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高中数学竞赛


专题二 集合 函数 不等式 导数 一 能力培养 1,函数与方程思想; 4,运算能力; 二 问题探讨 2,数形结合思想; 5,转化能力. 3,分类讨论思想; 2 [问题 1] 已知 A ? {x x ? 3 ? a} , B ? {x x ? 7 x ? 8 ? 0} ,分别就下面条件求 a 的 取值范围: (I) A ? B ? ? ;(II) A ? B ? B . [问题 2]求函数 f ( x) ? x ? a 的单调区间,并给予证明. x [问题 3]已知 f ( x) ? e x ? ax ?1 . (I)若 f ( x ) 在定义域 R 内单调递增,求 a 的取值范围; (II)若 f ( x ) 在 (??, 0] 上单调递减,在 [0, ??) 上单调递增,求 a 的值; 2 (III)设 g ( x) ? ? x ? 2 x ? 2 在(II)的条件下,求证 g ( x) 的图象恒在 f ( x ) 图象的下方. [问题 4]设 f ( x) ? 1 1? x ? lg . x?2 1? x (I)试判断 f ( x ) 的单调性; ?1 ?1 (II)若 f ( x ) 的反函数为 f ( x) ,证明 f ( x) ? 0 只有一个解; (III)解关于 x 的不等式 f [ x ( x ? )] ? 1 2 1 . 2 1 三 习题探讨 选择题 1 已知函数 f ( x) ? 2x ,则 f ?1 (4 ? x2 ) 的单调减区间是 A, [0, ?? ) B, (??, 0] C, [0, 2) D, (?2, 0] 2 已知集合 M={ x 0 ? x ? 1} ,N={ x 0 ? x ? 1} ,下列法则不能构成 M 到 N 的映射的是 A, y ? x2 B, y ? sin x C, y ? tan x D, y ? x 3 已知函数 f ( x) ? ? ? x( x ? 1) ,奇函数 g ( x) 在 x ? 0 处有定义,且 x ? 0 时, ?? x( x ? 1) g ( x) ? x(1 ? x) ,则方程 f ( x) ? g ( x) ? f ( x) · g ( x) 的解的个数有 A,4 个 B,2 个 C,1 个 D,0 个 4 如果偶函数 y ? f ( x) 在 [0, ??) 上的图象如右图,则在 (??, 0) 上, f ( x) = A, x ? 1 B, x ? 1 C, ? x ? 1 D, 1 ? x ? 1 x ?( ) ? 1( x ? 0) 5 设函数 f ( x) ? ? 2 ,已知 f (a) ? 1 ,则 a 的取值范围为 ? 1 2 ? x ( x ? 0) A, (?1,1) B, (??, ?1) ? (1, ??) C, (??, ?2) ? (0, ??) D, (1, ??) 3 2 6 对于函数 f ( x) ? x ? 3x ,有下列命题:① f ( x ) 是增函数,无极值;② f ( x ) 是减函数, 无极值;③ f ( x ) 的增区间是 (??, 0) , (2, ??) , f ( x ) 的减区间是(0,2);④ f (0) ? 0 是极 大值, f (2) ? ?4 是极小值.其中正确的命题有 A,一个 填空题 x B,二个 C,三个 D,四个 7 函数 f (2 ) ? log2 x 的定义域是 2 8 已知 f (1 ? cos x) ? sin x ,则 f ( x)

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