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3.1.2导数的概念


《导数的概念》

一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教 A 版选修 2-2 第一章 1.1.2 的内容, 是在学生学习了物理的 平均速度和瞬时速度的背景下,以及前节课所学的平均变化率基础上,阐述了平均变化率和 瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导数 的应用奠定基础。 新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材

的区别是从平均变化率入手,用形 象直观的“逼近”方法定义导数。 问题 1 气球平均膨胀率--→瞬时膨胀率 问题 2 高台跳水的平均速度--→瞬时速度
函数的平均变化率

?f ?x

--→ 函数的瞬时变化率 lim ?f (即导数) ?x ?0 ?x

根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平 ,制定如下教学目标和重、难点

二、

教学目标

1、知识与技能: 通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实 际背景,知道瞬时变化率就是导数。 2、过程与方法: ① 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 ② 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法 3、情感、态度与价值观: 通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习 数学的兴趣. 三、 重点、难点 ? 重点:导数概念的形成,导数内涵的理解 ? 难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵 通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点

四、 教学设想(具体如下表)
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教 学 环 节

教学内容

师生互动

设计思路

创 设 情 景 、 引 入 新 课

首先回顾上节课留下的 思考题: 幻灯片 在学生相互讨论,交流 ? 回顾上节课留下的思考题: 结果的基础上,提出 : 在高台跳水运动中,运动员相对水面的高 大家得到运动员在这段 度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位: 时 间 内 的 平 均 速 度 为 ,但我们知道运动 s)存在函数关系 h(t)=-4.9t 2+6.5t+ “0” 员在这段时间内并没有 65 10. 计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里 “静止” 。 为什么会产生 49 这 样 的 情 况 的平均速度,并思考下面的问题: (1)运动员在这段时间里是静止的吗? 呢? (2)你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗?

引起学生的好奇,意识到平 均速度只能粗略地描述物 体在某段时间内的运动状 态,为了能更精确地刻画物 体运动,我们有必要研究某 个时刻的速度即瞬时速度。 使学生带着问题走进课堂, 激发学生求知欲

根据学生的认知水平,概念的形成分了两 个层次: ? 结合跳水问题,明确瞬时速度的定义 问题一:请大家思考如何求运动员的瞬时 速度,如 t=2 时刻的瞬时速度?

提出问题一,组织学生 讨论,引导他们自然地 想到选取一个具体时刻 如 t=2, 研究它附近的平 均速度变化情况来寻找 到问题的思路,使抽象 问题具体化

理解导数的内涵是本节课 的教学重难点,通过层层设 疑,把学生推向问题的中 心,让学生动手操作,直观 感受来突出重点、突破难点

初 步 探 索 、 展 示 内 涵

问题二:请大家继续思考,当Δ t 取不同

学生对概念的认知需要

借助大量的直观数据, 帮助学生体会从平均速度 h(2 ? ?t ) ? h(2) 值时,尝试计算 v ? 的 所以我让学生利用计算 出发, ?t “以已知探求未知” 值? Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ………. 器,分组完成问题二, 的数学思想方法, 培养学生 的动手操作能力

v

Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 …….

v

….



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问题三:当Δ t 趋于 0 时,平均速度有怎 样的变化趋势? Δt -0.1 -0.01 -0.001 -0.0001 -0.00001 ……….

v
-12.6 1 -13.0 51 -13.0 951 -130 0995 1 -13.0 9995 1 ….

Δt 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 …….

v
-13.5 9 -13.1 49 -13.1 049 -13.1 0049 -13.1 0004 9 …

一方面分组讨论,上台 板演,展示计算结果, 同时口答:在 t=2 时刻, Δ t 趋于 0 时,平均速 度趋于一个确定的值 -13.1,即瞬时速度,第 一次体会逼近思想;另 一方面借助动画多渠道 地引导学生观察、 分析、 比较、归纳,第二次体 会逼近思想,为了表述 方便 , 数学中用简洁的 符 号 来 表 示 , 即
?t ?0

数形结合,扫清了学生的思 维障碍,更好地突破了教学 的重难点,体验数学的简约 美

lim

h(2 ? ?t ) ? h(2) ? ?13.1 ?t
与旧教材相比 , 这里不提及 极限概念 , 而是通过形象生 动的逼近思想来定义 t0 时 刻的瞬时速度 , 更符合学生 的认知规律,提高了他们的 思维能力 , 体现了特殊到一 般的思维方法

问题四: 运动员在某个时刻 t0 的瞬时速度 如何表示呢?

引导学生继续思考 : 运 动 员 在 某 个 时 刻 t0 的 瞬时速度如何表示? 学 生意识到将 t0 代替 2,可 类 比 得 到

h(t ? ?t ) ? h(t0 ) lim 0 ?t ?0 ?t
? 借助其它实例,抽象导数的概念 问题五: 气球在体积 v0 时的瞬时膨胀率如 何表示呢? 类比之前学习的瞬时速 度问题 , 引导学生得到 瞬时膨胀率的表示

问题六:如果将这两个变化率问题中的函 数 用 f ( x) 来 表 示 , 那 么 函 数 f ( x) 在

x ? x 0 处的瞬时变化率如何呢?

积极的师生互动能帮助学 生看到知识点之间的联系, 有助于知识的重组和迁移 , 寻找不同实际背景下的数 r (v0 ? ?v) ? r (v0 ) lim 学共性,即对于不同实际问 ?v ?0 ?v 题,瞬时变化率富于不同的 实际意义 在前面两个问题的铺垫 引导学生舍弃具体问题的 下,进一步提出,我们这 实际意义 , 抽象得到导数定 由易到难、 由 里研究的函数 f ( x ) 在 义,由浅入深、 特殊到一般,帮助学生完成 x ? x0 处的瞬时变化 了思维的飞跃;同时提及导 率 数产生的时代背景,让学生 f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?f 感受数学文化的熏陶,感受 lim ? lim ?x ?0 ?x ?0 ?x ?x 数学来源于生活,又服务于 即 y ? f ( x) 在 x ? x 0 生活。 处的导数,记作

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ? (也可记为 y x ? x ) f ?( x0 ) ? lim
?x ?0
0

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例 1:将原油精炼为汽油、柴油、塑料等 不同产品,需要对原油进行冷却和加热。 如果在第 x h 时候,原油温度(单位: c ) 为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) (1)计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 (2)计算第 3h 和第 5h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 步骤: ①启发学生根据导数定义,再分别求出 f ?(2) 和 f ?(6) ②既然我们得到了第 2h 和第 6h 的原油温 度的瞬时变化率分别为-3 与 5,大家能说 明它的含义吗? ③大家是否能用同样方法来解决问题 二? ④师生共同归纳得到,导数即瞬时变化 率,可反映物体变化的快慢 变式练习:已知一个物体运动的位移(m) 与时间 t(s)满足关系 S(t)=-2t +5t (1)求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度 (2)求物体在 t 时刻的瞬时速度 (3)求物体 t 时刻运动的加速度,并判 断物体作什么运动?
2

?

步步设问,引导学生深 入探究导数内涵

发展学生的应用意识,是高 中数学课程标准所倡导的 重要理念之一。在教学中以 具体问题为载体,加深学生 对导数内涵的理解,体验数 学在实际生活中的应用

循 序 渐 进 、 延 伸 拓 展

学生独立完成,上台板 演,第三次体会逼近思 想

目的是让学生学会用数学 的眼光去看待物理模型,建 立各学科之间的联系,更深 刻地把握事物变化的规律

归 纳 总 结 、 内 化 知 识 作 业 安 排 、

1、瞬时速度的概念 引导学生进行讨论,相 互补充后进行回答,老 师评析,并用幻灯片给 3、思想方法: “以已知探求未知” 、逼近、 出 类比、从特殊到一般 2、导数的概念

让学生自己小结,不仅仅总 结知识更重要地是总结数 学思想方法。这是一个重组 知识的过程,是一个多维整 合的过程,是一个高层次的 自我认识过程,这样可帮助 学生自行构建知识体系,理 清知识脉络,养成良好的学 习习惯

(必做) (选做) 作业是学生信息的反馈,能在作业中发现和弥 补教学中的不足,同时注重个体差异,因材施 教

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板 书 设 计

附后

板书设计清楚整洁,便于突出知识目标

五、 学法与教法 ? 学法与教学用具 学法: (1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。 (如问题 2 的处理) (2)自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动。 (如问题 3 的处 理) (3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。 (如例题的处理) 教学用具:电脑、多媒体、计算器 ? 教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出①动——师生互动、共同探 索。②导——教师指导、循序渐进 (1) 新课引入——提出问题, 激发学生的求知欲 (2) 理解导数的内涵——数形结合,动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义 (3) 例题处理——始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识 (4) 变式练习——深化对导数内涵的理解,巩固新知 六、评价分析 这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、 计算观察、发现规律、给出定义,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。 从旧教材上看,导数概念学习的起点是极限,即从数列的极限,到函数的极限,再到导 数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性,但学生很难理解极限的形式化定义,因 此也影响了对导数本质的理解。 新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识,而是用直观形象的逼近方法定义导数。 通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义) ,学生容易理解; 这样定义导数的优点: 1.避免学生认知水平和知识学习间的矛盾; 2.将更多精力放在导数本质的理解上; 3.学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级阶段学习严 格的极限定义. (附)板书设计 3.1.2 导数的概念
一、回顾上节课的思考题 二、瞬时速度的概念 三、导数的概念 四、归纳小结 五、作业安排
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电脑投影屏幕 列表 例1

变式练习


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