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高三艺术生数学第一轮复习教学案第25-26课时 三角函数的图象和性质(1)


§ 25

三角函数的图象(1)

【考点及要求】 1. 了解正弦、余弦、正切函数图象的画法,会用“五点法”画正弦、余弦函数和函 数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图, 2. 掌握由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象的变换原理. . 【基础知识】 1. “五点法”画正弦、余弦函数和函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的简图,五个特殊点通常都是取 三个 点,一个最 点,一个最 点; 2. 由函数 y ? sin x 的图象到函数 y ? 2sin(2 x ? ①将 y ? sin x 的图象向左平移

?
3

) ? 2 的图象的变换方法之一为:
图象, 得 y ? sin(2 x ?

? 个单位得 3

②再保持图象上各点纵坐标不变,横坐标变为原来的 ③再保持图象上各点横坐标不变,纵坐标变为原来的 ④最后将所得图象向 平移 2 个单位得 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 图象,

倍得 y ? 2sin(2 x ?

?
3

) 图象,

?
3

) ? 2 的图象.

这种变换的顺序是:①相位变换②周期变换③振幅变换。 若将顺序改成②①③呢? 【基本训练】 1.函数 y ?

1 ? sin( 2 x ? ) 的振幅是 ______, ,频率是 ______, ,初相是 ______ 2 9

2.用“五点法”画函数 y ? 2 sin( x ?

?

3

) 的图象时,所取五点为

3.函数 y ? 1 ? sin x, x ? [0,2? ] 的图象与直线 y ? 2 交点个数是 _____ 个 4.如果把函数 y ? cos(? x) 的图象向右平移 2 个单位后所得图象的函数解析式为

2 x ? ? ) 的图象过点 ( 5.函数 y ? tan(
【典型例题讲练】

?

12

,0), 则 ? 的一个值是

例 1 试说明下列函数的图象与函数 y ? sin x 图象间的变换关系: (1) y ? sin( x ?

?
3

);

(2) y ? sin( 2 x ?

2? ) ? 2; (3) y ? 2 sin x 3

例 2(1)将函数 y ? 5sin(?3x) 的周期扩大到原来的 2 倍,再将函数图象左移

? ,得到 3

图象对应解析式是 (2)若函数 f ( x ) 图象上每一个点的纵坐标保持不变,横坐标伸长到原来的两倍,然 后再将整个图象沿 x 轴向右平移

? 个单位,向下平移 3 个单位,恰好得到 2


y?

1 sin x 的图象,则 f ( x) ? 2

(3)先将函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移

? 个单位长度,再将所得图象作关于 y 轴 3


的对称变换,则所得函数图象对应解析式为 例 3 已知函数 y ?

3 sin

x x ? cos ( x ? R) , (1) 用“五点法”画出它的图象; ( 2) 求它 2 2

的振幅,周期及初相; (3) 说明该函数的图象可由 y ? sin x 的图象经怎样的变换得到?

【课堂小结】 1. 2. 【课堂检测】 1. 要得到函数 y ? 只需将函数 y ? 2 sin( 2 x ? 2 cos x 的图象,

?
4

) 图象上的点的 ___

坐标 _____ 到原来的 ____ 倍,再向 ___ 平移 ____ 个单位 2.将函数 y ? sin( x ?

?
3

) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),

再将所得的图象向左平移

? 个单位,所得的图象对应的解析式是 3
④ ③

3.如图所示为 y ? sin x, y ? cos x, y ? tan x ,

y ? cot x 在 [
编号顺序是( A.①②③④ C.③①②④

? ?

, ] 上的图象,则它们所对应的图象 4 2
) B.①③②④ D.③①④② 1

2 2
?
4

② ①

?
2

§ 26
【典型例题讲练】 例1

三角函数的图象(2)

(1)函数 y ? sin 2 x 的图象向右平移 ? ( ? ? 0 )个单位,得到的图象关于直线 x ? 称,则 ? 的最小值为 (2) 函数 y ? ?2 sin( 4 x ? 练习: 把函数 y = cos(x+

?
6



? )的图象向左平移 m 个单位(m>0), 所得图象关于 y 轴对称, 则 3

2? ) 的图象与 x 轴的交点中,离原点最近的一点是 __________ 3

m 的最小值是_________。 例 2 函数 f ( x) 图象的一部分如图所示,则 f ( x) 的解析式为 A. f ( x) ? 4 sin ( )

?x
3

? 3.5
7.5 4

B. f ( x) ? 3.5 sin

?4 6 ?x ? 4.5 C. f ( x ) ? 3.5 sin 3 ?x ? 3.5 D. f ( x) ? 4 sin 6
练习:已知如图是函数 y ? 2 sin(?x ? ? )( ? ?

?x

0.5

? 0
2

) 的图象,那么(

3

9 )

10 ? ,?? A. ? ? 11 6 10 ? ,??? B. ? ? 11 6
C. ? ? 2, ? ?

?

4

6

D. ? ? 2, ? ? ?

?
6

O

1) B( , 1) , 例 3. 设函数 f ( x) ? a ? b sin x ? c cos x( x ? R) 的图像过点 A(0,, 且 b>0 f ( x )
的最大值为 2 2 ?1 ,(1)求函数 f ( x ) 的解析式;(2)由函数 y= f ( x ) 图像经过平移是 否能得到一个奇函数 y= g ( x) 的图像?若能, 请写出平移的过程; 若不能, 请说明理由。

π 2

【课堂小结】 【课堂检测】 1. 若函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 的最小值为 ?2 , 周期为 且它的图象过点 (0, ? 2) ,求此函数解析式. 2.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ( A ? 0,| ? |? ? )的一段图象如下图所示,求函数的解析 式. 2

2? , 3

?

? 0
8
?2

3? 8

【课后作业】 1.已知函数 f ( x) ? 2 cos x sin( x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x ? 2( x ? R ) ,该函数的图

象可由 y ? sin x ( x ? R )的图象经过怎样的变换得到? 2.已知函数 f ( x) ? 2 sin x(sin x ? cos x)

(1) 求函数 f ( x) 的最小正周期和最大值;
( 2) 在给出的直角坐标系中,画出函数 y ? f ( x) 在区间 [ ?

? ?

, ] 上的图象 2 2

选做题:设函数 f ( x) ? sin ax ? 3 cos ax(0 ? a ? 1),g ( x) ? tan(mx ? )(0 ? m ? 1) 又函数 f ( x),g ( x) 的最小正周期相同,且 f (1) ? 2 g (1) , 试确定 f ( x),g ( x) 的解析式;

π 6



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