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湖北省武汉市武昌区2011届高三数学五月调研测试 文


2010学年高三五月调研测试文 湖北省武汉市武昌区 2010-2011 学年高三五月调研测试文 科 数 学 试 卷
本试卷共 150 分,考试用时 120 分钟.? ?★祝考试顺利 ★? 注意事项: 1.本卷 1-10 题为选择题,共 50 分;11-21 题为非选择题,共 100 分,全卷共 4 页,考 试结束,监考人员将试题卷和答题卷一并收回. 2.答题前,考生务必

将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在试题卷和答题卷指 定位置,并将准考证号条形码粘贴在答题卷上的指定位置. 3.选择题的作答:选出答案后,用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.答在试题卷上无效. 4.非选择题的作答:用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔直接答在答题卷上的每题所对应的答 题区域内.答在指定区域外无效.? 小题, 在每小题给出的四个选项中, 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有 选择题: 一项是符合要求的. 一项是符合要求的 1.若集合 A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知 a 、 b 均为单位向量,它们的夹角为 60°,那么| a + 3 b | = ( A. 7 B. 10 C. 13 D.4 )

3.圆 x 2 + y 2 ? 2 x + 6 y + 5a = 0 关于直线 y = x + 2b 成轴对称图形,则 a ? b 的取值范围是 ( ) B. (-∞,) 0 C. ( ?4, +∞ ) D. (4, +∞ )

A. ( ?∞, 4)

4.设数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,关于数列 {a n } 有下列三个命题: ①若数列 {a n } 既是等差数列,又是等比数列,则 a n = a n +1 ; ②若 S n = an + bn(a, b ∈ R ) ,则数列 {a n } 是等差数列;
2

③若 S n = 1 ? (? 1) ,则数列 {a n } 是等比数列.
n

其中真命题的个数是(



A.0 B.1 C.2 D. 3 5.为纪念辛亥革命 100 周年,某电视剧摄制组为制作封面宣传画,将该剧组的 7 位身高各 不相同的主要 演员以伞形(中间高,两边低)排列,则可制作不同的宣传画的种数为( ) A.20 B.40 C.10 D.42 6.把函数 y = sin (ωx + ? ) ( ω > 0 , ? < π )的图象向左平移 的横坐标伸长

π
6

个单位,再将图象上所有点

1

到原来的 2 倍(纵坐标不变)所得图象的解析式是 y = sin x ,则(



A. ω = 2 , ? =

π
6

B. ω =

1 π ,? = 2 6 1 π ,? = ? 2 12

C. ω = 2 , ? = ?

π
3

D. ω =

7.已知函数 f ( x ) = ? A. x | ?1 ≤ x ≤ C. x | x ≤

?? x + 1, ? x ? 1,
2 ?1

x < 0, x ≥ 0,

则不等式 x + ( x + 1) f ( x + 1) ≤ 1 的解集是(



{

}

B. {x | x ≤ 1} D. x | ? 2 ? 1 ≤ x ≤

{

2 ?1

}

{

2 ?1

}

8.给出下列命题: ①直线 a 与平面 α 不平行,则 a 与平面 α 内的所有直线都不平行; ②直线 a 与平面 α 不垂直,则 a 与平面 α 内的所有直线都不垂直; ③异面直线 a , b 不垂直,则过 a 的任何平面与 b 都不垂直; ④若直线 a 和 b 共面,直线 b 和 c 共面,则 a 和 c 共面. 其中错误命题的个数为( ) .. A.0 9.已知双曲线 B. 1 C.2 D.3

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0 ) 的右焦点为 F ,若过点 F 且倾斜角为 60 的直线 a 2 b2
) B. (1,2 ) C. [2,+∞ ) D. (2,+∞ )

与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是( A. (1,2]

10.已知 f ( x ) 是定义域为 R 的奇函数, f ( ?4) = ?1 , f ( x ) 的导函数 f ' ( x ) 的图 象如图所示.若两正数 a, b 满 足 f ( a + 2b) < 1 ,则 A. ( ,2)

y

f ' ( x)

a+2 的取值范围是( b+2
D. ( ?∞,?1)

)

x O

1 3

B. ( ,3)

1 2

C. (?1,0)

小题, 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 请将答案填在答题卡对应题号的位 填空题: 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 填错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写 填错位置,书写不清,模棱两可均不得分 11.如果 1 + x 2 ) n + 1 + x ) 2 n n ∈ N ? 的展开式中 x 项的系数与 x 项的系数之和为 40,则
2

(

(

(

)

. 12.分别从写有数字 1,2,3,4 的四张卡片中随机取出两张,则取出的两张卡片上的数字 之和为奇数的概率是 . 13 . 已 知 三 棱 锥 O ? ABC , ∠BOC = 90° , OA ⊥ 平 面 BOC , 其 中

n 的值等于

OA = 1, OB = 2, OC = 3 , O, A, B, C 四点均在球 S 的表面上,则球 S 的表面积为
2

____________ .
14.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,下图(1)(2)(3)(4)为她们刺绣最简单的四 、 、 、 个图案,这些图案都是由小正方形构成,小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律 刺 绣 ( 小 正 方 形 的 摆 放 规 律 相 同 ) , 设 第 n 个 图 形 包 含 f (n ) 个 小 正 方 形 , 则

f (6) =



(1 )

(2)

(3)

( 4)

15.如图是某汽车维修公司的维修点环形分布图.公司在年初分配给 A、B、C、D 四 个维修点某种配件各 50 件.在使用前发现需将 A、B、C、D 四个维修点的这批配 件分别调整为 40、45、54、61 件,但调整只能在相邻维修点之间进行.那么要完 成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件 . 次为 n)为 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 解答题: 小题, 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16.(本小题满分 12 分) . 本小题满分 如图,设 A 是单位圆和 x 轴正半轴的交点, P、Q 是单位圆上的两点, O 是坐标原点,

∠AOP =

π
6

, ∠AOQ = α , α ∈ [0, π ) .

y Q P x O A

3 4 π? ? (Ⅰ)若 Q ( , ) ,求 cos? α ? ? 的值; 5 5 6? ?
(Ⅱ)设函数 f (α ) = OP ? OQ ,求 f (α ) 的值域.

⒘ (本小题满分 12 分) 本小题满分 为了构建和谐社会建立幸福指标体系,某地决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自 由职业者三个群体的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位: 人) . (Ⅰ)求研究小组的总人数;
3

(Ⅱ)若从研究小组的公务员和教师中随机选 2 人撰写研究报告,求其中恰好有 1 人来 自公务员的概率.

公务员 教师 自由职业者

相关人员 抽取人数 数 x 32 y 48 64 4

18.(本小题满分 12 分) . 本小题满分 如图(1)是一正方体的表面展开图, MN 和 PB 是两条面对角线,请在图(2)的正 方体中将 MN 和 PB 画出来,并就这个正方体解决下面问题. (Ⅰ)求证: MN // 平面 PBD ; (Ⅱ)求证: AQ ⊥平面 PBD ; (Ⅲ)求二面角 P ? DB ? M 的大小.
Q N D C M P A A B 图(1) 图(2) D C Q

19. (本小题满分 12 分) 本小题满分 随着国家政策对节能环保型小排量车的调整,两款 1.1 升排量的 Q 型车、R 型车的销量 引起市场的关注.已知 2011 年 1 月 Q 型车的销量为 a 辆,通过分析预测,若以 2011 年 1 月为第 1 月,其后两年内 Q 型车每月的销量都将以 1%的增长率增长,而 R 型车前 n 个 月的销售总量 Tn 满足关系式:

Tn = 228a 1.012 n ? 1 n ≤ 24, n ∈ N ? .
(Ⅰ)求 Q 型车前 n 个月的销售总量 S n 的表达式; (Ⅱ)比较两款车前 n 个月的销售总量 S n 与 Tn 的大小关系;

(

)(

)

20.(本小题满分 13 分) 本小题满分 如图,已知 E 、 F 为平面上的两个定点 | EF |= 6 , | FG |= 10 ,且 2 EH = EG ,

HP ? GE = 0 ( G 为动点, P 是 HP 和 GF 的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点 P 的轨迹方程;
4

(Ⅱ)若点 P 的轨迹上存在两个不同的点 A 、 B ,且线段 AB 的中垂线与直线 EF 相交 于一点 C ,证明 | OC | <

9 ( O 为 EF 的中点) . 5

G

P H

E 21.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 设函数 f n ( x ) = 1 ? x +

F

x2 x3 x 2 n ?1 ? +?? n ∈ N? . 2 3 2n ? 1

(

)

(Ⅰ)研究函数 f 2 ( x) 的单调性; (Ⅱ)判断 f n ( x) = 0 的实数解的个数,并加以证明.

5

2010湖北省武汉市武昌区 2010-2011 学年高三五月调研测试

文科数学试题参考答案及评分细则 科数学试题
一、选择题 1.A 2.C 二、填空题 11. 4 12. 3.A 4.D 5.A 6.C 7.C 8.D 9.C 10.B

2 3

13. 14π

14. 61

15. 16

三、解答题 16.(本小题满分 12 分) . 本小题满分 (Ⅰ)由已知可得 cos α = 解:

3 4 , sin α = , 5 5

π? π π 3 3+4 ? ∴ cos? α ? ? = cos α cos + sin α sin = . …………………………(6 分) 6? 6 6 10 ?
(Ⅱ) f (α ) = OP ? OQ

π π? ? = ? cos , sin ? ? ( cos α , sin α ) 6 6? ?

=

3 1 π? ? cos α + sin α = sin ? α + ? . 2 2 3? ?

∵ α ∈ [0, π ) ∴α +

π

π 4π 3 π? ? ∈[ , ) , ? < sin ? α + ? ≤ 1 . 3 3 3 2 3? ?

? 3 ? ∴ f (α ) 的值域是 ? ? ? 2 ,1? ………………………………………………(12 分) ? ?
⒘ (本小题满分 12 分) 本小题满分 (Ⅰ)依题意 解:

64 48 32 = = .解得 y = 3 , x = 2 . y x 4

研究小组的总人数为 2 + 3 + 4 = 9 (人).………………………………(4 分) (Ⅱ)设研究小组中公务员为 a1 , a 2 ,教师为 b1 , b2 , b3 ,从中随机选 2 人,不同的选 取结果有:

a1 a 2 , a1 b1 , a1 b2 , a1 b3 , a 2 b1 , a 2 b2 , a 2 b3 , b1 b2 , b1 b3 , b2 b3 共 10 种.
其中恰好有 1 人来自公务员的结果有: a1 b1 , a1 b2 , a1 b3 , a 2 b1 , a 2 b2 , a 2 b3 ,共 6 种.

6 3 3 所以恰好有 1 人来自公务员的概率为 P = = (或 P = C 2 C 3 = )…………………… . 2 10 5 5 C
5

1

1

(12 分)
6

18.(本小题满分 12 分) . 本小题满分 解:MN、PB 的位置如右图示. ……………………………………………………(2 分) (Ⅰ)∵ND//MB 且 ND=MB,∴四边形 NDBM 为平行四边形. ∴MN//DB. ∵BD ? 平面 PBD,MN ? 平面 PBD ,∴MN//平面 PBD. …………………………(5 分) (Ⅱ)∵QC⊥平面 ABCD,BD ? 平面 ABCD,∴BD⊥QC. 又∵BD⊥AC,∴BD⊥平面 AQC. ∵AQ ? 面 AQC,∴AQ⊥BD. 同理可得 AQ⊥PB. ∵BD ∩ PD=B,∴AQ⊥面 PDB. …………………………(8 分) (Ⅲ)解法 1:分别取 DB、MN 中点 E、F,连结 PE、EF、PF. 解法 : ∵在正方体中,PB=PD,∴PE⊥DB. ∵四边形 NDBM 为矩形,∴EF⊥DB. ∴∠PEF 为二面角 P—DB—M 为平面角. ∵EF⊥平面 PMN,∴EF⊥PF. 设正方体的棱长为 a,则在直角三角形 EFP 中, ∵ EF = a, PF =

2 PF 2 . a ,∴ tan ∠PEF = = 2 EF 2 2 .…………………………(12 分) 2

∴ ∠PEF = arctan

解法 2:设正方体的棱长为 a,以 D 为坐标原点建立空间直角坐标系如图. : 则点 A(a,0,0) ,P(a,0,a) ,Q(0,a,a). ∴ PQ = (?a, a,0), AQ = (?a, a, a) . ∵PQ⊥面 DBM,由(2)知 AQ⊥面 PDB. ∴ AQ, PQ 分别为平面 PDB、平面 DBM 的法向量. ∴ cos < AQ, PQ >=

AQ ? PQ | AQ | ? | PQ |

=

2a 2 2a ? 3a

=

6 . 3

∴ tan < AQ , PQ >=

2 2 .…………………………(12 分) , < AQ, PQ >= arctan 2 2

19. (本小题满分 12 分) 本小题满分 解:(Ⅰ)Q 型车每月的销售量{an}是以首项 a1 = a,公比 q = 1+1%= 1.01 的等比数列. 前 n 个月的销售总量 Sn= a(1.01n-1) =100a(1.01n-1),n∈N*,且 n≤24. …………………(4 1.01-1

分) (Ⅱ) ∵Sn-Tn=100a(1.01n-1)-228a(1.012n-1) =100a(1.01n-1)-228a(1.01n-1)(1.01n+1)

7

=-228a(1.01n-1)·(1.01n+ 又 1.01n-1>0,1.01n+

32 ). 57

32 >0, 57

∴Sn<Tn. ……………………………………………………(12 分) 20.(本小题满分 13 分) 本小题满分 (Ⅰ)以 EF 所在的直线为 x 轴, EF 的中垂线为 y 轴,建立平面直角坐标系. 解: 由题设 2 EH = EG , HP ? EG = 0 , ∴ | PG |=| PE | ,而 | PF | + | PE |=| PG |= 2a . ∴点 P 是以 E 、 F 为焦点、长轴长为 10 的椭圆. 故点 P 的轨迹方程是

x2 y2 + = 1 .…………………………………(4 分) 25 16

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) , C ( x 0 ,0) . ∴ x1 ≠ x 2 ,且 | CA |=| CB | ,即 ( x1 ? x 0 ) + y1 = ( x 2 ? x 0 ) + y 2 .
2 2 2 2

x y x y 又 A 、 B 在轨迹上,∴ 1 + 1 = 1 , 2 + 2 = 1 . 25 16 25 16
即 y1 = 16 ?
2

2

2

2

2

16 2 16 2 2 x1 , y 2 = 16 ? x2 . 25 25 9 2 2 ( x 2 ? x1 ) . 25 9( x1 + x 2 ) . 50

代入整理,得

2( x 2 ? x1 ) ? x0 =

∵ x1 ≠ x 2 ,∴ x 0 =

∵ ? 5 ≤ x1 ≤ 5 , ? 5 ≤ x 2 ≤ 5 ,∴ ? 10 ≤ x1 + x 2 ≤ 10 . ∵ x1 ≠ x 2 ,∴ ? 10 < x1 + x 2 < 10 . ∴?

9 9 9 < x0 < ,即 | OC | < .………………………………………………(13 分) 5 5 5
x 2 x3 ′ 1 3 ? , f 2 ( x) = ?1 + x ? x 2 = ?( x ? ) 2 ? < 0 , 2 3 2 4

21.(本小题满分 14 分) . 本小题满分 (Ⅰ) f 2 ( x) = 1 ? x + 解:

所以 f 2 ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 单调递减. ………………………………………(4 分) (Ⅱ)

f1 ( x) = 1 ? x 有唯一实数解 x = 1 .…………………………………(6 分)
8

当 n ≥ 2 时,由 f n ( x ) = 1 ? x +

x2 x3 x 2 n ?1 ? + ??? ? , n ∈ N ? ,得 2 3 2n ? 1

f n ′ ( x ) = ?1 + x ? x 2 + ? ? ? + x 2 n ? 3 ? x 2 n ? 2 .
(1)若 x = ?1 ,则 f n′ ( x ) = f n′ (?1) = ?(2n ? 1) < 0 . (2) 若 x = 0 ,则 f n′ ( x) = ?1 < 0 . (3) 若 x ≠ ?1 且 x ≠ 0 时,则 f n′ ( x) = ?

x 2 n ?1 + 1 . x +1

① 当 x < ?1 时, x + 1 < 0, x 2 n ?1 + 1 < 0, f n′ ( x ) < 0 . ② 当 x > ?1 时, x + 1 > 0, x 2 n ?1 + 1 > 0, f n′ ( x) < 0 . 综合(1),(2), (3) ,得 f n′ ( x ) < 0 ,即 f n ( x) 在 ( ?∞, +∞ ) 单调递减. 又 f n (0) = 1 >0,

f n (2) = (1 ? 2) + (

22 23 2 4 25 2 2 n ?2 2 2 n ?1 ? ) + ( ? ) + ??? + ( ? ) 2 3 4 5 2n ? 2 2 n ? 1

1 2 1 2 1 2 = ?1 + ( ? ) 2 2 + ( ? ) 2 4 + ? ? ? + ( ? )2 2 n?2 2 3 4 5 2n ? 2 2n ? 1 = ?1 ? 1 2 3 4 2n ? 3 2 ? 2 ? ??? ? 2 2 n?2 < 0 , 2?3 4?5 (2n ? 2)(2n ? 1)

所以 f n ( x ) 在 (0, 2) 有唯一实数解,从而 f n ( x ) 在 ( ?∞, +∞ ) 有唯一实数解. 综上, f n ( x ) = 0 有唯一实数解. ………………………………………………………(14 分)

9


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