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2013年广东省高考压轴卷数学文试题


绝密★启用前

试卷类 型:B

2013 年广东省高考压轴卷 数学文试题
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室 号、座号填写在答题卡上。用 2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位 置上。将条形码横贴在答题卡

右上角“条形码粘贴处” 。 2. 选择题每小题选出答案后, 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点 用 涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指 定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再作答。漏 涂、错涂、多涂的,答案无效。 5.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 参考公式:锥体的体积公式 V ?
1 3 S h ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高.
2

样本数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的方差 s ? 其中 x , y 表示样本均值.

1 ? x1 ? x ? n ?

?

?

2

? x2 ? x

?

?

2

? ? ? xn ? x

?

?

2

?, ? ?

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 M ? ? ? 1, 0 ,1? 和 N ? ? 0 ,1, 2 , 3? 的关系的韦恩( V e n n )图如图 1 所示,则阴 影部分所示的集合是 A. ? 0 ? C. ? ? 1, 2 , 3? 2. B. ? 0,1? D. ? ? 1, 0 ,1, 2 , 3? M N

图1

命题“存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 ”的否定是 A.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 C.对任意实数 x , 都有 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 B.不存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0 D.存在实数 x ,使 x 2 ? 2 x ? 8 ? 0

3.

若复数 A. ? 2

1 ? bi 2?i

?

1 2

( i 是虚数单位, b 是实数) ,则 b ? B. ?
1

C.

1

D.2

4.

2 2 ??? ? ???? ??? ???? ? ??? ? ???? 已知平面向量 A B ? (1, 2 ) , A C ? ( 2 , y ) ,且 A B ? A C ? 0 ,则 2 A B ? 3 A C ?

第 1 页 共 12 页

A. (8 , 1) 5.

B. (8, 7 )

C. ? ? 8, 8 ?

D. ? 16, 8 ? y

已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且 x ? 0 时 f ? x ? 的图像 如图 2 所示,则 f ? ? 2 ? ? A. ? 3 C. ? 1 B. ? 2 D. 2

2 O 1 3 图2 x

6.

? x ? y ? 2 ? 0, ? 已知变量 x , y 满足约束条件 ? y ? 2 , 则z ? 2x ? y 的 ? x ? y ? 0, ?

最大值为 A.2 7.
x

B.3

C.4

D.6

设函数 f ? x ? ? e ? 3 x ,则 A. x ?
3 e

为 f ( x ) 的极大值点

B. x ?

3 e

为 f ( x ) 的极小值点

C. x ? ln 3 为 f ( x ) 的极大值点 8.

D. x ? ln 3 为 f ( x ) 的极小值点

2 已知直线 A x ? y ? C ? 0 , 其中 A , C , 4 成等比数列, 且直线经过抛物线 y ? 8 x 的焦点,

9.

则A?C ? A. ? 1 B.0 C.1 D.4 如图 3 所示,某几何体的正视图(主视图) ,侧视图(左视图)和俯视图分别是等腰梯 形,等腰直角三角形和长方形,则该几何体体积 为 A.
5 3

2 1 正视图 侧视图

B.

4 3

2

C. D.

7 3 10 3

4 俯视图 图3

10. 对于任意两个复数 z 1 ? a ? b i , z 2 ? c ? d i ( a , b , c , d ? R ) ,定义运算“ ? ”为:
z 1 ? z 2 ? a c ? b d .则下列结论错误的是

A. ? ? i ? ? ? ? i ? ? 1 C. i ? ? 1 ? 2 i ? ? 2

B. i ? ? i ? i ? ? 1 D. ? 1 ? i ? ? ? 1 ? i ? ? 2
第 2 页 共 12 页

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11. 函数 f ( x ) ?
1 x ?1 ? lg (1 ? x ) 的定义域是________.

12. 某公司为了了解员工们的健康状况,随机抽取了部分 员工作为样本,测量他们的体重(单位:公斤) ,体重 的分组区间为[50,55) ,[55,60) ,[60,65) ,[65,70) , [70,75],由此得到样本的频率分布直方图,如图 4 所 示.根据频率分布直方图,估计该公司员工体重的众 数是_________;从这部分员工中随机抽取 1 位员工, 则该员工的体重在[65,75]的概率是_________. 13. 已知 ? ABC 中, ? A , ? B , ? C 的对边分别为 a ,
c 若 b , , a ? 1, ? b

频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02

50 55 60 65 70 75 体重 图4

则 B 3 , ? 2 A , A ? _________.

(二)选做题(14-15 小题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ? 0 ? ? ?
? ?

? ?

? 中,曲线 ? sin ? ? 1 与 2 ?

? ? 4 sin ? 的交点的极坐标为________.

A

15. (几何证明选讲选做题) 如图 5 所示, 过圆 O 外一点 P 分 别作圆的切线和割线交圆于 A , B , C ,且 P P C ? 3 P B ? 3 ,过点 A 作 B C 的垂线,垂足为 D ,则 A D ? _______.

B

D

O

C

图5 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 设等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a1 ? 2 , a 3 ? 6 . (1)求数列 ? a n ? 的通项公式; (2)若 S k ? 1 1 0 ,求 k 的值;
? 1 ? ? 的前 n 项和为 T n ,求 T 2013 的值. Sn ? ?

(3)设数列 ?

17. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ? x ? ? A sin ?
? x ? ?? ? ? 2 ?

?A

? 0, 0 ? ? ? ?

? 的最大值是 1,且 f ? 0 ? ? 1 .

第 3 页 共 12 页

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期; (2)求 f ( x ) 的解析式; ( 3 ) 已 知 锐 角 ?ABC 的 三 个 内 角 分 别 为 A , B , C , 若
f

?2A? ?

3 5

,f

?2B ? ? ? ?

?

5 13

,求 f ? 2 C ? 的值.

18. (本小题满分 13 分) 某校高三年级在 5 月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示:

? 0, 400 ?
文科考生 理科考生 67 53

? 400, 480 ?
35
x

? 480, 550 ?
19
y

?550, 750 ?
6
z

已知用分层抽样方法在不低于 550 分的考生中随机抽取 5 名考生进行质量分析, 其中文 科考生抽取了 2 名. (1)求 z 的值; 13 2 4 (2) 6 是文科不低于 550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图, 图 计 算这 6 名考生的语文成绩的方差; (3)已知该校不低于 480 分的文科理科考生人数之比为 1 : 2 ,不低 于 400 分的文科理科考生人数之比为 2 : 5 ,求 x 、 y 的值. 12 11 0 1 5 8

图6 19. (本小题满分 14 分) 将棱长为 a 正方体截去一半(如图 7 所示)得到如图 8 所示的几何体,点 E , F 分别 是 BC , D C 的中点. D1 D1 C1 (1)证明: A F ? E D 1 ; A1 A1 B1 (2)求三棱锥 E ? A F D 1 的体积. D A 20. (本小题满分 14 分) 图7 B C A 图8 D F E B C

在平面直角坐标系 x O y 中, 已知圆心在 x 轴上, 半径为 4 的圆 C 位于 y 轴右侧, 且与 y 轴相切. (1)求圆 C 的方程; (2)若椭圆
x
2

?

y b

2 2

? 1 的离心率为

4 5

,且左右焦点为 F1 , F 2 .试探究在圆 C 上是否

25

存在点 P , 使得 ? P F1 F 2 为直角三角形?若存在, 请指出共有几个这样的点?并说明理由 (不 必具体求出这些点的坐标) .
第 4 页 共 12 页

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x )= x +
3

3 2

? a ? 1? x

2

? ? a x ? 1, x ? R

(1)讨论函数 f ( x ) 的单调区间; (2)当 a ? 3 时,若函数 f ( x ) 在区间 [ m , 2 ] 上的最大值为 28,求 m 的取值范围.

2013 年广东省高考压轴卷 数学文试题答案
说明:1.参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几 种解法供参考,如果考生的解法与参考答案不同,可根据试题主要考查的知识点 和能力对照评分标准给以相应的分数. 2.对解答题中的计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答 未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的得分,但所给分数不 得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误, 就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 4.只给整数分数,选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 题号 答案 1 B 2 C 3 C 4 A 5 B 6 D 7 D 8 A 9 A 10 B

答案详细解析: 1.阴影部分所示的集合是 M ? N ? ? 0 ,1? . 2.存在量词变成任意量词,结论变.
1 ?2?b ? ? ?1 ? b i ? ? 2 ? i ? ? 2 ? b ? ? ? 2 b ? 1 ? i 1 1 ? bi 1 ? 5 2 ? ? ? 3.∵ ,∴ ? ,解得 b ? . 2?i 5 2 ?2 ? i??2 ? i? 2 ? 2b ? 1 ? 0 ? 5 ?

4.∵ AB ?AC

??? ???? ?

??? ? ??? ? 2,4 ? 0 ,∴ 2 ? 2 y ?0 ,解得 y ? ? 1 ,∴ 2 AB ? 3AC ? ?

?? 6,?

3 ?

? 8,1 ? ?

?.

5. f ? ? 2 ? ? ? f ? 2 ? ? ? 2 . y 6.如图,作出可行域,当目标函数直线经过点 A 时取得最大值.由
? y ? 2, 解得 A ? 2 , 2 ? ,∴ z m a x ? 2 ? 2 ? 2 ? 6 . ? ? x ? y ? 0,

A

O
第 5 页 共 12 页

x

x 7.由 f ? ? x ? ? e ? 3 ? 0 ,得 x ? ln3 ,又 x ? ln3 时, f ? ? x ? ? 0 ,x ? ln 3 时, f ? ? x ? ? 0 ,

∴ f ? x ? 在 x ? ln 3 时取得极小值. 8.∵ A , C , 4 成等比数列,∴ C 2 ? 4 A ①,∵直线经过抛物线 y 2 ? 8 x 的焦点 ? 2 , 0 ? ,∴ ,∴ A ? C ? ? 1 . 2 A ? C ? 0 ②,由①②联立解得 A ? 1, C ? ? 2 或 A ? 0 , C ? 0 (舍去) 9.该几何体的直观图如图所示,由题意知该几何体可分割为两个等体积的四棱锥和一个直 三 棱 柱 . 四 棱 锥 的 体 积 为 V1 ?
V2 ? 1 2 ? 1 ? 1 ?2
1 3 ?1? 2? 2 2 ? 1 3

, 直 三 棱 柱的 体 积 为

?1 ,∴该几何体的体积为 2 V 1 ? V 2 ?

5 3



10. i ? ? i ? i ? ? i ? 1 ? 0 .

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. ? ? 1,1 ? 12.62.5,
3 10

13.

π 6

14. ? 2,
?

?

? ?
? 6 ?

15.

3 2

说明:第12题第一个空填对给2分,第二个空填对给3分. 答案详细解析: 11.∵ ?
?x ?1 ? 0 ?1 ? x ? 0

,∴ ? 1 ? x ? 1 .∴函数的定义域是 ? ? 1,1 ? .
? 6 2 .5 ,∵各分组频率分别为 0.15,0.25,0.3,0.2,0.1,∴该员工的
0 .2 ? 0 .1 1 ? 3 10

12.众数是

60 ? 65 2

体重在[65,75]的概率是 13 . 由 正 弦 定 理
b 2a 3 2

. , 又 ∵ B ? 2A , ∴
a s i n A ? b 2 sAi n

a s in A

?

b s in B

,∴
Ac o s

c o A ? s

?

,∴ A ?

π 6



14 . 曲 线 ? s i n? ? 1与 ? ? 4 sin ? 分 别 转 化 为 直 角 方 程 得 y ? 1 , x 2 ? y 2 ? 4 y 。 联 立

第 6 页 共 12 页

? ?x ? ? 3 ?y ?1 ?x ? 3 ? ,解得 ? 或? (舍去) 。∴ ? ? ? 2 2 ?y ?1 ?y ?1 ?x ? y ? 4y ? ?

? 3?

2

2 ? 1 ? 2 , tan ? ?

1 3

?

3 3



又0 ? ? ?

?
2

,∴ ? ?

?
6

.∴交点的极坐标为 ? 2,
?

?

? ?

?. 6 ?

?? ? 2 ? ? ? ?2 ? ? sin ? ? 1 ? ? 另解: 联立 ? , 解得 ? , ? 或? ? (舍去)∴曲线 ? s in ? ? 1 与 ? ? 4 sin ? ? ? 4 sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 6 ? ?

的交点的极坐标为 ? 2,
?

?

? ?

?. 6 ?
3 .∵ PA ? AO ? PO ?AD

15.连接 A O .根据切割线定理 P A 2 ? P B ? P C ? 3 ,∴ P A ?
3 2

(等面积) ,∴ 3 ? 1 ? 2 A D ,∴ A D ?



三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(1)设等差数列 ? a n ? 的公差为 d , ∵?
? a1 ? 2 ? a 3 ? a1 ? 2 d ? 6

, ?????????????????????????????2

∴d ? 2 分

数列 ? a n ? 的通项公式 a n ? 2 ? ? n ? 1 ? ? 2 ? 2 n ???????????????????4 分 (2)方法一:∵ S k ? k a 1 ?
k ( k ? 1) 2 d ? 2k ? k ( k ? 1) 2 ? 2 ? k ? k ? 1 1 0 ???????6
2

分 解得 k ? 1 0 或 k ? ? 1 1 (舍去) ?????????????????????????8 分 方法二:∵ S k ?
k ? 2 ? 2k ? 2 ? 1 1 0 , ???????????????????????6

分 解得 k ? 1 0 或 k ? ? 1 1 (舍去) ?????????????????????????8 分 (3)∵ S n ?
n (2 ? 2 n ) 2 ? n ( n ? 1) ,∴
1 Sn ? 1 n ( n ? 1) ? 1 n ? 1 n ?1

?????????9

第 7 页 共 12 页

分 ∴ T 2 0 1 3 ? T1 ? T 2 ? T 3 ? ? ? T 2 0 1 3
1? ?1 1? ?1 1? 1 ? ? ? 1 ? ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2? ?2 3? ?3 4? ? ? 2013 2014 ?

? 1?

1 2014

?

2013 2014

?????????????????????????????

12 分 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)函数 f ( x ) 的最小正周期是 分 (2)∵函数 f ( x ) 的最大值是 1, A ? 0 ∴ A ? 1 ???????????????????????????????????3 分 ∵ f ? 0 ? ? s in ? ? 1 又∵ 0 ? ? ? ? ∴? ? 分 ∴ f ( x ) 的解析式是 f ? x ? ? s in ? 分 (3) f ? 2 A ? ? co s A ?
3 5
? x ?2 ?

T ?

2? 1 2

? 4?

?????????????????2

?
2

?????????????????????????????????5

? ?

x ? ? cos 2 ? 2

?????????????????6


? ? 5 5 ? cos ? B ? ,∴ sin B ? ?????8 ? ? ? sin B ? ? 2 ? 13 13 ?

f

?2B ? ? ? ?

cos

1 2

?2B ? ? ? ?

分 ∵ A , B ? ? 0,
? ?

? ?
? 2 ?
?3? 1? ? ? ?5?
2

∴ s in A ? 10 分

1 ? cos A ?
2

?

4 5

, cos B ?

1 ? s in B ?
2

? 5 ? 1? ? ? ? 13 ?

2

?

12 13

???

∴ f ? 2 C ? ? c o s C ? c o s ?? ? ? A ? B ? ? ? ?

第 8 页 共 12 页

? ? c o s ? A ? B ? ? ? co s A co s B ? sin A sin B

? ?

3 5

?

12 13

?

4 5

?

5 13

? ?

16 65

?????????????????????????

13 分 18. (本小题满分 13 分) 解: (1)依题意 分 (2) x ?
111 ? 120 ? 125 ? 128 ? 132 ? 134 6 ? 125

2 6

?

5?2 z

,∴ z ? 9

?????????????????????3

???????????????5

分 ∴这 6 名考生的语文成绩的方差
s ?
2

1

? ? ? 1 1 1 ? 1 2 5 ? ? ? 1 2 0 ? 1 2 5 ? ? ?1 2 5 ? 1 2 5 ? ? ?1 2 8 ? 1 2 5 ? ? ?1 3 2 ? 1 2 5 ? ? ?1 3 4 ? 1 2 5 ? ? ? 6 ?
2 2 2 2 2 2

?

1

? ?1 4 ? 5 ? 0 ? 3 ? 7 ? 9 ? ? 6 0 ? 6 ?
2 2 2 2 2 2

???????????????????8

分 (3)依题意 11 分 解得 x ? 1 0 0 , y ? 4 1 ?????????????????????????????
19 ? 6 y?9 ? 1 2



35 ? 19 ? 6 x? y?9

?

2 5

???????????????????

13 分 19. (本小题满分 14 分) (1)证:连接 D E ,交 A F 于点 O ???????????????????????1 分 ∵ D1 D ? 平面 A B C D , A F ? 平面 A B C D ∴ D1 D ? A F 分 ∵点 E , F 分别是 BC , D 1 C 的中点,∴ D F ? C E 又∵ A D ? D C , ? A D F ? ? D C E ? 9 0 ? ∴ ? A D F ≌ ? D C E ,∴ ? A F D ? ? D E C D 又∵ ? C D E ? ? D E C ? 9 0 ∴ ? C D E ? ? AFD ? 90? ∴ ? D O F ? 1 8 0 ? ? ? C D E ? ? A F D ? ? 9 0 ,即 A F ? D E
? ?
?

???????????????????????????????3

D1 A1

F O

C E B

A

???????????5

第 9 页 共 12 页

分 又∵ D 1 D ? D E ? D ∴ A F ? 平面 D1 D E 分 又∵ ED1 ? 平面 D1 D E ∴ A F ? E D1 分 (2)解:∵ D1 D ? 平面 A B C D ,∴ D 1 D 是三棱锥 D 1 ? A E F 的高,且 D 1 D ? a ???9 分 ∵点 E , F 分别是 BC , D 1 C 的中点,∴ D F ? C F ? C E ? B E ? ∴ S ?AEF ? S 正 方 形 ABCD ? S ?ADF ? S ?FCE ? S ?ABE
? a ?
2

?????????????????????????????7

???????????????????????????????8

a 2

1 2

? AD ? DF ?
2 2 2

1 2

?CF ?CE ?
2

1 2

? AB ? BE

? a ?
2

a

?

a

?

a

?

3a 8

?????????????????????????

4

8

4

12 分 ∴V E ? AFD ? V D
1 1

? AEF

?

1 3

? S ? A E F ? D1 D ?

1 3a a ? ?a ? 3 8 8

2

3

???????????????????????

14 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)依题意,设圆的方程为 ? x ? a ? ? y ? 1 6 ? a ? 0 ? .
2 2

???????????1

分 ∵圆与 y 轴相切,∴ a ? 4 ∴圆的方程为 ? x ? 4 ? ? y ? 1 6
2 2

???????????????????????4

分 (2)∵椭圆
x
2

?

y b
2

2 2

? 1 的离心率为

4 5

25
c a

∴e ?

?

25 ? b 5

?

4 5

第 10 页 共 12 页

解得 b 2 ? 9 分 ∴c ?

?????????????????????????????????6

a ?b
2

2

? 4

∴ F1 ? ? 4 , 0 ? , F 2 ? 4 , 0 ? , 分 ∴ F 2 ? 4 , 0 ? 恰为圆心 C 分

???????????????????????????7

???????????????????????????8

(i)过 F2 作 x 轴的垂线,交圆 P1 , P2 ,则 ? P1 F 2 F1 ? ? P2 F 2 F1 ? 9 0 ,符合题意; ? ? ? 10 分 (ii)过 F1 可作圆的两条切线,分别与圆相切于点 P3 , P4 , 连接 C P3 , C P4 ,则 ? F1 P3 F 2 ? ? F1 P4 F ? 9 0 ,符合题意. ????????????? 13 分 综上,圆 C 上存在 4 个点 P ,使得 ? P F1 F 2 为直角三角形.????????????? 14 分 21. (本小题满分 14 分)
2 解:(1) f ? ( x )= 3 x + 3 ? a ? 1 ? x ? ? a ? 3 ? x ? 1 ? ? x ? a ? .
?

?

?????????????2

分 令 f ? ( x ) ? 0 得 x1 ? 1, x 2 ? ? a 分 (i)当 ? a ? 1 ,即 a ? ? 1 时, f ? ( x )= 3 ? x ? 1 ? ? 0 , f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 单调递增 ???4
2

?????????????????????????3

分 (ii)当 ? a ? 1 ,即 a ? ? 1 时, 当 x ? x 2 或 x ? x1 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ? ? ? , x 2 ? 和 ? x1 ,? ? ? 内单调递增 当 x 2 ? x ? x1 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ? x 2 , x 1 ? 内单调递减 分 (iii)当 ? a ? 1 ,即 a ? ? 1 时, 当 x ? x1 或 x ? x 2 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ? ? ? , x1 ? 和 ? x 2 ,? ? ? 内单调递增 当 x1 ? x ? x 2 时 f ? ( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ? x 1 , x 2 ? 内单调递减 分
第 11 页 共 12 页

?????????????5

?????????????6

综上, a ? ? 1 时, f ( x ) 在 ? ? ? , x1 ? 和 ? x 2 ,? ? ? 内单调递增, f ( x ) 在 ? x 1 , x 2 ? 内单调递减; 当 当 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 ? ? ? , ? ? ? 单调递增; 当 a ? ? 1 时, f ( x ) 在 ? ? ? , x 2 ? 和 ? x1 ,? ? ? 内单调递增, f ( x ) 在 ? x 2 , x 1 ? 内单调递减. (其中 x1 ? 1, x 2 ? ? a ) 分 (2)当 a ? 3 时, f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 9 x ? 1, x ? [ m , 2 ]
2 f ? ( x ) ? 3 x ? 6 x ? 9 ? 3( x ? 3)( x ? 1)

???????????????????????????7

令 f ? ( x ) ? 0 得 x1 ? 1, x 2 ? ? 3 分

?????????????????????????8

将 x , f ? ( x ) , f ( x ) 变化情况列表如下:
x

( ?? , ? 3 )
?

?3

( ? 3 ,1 )
?

1 0 极小

(1, 2 ]
?

f ?( x )

0 极大

f (x)







??????????????????????????????????????? 10 分 由此表可得
f ( x ) 极 大 ? f ( ? 3) ? 2 8 , f ( x ) 极 小 ? f (1) ? ? 4

?????????????????

11 分 又 f ( 2 ) ? 3 ? 2 8 ??????????????????????????????? 12 分
( ? 故区间 [ m , 2 ] 内必须含有 ? 3 ,即 m 的取值范围是 ? ? , 3] . ???????????

14 分

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