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43.勾股定理全章复习与巩固(提高)知识讲解


勾股定理 3

勾股定理全章复习与巩固(提高)
【学习目标】 1.了解勾股定理的历史,掌握勾股定理的证明方法; 2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容; 3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题. 【知识网络】

【要点梳理】 要点一、勾股定理 1.勾股定理: 直角三角形两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方.(即: a

? b ? c )
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2.勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系, 是直角三角形的重要性质之一, 其主要 应用是: (1)已知直角三角形的两边,求第三边; (2)利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题; (3)求作长度为 的线段.

要点二、勾股定理的逆定理 1.原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设, 这样的两个命题叫做互逆 命题.如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题. 2.勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理: 如果三角形的三边长 a、b、c ,满足 a ? b ? c ,那么这个三角形是直角三角形.
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应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤: (1)首先确定最大边,不妨设最大边长为 c ; (2)验证 c 与 a ? b 是否具有相等关系,若 a ? b ? c ,则△ABC 是以∠C 为直
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角的直角三角形,反之,则不是直角三角形. 3.勾股数 满足不定方程 x ? y ? z 的三个正整数,称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数) ,
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显然,以 x、y、z 为三边长的三角形一定是直角三角形.

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常见的勾股数:①3、4、5; ②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤9、40、41. 如果( a、b、c )是勾股数,当 t 为正整数时,以 at、bt、ct 为三角形的三边长,此三 角形必为直角三角形. 观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数,它们具有以下特征: 1.较小的直角边为连续奇数; 2.较长的直角边与对应斜边相差 1. 3.假设三个数分别为 a、b、c ,且 a ? b ? c ,那么存在 a ? b ? c 成立.(例如④中存
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在 7 =24+25、 9 =40+41 等) 要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理; 联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,两者互为逆定理,都与直角三角形 有关. 【典型例题】 类型一、勾股定理及逆定理的应用 1、 如图所示, 直角梯形 ABCD 中, AD∥BC, ∠B=90°, AD= 3 5 , AB= 10 5 , ? 8 5 , BC E 是 AB 上一点,且 AE= 4 5 ,求点 E 到 CD 的距离 EF.

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【思路点拨】连接 DE、CE 将 EF 转化为△DCE 一边 CD 上的高,根据题目所给的条件,容易 求出△CDE 的面积,所以利用面积法只需求出 CD 的长度,即可求出 EF 的长度,过点 D 作 DH ⊥BC 于 H,在 Rt△DCH 中利用勾股定理即可求出 DC. 解:过点 D 作 DH⊥BC 于 H,连接 DE、CE,则 AD=BH,AB=DH

【总结升华】 (1)多边形的面积可通过辅助线转化为多个三角形的面积,利用面积法求三角 形一边上的高是一种常用的简易方法. (2)利用勾股定理求边长、面积时要注意边长、面积 之间的转换.

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举一反三: 【变式】如图所示,在△ABC 中,D 是 BC 边上的点,已知 AB=13,AD=12,AC=15,BD=5, 求 DC 的长. 解:

类型二、勾股定理与其他知识结合应用 2、如图所示,牧童在 A 处放牛,其家在 B 处,A、B 到河岸的距离分别为 AC=400 米, BD=200 米,CD=800 米,牧童从 A 处把牛牵到河边饮水后再回家.试问在何处饮水,所走 路程最短?最短路程是多少?

【思路点拨】作点 A 关于直线 CD 的对称点 G,连接 GB,交 CD 于点 E,利用“两点之间 线段最短”可知应在 E 处饮水,再根据对称性知 GB 的长为所走的最短路程,然后构造直角 三角形,利用勾股定理可解决. 解:

【总结升华】这是一道有关极值的典型题目.解决这类题目,一方面要考虑“两点之间线段 最短” ;另一方面,证明最值,常常另选一个量,通过与求证的那个“最大” “最小”的量进 行比较来证明,如本题中的 I 点.本题体现了勾股定理在实际生活中的应用.

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举一反三: 【变式】如图所示,正方形 ABCD 的 AB 边上有一点 E,AE=3,EB=1,在 AC 上有一点 P,使 EP+BP 最短.求 EP+BP 的最小值.

解:

3、如图所示,等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,E、F 为 AB 上两点(E 左 F 右),且∠ ECF=45°,求证: AE ? BF ? EF .
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【思路点拨】 :由于∠ACB=90°,∠ECF=45°,所以∠ACE+∠BCF=45°,若将∠ACE 和 ∠BCF 合在一起则为一特殊角 45°,于是想到将△ACE 旋转到△BCF 的右外侧合并,或将△ BCF 绕 C 点旋转到△ACE 的左外侧合并,旋转后的 BF 边与 AE 边组成一个直角,联想勾股定 理即可证明. 解:(1) AE ? BF ? EF ,理由如下:
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【总结升华】若一个角的内部含有同顶点的半角,(如平角内含直角,90°角内含 45°角, 120°角内含 60°角),则常常利用旋转法将剩下的部分拼接在一起组成又一个半角,然后 利用角平分线、全等三角形等知识解决问题.

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4、已知:如图,△ABC 中,∠CAB=120°,AB=4,AC=2,AD⊥BC,D 是垂足,求 AD 的长.

解:

【总结升华】勾股定理要在直角三角形中才能应用,没有直角三角形要构造直角三角形. 类型三、本章中的数学思想方法 1.转化的思想方法:我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角 三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决. 5、如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边 BC 的中点,E、F 分别是 AB、AC 边上的点,且 DE⊥DF,若 BE=12,CF=5.求线段 EF 的长.

解:

【总结升华】此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以知 道: 当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时, 应通过适当的转化把它们放在同一直 角三角形中求解.

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举一反三: 【变式】已知凸四边形 ABCD 中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=DC, 求证:

解:将△ABD 绕点 D 顺时针旋转 60°. 由于 DC=AD,故点 A 转至点 C.点 B 转至点 E,连结 BE.

2.方程的思想方法 6、如图所示,已知△ABC 中,∠C=90°,∠A=60°, 的值. 解: ,求 、 、

【总结升华】在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 举一反三: 【变式】直角三角形周长为 12 cm ,斜边长为 5 cm ,求直角三角形的面积. 解:设此直角三角形两直角边长分别是 x,y ,根据题意得:

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