0) ? ?1 , f (?1) ? ?4 ,而 2 ? ?4 ,说明 a ? 0
不满足题意,排除 B ; 令a ?

?1

2 2 1 ,则 f ( ) ? 1 , f (1) ? 2 ,而 2 ? 2 , 3 3

2 说明 a ? 满足题意,排除 D ; 3
4 令 a ? 2 ,则 f (2) ? 4 , f (4) ? 16 ,而 2 ? 16 ,

说明 a ? 2 满足题意,排除 A ; 综上,故选 C . 法 2 利用分类讨论.若 a ? 1 ,则 f (a) ? 2 且
a

【32】 (A,上海,文 4) 、? 解析:由

2 3

2a ? 1 ,所以 f ( f (a)) ? f (2a ) ? 22 ? 2 f ( a) ,满足
题意;

a

2 x ? 2 得 x ? ? ,即 3 2x ?1

2 若 ? a ? 1 ,则 f (a) ? 3a ? 1 且 3a ? 1 ? 1 ,所 3

2 f ?1 (2) ? ? . 3

试题部分

第 19 页

【33】 (B, 上海,理 10) 、4 解析: f ( x ) 在定义域 [0, 2] 上是增函数,故

当 x < 1 时, f ( x) > - 1 . 当 x ? 1 时, f ( x ) 是开口向上的抛物线,当

f ( x) 也是增函数.因为 f ( x)max ? f (2) ? 2 ,所以 f ?1 ( x) 的最大值 f ?1 ( x)max ? 2 ,所以 y 的最大值为 4.
【34】 (B,山东,理 14) 、?

?1

x=

3 2

3 时取得最小值-1. 2 故 a = 1 时 f ( x ) 的最小值是-1.
②若 f ( x ) 在 x < 1 与 x ? 1 时与 x 轴各有一个

解析: 若 a ? 1, 则 f ( x) ? a x ? b 为定义域上的

交点 由函数 h( x) ? 2 x ? a 在 x ? 1 时与 x 轴有一个交 点,知 a ? 0 ,并且当 x ? 1 时 h(1) ? 2 ? a ? 0 ,所以

? f (?1) ? ?1 增函数,即 ? ,经检验, a ?? ; ? f (0) ? 0
若 0 ? a ? 1, 则 f ( x) ? a x ? b 为定义域上的减函数,

0 ? a ? 2.
由函数 g ( x) ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在 x ? 1 时与 x 轴 有一个交点,知当 x ? 1 时 g (1) = 4(1- a)(1- 2a)

1 ? ? f (?1) ? 0 3 ?a? 即? ,解得 ? 2 ,故 a ? b ? ? . 2 ? f (0) ? ?1 ? ?b ? ?2 1 【35】 (B,浙江,文 12) 、? ,2 6 ?6 2
解析: f (?2) ? (?2) ? 4 ,所以
2

1 ? 0 ,解得 #a 2
零点,所以

1 ,由①知 a = 1 时 g ( x) 有两个

1 ? a ?1. 2

若 f ( x ) 在 x < 1 时与 x 轴没有交点,x ? 1 时与

f ( f (?2)) ? f (4) ? 4 ?

6 1 ? 6 ? ? .当 x ? 1 时, 4 2

x 轴有两个交点
由函数 h( x) ? 2 x ? a 在 x < 1 时与 x 轴没有交点 知,当 x ? 1 时 h(1) ? 2 ? a ? 0 , a ? 2 . 由 g ( x) ? 4( x ? a)( x ? 2a) 在 x ? 1 时与 x 轴有两 个交点知, g (1) = 4(1- a)(1- 2a) ? 0 且 g ( a) < 0 解得 a ?

f ( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? 2 6 ? 6 ,当

x?

6 , x ? 6 时取到等号. x
因为 2 6 ? 6 ? 0 ,所以函数的最小值为

3 2

2 6 ?6.
【36】 (B,福建,文 15) 、1 解析:由 f (1 ? x) ? f (1 ? x) 得函数 f ( x) 关于
x ?1 x ? 1 对称,故 a ? 1 ,则 f ( x) ? 2 ,由复合函数

1 或 a ? 1. 2
1 2

综上, a 的取值范围是 [ ,1) ? [2, + ? ) . 【39】 (C,江苏,文理 13) 、4 解析:设

单调性得 f ( x) 在 [1, ?? ) 递增,故 m ? 1 ,所以实数

m 的最小值等于1 .
【37】 (B,福建,理 14) 、 (1, 2] 解析:当 x ? 2 ,故 ? x ? 6 ? 4 ,要使得函数 f ( x ) 的值域为 ? 4, ?? ? , 只需 f1 ( x) ? 3 ? loga x ? x ? 2? 的值域包含于 ? 4, ?? ? , 故 a >1, 所以

?? ln x,0 ? x ? 1 ? h( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ?? x 2 ? 2 ? ln x,1 ? x ? 2 ? x 2 ? 6 ? ln x, x ? 2 ?
利用导数知识画出

h( x ) 的图像,如图所示.

y 1 O -1 ln2-2 A 1

f1 ( x) ? 3 ? log a x ,所以 3 ? log a x ? 4 , 解得
1 ? a ? 2 , 所以 a 的取值范围是 (1, 2] .
【38】 (C,北京,理 14) 、-1, [ ,1) ? [2, + ? ) 解析:①当 a = 1 时,

h( x ) ? 1 以及 h( x ) ? ?1
各有 2 个实数根.所以方程

1 2

f ( x) ? g( x) ? 1 实根的
个数为 4. 【40】 (A,上海,文 20) 关于原点对称.

x

第 39 题图

ì ? 2 x - 1, x < 1, f ( x) = ? í ? ? ? 4( x - 1)( x - 2), x ? 1.

解析: (1) f ( x ) 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) ,

第 20 页

试题部分

若 a ? 0 ,则 f ( ? x ) ? ?

1 ? ? f ( x) , f ( x) 为 x

奇函数. 若 a ? 0 ,则 f (?1) ? a ? 1 , f (1) ? a ? 1,

t ? 2t 2 ?2t 2 ,由于 ? st ? t?2 t?2 ?2t 2 t ? 2t 2 ?2 ? ? 0 和 ?3 ? ? 0 ,所以 ? 3 ? b ? 0 . t?2 t?2
当 ? 1 ? t ? 0 时, 故 b 的取值范围是 [?3,9 ? 4 5 ] . 【42】 (C,浙江,理 18)

f (?1) ? f (1) , f (?1) ? ? f (1) , f ( x) 既不是奇函
数也不是偶函数. (2)设 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,则

1 1 2 ? ax2 ? x1 x2 x ?x ? a( x1 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ? 1 2 x1 ? x2 a( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? 1 . ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 因为 a ? (1,3) , 1 ? x1 ? x2 ? 2 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ax12 ?

a( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ?1 ? 0 , x1 ? x2 ? 0 ,从而 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 .
所以, f ( x ) 在 [1, 2] 上是单调增函数. 【41】 (C,浙江,文 20) 解析:(Ⅰ)当 b ?

a 2 a2 ) ?b? ,得 2 4 a a 对称轴为直线 x ? ? .由 a ? 2 ,得 ? ? 1 ,故 2 2 f ( x) 在 [ ?1,1] 上单调,所以 M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } 显然 f (1) ? 1 ? a ? b , f (?1) ? 1 ? a ? b .由于 f (1) ? f (?1) M (a, b) ? max{ f (1) , f (?1) } ? 2 f (1) ? f (?1) f (1) ? f (?1) ? ? a ? 2, 又因为 2 2 故当 a ? 2 时, M (a, b) ? 2 .
解析: (Ⅰ)由 f ( x) ? ( x ? (Ⅱ)由于 M (a, b) ? 2 ,故 1 ? a ? b ? 2 ,

a ? 1 时, 4

2

a a f ( x) ? ( x ? ) 2 ? 1 ,故对称轴为直线 x ? ? . 2 2 2 a ? a ? 2. 当 a ? ?2 时, g (a) ? f (1) ? 4 a 当 ? 2 ? a ? 2 时, g ( a ) ? f ( ? ) ? 1 . 2 2 a ?a?2. 当 a ? 2 时, g (a) ? f (?1) ? 4
? a2 ? ? a ? 2, a ? ?2 ?4 综上, g (a) ? ? ?2?a?2. ?1, ? 2 ? a ? a ? 2, a ? 2 ? ?4 (Ⅱ)设 s , t 为方程 f ( x) ? 0 的解,且

? ?3 ? a ? b ? 1 1 ? a ? b ? 2 ,化简可得: ? ??1 ? a ? b ? 3 ? a ? b , ab ? 0 ? 又因为 a ? b ? ? ,故 a ? b ? 3 . ? ? a ? b , ab ? 0
不妨取 a ? ?2 , b ? ?1 ,此时有 a ? b ? 3 ,且

f ( x) 在区间 [ ?1,1] 上有最大值 M (a, b) ? 2 .
所以 a ? b 的最大值为 3. 考点 4 指数函数、对数函数、幂函数 【1】 (A,重庆,文 3) 、D 解析:由 f ( x) ? log2 ( x ? 2 x ? 3) 可得:
2

x 2 ? 2 x ? 3 ? 0 解得 x ? -3 或 x ? 1.
【2】 (A,山东,文 3) 、C 解析:根据函数 y ? 0.6 是定义域上的单调递
x

?s ? t ? ? a ? 1 ? t ? 1 ,则 ? ,由于 0 ? b ? 2a ? 1 , ?st ? b ? 2t 1 ? 2t ?s? (?1 ? t ? 1) . 因此 t?2 t?2 ? 2t 2 t ? 2t 2 ? st ? 当 0 ? t ? 1 时, ,由于 t?2 t?2 2 ? 2t 2 1 t ? 2t 2 ? ? ? 0和? ? ? 9 ? 4 5 ,所以 3 t?2 3 t?2 2 ? ?b ?9?4 5 . 3

减函数,可得 0.6

0.60.6

? 0.61.5 ;另外借助中间值 1,得 ? 1 ? 1.50.6 ,则 b ? a ? c .
0.6

【3】 (B,北京,理 7) 、C 解析:如图? x = 1 时,
y
2

C

f ( x) = log2 ( x + 1) .
? f ( x) ? log2 ( x ? 1) 解集为 ?? 1,1? . 注意 log2 ( x ? 1) 定义
域不包括-1.
A
-1

B O
2

x

第 3 题图

试题部分

第 21 页

【4】 (B,天津,文 7 理 7) 、B 解析:? f (?x) ? 2
x?m

所以 f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) .
x?m

?1 ? 2

? 1 ? f ( x) .
x

令 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? x 2 ? ax , 则题意转化 为存在不相等的实数 x1 , x 2 ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) .
x 由 h? ( x) = 2x ln 2 - 2 x - a , h ??( x) ? 2( ln2) ? 2.

? x ? m ? x ? m ?m ? 0 .? f ( x) ? 2 ? 1在
(0,??) 是增函数. 又 a ? f (? log2 3) ? f (log2 3), c ? f (0) ,且 0 ? log2 3 ? log2 5 . ? c ? a ? b .
【5】 (A,北京,文 10) 、 log 2 5

令 hⅱ 且 1 ? x0 ? 2 , 可得 h? ( x0 ) = 0 , ( x0 ) 为极小值; 若 a ? ?10000 , 则 h? (x ) >0 ,h ? x ? ( x0) >0 ,即 h? 单调递增,不满足题意,③错误; 令 m ? ?n ,同③可得

1 解析: 2 ? ? 1 , 3 2 ? 3 ? 1 , 8 log2 5 ? log2 4 ? 2 ? 3 ,所以 log 2 5 最大.
?3

1

【6】 (A,四川,文 12) 、2 解析: lg 0.01? log2 16 ? ?2 ? 4 ? 2 . 【7】 (A,安徽,文 11) 、- 1

f ( x1 ) ? g ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x2 ) ,
设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? 2 x ? x 2 ? ax ,则

5 ? lg 4 ? 2 ? ?1 . 2 1 【8】 (A,浙江,文 9) 、? ,3 3 2 1 ? 2 1 解析: log2 ? log2 2 2 ? ? 2 2 log2 3?log4 3 log2 3 log4 3 2 ?2 ?2 ? 3? 3 ? 3 3 .
解析:原式 ? lg 【9】 (A,浙江,理 12) 、

h?( x) ? 2x ln 2 ? 2 x ? a , hⅱ ( x) = 2x (ln 2)2 + 2 ? 0 恒成立, h?( x) 单调递增且当 x ? ?? 时,
h?( x) ? ?? ,当 x ? ?? 时, h?( x) ? ?? ,所以

h ? x ? 先减后增,所以对于任意的 a ,存在不相等的
实数 x1 , x 2 ,使得 h( x1 ) ? h( x2 ) ,即使得 m ? ?n 成 立,④正确. 考点 5 函数模型及其应用 【1】 (C,北京,文 8) 、B

4 3 3
a ?a

解析: a ? log2 3 ,则 2 ? 2

3 ? 3? ? 3

解析:因为第一次邮箱加满,所以第二次的加 油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量 V ? 48 升. 而这段时间内行驶的里程数 S ? 35600 ? 35000 ? 600 千米.所以这段时间内,该车每 100 千米平均耗油量

4 3 . 3
【10】 (B,上海,文 8 理 7) 、2 解析:原方程即 log2 (9x?1 ? 5) ?

48 ? 100 ? 8 升. 600 【2】 (C,安徽,理 9) 、C
为 解析: 函数 f ( x) 在 x ? ?c 时无意义, 结合图象 知 c ? 0 ;当 x ? ?? 时, f ( x) ? 0 ,可知
y M O N P x

log2 4 ? (3x?1 ? 2) ,所以 9x?1 ? 5 ? 4 ? (3x?1 ? 2) .
令t ? 3
x ?1 2 ,则 t ? 4t ? 3 ? 0 ,解得 t ? 3 或

t ? 1 ,所以 x ? 2 或 x ? 1 (舍).
【11】 (C,四川,文 15 理 15) 、①④ 解析:由定义 m ?

a ? 0 ;又

2 x1 ? 2 x2 , n ? x1 ? x2 ? a . x1 ? x2
x1

f ( 0) ?
b ? 0.

b ? 0 ,知 c2
第 2 题图

若 x1 ? x 2 ,则由 f ( x) 在 R 上单调增, 2 所以 m ? 0 , 若 x1 ? x 2 , 则2 ①正确; 由 n ? x1 ? x2 ? a 易知②错误; 令 m ? n ,有 整理得 2
x1 x1 x2

? 2 x2 ,

【3】 (C,陕西,理 12) 、A 解析:首先假设选项 A,B,C 的结论是正确的,

?2 , 仍有 m ? 0 ,

2 x1 ? 2 x2 ? x1 ? x2 ? a , x1 ? x2

2 ? 2 x2 ? x12 ? x2 ? a( x1 ? x2 ) ,

3 ? ?a ? ? 4 ? f (?1) ? 0 ?a ? b ? c ? 0 ? 3 , ? ? 则? 这与 a ? f ?(1) ? 0 ? ?2a ? b ? 0 ? ?b ? 2 ? f (1) ? 0 ?a ? b ? c ? 3 ? ? ? 9 ? ?c ? 4 ?
为非零整数矛盾,所以选项 A,B,C 中必有一个错误;

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? g ( x1 ) ? g ( x2 ) ,

第 22 页

试题部分

再假设选项 B,C,D 的结论是正确的,则

?2 a ? b ? 0 ?a ? 5 ? ? ?a ? b ? c ? 3 ? ?b ? ?10 ,这与 a 为非零整数 ?4a ? 2b ? c ? 8 ?c ? 8 ? ?
相符合,故选项 A 的结论是错误的,故选 A. 【4】 (A,湖北,文 13) 、2

?1 ? a, a ? 2 2 ? 2 ? 综上可知 g (a ) ? ? a 2 ,所以 , a ? 2 2 ? 2 ? ?4
g (a) 在 (- ? ,2 2 2] 上单调递减,在 (2 2 ? 2,??)
上单调递增,所以 g (a) min ? g (2 2 ? 2) ,故

π 解析:函数 f ( x) ? 2sin x sin( x ? ) ? x 2 的零点个 2 π 数等价于方程 2sin x sin( x ? ) ? x2 ? 0 的根的个数, 2
即函数 g ( x) ? 2sin x sin( x ?
2

a ? 2 2 ? 2 时, g (a) 的值最小.
【7】 (B,湖北,理 12) 、2 解析: f ( x) ? 2(cos x ? 1)sin x ?2sin x ?

?
2

| ln( x ? 1) | ? sin 2 x? | ln(x ? 1) | ,其零点个数就等
价于函数

) ? 2sin x cos x

? sin 2 x 与 h( x) ? x 的图象交点个数.
于是,分别画出其函数图象如图所示:
y y=x2 y=sin(2x) O

y ? sin 2 x 与函
数 y ?| ln(x ? 1) | 图象的交点个数, 如图,有 2 个交 点,故函数
O

y

x

第 7 题图

y ? f ( x) 的零点个数是 2.
x

【8】 (B,四川,文 8 理 13) 、24
b 解析: 由题意,x ? 0 时,e ? 192;x ? 22 时,
D

由图可知, 函数 g ( x) 与 h( x) 的图象有 2 个交点. 【5】 (A,浙江,理 10) 、0, 2 2 ? 3 解析: 根据函数的定义可知: f ( f (?3)) ? f (1)

e

22 k ? b

? 48,所以

C B A

,所以 e

11k

?

1 . 2

当 x ? 33 时, y ? e

33k ?b

? 192? (e11k ) 3 ? 24 .

【9】 (B,湖南,文 14) 、0 ? b ? 2
x 解析:若函数 f ( x ) ? 2 ? 2 ? b 有两个零点, x 可得方程 2 ? 2 =b 有

? 0 ;当 x ? 1 时, f ( x) ? x ?
2

2 ? 3 ? 2 2 ? 3 ;当 x

x ? 1 时, f ( x) ? lg( x ? 1) ? lg1 ? 0 ;故 f ( x)min

y
4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x

? 2 2 ?3.
【6】 (B,湖北,文 17) 、2 2 ?2 解析: 因为 f ( x) ?| x ? ax | , 分 3 种情况讨论:
2

两个根,从而函数

y ? 2 x ? 2 与函数

y ? b 的图像有两个交
点,结合图像可得

①当 a ? 0 时,函数 f ( x) ?| x ? ax |? x ? ax
2 2

在区间 [0,1] 上单调递增,所以

0 ? b ? 2.

第 9 题图

【10】 (B,湖南,理 15) 、 (??,0) ? (1,??) 解析:由题意可知,问题等价于方程 x ? b
3

f ( x)max ? g (a) ? 1 ? a ;
②当 0 ? a ? 2 2 ? 2 时,此时 f ( ) ?

a 2

a2 , 4

( x ? a) 与方程 x2 ? b ? x ? a ? 的根的个数和为 2.
若两个方程各有一个根, 则可知关于 b 的不等式

a2 (a ? 2) 2 f (1) ? 1 ? a , ? (1 ? a) ? ?2? 0 , 而 所 4 4 以 f ( x)max ? g (a) ? 1 ? a ;
③当 a ? 2 2 ? 2 时, f ( x) max ? g (a) ?

a2 . 4

? 1 3 ?b ? a ? 组 ? b ? a 有解,解得 a ? 1 ; ? ?? b ? a ?
若方程 x ? b( x ? a) 无解,方程 x ? b( x ? a)
3 2

试题部分

第 23 页

? 1 ?b 3 ? a 有 2 个根, 则可知关于 b 的不等式组 ? 有解, ? ? b ? a ? 解得 a ? 0 . 综上, a 的取值范围为 (??,0) ? (1,??) .
1 【11】 (C,安徽,文 14) 、2
解析:因为函数 y ? x ? a ?1 的图象是开口向 上的折线,顶点在定直线 y ? ?1 上,而直线 y ? 2a 与函数 y ? x ? a ?1 的图象只有一个交点,所以

15 3 千米.
【13】 (C,安徽,文 21) 解析:(1)由题意知 x ? ?r ,所求的定义域为

(??,?r ) ? (?r ,??) .

f ( x) ?

ax ax , ? 2 2 (x ? r) x ? 2rx ? r 2

f ?( x) ?

a( x 2 ? 2rx ? r 2 ) ? ax(2 x ? 2r ) ( x 2 ? 2rx ? r 2 ) 2
? ? a( x ? r )(x ? r ) , ( x ? r)4

1 2a ? ?1 , a ? . 2
【12】 (B,江苏,文理 17) 解析:(1)由题意知,点 M , N 的坐标分别为

所以,当 x ? ?r 或 x ? r 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? r ? x ? r 时, f ?( x) ? 0 ,因此, f ( x) 的单调 递减区间为 (??,?r ) , (r ,??) ;单调递增区间为

(?r , r ) .
(2)由(1)的解答可知 f ?(r ) ? 0 , f ( x) 在 (0, r ) 上单调递增, 在 (r ,??) 上单调递减, 因此,x = r 是

a (5,40) , (20,20.5) .将其分别代入 y ? 2 , x ?b

? a ? 40 ? ?a ? 1000 ? 25 ? b 得? ,解得 ? . b?0 ? ? a ? 2 .5 ? ? 400 ? b
(2) ①由(1)知, y ?

f ( x) 的极大值点,所以 f ( x) 在 (0,??) 内的极大值
为 f (r ) ?

ar a 400 ? ? ? 100. 2 ( 2r ) 4r 4

1000 (5 ? x ? 20) , 则点 P x2

考点 6 三角函数及其图像与性质 【1】 (A,新课标 I,文 8 理 8) 、D 解析: 法1 故选D 法 2 由题,得 ∴T ? 由题, 得

1000 的坐标为 ( t , 2 ) ,设在点 P 处的切线 l 交 x, y 轴 t 2000 分别于 A, B 点, y ? ? ? 3 ,则 l 的方程为 x 1000 3t y ? 2 = ? 2000 由此得 A( ,0) , (x ? t) , 3 2 t t 3000 B(0, 2 ) . t

T 5 1 ? ? ? 1 ,即 T ? 2 2 4 4

T 5 1 ? ? ? 1 ,即 T ? 2 2 4 4

2? ? 2 ,即 w ? ? ∴ f ?x ? ? cos??x ? ? ? w

3 2 4 ? 10 故 f (t ) ? t ? , t ? [5,20] . 2 t4
6

( 又? f ( ) ? 0 ∴ cos
即? ?

1 4

?
4

? ?) ?0

②设 g (t ) ? t ?
2

16 ?10 4 ? 10 ,则 g ?(t ) ? 2t ? . 4 t t5
6
6

1 ? ? ? ? k? ? (k ? Z) 4 2

令 g ?(t ) ? 0 ,解得 t ? 10 2 . 当 t ? (5,10 2 ) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 是减函数; 当 t ? (10 2 ,20) 时, g ?(t ) ? 0 , g (t ) 是增函数. 从而,当 t ? 10 2 时,函数 g (t ) 有极小值,也是最 小值,所以 g (t ) min ? 300 ,此时, f (t ) min ? 15 3 . 故当 t ? 10 2 时,公路 l 的长度最短,最短长度为

∴ f ? x ? ? cos(? x ? k? ? 又? f (0) ? 0 由 2k? ? x? ?

?
4

) ? ? cos(? x ?

?
4

)

∴ f ( x ) ? cos(? x ?

?
4

).

x 1 3 ? 2k? ? ? ,得 [2k ? ,2k ? ], k ? Z . 4 4 4

【2】 (A,四川,理 4) 、A 解析: y ? cos( 2 x ?

? ) ? ? sin 2 x 符合题意,选 A. 2

第 24 页

试题部分

【3】 (A,福建,文 6) 、D

故 f (2) ? f (?2) ? f (0) . 【 8】 (A,上海,文 1) 、π 解析:因 f ( x) ? 1 ? 3sin x ? 1 ? 3 ?
2

5 ,且 ? 为第四象限角,则 13 12 5 sin ? cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 则 tan ? ? ?? , 13 12 cos ?
解析:由 sin ? ? ? 故选 D. 【4】 (A,陕西,理 3) 、C 解析:由题意知,水深的最大值为函数

1 ? cos 2 x 2

?

3cos 2 x 1 ? ,所以最小正周期为 π . 2 2
解析:因为 x ? [0,

【9】 (A,山东,理 12) 、1

y ? 3 sin(

?
6

x ? ? ) ? k 图像最高点纵坐标,易知,

?
4

] 时, y ? tan x 为增函数,

k ? 5 ,所以水深的最大值为 5+3=8. 【5】 (B,四川,文 5) 、B
解析:y ? cos( 2 x ?

且最大值为 1 ,故 m 的最小值为 1 . 【10】 (A,浙江,理 11) 、? ,[ ( k ? Z) 解析: f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ?

?
2

) ? ? sin 2 x 符合题意,选 B

3? 7? ? k? , ? k? ] 8 8
1 sin 2 x ? 2

【6】 (B,湖南,理 9) 、D 解析: 将函数 f ( x ) 的图像向右平移 ? 个单位后, 得到 g ( x) ? sin( 2 x ? 2? ) 又∵ | f ( x1 ) ? g ( x2 ) |? 2 , 不妨令 2 x1 ? ∴ x1 - x2 = 又∵ x1 ? x2

?
2

? 2k? , 2 x2 ? 2? ? ?

?
2

? 2m?

?
2
min

- ? + (k - m)? ,其中 k , m ? Z

?

?
3

,∴

?
2

?? ?

?
3

, 即? ?

?
6

.

1 3 2 ? 3 cos 2 x ? ? sin(2 x ? ) ? ,因此 T ? ? . 2 2 2 4 2 ? ? 3? ? 2 k? ? 2 x ? ? ? 2 k? , 从而可得递减区间 2 4 2 3? 7? ? k? , ? k? ]( k ? Z). 为:[ 8 8
【11】 (A,陕西,文 14) 、8 解析:由题意知,水深的最大值为函数

【7】 (C,安徽,理 10) 、A 解析:因为函数 f ( x) 的最小正周期为 ? ,所以

2? ? ? 2, f ( x) ? Asin(2 x ? ? ) ,因为当 x ? 时, 3 4? 3? ? ? ? 2k? ? 函数 f ( x) 取得最小值,所以 , 3 2
即 ? ? 2k? ?

y ? 3 sin(

?
6

x ? ? ) ? k 图像最高点纵坐标,易知,

k ? 5 ,所以水深的最大值为 5+3=8.
【12】 (B,浙江,文 11) 、? ,

?
6

不失一般性,取 ? ?

?
6

3? 2 2
1 2

,所以 ,

解析: f ( x) ? sin 2 x ? sin x cos x ? 1 ? sin 2 x ?

f ( x) ? A sin( 2 x ? f (2) ? A sin( 4 ?

?
6

), f (0) ? A sin

?
6

1 ? cos 2 x 1 1 3 ? 1 ? sin 2 x ? cos2 x ? ? 2 2 2 2
2 π 3 2? sin(2 x ? ) ? .所以 T ? ? ?; 2 4 2 2 f ( x ) min ? 3 2 ? . 2 2

?

6 5? ? A sin( ? 4) , 6

) ? ? A sin( 4 ?

?
6

??)

??) 6 6 7? ? A sin( 4 ? ), 6 ? 5? 7? ? ? ?4?0? 4? ? ? , 因为 ? ? 2 6 6 6 2 5? 7? ? ? 4) ? sin( 4 ? ) ? sin 所以 sin( 6 6 6 f (?2) ? A sin( ?4 ? ) ? ? A sin( ?4 ?

?

?

【13】 (B,湖南,文 15) 、? =

? 2

解析:根据三角函数图像与性质可得交点坐标

1 ? 1 5? ? 为 ( ? (k1 ? ? 4 , 2), ( ? (k 2 ? ? 4 , ?2), k1 , k 2 ? Z , 距
离最短的两个交点一定在同一个周期内,

? (2 3) 2 ?

1 5? ? 2 ? ( ? ) ? (?2 ? 2) 2 ,?? = . 2 ? 4 4 2

试题部分

第 25 页

【14】 (C,天津,文 14) 、 解析: f ( x) ?

?
2

2 sin(?x ?

?
4

),

1 ? cos(2 x ? ) 3 ? 1 ( 1 cos 2 x ? 3 sin 2 x) ? 2 2 2 2
1 1 ? 3 1 cos 2 x ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin(2 x ? ) 2 2 6 4 4 2π ?π. 所以, f ( x) 的最小正周期 T ? 2

?

? f ( x) 关于直线 x ? ? 对称,
? f (? ) ? 2 sin(? 2 ?
?? 2 ?

?
4

)?? 2,

?
4

? k? , k ? Z ,又 f ( x) 在区间 (??, ? ) 内
T ? ? ? ? 2? ,? ? 2 ? , 2 ? 2

单调递增,则

?? 2 ?

?
4

,?? ?

?
2

? π π? ,? 上是减函数, 在 ? 3 6? ? π 1 ? π π? 区间 ?? , ? 上是增函数, f ( ? ) ? ? , 3 4 ? 6 4?
(II)因为 f ?x ? 在区间 ??

.

【15】 (A,北京,文 15) 解析: (I)因为 f ( x) ? sin x ? 3 cos x ? 3

π 1 π 3 f (? ) ? ? , f ( ) ? . 所以, f ( x) 在区间 6 2 4 4
1 3 ? ? ?? ? . , ? , 上的最大值为 最小值为 ? 2 4 ? 3 4? ?
【18】 (A,重庆,文 18) 解析:(I) f ( x) ?

π ? 2 sin(x ? ) ? 3 所以 f ( x) 的最小正周期为 2? . 3 2π π π (II)因为 0≤x≤ ,所以 ≤x+ ≤ π . 3 3 3 π 2π 当 x ? ? π ,即 x ? , f ( x) 取得最小值. 3 3 2π 所以 f ( x ) 在区间 [0, ] 上的最小值为 3 2π f( )?? 3. 3
【16】 (A,北京,理 15) 解析: f ( x ) ?

1 sin 2 x ? 3 cos 2 x 2

?

1 3 sin 2 x ? (1 ? cos2 x) 2 2

1 3 3 ?? 3 ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? . ? sin? 2 x ? ? ? 2 2 2 3? 2 ?
因此 f ( x) 的最小正周期为 ? ,最小值为 ?

2 sin

x x x cos ? 2 sin 2 2 2 2

2? 3 . 2 ?? 3 ? (II)由条件知: g ( x) ? sin? x ? ? ? , 3? 2 ?

?

2 1 ? cos x sin x ? 2( ) 2 2 2 2 2 ? 2 ? sin x ? cos x ? . ? sin( x ? ) ? 2 2 2 4 2
(I) T ?
2?

?

? 2? ? f ( x) 最小正周期为 2? .

(II) ? x ? [?? , 0] , x ?

?
4

? [?

3? ? , ] 4 4

? 2 ? sin( x ? ) ? [?1, ] ,从而 4 2 ? 2 2 f ( x) ? sin( x ? ) ? ?[?1 ? ,0] 4 2 2
2 . 2 【17】 (A,天津,理 15)

? ? ? 2? ? ?? ? , ? ? 时,有 x ? ? ? , ? , 3 ?6 3 ? ?2 ? ?? ?1 ? ? 从而 sin? x ? ? 的值域为 ? ,1? ,那么 3? ?2 ? ? ?1 ? 3 2 ? 3 ? 3 ? ?? , 的值域为 ? g ( x) ? sin? x ? ? ? ?, 2 ? 3? 2 ? ? 2 ?1 ? 3 2 ? 3 ? ?? ? , 故 g ( x) 在 ? , ? ? 上的值域是 ? ?. 2 ? ?2 ? ? 2
当x?? 【19】 (A,重庆,理 18)

故 f ?x ? 最小值为 ? 1 ?

解析:(I)由已知得 f ( x) ?

1 ? cos 2 x ? 2

?? ? ? x ? sin x ?2 ? 3 (1 ? cos 2 x) ? 3 cos2 x ? cos x sin x ? 2 1 3 3 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2
解析:(I) f ( x) ? sin ?

第 26 页

试题部分

?? 3 ? , 因此 f ( x) 的最小正周期为 ? sin ? 2 x ? ? ? 3? 2 ? 2? 3 ? ,最大值为 2 ? ? ? 2? ? (II)当 x ? ? , 时, 0 ? 2 x ? ? ? ,从而 ? 3 ?6 3 ? ? ? ? 5? 当 0 ? 2 x ? ? 时,即 ? x ? 时, f ( x) 单 3 2 6 12
调递增. 当

5π kπ π 5π ,解得 , 0) 成中心对称,令 ? ? ? ? 12 2 12 12 kπ π ? ? ? , k ? Z . 由 ? ? 0 可知,当 k ? 1时, ? 取 2 3 π 得最小值 . 6 【22】 (A,山东,理 16)

于点 (

解析:(I) f ( x) ? sin x cos x ? cos ( x ?
2

?
4

)?

5? 2? 时, ?x? 2 3 12 3 ? ? 5? ? f ( x) 单调递减.综上可知, f ( x) 在 ? , ? 上单调 ? 6 12 ? ? 5? 2? ? , 递增;在 ? 上单调递减. ? 12 3 ? ? ? 2x ? ? ? 时,即
【20】 (A,湖北,文 18) 解析:(I)根据表中已知数据可得: A ? 5 , ? ? 5? 3? π ,解得 ? ? 2, ? ? ? . ? ?? ? , ? ?? ? 3 2 6 2 6 数据补全如下表: π 3π ?x ? ? π 0 2π 2 2
x
A sin(? x ? ? )

?

?

π 12

π 3

7π 12

5π 6

13 π 12

0

5

0

?5

0

π 函数表达式为 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) . 6
π (II)由(Ⅰ)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) , 6 π π π 因此 g ( x) ? 5sin[2( x ? ) ? ] ? 5sin(2 x ? ) . 6 6 6 因为 y ? sin x 的对称中心为 ( kπ , 0) , k ? Z . π kπ π ? kπ ,解得 x ? ? , k ? Z .即 y ? g ( x) 6 2 12 kπ π 图象的对称中心为 ( ? ,) 0 ,k ? Z ,其中离原点 2 12 π O 最近的对称中心为 (? , 0) . 12 【21】 (A,湖北,理 17)
令 2x ? 解析:(I)参见【20】 (A,湖北,文 18)的解析. π (II)由(I)知 f ( x) ? 5sin(2 x ? ) ,得 6 π g ( x) ? 5sin(2 x ? 2? ? ) . 因为 y ? sin x 的对称中心 6 π 为 ( kπ , 0) , k ? Z . 令 2 x ? 2? ? ? kπ ,解得 6 kπ π x ? ? ? ? , k ? Z . 由于函数 y ? g ( x ) 的图象关 2 12

1 ? cos(2 x ? ) 1 2 ? sin 2 x ? 1 , sin 2 x ? 2 2 2 ? ? ? 由 ? ? 2 k? ? 2 x ? ? 2 k? 得 ? ? k ? ? 4 2 2 ? x ? ? k? ,所以函数 f ( x) 的单调递增区间是 4 ? ? [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) ,单调递减区间是 4 4 ? 3? [ ? k? , ? k? ](k ? Z ) . 4 4 A 1 (II)由 f ( ) ? 0 得 sin A ? ,又因为 A 为锐 2 2 ? b c ? ? 角,所以 A ? .由正弦定理知 6 sin B sin C 1 ? 2 ,故 b ? 2 sin B , c ? 2 sin C , sin A 1 所以 S ?ABC ? bc sin A 2 1 5? ? bc ? sin B sin C ? sin B sin( ? B) ? 4 6
1 3 1 3 1 ? cos 2 B sin B( cos B ? sin B) ? sin 2 B ? ? ? 2 2 4 2 2

?

1 ? 3 2? 3 ,取最大值时 B ? sin(2 B ? ) ? ? 2 3 4 4 5? C? . 12
【23】 (A,安徽,文 16) 解析:(1)因为 f ( x) ? sin x ? cos x ? sin 2x
2 2

? cos 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 sin( 2 x ?
所以函数 f ( x) 的最小正周期为 T ? ? ; (2)由(1)可知, f ( x) ? 当 [ 0,

?
4

) ? 1,

2 sin( 2 x ?

?
4

) ?1.

? ? ? 5? ] 时, 2 x ? ? [ , ] ,由正弦函数 2 4 4 4

试题部分

第 27 页

? 5? y ? sin x 在 [ , ] 上的图象可知,当 4 4 ? ? ? 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值 8 4 2 ? 5? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得 2 ? 1 ;当 2 x ? ? 2 4 4
最大值 0 . 综上, f ( x) 在区间 [ 0,

【25】 (B,福建,理 19) 解析: (I)将 g ( x) = cos x 的图像上所有点的纵坐 标伸长到原来的 2 倍 (横坐标不变) 得到 y ? 2 cos x 的图像,再将 y ? 2 cos x 的图像向右平移 长度后得到 y ? 2 cos( x ?

?
2

? 个单位 2

) ? 2sin x 的图像,从而

? ] 上的最大值为 2

函数 f ( x) ? 2sin x 图像的对称轴方程为

x ? k? ?

?
2

?k ? Z ? .

2 ? 1 ,最小值为 0.
【24】 (B,福建,文 21)

(II) (1) f ( x) ? g ( x) ? 2sin x ? cos x

x x 2 x 解析: (I) f ( x) ? 10 3 sin cos ? 10 cos 2 2 2

? ? 5 3 sin x ? 5cos x ? 5 ? 10sin( x ? ) ? 5 6 所以函数 f ( x ) 的最小正周期 ? ? 2? .

2 1 sin x ? cos x) ? 5 sin( x ? ?) 5 5 1 2 其中 sin ? ? ,cos ? ? , 依题意,sin( x ? ? ) 5 5 ? 5( m 在区间 ?0,2? ? 内有两个不同的解 a , b 当且仅 5 m |< 1 ,故 m 的取值范围是 (- 5, 5) . 当| 5 ?
(2)因为 a , b 是方程 5 sin( x ? ? ) ? m 在区间

? 个单位长度后 6 得到 y ? 10sin x ? 5 的图象, 再向下平移 a( a ? 0 )
(II)(i)将 f ( x ) 的图象向右平移 个单位长度后得到 g ? x ? ? 10sin x ? 5 ? a 的象.又 已知函数 g ( x) 的最大值为 2 ,所以 10 ? 5 ? a ? 2 , 解得 a ? 13.所以 g ? x ? ? 10sin x ? 8 . (ii)要证明存在无穷多个互不相同的正整数 x0 , 使得 g ( x0 ) ? 0 ,就是要证明存在无穷多个互不相同 的正整数 x0 ,使得 10sin x0 ? 8 ? 0 ,即

?0,2? ? 内有两个不同的解,所以 sin(? ? ? ) ?
sin( ? ? ? ) ?

m , 5

m . 5

当 1 ? m ? 5 时, a ? b ? 2(

?
2

? j ) ,且

4 3 4 ? .由 ? 知,存在 0 ? ? 0 ? ,使得 5 2 5 3 4 由正弦函数的性质知, 当 x ? (? 0 ,? ? sin ?0 ? . 5 4 ? 0 ) 时,均有 sin x ? .因为 y ? sin x 的周期为 5 所以当 x ? ? 2k? ? ?0 , 2k? ? ? ? ?0 ? ( k ?? ) 2? ,

sin x0 ?

a ? b ? ? ? 2(b ? j ) .
当 - 5<m<1 时, a ? b ? 2(

3? ? j ) ,且 2

a ? b ? 3? ? 2(b ? j ) .
所以 cos(a ? b) ? ? cos 2(b ? j )

2m 2 m 2 ?1 . ? 2sin (b ? j) ?1 ? 2( ) ? 1 ? 5 5
2

4 .因为对任意的整数 k , 5 ? ? 2k? ? ? ? ? 0 ? ? ? 2k? ? ? 0 ? ? ? ? 2? 0 ? ? 1 3 所以对任意的正整数 k ,都存在正整数
时,均有 sin x ?

考点 7 平面向量的概念及其运算 【1】 (A,新课标 I,文 2) 、A

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AC ? (?4, ?3) ∴ BC ? AC ? AB ? (?7, ?4) .
【2】 (A,新课标 I,理 7) 、A 解析: 由 BC ? 3CD ,得 AC ? AB ? 3( AD ? AC) 所以 AD ? ?

解析:由题,得由题,得 AB ? (3,1) ,

??? ?

4 xk ? ? 2k? ? ?0 ,2k? ? ? ? ?0 ? ,使得 sin xk ? . 5 亦即存在无穷多个互不相同的正整数 x0 ,使得
g ( x0 ) ? 0 .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

???? ??? ?

????

? 4 ???? 1 ??? AB ? AC . 3 3

第 28 页

试题部分

【3】 (A,新课标Ⅱ,文 4) 、C 解析:由已知得 2a ? b ? (1,0) ,又 a ? (1, ? 1) , 由平面向量数量积的坐标运算公式得, (2a ? b) ? a

= 1.
【4】 (A,重庆,文 7) 、C

3 1 1 AD ) ? ( AB ? AD ) 4 3 4 2 2 1 3 1 3 ? AB ? AD ? ? 36 ? ? 16 ? 9 ,选 C. 3 16 3 16

AM ? NM ? ( AB ?

? ? ? ? ? ? 解析:由 a ? (2a ? b ) 可得 a ? (2a ? b ) ? 0 即 ? ? ? ? ? ? 由数量积定义可得:2a 2 ? | a | ? | b | 2a 2 ? a ? b ? 0 , ? 1 ? ? cos ? ? 0 ,又 | b | ? 4 | a | ,所以 cos ? ? - . 2
解析:由题意, 2 ? 6 ? 4 x ,所以 x ? 3 ,选 B.

【12】 (B,安徽,理 8) 、D 解析:因为 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,

【5】 (A,四川,文 2) 、B 【6】 (A,广东,文 9) 、A

? AB ? 2a ,所以 | a | =1 ;又 AC ? 2a ? b ,而 ? 所以 BC ? b , | b | =2 ; AC ? AB ? BC ? 2a ? BC , ? ? ? ? 2? 又 | a | =1 , | b | =2 ,且 a、b 的夹角为 ,
3

a ? b ? ?1, (4a ? b) ? BC ? 4a ? b ? b ? 0 .
【13】 (B,福建,理 9)A 解析: 以 A 点为坐标原点,建立平面直角坐标系, 如图所示,则 B ( , 0), C (0, t ), AP ? (1, 4), 即 P (1, 4) . 所以, PB ? ( ? 1, ?4) , PC ? (?1, t ? 4) .

2

??? ? ??? ? ???? 解析: 由平行四边形法则, 可得 AC ? AB ? AD ???? ??? ? ? (1, ?2) ? (2,1) ? (3, ?1) ,所以 AD ? AC ? 2 ? 3 ?

1? (?1) ? 5 .
【7】 (A,山东,文 4 理 3) 、B 解析:由 y ? sin(4 x ? 选 B. 【8】 (A,山东,理 4) 、D

1 t

??? ?

??? ?

?
3

) ? sin 4( x ?

?
12

) 知,

1 t

??? ?

因此 PB ? PC ? 17 ? ( ? 4t )

??? ? ??? ?

1 t

y

C

P

???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 解析:易求 BD ? 3a ,所以 BD ? CD ? BD ? BA

??? ? ??? ? 3 3 ? BD BA cos30? ? a ? 3a ? a 2 . 2 2
【9】 (A,福建,文 7) 、A

??? ? ??? ? 1 ? 4t ? 13 ,所以 PB ? PC 的 t 1 最大值为 13,当 t ? 等号成立. 2

? 17 ? 2

B A x

第 13 题图

【14】 (B,湖南,文 9 理 8) 、B

? 解析:由已知的 c ? (1, 2) ? k (1,1) ? ? ? ? ? (k ? 1, k ? 2) ,因为 b ? c ,则 b ? c ? 0 ,因此,
3 k ? 1 ? k ? 2 ? 0 ,解得 k ? ? ,故选 A. 2

??? ? ??? ? ??? ? A(m, n) , C(?m, ?n),B( x, y),? PA ? PB ? PC
? ( x ? 6, y ) ,而 ( x ? 6)2 ? y 2 ? 37 ?12 x ? 49 , ??? ? ??? ? ??? ? ? PA ? PB ? PC 的最大值为 7.
【15】 (B,陕西,文 8 理 7) 、B 解析:如图,由三角形两边 之差的绝对值小于第三边知:
c a o a-b B b
第 15 题图

解析:由题意得, AC 为圆的直径,故可设

【10】 (B,重庆,理 6) 、A 解析:由题意知 (a ? b).(3a ? 2b) ? 0, 所以

3 | a | ? | a || b | cos ? a, b ? ?2 | b | ? 0 .又因为
2 2

2 ? 2 2 ? ? ? ? ? | a |? | b | .故 cos? a , b ? ? ,因此 a 与 b 的 3 2

a ? b ? a ? b ,所以 a ? b ? a ? b 不恒成立.
【16】 (A,新课标Ⅱ,理 13) 、

? 夹角为 . 4
【11】 (B,四川,理 7) 、C

3 解析: 由题意,AM ? AB ? BM ? AB ? AD , 4 1 1 NM ? NC ? CM ? AB ? AD ,所以 3 4

即 a ? 2b 为非零向量,又 ? a ? b 与 a ? 2b 平行,由 平行向量基本定理得,存在唯一一个实数 ? ,使得

?

解析: a 与 b 不平行,故 a 与 b 都为非零向量,

?

?

?

1 2

?

?

? ?

?

?

试题部分

第 29 页

? ? ? ? ?? ? ? 1 ,所以 ? ? . ? a ? b ? ? (a ? 2b) ,则 ? 2 ?1 ? 2?
【17】 (A,湖北,文 11 理 11) 、9 解析: OA? OB ? OA? (OA ? AB)

?| OA |2 ?OA? AB ? 9 .
【18】 (A,江苏,文理 6) 、? 3 解析:由题, ma ? (2m, m) , nb ? (n,?2n) ,

ma ? nb ? (2m ? n, m ? 2n) ? (9,?8) ,则有
?m ? 2 ?2m ? n ? 9 ,解得 ? ,因此 m ? n ? ?3 . ? n ? 5 m ? 2 n ? ? 8 ? ?
1 1 【19】 (B,北京,理 13) 、 x ? ,y ? ? 2 6
解析:法 1 如图
A

2 3 2 3 ? F ( , ) ,? AF ? ( , ) 3 2 3 2 5 2 3 29 ? AE ? AF ? ? ? ? . 3 3 6 18 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 2 ??? ? ??? ? 2 ???? 法 2 AE ? AB ? BE ? AB ? BC ? AB ? ( AD 3 3 ? 1 ??? 2 2 ? AB ) ? AB ? AD , 3 3 2 1 1 AF ? AD ? DF ? AD ? DC ? AD ? AB 6 12 2 2 2 1 13 ? AE ? AF ? AD ? AB ? AB ? AD 18 3 18
又? AD ? 1, AB ? 4, AB ? AD ? 1
2 2

? AE ? AF ?
C M N 5 4 B

2 4 13 29 ? ? ? . 3 18 18 18 29 【21】 (B,天津,理 14) 、 18
解析:法 1 以点 A 为原点 AB 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系,则 B(2,0), C ( ,

M B N C

3 A
第 19 题图

3 3 1 3 ), D( , ) 2 2 2 2

? ???? 2 ???? ???? ? ???? ???? ? 1 ??? ? MN ? AN ? AM ? ( AB ? AC ) ? AC 2 3 ? 1 ???? 1 ??? 1 1 ? AB ? AC ? x ? ,y ? ? . 2 6 2 6 法 2 特殊值法 假设 ΔABC 为直角三角形,角 A ???? ? ???? ? 为直角, 且 AB=4, AC=3, BC=5, 那么 AM ? 2MC , ??? ? ???? 3 BN ? NC ,所以 M (0,2) , N (2, ) ,则 2

λ 3 ? BE ? λ BC ? (? , λ) , 2 2
3 ? 3 ? ) ,? AE ? (2 ? , ?) 2 2 2 2 1 1 DC ? ( ,0) , 同理 DF ? 9? 9? ? E (2 ?

?

,

?F(

MN ? x AB ? y AC 等价于
1 1 1 (2,? ) ? x(4,0) ? y (0,3) ? x ? ,y ? ? . 2 6 2 29 【20】 (B,天津,文 13) 、 18
解析:法 1 以点 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴 建立平面直角坐标系,则 B(2,0), C ( ,

3 3 1 3 ), D( , ) 2 2 2 2

? BE ?

2 1 3 BC ? (? , ) , 3 3 3

5 3 5 3 ? E ( , ) ,? AE ? ( , ) 3 3 3 3 1 1 同理 DF ? DC ? ( ,0) , 6 6

1 1 3 1 1 3 ? , ) ,? AF ? ( ? , ) 9? 2 2 9? 2 2 2 1 ? 3? 2 ? 17 ? AE ? AF ? ? ?1? ? ? ? ? 9? 18 4 4 9? 2 18 2 2 17 29 ? ? ? ,当且仅当 ? ? 时取等号. 3 3 18 18 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? 法 2 AE ? AB ? BE ? AB ? ? BC ? AB ? ? ( AD ? ? ???? 1 ??? ? ??? ? AB ) ? (1 ? ) AB ? ? AD , 2 2 1 1 AF ? AD ? DF ? AD ? DC ? AD ? AB 9? 18? 2 2 1 1 ? AE ? AF ? ? AD ? ( ? ) AB 18? 36 1 ? ? ( ? 1 ? ) AB ? AD 18 2
又? AD ? 1, AB ? 4, AB ? AD ? 1
2 2

第 30 页

试题部分

2 ? 17 ? ? 9? 2 18 2 2 17 29 ? ? ? ,当且仅当 ? ? 时取等号. 3 3 18 18 2 3 【22】 (B,浙江,文 13) 、 3 ? AE ? AF ?
解析: 由题意得, 不妨令 e1 ? (1,0), e2 ? ( ,

解析:(1)? m ? ( 且 m ? n , m?n ? (
? ?

?

2 2 ? ,? ), n ? (sin x, cos x) 2 2

?? ?

2 2 ,? ) ? (sin x, cos x) 2 2

1 3 ), 2 2

b ? ( x, y) ,则 b ? e1 ? x ? 1, b ? e2 ?
所以 b ? (1,

1 3 x? y ? 1, 2 2

1 2 3 3 ) ,故 | b |? 1 ? ? . 3 3 3
? ?

【23】 (C,上海,文 13) 、3? 5 解析: 由于 a ? b , 由此以 a, b 为邻边构成矩形, 其对角线长为 | a ? b | .所以当 c 与 a ? b 同向时,

? 2 2 sin x ? cos x ? sin( x ? ) 4 2 2 ? ? ? ? ? x ? (0, ) ? x ? ? (? , ) 2 4 4 4 ? ? ? ?x ? ? 0即 x ? ? tan x ? tan ? 1 . 4 4 4 ?? ? ? ? m?n ? ? sin( x ? ) (2)由(1)依题意有 cos ? ?? 4 3 | m|?| n|
?

? ?

? ?

?

? ?

? ? ? ? ? ? | a ? b ? c | 取得最大值. | a ? b ? c | 取值的可能情况
16 15

? 1 ? ? ? ? sin( x ? ) ? ,又 x ? ? (? , ) 4 2 4 4 4 ? ? 5? ? x ? ? ,即 x ? . 4 6 12
考点 8 三角恒等变换 【1】 (A,新课标 I,理 2) 、D 解析:原式 ? sin 20 cos10 ? cos 20 sin10
? ? ? ?

有: 1 ? 13, 2 ? 10,3 ? 5 ,其最大值是 3 ? 5 . 【24】 (C,上海,理 14) 、?

解析: ! ABD 的面积为 2 得到 DE ? AB ? 4 , 同理 DF ? AC ? 8 ,则 ( DE ? AB) ? ( DF ? AC )

1 =sin 30?= . 2
【2】 (A,重庆,文 6) 、A

? ( DE ? DF ) ? ( AB ? AC ) ? 32 .
因为 tan A ? 所以 S!

ABC

1 2 1 , cos A ? , ,sin A ? 2 5 5 1 ? AB ? AC ? sin A ? 6 , 2

a ? b ? a) = 解析:? tanb ? tan(
1 tan(a ? b) ? tan a 1 ? ? tan b ? . 7 1 ? tan(a ? b) tan a 7
【3】 (C,重庆,理 9) 、C

即 AB ? AC ? 12 5 ,所以, ??? ? ???? ??? ? ???? DE ? DF ?| DE | ? | DF | ? cos(? ? A)

??

32 16 ? cos A ? ? . 15 12 5
解析:因为 ?ABC 是边长为 2 的等边三角形,

【25】 (C,安徽,文 15) 、①④⑤

3? 3? 3? ) cos? cos ? sin ? sin 10 ? 10 10 解析: ? ? ? sin(? ? ) sin ? cos ? cos? sin 5 5 5 3? 3? cos ? tan? sin 10 10 ? cos(? ?

? ? AB ? 2a ,所以 | a |? 1 ,故①正确; ? ? 又 AC ? 2a ? b ,而 AC ? AB ? BC ? 2a ? BC , ??? ? ? ? 所以 BC ? b , | b |? 2 ,故②错误,④正确; ? ? ? ? 2? 又 | a |? 1 , | b |? 2 ,且 a、b 的夹角为 , 3 2 ? ? ?? ab ? ?1 , (4a ? b ) ? BC ? 4a ? b ? b ? 0 ,故③错
误,⑤正确. 【26】 (A,广东,理 16)

tan? cos

?

5

? sin

?

5

? 3? ? 3? 3 sin ? 2 tan sin 5 ? 3. 10 5 10 ? ? ? ? ? ? sin 2 tan cos ? sin 5 5 5 5
cos
【4】 (A,四川,理 12) 、
? ?

6 2
? ?

解析: sin15 ? sin 75 ? sin15 ? cos15

试题部分

第 31 页

? 2 sin 60? ?

6 . 2

【5】 (B,四川,文 13) 、 ?1 解析:由 sin ? ? 2 cos ? ? 0 知 tan ? ? ?2 ,所 以 2sin ? cos ? ? cos ? ?
2

2sin ? cos ? ? cos 2 ? 2 tan ? ? 1 ? ? ?1. tan 2 ? ? 1 sin 2 ? cos 2 ?
【6】 (B,江苏,文理 8) 、3 解析:法 1 因为 tan(? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

?

1 ,又 tan ? ? ?2 ,所以 tan? ? 3 . 7 ? ? ? ) ? ?] 法 2 tan ? ? tan[(

3 BC ? 100 6 m. 3 【3】 (A,广东,理 11) 、1 1 解析:因为 sin B ? 且 B ? (0, ? ) , 所以 2 ? 2? B ? 或 A ?? ? B ?C ? ,又 a ? 3 , 6 3 a b ? 由正弦定理 ,可得 b ? 1 . sin A sin B 【 4】 (A,福建,理 12) 、7 【解析】 :由已知得 ?ABC 的面积为 1 AB ? AC sin A ? 20sin A ? 10 3 ,所以 2

BC ? 300 2 m, CD ?

1 ? ( ?2 ) tan( ? ? ? ) ? tan? ? ? 7 ? 3. 1 1 ? tan( ? ? ? ) tan? 1 ? ? ( ?2 ) 7
【7】 (A,广东,文 16) 解析: (1)因为 tan ? ? 2 ,所以

sin A ?

3 ? ? , A ? (0, ) ,所以 A ? .由余弦定 2 3 2
2 2 2

理得 BC ? AB ? AC ? 2 AB ? AC cos A ? 49 ,

BC ? 7 .
【5】 (B,北京,文 11) 、

4 ? 2 ? 1 ? ?3 . tan( ?? )? ? 1? 2 4 1 ? tan? tan 4 sin 2? (2) 2 sin ? ? sin ? cos ? ? cos 2? ? 1 2 sin ? cos? ? 2 sin ? ? sin ? cos? ? (2 cos2 ? ? 1) ? 1
? 2sin ? cos ? sin ? ? sin ? cos ? ? 2 cos 2 ? 2 tan ? 4 ? ? ? 1. 2 tan ? ? tan ? ? 2 4 ? 2 ? 2
2

?

tan? ? tan

?

π 4

解析:由正弦定理,得 a ? b ,即 sin A sin B

3 6 ,所以 sin B ? 2 ,所以 ?B ? π . ? 4 2 3 sin B 2 【6】 (B,北京,理 12) 、1
解析: cos A ?
b 2 ? c 2 ? a 2 25 ? 36 ? 16 3 ? ? . 2bc 2?5? 6 4

sin 2 A 2 sin A cos A a 3 2 ? ? 2 cos A ? 2 ? ? ? 1 . sin C sin C c 4 3
【7】 (B,天津,理 13) 、8

考点 9 解三角形 【1】 (A,广东,文 5) 、C

1 15 bc sin A ? 3 15, sin A ? 2 4 2 2 2 ? bc ? 24, ?b ? c ? (b ? c) ? 2bc ? 52
解析:? S ?ABC ?

a ? b ? c ? 2bc cos A , 解析: 由余弦定理得:
2 2 2

3 2 , 即 b ? 6b ? 8 ? 0 , 2 解得 b ? 2 或 b ? 4 .因为 b ? c ,所以 b ? 2 . 【2】 (A,湖北,文 15 理 13) 、 100 6 解析:由题意知图中 DC ? 面 ABC , ?DBC
所以 4 ? b ? 12 ? 2b ? 2 3 ?
2

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 52 ? 48 ?
? a ? 8.
【8】 (B,重庆,文 13) 、4

1 ? 64 4

解析: 由 3sin A = 2sin B 可得 3a ? 2b 且 a ? 2 所以 b ? 3 ,又因 a = 2, cos C = 可解 c ? 4 . 【9】 (B,重庆,理 13) 、 6 解析:在 ?ABD 中,由正弦定理得

? 30? , ?CAB ? 30? , ?ABC ? 105? ,因而
?ACB ? 45 , 在 ?ABC 中由正弦定理得 AB BC ? ,其中 AB ? 600 m, 故 ? sin 45 sin 30?
?

1 , 代入余弦公式 4

第 32 页

试题部分

? 2 3 ,所以 ?ADB ? , 故 ? ? 4 sin ?ADB sin 120 ? ?BAD ? 15 ,又 AD 平分角 A , 则 ?BAC ? 30? , 由
此可得 ?ABC 是底角为 30 等腰三角形,所以在
?

【14】 (A,新课标Ⅱ,文 17) 解析:(I)由正弦定理得

AD BD ? , sin ?B sin ?BAD

?ABC 中易得 AC ? 6.
【10】 (B,安徽,文 12) 、2 解析:如图所示,在
C

AD DC ? , 因为 AD 平分 ? BAC, sin ?C sin ?CAD sin ?B DC 1 ? ? . BD=2DC,所以 sin ?C BD 2
(II)法 1:因为 ?C ? 180? ? (?BAC ? ?B)

?ABC 中,由正弦定理可

AB 知: ? sin(180 ? 75? ? 45? )
? AC ,所以 AC ? 2 . sin 45?
?

?BAC ? 60? , 所以 sin ?C ? sin(?BAC ? ?B)
A
第 10 题图

B

?

3 1 cos ?B ? sin ?B , 由(I)知 2 sin ?B 2 2
3 ? , ?B ? 30 . 3 法 2:由(I)可知 AB ? 2 AC , 在 ?ABC 中,由
2 2 2

【11】 (B,福建,文 14) 、 2 解析:由题意得 B ? 180 ? A ? C ? 60 ,由正
?

? sin ?C ,所以 tan ?B ?

AC BC AC sin A ,则 BC ? ,所以 ? sin B sin A sin B 2 3? 2 ? 2. BC ? 3 2 【12】 (C,新课标 I,理 16) 、 ( 6 ? 2, 6+ 2)
弦定理得 解析:若 D 与 C 重合,此 时 AB 最小:
E

余弦定理可得 BC ? AB ? AC

?2 AB ? AC cos 60? ? 4 AC 2 ? AC 2 ? 2 AC 2 ? 3 AC 2 ,所以 BC ? 3 AC ,由余弦定理得 cos ?B

?
?

AB 2 ? BC 2 ? AC 2 4 AC 2 ? 3 AC 2 ? AC 2 ? 2 AB ? BC 4 3 AC 2
3 ? ? ,因为 0 ? B ? 180 ,所以 ?B ? 30 . 2

【15】 (A,新课标Ⅱ,理 17)
A D B C

AB ? 2 ? BC ? cos 75? ? 6? 2. 若 D 与 E 重合, 此时,A 与 E 重合, AB 最大: 1 1 ? AB ? ? cos 75 6? 2 4 4 ? ? 6? 2. 6? 2
【13】 (A,新课标 I,文 17)

解析:(I)法 1:依题意 S?ABD ? 2S?ADC , ? BAD

? ?CAD . 因为 S?ABD ?

1 AB ? AD sin ?BAD , 2

第 12 题图

故 AB 的取值范围为 ( 6 ? 2, 6 ? 2) . 解析:(I)由题设及正弦定理可得 b ? 2ac .
2

又 a ? b ,可得 a ? b ? 2c

a ? c 2 ? b2 1 ? 由余弦定理,得 cos B ? 2ac 4
(II)由(I)知
2 2

2

b 2 ? 2ac .
o

1 AD ? AC sin ?CAD ,所以 AB ? 2 AC .由 2 sin ?B AB 1 ? ? . 正弦定理得 sin ?C AC 2 法 2:设 ?ABC的 BC 边上的高为 h , 由题设可 1 h ? BD S ?ABD 2 BD 得 ? ? ? 2 , 由角平分线定理 S ?ADC 1 h ? DC DC 2 AC sin ?B AB BD ? 得 ,由正弦定理得 , ? AB sin ?C AC DC sin ?B 1 所以 ? sin ?C 2 DC ,所以 S?ADC = BD : (II)因为 S?ABD :

S?ADC ?

因为 B ? 90 ,由勾股定理得 a ? c ? b .
2 2 2

BD ? 2 . 在 ?ABD 和 ?ADC 中,由余弦定理知
AB2 ? AD2 ? BD2 ? 2 AD ? BD cos ?ADB , AC 2
? AD2 ? DC 2 ? 2 AD ? DC cos ?ADC . 故 AB 2

故 a ? c ? 2ac ,得 a ? c ? 所以△ ABC 的面积为 1.

2.

试题部分

第 33 页

?2 AC 2 ? 3 AD2 ? BD2 ? 2DC 2 ? 6 .由(I)知 AB ? 2 AC ,所以 AC ? 1 .
【16】 (A,天津,文 16) 解析:(I)在△ABC 中,由 cos A ? - , 可得

因为 AB ? BC ,所以 C 为锐角, 则 cosC ? 1 ? sin C ? 1 ?
2

3 2 7 . ? 7 7
4 3 . 7

1 4

因此 sin 2C ? 2 sin C ? cosC ? 【19】 (A,安徽,理 16)

1 15 由 S ΔABC ? bc sin A ? 3 15 . 2 4 得 bc ? 24 , 又由 b ? c ? 2, 解得 b ? 6,c ? 4.
sin A ?
由 a ? b ? c ? 2bc cos A, 可得 a ? 8.
2 2 2

解析: 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对的边分别为

a, b, c ,由余弦定理得:
a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 90 ,所以 a ? 3 10 .
又由正弦定理得 sin B ? 由题设知 0 ? B ?



a c 15 ? , . 得 sin C ? sin A sin C 8 π π π (II) cos( 2 A ? ) ? cos 2 A cos ? sin 2 A sin 6 6 6

b sin A 10 , ? a 10

?
?

3 1 (2 cos2 A ? 1) ? ? 2 sin A ? cos A 2 2
15 ? 7 3 . 16
解析:在 ?ABC 中,由 cos B ?

3 10 , 4 10 AB sin B 在 ?ABD 中,由正弦定理得 AD ? sin(? ? 2 B)
,所以 cos B ?

?

?

6 sin B 3 ? ? 10 . 2 sin B cos B cos B
解析:(I)由 a ? b tan A 及正弦定理,得

【17】 (A,山东,文 17)

【20】 (A,湖南,理 17)

3 ,得 3

sin B ?

6 因为 A ? B ? C ? ? , 3

sin A a sin A ? ? ,所以 sin B ? cos A ,即 cos A b sin B sin B ? sin(

?
2

? A) . 又 B 为钝角,

6 . 9 因为 sin C ? sin B ,所以 C ? B ,可知 C 为锐角,
所以 sin A ? sin(B ? C ) ?

?

? A ? ( , ? ) ,故 B ? ? A ,即 B ? A ? . 2 2 2 2
(II)由(I)知 C ? ? ? ( A ? B ) ?

?

?

?

5 3 所以 cosC ? . 9

?
2

? 2A ? 0,

2 2 sin A ? sin(B ? C ) ? sin B cosC ? cos B sin C ? 3 a c c sin A ? ? 2 3c 由 可得, a ? sin A sin C sin C
又 ac ? 2 3 ,所以 c ? 1 . 【18】 (A,江苏,文理 15) 解析:(1)由余弦定理知, BC ? AB ? AC
2 2 2

所以 A ? (0,

?
4

).

于是 sin A ? sin C ? sin A ? sin(

? ? 2 A) 2

? sin A ? cos 2 A = sin A + 1- 2sin 2 A 1 9 = - 2(sin A - ) 2 + . 4 8
因为 0 ? A ?

1 ?2 AB ? AC ? cos A ? 4 ? 9 ? 2 ? 2 ? 3 ? ? 7 , 2
所以 BC ?

?
4

,所以 0 ? sin A ?

2 ,因此 2

7;
AB BC ? , sin C sin A

2 1 9 9 ? ?2(sin A ? ) 2 ? ? . 2 4 8 8
由此可得 sin A ? sin C 的取值范围是 ( 【21】 (A,陕西,文 17 理 17) 解析:(I)因为 m // n ,所以

(2)由正弦定理知, 所以 sin C ?

AB 2 sin 60? 21 . ? sin A ? ? BC 7 7

2 9 , ]. 2 8

第 34 页

试题部分

a sin B ? 3b cos A ? 0 ,由正弦定理得

sin Asin B ? 3 sin B cos A ? 0 ,又 sin B ? 0 ,从 ? 而 tan A ? 3 ,由于 0 ? A ? ? ,所以 A ? . 3
(II)法 1 由余弦定理得 a ? b ? c ? 2bc cos A ,
2 2 2

3 3 41 f (t )max ? f ( ) ? ? 3. 8 8 所以 f (t ) 在 [t1 , t2 ] 上的最大值不超过 3.
【23】 (B,上海,理 20)

而a ?

7, b ? 2 , A ?

?
3

,得 7 ? 4 ? c ? 2c ,即
2

c 2 ? 2c ? 3 ? 0 ,因为 c ? 0 ,所以 c ? 3 .
故 ?ABC 的面积为

3 ,此时甲位于 AB 之间与 A 距 8 15 3 3 离 千米处,又 cos A ? ,故 f (t1 ) ? f ( ) ? 8 5 8
解析:(1) t1 ?

1 3 3 . bc sin A ? 2 2
7 sin

法 2 由正弦定理得

?
3

?

2 ,从而 sin B

15 15 3 3 41 . 32 ? ( )2 ? 2 ? 3 ? ? ? 8 8 8 5 7 7 (2)当 t ? 时,乙到达 B 处,故当 ? t ? 1 时, 8 8 f (t ) ? 5(1 ? t ) ;
3 7 ? t ? 时,设甲位于 P 处,乙位于 Q 处, 8 8 4 则 BP ? 5 ? 5t , BQ ? 7 ? 8t , cos B ? ,此时 5


21 sin B ? ,又由 a ? b ,知 A ? B ,所以 7

cos B ?

? 2 7 , sin C ? sin( A ? B ) ? sin( B ? ) 3 7
?

3 21 ? sin B cos ? cos B sin ? .所以 ?ABC 3 3 14
的面积为

?

f (t ) ? (5 ? 5t )2 ? ? 7 ? 8t ? ? 2 ? (5 ? 5t ) ? (7 ? 8t ) ?
2

4 5

1 3 3 . ab sin C ? 2 2
3 ,设此时甲到 A 地, 8

? 25 t 2 ? 4t2 ? 1; 8
3 7 ? 25t 2 ? 42t ? 18, t ? [ , ], ? ? 8 8 故 f (t ) ? ? 7 ? 5 ? 5t , t ? ( ,1]. ? 8 ?
2 因 25t ? 42t ? 18 ?

【22】 (B,上海,文 21) 解析: (1)有已知 t1 ?

3 15 则 OA ? 5 ? ? . 在 ! POA 中, 8 8

25(t ? 0.84) 2 ? 0.36 ,

AP ? OP ? OA ?2 ? OP ? OA ? cos ?POQ
2 2 2

故当 t ? [ , ] 时, f (t ) ? f ( ) ? 而 t ? [ ,1] 时, f (t ) 单调递减,从而

3 7 8 8

3 8

3 41 ?3; 8

15 15 3 369 ? 32 ? ( ) 2 ? 2 ? 3 ? ? ? . 8 8 5 64
所以 f (t1 ) ?

7 8

3 41 . 8

7 3 7 , 当 t ? [t1 , t2 ] , 即 t ?[ , ] 8 8 8 时,甲位于 A 地,乙位于 B 地,则 QA ? 5 ? 5t , QB ? 7 ? 8t ,
(2) 由已知 t2 ?

7 5 f (t ) ? f ( ) ? ? 3. 8 8 综上, f (t ) 在 [t1 ,1] 上的最大值不超过 3.
【24】 (B,四川,文 19) 解析: (1) 由已知, 方程 x 2 ? 3 px ? p ? 1 ? 0 的判别式 ? ? ( 3 p) 2 ? 4(? p ? 1)

f (t ) ? AB ? QA2 ? QB 2 ? 2 ? QA ? QB ? cos ?PQO

? (5 ? 5t )2 ? (7 ? 8t )2 ? 2(5 ? 5t ) ? (7 ? 8t ) ? ? 25t 2 ? 42t ? 18 ? 25(t ? 21 2 9 ) ? , 25 25

4 5

? 3 p 2 ? 4 p ? 4 ? 0 ,所以 p ? ?2 或 p ?
由韦达定理,有 tan A ? tan B ? ? 3 p,

2 . 3

tan A tan B ? 1 ? p . 于是

tan(A ? B) ?

tan A ? tan B 3p ?? ? ? 3. 1 ? tan A tan B p

试题部分

第 35 页

所以 tanC ? ? tan(A ? B) ? 3 ,所以 C ? 60? . (2)由正弦定理, sin B ?

AC sin C AB

?

6 2 ? 32 ? 5 2 ? 4 2 1 ? . 2(6 ? 3 ? 5 ? 4) 19
2

?

6 sin 60 2 ,解得 B ? 45? 或 B ? 135?(舍 ? 2 3

?

去). 于是 A ? 180? ? B ? C ? 75? . 则 tan A ? tan75? ? tan( 45? ? 30? ) ? 2 ? 3 . 所以 p ? ?

6 10 . 19 A B C D 所以 tan ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2
于是 sin B ? 1 ? cos B ?

1 3

?

(tan A ? tan B)

2 2 2 ? 7 2 ? 19 4 10 . ? ? ? ? sin A sin B 2 10 6 10 3
解析:(I)由 tan (

【26】 (B,浙江,文 16)

??

1 3

(2 ? 3 ? 1) ? ?1 ? 3 .

π 1 ? A) ? 2 ,得 tanA ? 2 3

【25】 (B,四川,理 19)

所以

A A 2 sin 2 A 2 ? 2 解析: (1) tan ? A A A 2 cos 2 sin cos 2 2 2 1 ? cos A ? ; sin A sin
(2)由题意, C ? 180 ? A, D ? 180 ? B ,由(1)得
? ?

sin2 A 2tan A 2 ? ? . 2 sin 2 A ? cos A 2tan A ? 1 5

(II)由 tanA ? ,A ? ?0,? ? , 得 sin A ?

1 3

10 , 10

tan

A B C D ? tan ? tan ? tan 2 2 2 2

3 10 . 10 ? a b ? 又由 B ? , a ? 3 及正弦定理 , 4 sin A sin B ? 得 b ? 3 5 ,由 sin C ? sin(A ? B) ? sin( A ? ) 得 4 cos A ?
sin C ? 2 5 . 5
1 ab sin C ? 9 . 2

?

1 ? cos A 1 ? cos B 1 ? cos(180? ? A) ? ? sin A sin B sin(180? ? A)
D C

1 ? cos(180? ? B) ? sin(180? ? B) 2 2 ? ? sin A sin B 连接 BD ,在 ?ABD 中,
有 BD ? AB ? AD
2 2 2

设 ?ABC 的面积为 S ,则 S ? 【27】 (B,浙江,理 16) 解析:(I)由 b ? a ?
2 2

A

B

1 2 c 及正弦定理得: 2

第 25 题图

? 2 AB ? AD cos A ,在 ?BCD 中,有
BD2 ? BC 2 ?CD2 ?2 BC ? CD cos C .
则 cos A ?

sin 2 B ?

AB2 ? AD2 ? BC 2 ? CD 2 2( AB ? AD ? BC ? CD)

1 1 2 ? sin C ,所以 ? cos 2 B ? sin 2 C . 2 2 π 3 又由 A ? ,即 B ? C ? ? ,得 4 4 ? cos 2 B ? sin 2C ? 2 sin C cos C , 解得 tan C ? 2 .
(II)由 tan C ? 2 ,C ? ? 0, ? ? 得:sin C ?

6 2 ? 32 ? 5 2 ? 4 2 3 ? ? . 2(6 ? 5 ? 3 ? 4) 7
于是 sin A ? 1 ? cos A ?
2

2 5 , 5

2 10 . 7

cosC ?

? 5 .又因为 sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) , 4 5

连接 AC ,同理可得

AB2 ? BC 2 ? AD2 ? CD 2 cos B ? 2( AB ? BC ? AD ? CD)

3 10 2 2 b ,又 .由正弦定理得 c ? 10 3 π 1 因为 A ? , bc sin A ? 3 ,所以 bc ? 6 2 ,故 4 2 b ? 3.
故有 sin B ?

第 36 页

试题部分

【28】 (B,湖南,文 17) 解析:(I)由 a ? b tan A 及正弦定理,得

同理, (ay ? bz ? cx) ? (ay ? bx ? cz )

? b( z ? x) ? c( x ? z) ? ( x ? z)(c ? b) ? 0 ,
故 ay ? bz ? cx ? ay ? bx ? cz . 又 (az ? by ? cx) ? (ay ? bz ? cx) ? a( z ? y) ?

sin A a sin A ? ? ,所以 sin B ? cos A . cos A b sin B
(II)? sin C ? sin A cos B ? sin(180 ? ( A ? B))
?

? sin A cos B ? sin( A ? B) ? sin A cos B ? sin A cos B ? cos A sin B ? sin A cos B 3 ? cos A sin B ,? cos A sin B ? . 4
2 由(I)知 sin B ? cos A ,因此 sin B ?

b( y ? z ) ? (a ? b)(z ? y) ? 0 ,故 az ? by ? cx ? ay ? bz ? cx .故最低费用为 az ? by ? cx ,选 B.
【5】 (B,天津,文 12) 、4 解析: ? log2 a ? log2 ?2b ? ?

?log2 a ? log2 2b?2
4
2

3 ,又 4



?log2 a ? log2 2b?

2

B为钝角,所以 sin B ?

3 ? ,故 B ? 120 ,由 2

4 即 log2 a ? log2 ?2b? ? 4
当且仅当 ?

?

?log2 ?2ab??
4

?4

3 ? 知 A ? 30 ,从而 cos A ? sin B ? 2

?a ? 2b ?a ? 4 ,即 ? 时, log2 a ? log2 ?2b? ?ab ? 8 ?b ? 2

C ? 180? ? ( A ? B) ? 30? .
综上所述, A ? 30 , B ? 120 , C ? 30 .
? ?

取得最大值 4 .即 a ? 4 .
?

考点 10 不等式及其性质 【1】 (A,福建,文 5) 、C 解析: 由已知得

1 1 1 1 则 a ? b ? ( ? ) ?1 ? ? 1, a b a b

? 2?

b a ? ,因为 a ? 0 , b ? 0 ,所以 a b

b a b a ? ? 2 ? ? 2 ,故 a ? b ? 4, 当且仅当 a b a b

b a ? ,即 a ? b ? 2时取到等号.故选 C. a b
【2】 (A,湖南,文 7) 、C 解析:?

1 2 ? ? ab, ? a ? 0, b ? 0, 又 a b

? ab ?

1 2 1 2 2 ? ?2 ? ?2 , a b a b ab

? ab ? 2 2 ,当且仅当 b =2a 时取等号.
【3】 (B,上海,文 16) 、B 解析:因 x ? 2x ? 3 ? ( x ? 1) ? 2 ? 0 ,所以原
2 2

不等式两边同乘以 x ? 2 x ? 3 ,不等号方向不变,
2

选 B. 【4】 (B,浙江,文 6) 、B 解析:由 x ? y ? z , a ? b ? c , 得 (ax ? by ?

cz ) ?(az ? by ? cx) ? a( x ? z ) ? c( z ? x) ? ( x ? z )(a ? c) ? 0 , 故 ax ? by ? cz ? az ? by ? cx ;


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