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2015全国高中数学联赛江西预赛试题及解答


2015 年全国高中数学联赛江西省预赛试题解答
(6 月 14 日上午 8 : 30 ? ?11: 30 )
一、填空题

1 、若三位数 n ? abc 是一个平方数,并且其数字和 a ? b ? c 也是一个平方数,则称 n 为
超级平方数,这种超级平方数的个数是 . 13 答案: 个. 解:可顺次列举出: 100,121,1

44,169,196, 225,324, 400, 441, 484, 529,900,961 .

2 、函数 y ? 8x ? x2 ? 14x ? x2 ? 48 的最大值是
答案: 2 3 . 解: y ? x(8 ? x) ? ( x ? 6)(8 ? x) ? 8 ? x



?

x ? x?6 ?

?

6 8? x x ? x?6



其定义域为 6 ? x ? 8 ,当 x ? 6 时,此分式的分子最大而分母最小,这时分式的值达最大, 其值为 2 3 .
3、 直线 l 过点 M (1, 2) , 若它被两平行线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 与 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 所截得的线段长

为 2 ,则直线 l 的方程为 答案: x ? 7 y ? 15 或者 7 x ? y ? 5 .



解:设 l 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) ,将此方程分别与 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 及 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 联立,
? 3k ? 7 ?5k ? 8 ? ? 3k ? 12 ?10k ? 8 ? , , 解得交点坐标 A ? ?与 B? ? ,据 AB ? 2 , 3 k ? 4 3 k ? 4 ? ? ? 3k ? 4 3k ? 4 ?

25(k 2 ? 1) 1 ? 5 ? ? 5k ? ? 2 ,所以 k1 ? 7 , k2 ? ? ,分别代入所设方 得 ? ,即 ? ? 2 ? ? ? 2 3 k ? 4 3 k ? 4 7 ? ? ? ? ? 3k ? 4 ?

2

2

程,得到 x ? 7 y ? 15 或者 7 x ? y ? 5 .
1 3 ? ? 0 sin10 cos100 答案: 4 .

4、



1 3 cos100 ? sin100 1 3 sin 300 cos100 ? cos300 sin100 2 2 ? ? 4 ? ? 4 解: sin100 cos100 2sin100 cos100 2sin100 cos100

? 4?

sin 200 ? 4. sin 200


5 、满足 1 ? x2 ? x 的实数 x 的取值范围是

1

? 2? 答案: ? ?1, ?. 2 ? ?
? 1 1 ? , 解:用图像法:令 y ? 1 ? x2 ,此为单位圆的上半圆,它与直线 y ? x 交点 ? ?, ? 2 2?

半圆位于交点左侧的图像皆在直线 y ? x 上方;或者三角函数代换法:
o s ,0 ? ? ?? ? , i n ?, 因 ?1 ? x ? 1 , 令x?c 则 y ?s 由条件式 1 ? x2 ? x , 平方得 2 x 2 ? 1 ,

则x?

1

? 2? ,又有 x ? cos ? ? ?1 ,因此 x ? ? ?1, ?. 2 ? 2 ?
].

6 、若实数 x, y, z ? 0 ,且 x ? y ? z ? 30, 3x ? y ? z ? 50 ,则 T ? 5 x ? 4 y ? 2 z 的取值范围

是 [

答案: ?120,130? . 解: T ? 5x ? 4 y ? 2z ? ? x ? y ? z ? ? ? 4x ? 3 y ? z ? ? 30 ? ? 4x ? 3 y ? z ? 因 4 x ? 2 y ? ? x ? y ? z ? ? ? 3x ? y ? z ? ? 80 ,所以 T ? 110 ? ( y ? z ) ,
20 ? (3x ? y ? z ) ? ( x ? y ? z ) ? 2( x ? z ) ,则 x ? z ? 10 ,因 x, z 非负,于是 x ? 10 ,

从而由 x ? y ? z ? 30 知, y ? z ? 20 ,得到 T ? 110 ? ( y ? z ) ? 130 , (当 z ? 0, x ? 10, y ? 20 时取得等号) 再由 4 x ? 2 y ? 80 , y ? 0 ,则 x ? 20 ,所以 y ? z ? 30 ? x ? 10 ,于是 T ? 110 ? ( y ? z ) ? 120 , (当 x ? 20, y ? 0, z ? 10 时取得等号) ,所以 120 ? T ? 130 .
7 、在前一万个正整数构成的集合 ?1, 2,

,10000? 中,被 3 除余 2 ,并且被 5 除余 3 ,被 7

除余 4 的元素个数是 . 答案: 95 个. 解:对于每个满足条件的数 n ,数 2 n 应当被 3,5, 7 除皆余 1 ,且为偶数;因此, 2 n ? 1 应 当是 3,5, 7 的公倍数,且为奇数;即 2 n ? 1 是 105 的奇倍数,而当 n ??1, 2,
2n ? 1??1, 2, ,19999 ? ,由于在 ?1, 2, ,10000 ? 时,

,19999? 中,共有 190 个数是 105 的倍数,其中的奇倍

数恰有 95 个.
8 、如图,正四面体 ABCD 的各棱长皆为 2 , A1 , B1 , C1 分别是棱 DA, DB, DC 的中点,

以 D 为圆心, 1 为半径,分别在面 DAB, DBC 内作弧 A1B1 , B1C1 ,并将两弧各分成五等分, 分点顺次为 A1 , P 1, Q 1 , Q2 , Q3 , Q4 , C1 , 1, P 2, P 3, P 4, B 1 以及 B 一只甲虫欲从点 P1 出发,沿四面体表面爬行至点 Q4 ,则其 爬行的最短距离为 .

2

答案: 2sin 420 . 解:作两种展开,然后比较;
0 由于 A1B1 被 A1 , P 1, P 2, P 3, P 4, B 1 分成五段等弧,每段弧对应的中心角各为 12 , B 1C1 被

B1 , Q1 , Q2 , Q3 , Q4 , C1 分成五段等弧,每段弧对应的中心角也各为 12 0 ,

若将 ?DBC 绕线段 DB 旋转,使之与 ?DAB 共面,这两段弧均重合于以 D 为圆心,半径
0 8 ? 120 ? 960 ,此时,点 P 为 1 的圆周, PQ 1 , Q4 之间直线距离为 2sin 48 , 1 4 对应的圆心角为

若将 ?DAB 绕线段 DA 旋转, ?DBC 绕线段 DC 旋转,使之皆与 ?DAC 共面,在所得图
0 7 ? 120 ? 840 ,此时,点 P 形中, PQ 1 , Q4 之间直线距离为 2sin 42 , 1 4 对应的圆心角为

所以最短距离是 2sin 420 . 二、解答题
2 9 、正整数数列 ?an ? 满足: a1 ? 2, an?1 ? an ? an ? 1 ;证明:数列的任何两项皆互质.

证:改写条件为 an?1 ? 1 ? an (an ? 1) ,从而 an ? 1 ? an?1 (an?1 ? 1) ,等等,据此迭代得
an?1 ? 1 ? an an?1 (an?1 ? 1) ? an an?1an?2 (an?2 ? 1) ? ? an an?1 a1 (a1 ? 1) ? an an?1 a1 ,

所以, an ? an?1an?2

a1 ? 1 ,因此当 k ? n , (an , ak ) ? 1 .

10 、 ( 25 分)H 为锐角三角形 ABC 的垂心,在线段 CH 上任取一点 E ,延长 CH 到 F ,

使 HF ? CE ,作 FD ? BC , EG ? BH ,其中 D, G 为垂足, M 是线段 CF 的中点, O1 , O2 分 别为 ?ABG, ?BCH 的外接圆圆心, O1 ,
O2 的另一交点为 N ;
A

证明: ?1? 、 A, B, D, G 四点共圆;
F

? 2 ? 、 O1 , O2 , M , N 四点共圆;
证: ?1? 、如图,设 EG
DF ? K ,连 AH ,
B

G H N M E

O1

D

C

则因 AC ? BH , EK ? BH , AH ? BC ,
KF ? BC ,得 CA ∥ EK , AH ∥ KF ,且 CH ? EF ,所以 ?CAF ≌ ?EKF , AH 与 KF 平

K

O2
A

行且相等,故 AK ∥ HF ,
?KAB ? 900 ? ?KDB ? ?KGB ,因此, A, B, D, G 四点共圆;
O1
F H G N M E

据 ?1? , BK 为 ? 2? 、

O1 的直径, 作 O2 的直径 BP ,
B
D

C

3

O2 P

连 CP, KP, HP, O1O2 ,则
?BCP ? ?BHP ? 900 ,所以 CP ∥ AH , HP ∥ AC ,故 AHPC 为平行四边形,进而得,
PC 与 KF 平行且相等,因此对角线 KP 与 CF 互相平分于 M ,从而 O1 , O2 , M 是 ?KBP 三边

的中点, KM ∥ O1O2 , 而由 ?KNB ? 900 , O1O2 ? BN ,得 KN ∥ O1O2 ,所以 M , N , K 共线, 因此 MN ∥ O1O2 ,又由 ?KBP 的中位线知 MO2 ? O1 B ? O1 N ,因此四边形 O1O2 MN 是等腰梯 形,其顶点共圆.

11、对于任意给定的无理数 a , b 及实数 r ? 0 ,证明:圆周 ? x ? a ? ? ? y ? b? ? r 2 上至多
2 2

只有两个有理点(纵横坐标皆是有理数的点) . 证:对于点 M ? a, b ? ,用 P ? M , r ? 表示上述圆周上有理点的个数;首先,我们可以作一 个合于条件的圆,其上至少有两个有理点,为此,取点 A ? 0,0 ? , B ? 2, 2 ? ,线段 AB 中垂线 l 的 方程为: x ? y ? 2 ,今在 l 上取点 M 1 ? 2, 1 ? 2 ,再取 r ? MA ? 6 ,则以 M 为圆心、 r 为半径的圆周上至少有 A, B 这两个有理点; 其次说明,对于任何无理点 M 以及任意正实数 r , P ? M , r ? ? 2 ; 为此,假设有无理点 M ? a, b ? 及正实数 r ,在以 M 为圆心, r 为半径的圆周上,至少有 三个有理点 Ai ? xi , yi ? , xi , yi 为有理数, i ? 1, 2,3 ,则

?

?

? x1 ? a? ? ? y1 ? b?
2

2

? ? x2 ? a ? ? ? y2 ? b ? ? ? x3 ? a ? ? ? y3 ? b ?
2 2 2

2

……① ……② ……③

据前一等号得 据后一等号得 记

? x1 ? x2 ? a ? ? y1 ? y2 ? b ?

1 2 ? x1 ? y12 ? x22 ? y22 ? 2 1 2 ? x2 ? y22 ? x32 ? y32 ? 2

? x2 ? x3 ? a ? ? y2 ? y3 ? b ?

1 2 1 2 2 2 2 2 2 x1 ? y12 ? x2 ? y2 ? t1 , ? x2 ? y2 ? x3 ? y3 ? ? ? ? t2 ,则 t1 , t2 为有理数, 2 2

若 x1 ? x2 ? 0 ,则由②, ? y1 ? y2 ? b ? t1 ,因 b 为无理数,得 y1 ? y2 ? 0 ,故 A1 , A2 共点,矛盾! 同理,若 x2 ? x3 ? 0 ,可得 A2 , A3 共点,矛盾! 若 x1 ? x2 ? 0, x2 ? x3 ? 0 ,由②、③消去 b 得,

? ?? x1 ? x2 ? ? y2 ? y3 ? ? ? y1 ? y2 ? ? x2 ? x3 ?? ? a ? t1 ? y2 ? y3 ? ? t2 ? y1 ? y2 ? ? 有理数,因 a 为无理数,
4

故得, ? x1 ? x2 ? ? y2 ? y3 ? ? ? y1 ? y2 ? ? x2 ? x3 ? ? 0 ,所以
y1 ? y2 y3 ? y2 ? ,则 A1 , A2 , A3 共线,这与 A1 , A2 , A3 共圆矛盾! x1 ? x2 x3 ? x2

因此所设不真,即这种圆上至多有两个有理点.于是对于所有的无理点 M 及所有正实数 r ,
P ? M , r ? 的最大值为 2 .

12 、从集合 M ? ?1, 2, ,36? 中删去 n 个数,使得剩下的元素中,任两个数之和都不是
2015 的因数,求 n 的最小值.

答案: 17 . 解:因 2015 ? 5 ? 13 ? 31 , M 中任两个元素之和不大于 71 ,由于 2015 不大于 71 的正因 数有 1,5,13,31,65 ,在 M 的二元子集中,元素和为 5 的有 ?1, 4? ,?2,3? ; 元素和为 13 的有 ?1,12? ,?2,11? ,?3,10? ,?4,9? ,?5,8? ,?6,7? ; 元素和为 31 的有 ?1,30? ,?2,29? ,?3,28? , ?4,27?, ?5,26?, ?6,25?, 元素和为 65 的有 ?29,36? , ?30,35? , ?31,34? , ?32,33? ; 为直观起见,我们将其画成一个图,每条线段两端的数为上述一个二元子集,为了不构 成这些和,每对数(每条线段)中至少要删去一个数;
, ?15,16? ;

19 12 1 35 30 (A) 4

27

20 11 2 3 (B)

28

13 14

18 17 16 34 33 (E)

9

22 36 29

10 21

15 31

23

8

5 (C)

26

24

7 (D)

6

25

32

于是在图 ( A), ( B) 中各至少要删去 4 个数,图 (C ), ( D ) 中各至少要删去 2 个数,图 ( E ) 中至少 删去 5 个数,总共至少要删去 17 个数. 另一方面,删去适当的 17 个数,可以使得余下的数满足条件;例如在图 ( A) 中删去 12, 30, 4, 22,图 ( B ) 中删去 11, 29, 3, 21 , (C ) 中删去 23, 5, ( D ) 中删去 24, 6 , ( E ) 中删去
13,14,15, 31, 32 .这时图中所有的线段都已被断开.

5


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