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复数的几何意义


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3. 3

复数的几何意义
蔡丹

扬州市新华中学 教学目标:

1.了解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数;了解复数 代数形式的加、减运算的几何意义. 2.通过建立复平面上的点与复数的一一对应关系,自主探索复数加减法的 几何意义.

教学重点: 复数的几何意义,复数加减法的几何意义. 教学难点: 复数加减法的几何意义.

教学过程: 一 、问题情境 我们知道,实数与数轴上的点是一一对应的,实数可以用数轴上的点来表 示.那么,复数是否也能用点来表示呢? 二、学生活动 问题 1 任何一个复数 a+bi 都可以由一个有序实数对(a,b)惟一确定,

而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点是一一对应的,那么我们怎样用 平面上的点来表示复数呢? 问题 2 平面直角坐标系中的点 A 与以原点 O 为起点,A 为终点的向量 OA

是一一对应的,那么复数能用平面向量表示吗? 问题 3 任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原

点的距离.任何一个向量都有模,它表示向量的长度,那么相应的,我们可以给 出复数的模(绝对值)的概念吗?它又有什么几何意义呢? 问题 4 复数可以用复平面的向量来表示,那么,复数的加减法有什么几何

意义呢?它能像向量加减法一样, 用作图的方法得到吗?两个复数差的模有什么 几何意义?

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三、建构数学 1.复数的几何意义:在平面直角坐标系中,以复数 a+bi 的实部 a 为横坐 标,虚部 b 为纵坐标就确定了点 Z(a,b) ,我们可以用点 Z(a,b)来表示复 数 a+bi,这就是复数的几何意义. 2.复平面:建立了直角坐标系来表示复数的平面.其中 x 轴为实轴,y 轴 为虚轴.实轴上的点都表示实数,除原点外,虚轴上的点都表示纯虚数. 3.因为复平面上的点 Z(a,b)与以原点 O 为起点、Z 为终点的向量一一 对应, 所以我们也可以用向量 OZ 来表示复数 z=a+bi, 这也是复数的几何意义. 4.复数,复平面的点和平面向量 OZ 之间的关系:见课本 P120 图 3-3-3. 5.复数的模:向量 OZ 的模叫做复数的 z 的模,记作│z│或│a+bi│.由模 的定义可知│z│=│a+bi│= a2+b2 .复数的模表示复平面上该点到原点的距 离. 6.复数加减法的几何意义可由向量加减法的平行四边形法则得到,两个复 数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离. 同时,复数加减法的 法则与平面向量加减法的坐标形式也是完全一致的. 四、数学应用 例1 3-2i. 练习 思考 1.复平面内,表示一对共轭虚数的两个点具有怎样的位置关系? 2.如果复平面内表示两个虚数的点关于原点对称,那么它们的实部和虚部 分别满足什么关系? 3. “a=0”是“复数 a+bi(a,b∈R)是纯虚数”的__________条件. 4. “a=0”是“复数 a+bi(a,b∈R)所对应的点在虚轴上”的_____条件. 例2 已知复数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 在复平面内所对应的点位于 课本 P123 练习第 3,4 题(口答) . 在复平面内,分别用点和向量表示下列复数 4,2+i,-i,-1+3i,

第二象限,求实数 m 允许的取值范围. 例3 已知复数 z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.

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思考 例4

任意两个复数都可以比较大小吗? 设 z∈C,满足下列条件的点 Z 的集合是什么图形?

(1)│z│=2; (2)2<│z│<3. 变式:课本 P124 习题 3.3 第 6 题. 五、要点归纳与方法小结 本节课学习了以下内容: 1.复数的几何意义. 2.复数加减法的几何意义. 3.数形结合的思想方法.


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