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四川省资阳市2013届高三第二次高考模拟考试数学(文)试题 (2013资阳二模)


资阳市 2012—2013 学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数 学(文史财经类)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 4 页.全卷共 150 分,考试时间为 120 分钟.

第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
参考公式: 球的表面积公式 S ? 4? R2 (

其中 R 表示球的半径) , 4 3 球的体积公式 V ? ? R (其中 R 表示球的半径) . 3 一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目的要求的. 1.已知全集 U={1,2,3,4,5},A={1,3},B={3,5},则 ? U ( A ? B) ? (A){1,2,4,5} (B){1,5} (C){2,4} (D){2,5} 2.函数 f ( x ) ? x 2 ? 1 的图象大致是
1

3.下列命题为真命题的是 (A)若 p ? q 为真命题,则 p ? q 为真命题 (B)“ x ? 5 ”是“ x2 ? 4x ? 5 ? 0 ”的充分不必要条件 (C)命题“若 x ? ?1 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ”的否命题为:“若 x ? ?1 ,则 x2 ? 2x ? 3 ? 0 ” (D)命题 p: ?x ?R , x2 ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p : ?x ?R , x2 ? x ? 1 ? 0 4.已知直线 l,m 和平面 α, 则下列命题正确的是 (A)若 l∥m,m ? α,则 l∥α (B)若 l∥α,m ? α,则 l∥m (C)若 l⊥α,m ? α,则 l⊥m (D)若 l⊥m,l⊥α,则 m∥α 2 5.以抛物线 y ? 4 x 的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程是 (A) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 (C) ( x ? 2)2 ? y 2 ? 2
2 ? 1 6.式子 log 2 (log 2 16) ? 8 3 ? ( )?5 ? 2 (A)4 (B)6

(B) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 (D) ( x ? 1)2 ? y 2 ? 2

(C)8

(D)10

? x ? 0, ? 7. 实数 x,y 满足不等式组 ? y ? 0, 则 x ? y 的最大值为 ? 2 x ? y ? 2, ?

-1-

(A)2

(B)1

(C)

1 2

(D)0

8.下列不等式成立的是 (A) sin(? (B) sin
3? ? ) ? sin(? ) 10 5 ? sin

?

?

18 10 9? ? (C) tan( ) ? tan( ) 8 6 7? 23? (D) cos(? ) ? cos(? ) 4 5 9.执行右图所示的程序框图(其中 [ x] 表示不超过 x 的最大整

数) ,则输出的 S 值为 (A)4 (C)7 (B)5 (D)9

?4 ? | 8 x ? 12 |, 1 ? x ? 2, ? 10.已知定义在 [1, ??) 上的函数 f ( x) ? ? 1 x 则 ? 2 f ( 2 ), x ? 2, ?

(A)函数 f ( x) 的值域为 [1,4] (B)关于 x 的方程 f ( x) ?
1 ? 0 ( n ? N* )有 2n+4 个不相等的实数根 2n

(C)当 x ? [2, 4] 时,函数 f ( x) 的图象与 x 轴围成的面积为 2 (D)存在实数 x0 ,使得不等式 x0 f ( x0 ) ? 6 成立

-2-

第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分)
注意事项: 1.第Ⅱ卷共 2 页,请用 0.5mm 的黑色墨水签字笔在答题卡上作答,不能直接答在此试题 卷上. 2.答卷前将答题卡密封线内的项目填写清楚. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案直接填在题目中的横线 上. 11.已知 i 是虚数单位,x,y∈R,若 x ? 3i ? (8 x ? y)i ,则 x ? y ? ________.
y 2 x2 ? ? 1 上一点 P 到它的一个焦点的距离等 64 16 于 1,那么点 P 到另一个焦点的距离等于 . 13. 已知右图是一个空间几何体的三视图, 则该几何体的 表面积为 . 14.观察以下各等式: 3 sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ? , 4 3 2 ? 2 ? ? ? sin 20 ? cos 50 ? sin 20 cos50 ? , 4 3 sin 2 15? ? cos2 45? ? sin15? cos 45? ? . 4 试写出能反映上述各等式一般规律的一个等式 . 15.如图,A、B 分别是射线 OM、ON 上的点,给出下列以 O ??? ? ??? ? ? ? ? ? 1 ??? 1 ??? 3 ??? 1 ??? 为起点的向量:① OA ? 2OB ;② OA ? OB ;③ OA ? OB ; 2 3 4 3 ? ? ? ? ? 3 ??? 1 ??? 3 ??? ??? 2 ??? ④ OA ? OB ;⑤ OA ? BA ? OB .其中终点落在阴影区域内的 4 5 4 3 向量的序号是_____________(写出满足条件的所有向量的序号) . 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分)在锐角三角形 ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且

12. 双曲线

3a ? 2c sin A ? 0 . (Ⅰ)求角 C 的大小;

(Ⅱ)若 c ? 7 ,且△ABC 的面积为

3 3 ,求 a+b 的值. 2

17. (本小题满分 12 分)某部门对当地城乡居民 幸福指数评分值 进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷调査,根 [50,60] 据每份调查表得到每个调查对象的幸福指数评分值 (60,70] (百分制) 现从收到的调查表中随机抽取 20 份进行 . (70,80] 统计,得到右图所示的频率分布表: (80,90] (Ⅰ)请完成题目中的频率分布表,并补全题目 (90,100] 中的频率分布直方图; (Ⅱ)该部门将邀请被问卷调查的部分居民参加 “幸 福愿景”的座谈会.在题中抽样统计的这 20 人中,已知幸 福指数评分值在区间(80,100]的 5 人中有 2 人被邀请参 加座谈,求其中幸福指数评分值在区间(80,90]的仅有 1 人被邀请的概率.

频数 1 6 3 2

频率

-3-

18. (本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,∠BAC=90?, AA1 ? 平面 ABC, D、E 分别为 A1 B1 、 AA1 的中点,点 F 在棱 AB 上,且 AF ? (Ⅰ)求证:EF∥平面 BDC1 ; (Ⅱ)在棱 AC 上是否存在一个点 G,使得平面 EFG 将三棱柱 分割成的两部分体积之比为 1:31,若存在,指出点 G 的位置;若不 存在,请说明理由.
1 AB . 4

19. (本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n , a1 ? 2 , 2an?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ( n ? N* ) . (Ⅰ)求证:数列 {an ? 1} 是等比数列,并求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? ? an ? ? ? n2 ,若 b2n ?1 ? b2n 恒成立,求实数 λ 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分)已知椭圆 C:

6 3 x2 y 2 , ) 两点. ? 2 ? 1 ( a ? b ? 0 )经过 (1,1) 与 ( 2 2 2 a b

(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上 1 1 2 一点 M 满足 | MA |?| MB | .求证: 为定值. ? ? 2 2 | OA | | OB | | OM |2

21. (本小题满分 14 分)设函数 f ( x) ? x3 ? x 2 ? 3 . (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? m 在 [?1, 2] 上有三个零点,求实数 m 的取值范围; a 1 (Ⅲ)设函数 g ( x) ? ? x ln x ,如果对任意的 x1 , x2 ? [ , 2] ,都有 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,求 x 2 实数 a 的取值范围.

-4-

资阳市 2012—2013 学年度高中三年级第二次高考模拟考试

数学(文史财经类)参考答案及评分意见
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分. 1-5. CABCB;6-10.DADCC. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.
3 11.3; 12.17; 13. 24 ? 12? ;14. sin 2 ? ? cos2 (? ? 30? ) ? sin ? cos(? ? 30? ) ? ; 4

15.①③. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 75 分.解答要写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解析 (Ⅰ)由 3a ? 2c sin A ? 0 及正弦定理, 得 3 sin A ? 2sin C sin A ? 0 ( sin A ? 0 ) , ∴ sin C ? ∴C ?
3 ,∵△ABC 是锐角三角形, 2

?
3

.·······································6 分 ··········· ·········· ··········· ······· ·········· ··········· ··········· ······
1 ? 3 3 ,∴△ABC 的面积 S?ABC ? ab sin ? , 2 3 2 3 ①································· 分 ··········· ·········· ··········· 8 ·········· ··········· ···········

(Ⅱ)∵ c ? 7 , C ? ∴ ab ? 6 .

?

由余弦定理, a 2 ? b2 ? 2ab cos

?
3

? 7,

即 a2 ? b2 ? ab ? 7 .② ································· 分 ································ 10 ·········· ··········· ··········· 由①× 3+②,得 (a ? b) 2 ? 25 ,故 a ? b ? 5 . ····················· 分 ···················· 12 ·········· ·········· 17.解析(Ⅰ)频率分布表: 幸福指数评分值 频数 频率 1 0.05 [50,60] 6 0.30 (60,70] 8 0.40 (70,80] 3 0.15 (80,90] 2 0.10 (90,100] ·············································3 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·········· ·· 频率分布直方图:

-5-

·············································3 分 ··········· ·········· ··········· ··········· ·· ·········· ··········· ··········· ·········· ·· (Ⅱ)记幸福指数评分值在(80,90]的 3 人分别是 A1,A2,A3, (90,100]的 2 人分别是 B1,B2,则全部基本事件有(A1,B1)(A1,B2)(A2,B1)(A2,B2) 3,B1)(A3,B2) , , , (A , , (A1,A2)(A1,A3)(A2,A3)(B1,B2)共 10 个, , , , 其中幸福指数评分值在(80,90]区间有 1 人被邀请的基本事件有 6 个. 6 3 故幸福指数评分值在(80,90]区间仅有 1 人被邀请的概率 P ? ? . ······· 分 ······ 12 ······ 10 5 1 18. (Ⅰ)证明:取 AB 的中点 M,? AF ? AB , 4 ?F 为 AM 的中点,又? E 为 AA1 的中点,∴ EF // A1M , 在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, D, M 分别为 A1 B1 , AB 的中点,
? A1 D // BM ,且 A1 D ? BM ,

则四边形 A1DBM 为平行四边形,? A1M // BD ,

? EF // BD ,又? BD ? 平面 BC1 D , EF ? 平面 BC1 D ,
··········· ·········· ··········· · 6 ·········· ··········· ··········· · ? EF // 平面 BC1 D . ·································· 分 (Ⅱ)设 AC 上存在一点 G ,使得平面 EFG 将三棱柱分割成两部分的体积之比为 1︰31, 则 VE ? AFG : VABC ? A1B1C1 ? 1: 32 . 1 1 ? AF ? AG ? AE VE ? AFG ? ?3 2 1 VABC ? A1B1C1 AB ? AC ? A1 A 2 1 1 1 AG 1 AG , ? ? ? ? ? ? 3 4 2 AC 24 AC 1 AG 1 AG 3 ··········· ·· ·········· ··· ? ? ? ,即 ? ,所以符合要求的点 G 存在. ············· 12 分 24 AC 32 AC 4 19.解析 (Ⅰ)由 2an?1 ? 3Sn ? 3n ? 4 ,得 2an ? 3Sn?1 ? 3n ? 1 ( n ? 2 ) , 两式相减得 2an?1 ? 2an ? 3(Sn ? Sn?1 ) ? 3 ,即 2an?1 ? an ? 3 , ············· 分 ··········· · 2 ·········· ·· 1 3 1 ∴ an ?1 ? ? an ? ,则 an?1 ? 1 ? ? (an ? 1) ( n ? 2 ) ················ 分 , ··········· ···· 4 ·········· ····· 2 2 2 1 ?1 a2 ? 1 2 1 1 由 a1 ? 2 ,又 2a2 ? 3S1 ? 7 ,得 a2 ? ,则 ? ?? , 2 a1 ? 1 2 ? 1 2 1 故数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 1 为首项, ? 为公比的等比数列. 2 1 n ?1 1 n ?1 1 则 an ? 1 ? (a1 ? 1) ? (? ) ? (? ) ,∴ an ? (? )n ?1 ? 1 , ··············6 分 ··········· ··· ·········· ··· 2 2 2

-6-

1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得, bn ? ?[(? )n?1 ? 1] ? ? ? n2 ? ? (? )n?1 ? n2 , 2 2 1 2n?2 1 2n?1 由题意得 b2n ?1 ? b2n ,则有 ? (? ) ? (2n ? 1)2 ? ? (? ) ? (2n)2 , 2 2 (4n ? 1) ? 4n 1 1 即 ? (? )2n ?2 [1 ? (? )] ? (2n ? 1)2 ? (2n)2 ,∴ ? ? ? ,···········10 分 ··········· ·········· 6 2 2 (4n ? 1) ? 4n (4n ? 1) ? 4n (4 ? 1) ? 4 而? 对于 n ? N* 时单调递减,则 ? 的最大值为 ? ? ?2 , 6 6 6 故 ? ? ?2 . ······································· 分 ······································ 12 ·········· ··········· ··········· ······

20.解析(Ⅰ)将 (1,1) 与 (

6 3 , ) 代入椭圆 C 的方程, 2 2

1 ?1 ? a 2 ? b 2 ? 1, 3 ? 得? 解得 a 2 ? 3 , b2 ? . 2 ? 3 ? 3 ? 1, ? 2a 2 4b 2 ?

x2 2 y 2 ··········· ·········· ····· 6 ·········· ··········· ····· ? ? 1 . ··········· ··········· ····· 分 3 3 (Ⅱ)由 | MA | ? MB | ,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原 |

∴椭圆 C 的方程为

点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 1 1 2 1 1 2 1 1 ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ? 2( 2 ? 2 ) ? 2 . 2 2 2 | OA | | OB | | OM | b b a a b 同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 1 1 2 1 1 2 1 1 ? ? ? ? ? ? 2( 2 ? 2 ) ? 2 . | OA |2 | OB |2 | OM |2 a 2 a 2 b2 a b ②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y ? kx ( k ? 0 ) ,
1 则直线 OM 的方程为 y ? ? x ,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , k
? y ? kx, 3k 2 3 ? 由 ? x2 2 y 2 解得 x12 ? , y12 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ? 1, ? ? 3 ?3

3(1 ? k 2 ) 3(1 ? k 2 ) ,同理 | OM |2 ? , 1 ? 2k 2 2 ? k2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 2(2 ? k 2 ) 1 1 2 所以 ? ? ? ? ? ? 2, 2 2 2 2 2 3(1 ? k ) 3(1 ? k ) 3(1 ? k 2 ) | OA | | OB | | OM | 1 1 2 ? ? 故 为定值 2 . ························13 分 ··········· ·········· ··· ·········· ··········· ·· 2 2 | OA | | OB | | OM |2

∴ | OA |2 ?| OB |2 ? x12 ? y12 ?

21.解析 (Ⅰ) f ?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? x(3x ? 2) , 2 2 由 f ?( x) ? 0 时,解得 x ? 0 或 x ? ;由 f ?( x) ? 0 时,解得 0 ? x ? . 3 3 2 2 故函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) , ( , ??) ;单调递减区间是 (0, ) . ····4 分 ···· ··· 3 3 (Ⅱ)令 h( x) ? f ( x) ? m ,则 h( x) ? x3 ? x2 ? 3 ? m ,∴ h?( x) ? 3x 2 ? 2 x ? x(3x ? 2) ,

-7-

2 2 由(Ⅰ)知,当函数 h( x) 在 (??,0) 上单调递增,在 (0, ) 上单调递减,在 ( , ??) 上单调 3 3 递增. 2 2 85 函数 h( x) 在 x ? 0 处取得极大值 h(0) ? ?3 ? m ,在 x ? 处取得极小值 h( ) ? ? ? m , 3 27 3 由函数 y ? f ( x) ? m 在 [?1, 2] 上有三个零点,则有:
?h(?1) ? 0, ??5 ? m ? 0, ?h(0) ? 0, ??3 ? m ? 0, ? ? 85 ? ? 即 ? 85 解得 ? ? m ? ?3 , ? 2 27 ?h( 3 ) ? 0, ?? 27 ? m ? 0, ? ? ?h(2) ? 0, ?1 ? m ? 0, ? ?

85 ··········· ·········· ···· 9 ·········· ··········· ···· , ?3) .·························· 分 27 1 2 2 (Ⅲ)由(Ⅰ)知,函数 f ( x) 在 ( , ) 上单调递减,在 ( , 2) 上单调递增, 2 3 3 1 25 而 f ( ) ? ? , f (2) ? 1 , 2 8 1 故函数 f ( x) 在区间 [ , 2] 上的最大值 f ( x)max ? f (2) ? 1 . 2 1 a ∴只需当 x ? [ , 2] 时, g ( x) ? ? x ln x ? 1 恒成立即可,即等价于 a ? x ? x2 ln x 恒成立,所 2 x 2 以,记 u ( x) ? x ? x ln x ,所以 a ? u( x)max , u?( x) ? 1 ? x ? 2x ln x ,可知 u ?(1) ? 0 , 1 1 当 x ? ( ,1) 时, 1 ? x ? 0 , 2x ln x ? 0 ,则 u ?( x) ? 0 ,∴ u( x) 在 ( ,1) 上单调递增; 2 2 当 x ? (1, 2) 时, 1 ? x ? 0 , 2x ln x ? 0 ,则 u ?( x) ? 0 ,∴ u( x) 在 (1, 2) 上单调递减; 1 故当 x ? 1 时,函数 u( x) 在区间 [ ,1] 上取得最大值 h(1) ? 1 , 2 所以 a ? 1 ,故实数 a 的取值范围是 [1, ??) . ····················· 分 ···················· 14 ·········· ··········

故实数 a 的取值范围是 (?

-8-


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