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1997年全国高中数学联赛试题及详细解析


一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b?a (D)x100??a,S100?b?a

4.在平面直

角坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取 值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 1 5 1 5 2 5.设 f(x)=x -π x,? ? arcsin ,β =arctan ,γ =arcos(- ),?=arccot(- ), 3 4 3 4 则 (A)f(α )>f(β )>f(?)>f(γ ) (B) f(α )> f(?)>f(β )>f(γ ) (C) f(?)>f(α )>f(β )>f(γ ) (D) f(?)>f(α )>f(γ )>f(β ) 6.如果空间三条直线 a,b,c 两两成异面直线,那么与 a,b,c 都相交的直线有 (A) 0 条 (B) 1 条 (C)多于 1 的有限条 (D) 无穷多条 二.填空题( 每小题 9 分,共 54 分)
?(x-1) +1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1.
2 3

2

2

2

.

2.过双曲线 x - =1 的右焦点作直线 l 交双曲线于 A、B 两点,若实数λ 使得|AB| ? 2 λ 的直线 l 恰有 3 条,则λ = . 1 3.已知复数 z 满足?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是 ? ?

y2

?

z?



4.已知三棱锥 S?ABC 的底 面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 . 5.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也

停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 1 ?1 ?1 6.设 a ?logz+log[x(yz) +1],b ?logx +log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)? +1],记 a,b,c 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . 三、 (本题满分 20 分) 设 x≥y≥z≥ π π ,且 x+y+z ? ,求乘积 cosx siny cosz 的最大值和最小值. 12 2

五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

?a =a =a =a , a a a a ? 1 1 1 1 1 a +a +a +a +a =4( + + + + )=S. ? a a a a a
2 1 3 2 4 3 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

第二试 (10 月 5 日上午 10:30?12:30) 一、 (本题 50 分)如图,已知两个半径不相等的⊙O1 与⊙O2 相交于 M、N 两点,且⊙O1、⊙ O2 分别与⊙O 内切于 S、T 两点。求证:OM⊥MN 的充分必要条件是 S、N、T 三点共线。
[来源:学科网]

25 求最小的自然数 k,使得只要表 1 中填入的数满足 Σ xi,j≤1(i=1,2,?,100) , j=1 25 则当 i≥k 时,在表 2 中就能保证 Σ x?i,j≤1 成立。 j=1 表1
[来源:学科网 ZXXK]

表2

x1,1 x2,1
?

x1,2 x2,2
?

? ? ? ?

x1,25 x2,25
?

x?1,1 x?2,1
?

x?1,2 x?2,2
?

? ? ? ?

x?1,25 x?2,25
?

x100,1

x100,2

x100,25

x?100,1

x?100,2

x?100,25

1997 年全国高中数学联赛解答
第一试 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.已知数列{xn}满足 xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a, x2=b, 记 Sn=x1+x2+?+xn,则下列结 论正确的是 (A)x100??a,S100=2b?a (B)x100??b,S100?2b?a (C)x100??b,S100=b? a (D)x100??a,S100?b?a 【答案】A 【解析】x1=a,x2=b,x3=b-a,x4=-a,x5=-b,x6=a-b,x7=a,x8=b,?.易知此数 列循环,xn+6=xn,于是 x100=x4=-a, 又 x1+x2+x3+x4+x5+x6=0,故 S100=2b-a.选 A.

3.设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 97 ,则这样 的数列共有 (A)2 个 (B)3 个 (C)4 个 (D)5 个 【答案】C

2

4.在平面直角 坐标系中,若方程 m(x +y +2y+1)=(x-2y+3) 表示的曲线为椭圆,则 m 的取值范围为 (A)(0,1) (B)(1,+∞) (C)(0,5) (D)(5,+∞) 【答案】D 【解析】看成是轨迹上点到(0,-1)的距离与到直线 x-2y+3=0 的距离的比:

2

2

2

x2+(y+1)2 = |x-2y+3|
1 +(-2)
2 2

5

m

<1?m>5,选 D.

1 5 1 5 2 5.设 f(x)=x -π x,? ? arcsin ,β =arctan ,γ =arcos(- ),?=arccot(- ), 3 4 3 4 则 (A)f(α )>f(β )>f(?)>f(γ ) (C) f(i)>f(α )>f(β )>f(γ ) 【答案】B π 【解析】f(x)的对称轴为 x= , 2 易得, 0<α < π π π π 2π 3π 5π < <β < < <γ < < <δ < .选 B. 6 4 3 2 3 4 6 (B) f(α )> f(?)>f(β )>f(γ ) (D) f(?)>f(α )>f(γ )>f(β )

二.填空题(每小题 9 分,共 54 分)
?(x-1) +1997(x-1)=-1, 1.设 x,y 为实数,且满足? 则 x+y ? 3 ?(y-1) +1997(y-1)=1.
3

.

【答案】2
?(x-1) +1997(x-1)+1=0, 【解析】原方程组即? 3 ?(1-y) +1997(1-y)+1=0.
3

取 f(t)=t +1997t+1,f ?(t)=3t +1987>0.故 f(t)单调增,现 x-1=1-y,x+y=2.
3 2

1 3.已知复数 z 满足?2z+ ?=1,则 z 的幅角主值范围是 ? ?

?

z?



4.已知三棱锥 S?ABC 的底面是以 AB 为斜边的等腰直角三角形,SA=SB=SC=2,AB=2, 设 S、A、B、C 四点均在以 O 为球心的某个球面上,则点 O 到平面 ABC 的距离为 .

5.设 ABCDEF 为正六边形,一只青蛙开始在顶点 A 处,它每次可随意地跳到相邻两顶 点之一.若在 5 次之内跳到 D 点,则停止跳动;若 5 次之内不能到达 D 点,则跳完 5 次也 停止跳动,那么这只青蛙从开始到停止,可能出现的不同跳法共 种. 【答案】26 【解析】青蛙跳 5 次,只可能跳到 B、D、F 三点(染色可证). 青蛙顺时针跳 1 次算+1,逆时针跳 1 次算-1,写 5 个“□1” ,在□中填“+”号或“-” 号: □1□1□1□1□1 规则可解释为:前三个□中如果同号,则停止填写;若不同号,则后 2 个□中继续填 写符号. 3 前三□同号的方法有 2 种;前三个□不同号的方法有 2 -2=6 种,后两个□中填号的 2 方法有 2 种. ∴ 共有 2+6×4=26 种方法. 6.设 a ?logz+log[x(yz)? +1],b ?logx? +log(xyz+1),c ?logy+log[(xyz)? +1],记 a,b,c 中最大数为 M,则 M 的最小值为 . 【答案】log2
1 1 1

x 1 1 【解析】a=log( +z),b=log(yz+ ),c=log( +y). y x yz
∴ a+c=log(

yz x

1 1 + +yz+x)≥2log2.于是 a、c 中必有一个≥log2.即 M≥log2,于是 M

的最小值≥log2. 但取 x= y=z=1,得 a=b=c=log2.即此时 M=log2.于是 M 的最小值≤log2. ∴ 所求值=log2.
[来源:学科网 ZXXK]

四、(本题满分 20 分) 设双曲线 xy?1 的两支为 C1,C2(如图),正三角形 PQR 的三顶点位于此双曲线上. (1)求证:P、Q、R 不能都在双曲线的同一支上; y (2)设 P(?1,?1)在 C2 上, Q、R 在 C1 上,求顶点 Q、R 的坐标. Q 【解析】设某个正三角形的三个顶点都在同一支上.此三点 1 1 1 的坐标为 P(x1, ),Q(x2, ),R(x3, ).不妨设 0<x1<x2<x3,则

x1

x2

x3

O

R

x

x1 x2 x3

1 1 1 > > >0.

P

y2-y1 1 1 kPQ= =- ;kQR=- ; x2-x1 x1x2 x2x3

- tan∠PQR=

1

x1x2 x2x3
1

+

1 <0,从而∠PQR 为钝角.即△PQR 不可能是正三角形.

1+

x1x3x22

五、(本题满分 20 分) 设非零复数 a1,a2,a3,a4,a5 满足

?a =a =a =a , a a a a ? 1 1 1 1 1 a +a +a +a +a =4( + + + + )=S. ? a a a a a
2 1 3 2 4 3 5 4 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

其中 S 为实数且|S|≤2. 求证:复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.

1 1 1 1 ∴ q+ ∈R.再令 q=r(cosα +isinα ),(r>0).则 q+ =(r+ )cosα +i(r- )sinα ∈

q

q

r

r

R.?sinα =0 或 r=1.
1 1 1 1 5 1 1 若 sinα =0,则 q=±r 为实数.此时 q+ ≥2 或 q+ ≤-2.此时 q+ + ≥ ,或 q+ + ≤ q q q 2 2 q 2

3 - . 2 1 1 2 5 此时,由|(q+ + ) - |≤1,知 q=-1.此时,|ai|=2. q 2 4 若 r=1,仍有|ai|=2,故此五点在同一圆周上. 2 3 4 5 ⑵ 若 1+q+q + q +q =0.则 q -1=0,∴ |q|=1.此时|a1|=|a2|=|a3|=|a4|=|a5|,即此五 点在同一 圆上. 综上可知,表示复数 a1,a2,a3,a4,a5 在复平面上所对应的点位于同一圆周上.
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

第二试

二. (本题 50 分)试问:当且仅当实数 x0,x1,?,xn(n≥2)满足什么条件时,存在 2 2 2 2 实数 y0,y1,?,yn 使得 z0 =z1 +z2 +?+zn 成立,其中 zk=xk+iyk,i 为虚数单位,k=0,1,?, n。证明你的结论。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 【解析】 解:z0 =x0 -y0 +2x0y0i=(x1 +x2 +?+xn )-(y1 +y2 +?+yn )+2(x1y1+x2y2+?+xnyn)i. 2 2 2 2 2 2 2 2 ∴ x0 -y0 =(x1 +x2 +?+xn )-(y1 +y2 +?+yn ); x0y0=x1y1+x2y2+?+xnyn. 2 2 2 2 2 2 2 2 若 x0 > x1 +x2 +?+xn ,则 y0 > y1 +y2 +?+yn . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 此时 x0 y0 >( x1 +x2 +?+xn )( y1 +y2 +?+yn )≥(x1y1+x2y2+?+xnyn) =(x0y0) .矛盾. 2 2 2 2 故必 x0 ≤x1 +x2 +?+xn . 2 2 2 2 反之,若 x0 ≤x1 +x2 +?+xn 成立.此时,可分两种情况: 2 2 2 2 ⑴ 当 x0 =x1 +x2 +?+xn 成立时,取 yi=xi(i=0,1,2,?,n), 2 2 2 2 于是 z0 =(x0+y0i) =x0 -y0 +2x0y0i=2x0y0i, 2 2 2 2 2 2 2 2 2 而 z 1 +z2 +?+zn =(x1 +x2 +?+xn )-(y1 +y2 +?+yn )+2(x1y1+x2y2+?+xnyn)i

=2(x1y1+x2y2+?+xnyn)i=2(x12+x22+?+xn2)i=2x02i=2x0y0i. z02=z12+z22+?+zn2 即
成立.

三、 (本题 50 分)在 100×25 的长方形表格中每一格填入一个非负实数,第 i 行第 j 列中 填入的数为 xi , j(i=1,2,?,100;j=1,2,?,25) (如表 1) 。然后将表 1 每列中的数 按由小到大的次序从上到下重新排列为 x?1 , j≥x?2 , j≥?≥x?100 , j(j=1,2,?,25)(如 。 表 2) 25 求最小的自然数 k,使得只要表 1 中填入的数满足 Σ xi,j≤1(i=1,2,?,100) , j=1 25 则当 i≥k 时,在表 2 中就能保证 Σ x?i,j≤1 成立。 j=1 表1 表2

x1,1 x2,1
?

x1,2 x2,2
?

? ? ? ?

x1,25 x2,25
?

x?1,1 x?2,1
?

x?1,2 x?2,2
?

? ? ? ?

x?1,25 x?2,25
?

x100,1

x100,2

x100,25

x?100,1

x?100,2

x?100,25


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