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2016年全国高中数学联赛江西省预赛试题


2016 年全国高中数学联赛江西省预赛试卷
题 得 号 分 1-8 (2016 年 6 月 5 日 上午 8:30—11:30) 9 10 11 12 总分

一、填空题(每小题 7 分,共 56 分) 1、若 y=log 2016 (x 2 ? ax + 65)的值域为R+,那么 a 的取值范围是_________. 2、四面体 ABCD 中,△ABC 是一个正三角形,AD=BD=2, AD⊥BD,AD⊥CD,则 D 到面 ABC 的距离为 __________. 3、若对所有的正数 x,y,均有 x + y ≤ a x + y,则 实数 a 的最小值为_________. 4、已知 P 为正方形 ABCD 内切圆上的一点,计∠APC=α,∠BPD=β,则 tan2 +tan2 =_________. 5、等差数列 2,5,8,…,2015 与 4,9,14,…,2014 的公共项(具有相同数值的 项)的个数是__________. 6、设 x 为锐角,则函数 y=sinxsin2x 的最大值是 ________. 7、若将前九个正整数 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别填写于一张 3×3 方格表的九个 格子中,使得每行三数的和,每列三数的和皆为质数,你的填法是:

8、把从 1 到 n(n>1)这 n 个连续正整数按适当顺序排成一个数列,使得数列中 每相邻两项的和为平方数,则正整数 n 的最小值是__________.

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第1面

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二、解答题(共 4 题,共计 64 分) 9、(14 分)如图,CD 是椭圆 2 + 2 = 1的一条直径,过椭圆长轴的左顶点 A 作 CD 的平行线,交椭圆于另一点 N,交椭圆短轴所在直线于 M, 证明:AM·AN=CO·CD
2 2

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第2面

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10、(15 分)如图,D 是△ABC 的旁心,点 A 关于 DC 的对称点为 E。 证明:(1)B,C,E 三点共线; (2) A,B,D,E 四点共圆

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第3面

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11、(15 分)设 x,y,z 为正数,满足:xy+yz+zx=1,证明: + + + ≥ 1 ? 2 1 ? 2 (1 ? 2 )

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第4面

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12、(20 分)设集合 A= 1,2, … , 2016 ,对于 A 的任一个 1008 元子集 X,若存在 x,y∈ X,满足 x<y,x y,则称 X 为“好集”,求最大的正整数 a(a∈A),使得任一个含 a 的 1008 元子集皆为“好集”。

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