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可---几何概型(1)


几何概型

1.古典概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事 件只有有限个。

(2)每个基本事件出现的可能性相等.

2.古典概型概率计算公式: A包含基本事件的个数 P(A)= 基本事件的总数

问题情境1
1.取一根长度为3m的绳子,拉直后在任意位置剪 断,那么剪得

两段的长度都不小于1m的概率有多 大?

基本事件: 从3m的绳子上的任意一点剪断. 每个基本事件发生都是等可能的吗?

思考:这个问题能否用古典概型的方法来 求解吗?

对于问题2.
记“剪得两段绳长都不小于1m”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段 上时,事件A发生.由于中间一段的长度等于绳 长的1/3.
3m

1 事件A发生的概率P(A) ? 3

问题2取一根长度为30cm的绳子,拉直后在任意 位置剪断,那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大?
基本事件:

从30cm的绳子上的任意一点剪断.

记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时,事件A 发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.

1 事件A发生的概率P( A)? 3

问题情境
3.射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环.从外 向内为白色、黑色、蓝色、红色,靶心是金色, 金色靶心叫“黄心”.奥运会的比赛靶面直径为 122cm,靶心直径为12.2cm.运动员在70m外射箭, 假设每箭都能中靶,且射中靶面内任一点都是等 可能的,那么射中黄心的概率是多少?
基本事件: 射中靶面直径为122cm的 大圆内的任意一点. 每个基本事件发生都是等可能的吗?

思考:这个问题能否用古典概型的方法来 怎么办呢? 求解吗?

对于问题3.
记“射中黄心”为事件B,由于中靶点随机地 2 ?? ?122 cm2 落在面积为 1 的大圆内 , 而当中靶点 4 1 cm 落在面积为 4 ? ? ?12.2 的黄心内时 ,事件B发生.
2 2

1 ?π? 12.22 事件B发生的概率P(B) ? 4 ? 0.01 1 ?π? 1222 4

问题情境2 2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆,随机 向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆内的 概率.
2a

数学应用

例1.取一个边长为2a的正方形及其内切圆, 随机向正方形内丢一粒豆子,求豆子落入圆 内的概率.
2a

解 : 记“豆子落在圆内”为 事件A,
圆的面积 πa 2 π P(A)? ? ? 2 正方形面积 4a 4 π 答 豆子落入圆内的概率为 . 4

问题情境3 3.有一杯1升的水, 其中含有1个细
菌, 用一个小杯从这杯水中取出0.1升,

求小杯水中含有这个细菌的概率.

解析:记“小杯水中含有这个细菌” 为事件A, 事件A发生的概率

取出水的体积 0.1 P ( A) ? ? ? 0.1. 杯中所有水的体积 1

构建几何概型
? 问题猜想: ? (1)以上三个试验有什么共同特点?

? (2)三个试验的概率是如何求得?

1.几何概型的定义:
如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的

概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.

2.几何概型的特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 有无限多个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.

3.几何概型中事件A的概率公式:
构成事件A的区域长度 (面积或体积) P ( A) ? 试验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积)

4.古典概型与几何概型的区别:
古典概型 几何概型 无限多个 相等
构成事件A的区域长度 (面积或体积) 试验的全部结果所构成的 区域长度(面积或体积)

基本事件 的个数 基本事件 的可能性
概率公式 P(A)=

有限个 相等
A包含基本事件的个数
基本事件的总数

下列概率问题中哪些属于几何概型?

⑴从一批产品中抽取30件进行检查,
有5件次品,求正品的概率。

⑵箭靶的直径为1m,靶心的直径为12cm,

任意向靶射箭,射中靶心的概率为多少?

⑶随机地投掷硬币50次,统计硬币正面朝
上的概率。 ⑷甲、乙两人约定在6时到7时之间在某处

会面,并约定先到者应等候另一人一刻钟,过
时才可离去,求两人能会面的概率

? 例1.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄
灯的时间为5秒,绿灯的时间为40秒,当某人到达 路口时看见的是红灯的概率是( )

?
? ?

A.

B.

C.

D.

解析:以时间的长短进行度量,故P= 答案:B

? 2 .有一段长为 10 米的木棍,现要截成两段,则每 段不小于3米的概率为________.

?

解析: 记 “ 截得两段都不小于 3 米 ” 为事件 A , 从木棍的两端各度量出 3 米,这样中间就有 10 - 3
- 3 = 4( 米 ) .在中间的 4 米长的木棍处截都能满足 条件,所以

?

P(A)=

=0.4

? 3.(2010湖南文数)在区间[-1,2]上随即取一个 数x,则x∈[0,1]的概率为 ? 。

?

1 答案: 3

辨一辨
先判断是何种概率模型,再求相应概率.

(1)在集合A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一 个元素a,则P(a≥3)= . (2)已知点0(0,0)、M(60,0),在线段OM上任取 一点P,则P(|PM|≤10)= .
(1)古典概率模型,P(a≥3)=7/10 (2)几何概率模型,P(|PM|≤10)=1/6

练一练
则这个实数a>7的概率为
若满足2≤a≤5呢?

与长度成比例

(1)在区间(0,10)内的所有实数中随机取一个实数a,

0.3 .

(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏 与面积成比例

着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
0.004 与体积成比例

(3) 在1000mL的水中有一个草履虫,现从中任取出 2mL水样放到显微镜下观察,发现草履虫的概率.
0.002

1.如右下图,假设在每个图形上随机撒一粒芝麻, 分别计算它落到阴影部分的概率.

P 1 ?

1

?

3 P2 ? 8

2.取一根长度为3米的绳子,拉直后在任意位置剪断,那 么剪得的两段长都不小于1米的概率有多大?

1 P ( A) ? 3
3.在腰长为2的等腰直角三角形内任取一点,

求该点到此三角形的直角顶点的距离小于1
的概率.

? P ? 8

◆4:一海豚在水池中自由游弋,水池为长30m, 宽为 20m的长方形。求此海豚嘴尖离岸边不超过 2m 的概率. A ◆ 解:设事件 A= “海豚嘴 规 尖 20m 范 离岸边不超过2m”, 解 如右图,则事件A可用 2m 题 图中的阴影的面积表示, 2 ? ?? ? 30? 20 ? 600(m ) 30m ? 步 2 ? ? 30 ? 20 ? 26 ? 16 ? 184 ( m ) 骤 规 A 184 23 ? 范 故P ( A) ? 600 75 解 请同学们归纳求几何概型 题 步 概率的规范步骤, 骤 并与古典概型步骤作比较!

考考你
1在数轴上,设点x∈[-3,3]中按均匀分布出 现,记a∈(-1,2】为事件A,则P(A)=( C) A.1
-3

B.0
-1

C.1/2
0 2

D.1/3
3

考考你
2、已知直线y=x+b,b∈[-2,3],则直线在y 轴上的截距大于1的概率是( B) A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5
3

1

o

-2

考考你
3.如图是一个边长为1的正方形木板,上 面画着一个边界不规则的地图,板上的点 是雨点打上的痕迹(雨点落在何处是等可 3 能的),则这个地图的面积为 8

巩固练习
1.某人一觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电 台整点报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.

解:设事件A={等待的时间不多于10分钟} 事件A发生的区域为时间段[50,60]

P( A) ?

等待的时间不多于 10分钟时间长度 10 1 = ? 所有在60分钟里醒来的时间长度 60 6

巩固练习
2.教室后面墙壁上的时钟掉下来,面板摔坏了, 刻度5至7的部分没了,如图:但指针运行正常, 若指针都指向有刻度的地方视为能看到准确 时间,求不能看到准确时间的概率. 1/6

8.假设你家订了一份报纸,送报人可能在早 上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲 离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间, 问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A) 的概率是多少?

解: 以横坐标X表示报纸送到时间,以纵坐标 Y表示父亲离家时间建立平面直角坐标 系,假设随机试验落在方形区域内任何一 点是等可能的,所以符合几何概型的条件. 根据题意,只要点落到阴影部 分,就表示父亲在离开家前能 得到报纸,即时间A发生,所以

1 1 ? 1 8 P( A) ? ? . 1 8

例 某公共汽车站每 隔15分钟有一辆汽 车到达,乘客到达 车站的时刻是任意 的,求一个乘客到 达车站后候车时间 大于10 分钟的概率?

例 某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达, 乘客到达车站的时刻是任意的,求一个乘客到达 车站后候车时间大于10 分钟的概率? 分析:把时刻抽象为点,时间抽象为线段,故可 以用几何概型求解。 T1 T T2 解:设上辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时刻 T2到达,线段T1T2的长度为15,设T是T1T2上的点, 且T1T=5,T2T=10,如图所示:·

记候车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达 车站的时刻落在线段T1T上时,事件发生,区域D的 测度为15,区域d的测度为5。 所以 d 的测度 5 1

P( A) ?

D 的测度 15

?

?

3

答:侯车时间大于10 分钟的概率是1/3.

变式:1.假设题设条件不变,求候车时间 不超过10分钟的概率.
分析:
T1 T T2

d 的测度 10 2 P( A) ? ? ? D 的测度 15 3

2某公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达,并且出发 前在车站停靠3分钟。乘客到达车站的时刻是任意的, 求一个乘客到达车站后候车时间大于10 分钟的概率? T0 T1 T T2 分析:设上辆车于时刻T1到达,而下一辆车于时 刻T0到达,T2时刻出发。线段T1T2的长度为15,设T 是T1T2上的点,且T0T2=3,TT0=10,如图所示:· 记候 车时间大于10分钟为事件A,则当乘客到达车站的 时刻落在线段T1T上时,事件A发生,区域D的测度为 15,区域d的测度为15-3-10=2。 所以

d 的测度 2 P( A) ? ? D 的测度 15

想一想
甲、乙二人约定在12点到5点之间在某地会面,

先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间
内的各时刻到达是等可能的,且二人互不影响.

求二人能会面的概率.

解:以 X ,Y 分别表示甲乙二人到达的时刻,于是

0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5
5 即点 M 落在图中的阴影部分. 4 所有的点构成一个正方形,即 3 有无穷多个结果.由于每人在 2 任一时刻到达都是等可能的, 1

y

.M(X,Y)

所以落在正 方 形 内 各 点是 等可能的.

0 1

2 3 4

5

x

二人会面的条件是:| X ? Y | ? 1,

阴影部分的面积 p? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

y
5 4 3 2 1

y-x =1 y-x = -1

0

1

2 3 4

5 x

我的收获
1.几何概型的特征 几何概型中所有可能出现的基本事件有 每个基本事件出现的可能性 相等 2.几何概型的定义 无限 个;

.

如果某个事件发生的概率只与构成 该事件区域的几何度量(长度、面积 或 体积)成正比例,则称这样的概率 模型为几何概率模型。

3.几何概型的概率计算公式

?A P( A) ? ??

4 .解决几何概型的关键是构造随机事件对应的几何图形.

解题步骤
记事件 构造几何图形 计算几何度量

下结论

求概率

随堂练习,巩固提高 思考题:

有只蚂蚁在如图的五角星区域内自由的爬行,且它
停在任意一点的可能性相等,已知圆形区域的半径为2,

蚂蚁停在圆形内的概率为0.1,求图中五角星的面积.
(计算结果保留π) 解:记“蚂蚁最后停在五角星内”为事件A,
? P ( A) ? S圆 S五 角 星

S圆 ? ? 22 ? S五 角 星 ? ? ? 40? P ( A) 0.1

试一试: 3.两人相约8点到9点在某地会面,先到者等候另一人 20分钟,过时就可离去,试求这两人能会面的概率.

解:以x,y分别表示两人的到达时刻, 则两人能会面的充要条件为

x ? y ? 20
阴影部分的面积 602 ? 402 5 P ( A) ? ? ? 2 矩形的面积 60 9

课堂小结
? 1.几何概型的特点. ? 2.几何概型的概率公式.
构成事件A的区域长度(面积或体积) P( A) ? 全部结果所构成的区域长度(面积或体积)

? 3.公式的运用.
本节核心内容是几何概型特点及概率 求法,易错点是容易找 错、求错几何度量。要求在做解答题时要有规范的步骤和必要 的文字说明,在平时的学习中养成良好的学习习惯!

复习回顾:
1.几何概型的特点:
⑴、有一个可度量的几何图形S; ⑵、试验E看成在S中随机地投掷一点; ⑶、事件A就是所投掷的点落在S中的可度量图形A中.

2.古典概型与几何概型的区别.
相同:两者基本事件的发生都是等可能的; 不同:古典概型要求基本事件有有限个, 几何概型要求基本事件有无限多个.

3.几何概型的概率公式.

构成事件A的区域的测度(面积或体积) P ( A) ? 试验的全部结果所构成的区域的测度(面积或体积)
d的 测 度 (长 度 、 面 积 、体积) P(A)? . D的 测 度 (长 度 、 面 积 、体积)

4.几何概型问题的概率的求解.

例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面, 先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻 到达是等可能的,且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解: 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻,于是

0 ? X ? 5, 0 ? Y ? 5.
即 点 M 落在图中的阴影部 分.所有的点构成一个正 方形,即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的,所以落在正 方形内各点是等可能的.

y

5 4 3 2 1
0

.M(X,Y)

1 2 3 4 5

x

记“两人会面”为事件A

二人会面的充要条件是:

| X ? Y |? 1,
y

y=x+1

阴影部分的面积 P(A)? 正方形的面积 1 2 25 ? 2 ? ? 4 9 2 ? ? 25 25.

5 4 3 2 1
0 1 2 3 4 5

y=x -1

x

巩固练习:
1、某公共汽车站每隔5分钟有一辆公共汽车通过, 乘客到达汽车站的任一时刻都是等可能的,求乘客等 车不超过3分钟的概率. 3

p?

5

2、如图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别 计算它落到阴影部分的概率.

? 3 P2 ? 8

P 1 ?

1


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