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31届


第 三十一屆全國奧林匹克數學競賽試題 三十一 屆全國奧林匹克數學競賽試題
◎請將答案及過程寫在答案卷上,否則不予計分。

(每題 10 分,共 150 分) 1. 一等差級數前三十項的和為 600,前二十項的和為 100,試求此級數前五 十項的和?

2. 有一個梯形公園(如圖), AB 與 CD 平行,∠A

DC 為直角, AB =21 公尺, AD =17 公尺, CD =24 公尺,文龍由 A 點以每秒 a 公尺的速度沿 AB 向右 移動,小薇由 C 點以文龍的 2 倍的速度沿 CD 向左

A

M

B

D

N

C

移動,兩人同時出發 x 秒後,文龍位在 M 點,小薇位在 N 點,請問: (1)當 AMND 為平行四邊形時,x 為多少?(x 以 a 表示) (2)當 MBCN 為等腰梯形時,x 為多少?(x 以 a 表示)

3. 有規律的數列 An,滿足 A1=0.123456789,且 A n +1=-

1 ,則 A1000=? An + 1

21

B 12 C 12 D

4. 已知∠1=∠2,∠ABC=120 ? , AB =21,

A 33

CB = CD =12, AD =33,求四邊形 ABCD 面積。

















5. 若f (k)表示 k 的整?部分,已知f (1)+f (2)+f (3)+…+f (n)=252,試求n 之值?

6. 阿土伯在開心農場有農田20塊及金幣40000枚,若種植水稻每塊農地每季 可收穫800公斤;若種植小麥每塊農地每季可收穫200公斤,已知水稻成本 每塊農地2400枚金幣,小麥成本每塊農地800枚金幣,水稻每公斤可收穫6 枚金幣,小麥每公斤可收穫10枚金幣,問應如何分配種植面積(取整數), 每季才有最大淨利?最大淨利是多少?

7. 義大利國家足球隊為了衛冕世界杯,教練銀狐里皮特別對 4 個位置 FW、 MF、DF、GK 挑選了 60 位優秀球員進行選拔,已知其中 GK 位置有 3 人, 而位置是 MF 的一半人數恰好是位置 FW 與 DF 人數的和,而位置 DF 的 人數加上 GK 人數剛好與位置 FW 的人數相等,請問位置是 FW、MF、DF 各有多少人?

8. 中華職棒 21 年「從心出發」 ,球迷進場人數成長了 20%,其中男性球迷進 場增加了 10%,女性球迷進場增加了 40%,請問女性球迷佔進場球迷的 幾分之幾?

※背面有題,請翻至背面做答

9. 已知等角六邊形ABCDEF中, AB + BC =28,

A B

F E

FA - CD =8,求 BC + DE 的值。

C

D

10. 已知三角形的兩內角之和為 n°,最大內角比最小內角大 48°,試求 n 值的 範圍。

11. 長方形 ABCD 中,E、F 分別在 BC 、 CD 上, 使面積比△ABE:△ADF:△ECF=1:2:3, 若 AB =3cm, BC =4cm,求 BE =?

12. 若三個質數 p、q、r 滿足 pqr=131(p+q+r),且 p>q>r,求

q+r =? p

13. 如右圖,已知直角三角形 ACE 之兩股長分別為 P、Q, 直角三角形 ACE 內之正方形面積為 529 平方公分, 1 1 則 + =? P Q
C B

A F

D

E

2 ? 1081=0 ? x -ax+ 14. 若 a,b 為整數,且 ? 2 有一個共同質數根,則 a+b=? =0 ? ? x -bx+4301

15. 桌面上由左至右有三張點數都不一樣的撲克牌,且每一張點數都比前一 「我沒辦法判 張大,若撲克牌點數總和為 13,又廷先看了左邊那張後說: 斷另外兩張牌是多少耶」 , 仔仔聽了又廷的話後再看了一下右邊那張後 說: 「我也沒辦法判斷另外兩張牌是多少耶」 ,小天聽了兩人的話後再看了 一下中間的牌後說: 「我也沒辦法判斷左右兩張牌是多少耶」 請根據上面的敘述判斷中間那張撲克牌點數是多少?


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