人教版高一数学必修四+必修五期末测试试题

高中数学必修四和必修五综合测试题
本卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试时间 120 分钟。

第Ⅰ卷 注意事项： 1．请将第Ⅰ卷的答案涂写在答题卡上； 2．本卷共 12 小题，每题 5 分，共 60 分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的； 3．交卷时，只交答题纸。

一、选

择题（每题 5 分，共 60 分） 1、设 0 ? a ? b ，则下列不等式中正确的是 （ ）

a?b 2 a?b C． a ? ab ? b ? 2
A. a ? b ?

ab ?

B． a ? D．

a?b ?b 2 a?b ab ? a ? ?b 2 ab ?

2、已知等比数列 ?an ? 的公比 q ? 2 ，前 n 项和为 Sn ，则 A. 2
2

S4 ? a2
D.

（

）

B. 4

C.

15 2
2

17 2

3、已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 ?2,3? ，则 cx ? bx ? a ? 0 的解集为 A. ? , ? B. ? - ?， ? ∪ ? ， ? ? ? C. ? 4、已知函数 f ?x ? ? A. ?0,4?

?1 1? ?3 2?

? ?

1? 3?

?1 ?2

? ?

1? ? 1 ? 1 1? ? ? ,- ? D. ? - ?， - ? ∪?- ， ? ?? 2? ? 3 ? 2 3? ? ?
（ ）

2x ? 3 kx ? 2kx ? 4
2

的定义域是 R ，则 k 的取值范围是 C. ?0,4?
2

B. ?0,4?

D.
2

?0,4?
2

5、已知 x1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 x ? ax ? ?a ? 3? ? 0 的两实根，则 x1 ? x2 的最小值为 （ A. - 7 B. 0 C. 2 D. 18

）

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6、下列命题正确的是 A． a ? b ? ac ? bc
2 2

（ B． a ? b ? 0 ? a b ? b
2 3

）

a 1 1 ? 1 ? a ? b且b ? 0 D． a 3 ? b3 , ab ? 0 ? ? b a b 7、设 Sn 为等差数列 ?an ? 的前 n 项和，若 a1 ? 1 ，公差 d ? 2 ， S k ?2 ? S k ? 36 ，则 k ?
C． A． 8 B． 7 C． 6 D． 5

（

）

8、已知 ?an 为等比数列， a4 ? a7 ? 2 ， a5a6 ? ?8 ，则 a1 ? a10 ? A.

?

（ D. ??

）

7

B.

5

C. ??

9、已知 y ? f ?x ? 是开口向上的二次函数，且 f ?1 ? x ? ? f ?1 - x ?恒成立.若 f ?x ? 1? ? f ?3x - 2? ， 则 x 的取值范围是 A. ? ， ? （ ）

?3 3? ?4 2?

B. ? - ?， ? ∪ ? ， ? ??

? ?

3? 4?

?3 ?2

? ?

C. ? - ， - ?

? 3 ? 2

3? 4?

D. ? - ?， - ? ∪?- ， ? ??

? ?

3? 2?

? 3 ? 4

? ?

10、已知 A、B、C 三点共线 O在该直线外 ，数列 ?an ? 是等差数列， Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和. 若 OA ? a1 ? OB ? a2012 ? OC ，则 S 2012 ? A. 1006 B. 2012 C. 1005 D. 2010 （ ） （ ）

?

?

11、已知 ? ? ? 0， ? ，则函数 f ?? ? ? sin ? ? A． 2 2 B. 3

? ?? ? 2?

2 的最小值为 sin ?
C. 2 3 D. 2

12、定义在 R 上的偶函数 f ?x ? 满足 f ?x ? 2? ? f ?x ? ，且在 ?- 3,-2? 上是减函数.若 A、B 是锐角三角 形的两内角，则有 A. C. （ B. f ?sin A? ? f ?sinB? D. f ?cosA? ? f ?cosB? ）

f ?sin A? ? f ?cosB? f ?sin A? ? f ?cosB?

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第Ⅱ卷 二、填空题（共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分；把答案填答题纸上）
13、在 ?ABC 中， B ?

?
3

中，且 BA ? BC ? 4 3 ,则 ?ABC 的面积是_____

___.

? x - y ? -1, ? x ? y ? 3, ? 14、设 x , y 满足约束条件： ? 则 z ? x ? 2 y 的取值范围为 x ? 0 , ? ? ? y ? 0.
15、已知 x ? 0, y ? 0 ，若

.

2 y 8x ? ? m 2 ? 2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是 x y

.

x, c, d , y 成等比数列， 16、已知 x ? 0, y ? 0, x, a, b, y 成等差数列， 则

?a ? b ?2 的最小值是
cd

.

三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，18—22 题各 12 分，共 70 分；解答应写出文字说 明，证明过程或演算步骤）
17、已知数列 ?an ? 中， a1 ? 1 ， an ?1 ? 2an ? 3 ，求数列 ?an ? 通项公式 an .

18、已知 a 千克的糖水中含有 b 千克的糖；若再加入 m 千克的糖 ?a ? b ? 0, m ? 0? ，则糖水变甜了. 请你根据这个事实，写出一个不等式 并证明不等式 ；

b b?m ? ?a ? b ? 0, m ? 0? 成立，请写出证明的详细过程. a a?m

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19、已知 ?ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c ，设向量 m ? (a, b), n ? (sin A,cos B),

p ? (1,1).
(1)若 m / / n, 求角 B 的大小; (2)若 m ? p ? 4 ,边长 c ? 2 ，角 C ?

? ?

?
3

，求 ?ABC 的面积.

20、某种汽车的购车费用是 10 万元，每年使用的保险费、养路费、汽油费共约为 0.9 万元，年维修 费用第一年是 0.2 万元，第二年是 0.4 万元，第三年是 0.6 万元，…，以后逐年递增 0.2 万元. 汽 车的购车费用、每年使用的保险费、养路费、汽油费、维修费用的和平均摊到每一年的费用叫做 年平均费用.设这种汽车使用 x( x ? N ? ) 年的维修费用总和为 g ( x) ，年平均 费用为 f ( x) . ．．． （1）求出函数 g ( x) ， f ( x) 的解析式； （2）这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小？最小值是多少？

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21、设关于 x 的函数 y ? 2 cos2 x - 2a cos x - ?2a ? 1? 的最小值为 f ?a ? . ⑴试用 a 写出 f ?a ? 的表达式； ⑵试确定 f ?a ? ?

1 的 a 的值，并对此时的 a 求出 y 的最大值. 2

22、在数列 ?an ? 中，已知 a1 ? -1 ，且 an?1 ? 2an ? 3n - 4 n ? N? . ⑴求证：数列 ?an?1 - an ? 3? 是等比数列； ⑵求数列 ?an ? 的通项公式 an ； ⑶求和： S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an n ? N

?

?

?

?

?.

- 5 -（共 4 页）

高一数学期末参考答案 一、选择题 1-5 BCCBA 二、填空题 13、 6 6-10 DADBA 11-12 BA

14、 ?- 3， 3?

15、 ?- 4， 2?

16、 4

三、解答题（答题方法不唯一） 17、由题知： an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? , 令 bn ? an ? 3 ，则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ，有 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

bn?1 ? 2 ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 bn
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分

? bn ? 4 ? 2 n-1 ? 2 n?1 ,
即 an ? 2
a
n ?1

- 3.

18、填空： b ? b ? m ;
a?m

证明：作 b ? m - b ? ab ? am - ab - bm ? m?a ? b ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 a?m a a?a ? m? a?a ? m?

? a ? b ? 0?a - b ? 0 ,
又? m ? 0 ? b ? m - b ? 0 ,
a?m a

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

即b ? b?m.

? a cos B ? bsinA , 19、⑴? m ∥ n · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分 在 ?ABC 中，由正弦定理得： b sin A ? a sin B , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分
? a cos B ? a sin B
⑵? m ? 即 tanB ? 1 ? B ?

?

a

?

a?m

?
4

.

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分

? ? p ? 4 ?a ? b ? 4 ,
?
3
2 2 2

又? c ? 2，C ? 解得 ab ? 4 , ·

由余弦定理 c ? a ? b - 2ab cosC 得 4 ? 4 - 3ab ,
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分

1 3 ab sin C ? 2 ? ? 3. 2 2 20、 （1）由题意知使用 x 年的维修总费用为 ? S ?ABC ?

g ( x) = x ? 0.2 ? 0.2 x ? ? 0.1x ? 0.1x 2 万元
2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·3 分

1 1 依题得 f ( x) ? [10 ? 0.9 x ? (0.1x ? 0.1x 2 )] ? (10 ? x ? 0.1x 2 ) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分 x x

（2） f ( x) ? 10 ? x ? 1 ? 2 10 ? x ? 1 ? 3 x 10 x 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分
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当且仅当 10 ? x 即 x ? 10 时取等号 x 10

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·10 分

? x ? 10 时 y 取得最小值 3 万元
答：这种汽车使用 10 年时，它的年平均费用最小，最小值是 3 万元. · · · · · · · · · ·12 分 21、⑴令

a? a cos x ? t , t ? ?- 1,1?，则原式 ? 2t 2 - 2at - 2a - 1 ? 2? - 2a - 1 ?t - ? 2

2

?

2?

2

①当

a2 a2 ? ?1， - 1? 时， f ?a ? ? - - 2a - 1 ； 2 2
2

②当 a ? ?1， ? ? ?时， f ?a ? ? -4a ? 1 ；
2 2

③当 a ? ?- ?,-1?时， f ?a ? ? 1 ；
2

? a2 a2 2 a 1 , ? ?- 1,1?, ? 2 ? 2 综上： a2 ? f ?a ? ? ? - 4a ? 1, ? ?1,???, 2 ? 2 a ? 1, ? ?- ?,-1?. ? 2 ?

⑵当 f ?a ? ?

1 时，解得 a ? -1 ， 2
2

1? 1 当 a ? -1 时 y ? 2t 2 ? 2t ? 1 ? 2? ? t ? ? ? , t ? ?- 1,1? ? y maz ? 5 2 2 ? ?

22、⑴令 bn ? an?1 - an ? 3 ，则

bn?1 ? an?2 - an?1 ? 3 ? 2an ?1 ? 3?n ? 1? - 4 - 2an ? 4 ? 3 ? 2?an?1 - an ? 3? ? 2bn
? bn?1 ?2 bn

? 数列 ?bn ? 是为公比为 2 的等比数列.

⑵ a2 ? 2a1 - 1 ? -3 ,

b1 ? a2 - a1 ? 3 ? 1 ? bn ? an?1 - an ? 3 ? 2 n-1 ,
? 2an ? 3n - 4 - an ? 3 ? 2n-1 , ? an ? 2 n-1 - 3n ? 1 n ? N? .
⑶设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Tn ,
Tn ? 2 n - 1 n?3 ? 3n - 2? n?3n ? 1? , ? 2n -1 2 2

?

?

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Sn ? a1 ? a2 ? ?? an .
? n ? 4, an ? 0, n ? 4, an ? 0 ,
? n ? 4 时， S n ? -Tn ? 1 ? n?3n ? 1? - 2 n ,
2

n ? 4 时， S n ? Tn - 2T4 ? 2 n ? 21 - n?3n ? 1? .
2

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