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2015-2016学年高中数学 1.3.2函数的极值与导数教案 新人教A版选修2-2


1.3.2 函数的极值与导数 教学建议 1.教材分析 本节让学生结合实际,探索函数的极值与导数之间的关系,并用大量的函数图象,让学生直观感 受函数在某些特殊点(极值点)的函数值与附近点函数值大小的关系,以及在这些点附近函数的增减 情况和导数值的关系.本节的重点是求函数极值的方法,难点是函数在某点取得极值的必要条件和 充分条件. 2.主要问题及教学建议 (1)从函数的单调性到极

值. 建议教师利用实例并结合大量的函数图象,让学生观察,并感受在导数为 0 的点的两 侧导数值 与函数增减性的关系,并具体说明,给出极大值和极小值的概念.要强调极值反映的是函数在某点附 近的性质,是局部性质,而且极大值不一定大于极小值. (2)函数极值的求法. 建议教师在学生掌握极值的概念的基础上,建立极值和导数的联系,通过例子讲解归纳出求函 数极值的方法和步骤. 备选习题 1.如果函数 y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断: (1)函数 y=f(x)在区间内单调递增; (2)函数 y=f(x)在区间内单调递减; (3)函数 y=f(x)在区间(4,5)内单调递增; (4)当 x=2 时,函数 y=f(x)有极小值; (5)当 x=-时,函数 y=f (x)有极大值. 则上述判断中正确的是 . 解析:由导函数的图象知: 当 x∈(-∞,-2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(-2,2)时,f'(x) >0,f(x)单调递增; 当 x∈ (2,4)时,f'(x)<0,f(x)单调递减; 当 x∈(4,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增; 在 x=-2 时,f(x)取极小值; 在 x=2 时,f(x)取极大值; 在 x=4 时,f(x)取极小值; 所以只有(3)正确. 答案:(3) 3 2 2.已知函数 f(x)=x +ax +bx+c 在 x=-2 处取得极值,并且它的图象与直线 y=-3x+3 在点(1,0)处相切, 求 a ,b,c 的值. 2 解:因为 f'(x)=3x +2ax+b, 2 所以 f'(-2)=3×(-2) +2a(-2)+b=0. 所以 12-4a+b=0. 又 f'(1)=3+2a+b=-3,所以 a=1,b=-8. 3 2 又 f(x)过(1,0)点,所以 1 +a×1 +b×1+c=0,所以 c=6. x 2 3.已知 a∈R,讨论函数 f(x)=e (x +ax+a+1)的极值点的个数. x 2 x x 2 解:f'(x)=e (x +ax+a+1)+e (2x+a)=e [x +(a+2)x+(2a +1)]. 2 令 f'(x)=0,得 x +(a+2)x+(2a+1)=0. 2 2 2 (1)当 Δ =(a+2) -4(2a+1)=a -4a=a(a-4)>0, 即 a<0 或 a>4 时,方程 x +(a+2)x+(2a+1)=0 有两个 不同的实根 x1,x2,不妨设 x1<x2 , ∴f'(x)=ex(x-x1)(x-x2). 当 x 变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: (- x ∞,x x1 1 ) 0 (x1, x2 x2) (x2,+ ∞) f' (x + ) - 0 + f(x1 f( ↗ x) )为 ↘ 极大 值 f(x2 )为 ↗ 极小 值 即此时 f(x)有两个极值点. (2)当 Δ =0,即 a=0 或 a=4 时 , 2 方程 x +(a+2)x+(2a+1)=0 有两个相同的实根 x1=x2, ∴f'(x)=ex(x-x1)2. ∴当

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