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两角和与差的三角函数(1)


两角和与差的三角函数一
我们的目标

1. 掌握两角和与差的余弦公式,初步理解 二倍角的余弦公式;
2. 掌握“变角”和“拆角”的思想方法解 决问题

两角和与差的余弦公式
1、两点间的距离公式 y
N2

P ,y1 ) 1 ( x1

P2 ( x2,y2 )

P2

PQ 1 ? M1M 2 ? x1 ? x2 PQ ? N1N2 ? y1 ? y2 2

M1

M2

0

x

P 1P 2

2 2 ? PQ ? P Q 1 2

P1

N1

Q

?

? x1 ? x2 ? ? ? y1 ? y2 ?
2

2

两角和与差的余弦公式
2、两角和的余弦公式 y

P 1 ?1,0?

P 2 ? cos? ,sin ? ?

P 3
?

P2

P 3 ? cos ?? ? ? ? ,sin ?? ? ? ? ?

P4 ? cos ? ?? ? ,sin ? ?? ? ?
P1 P4
x

0 ??

?

PP 1 3 ?P 2P 4

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

3、两角差的余弦公式

cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?

用 ? ? 代?

1、不查表求cos105?与cos15? .
解: (1) cos 105? ? cos (60? ? 45?)
= cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45? 1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 2? 6 ? 4

1、不查表求cos105?与cos15? .
解: (2) cos 15? ? cos (60? -45?)
= cos 60? cos 45? ? sin 60? sin 45? 1 2 3 2 ? ? ? ? 2 2 2 2 6? 2 ? . 4

3 ? ? 3? ? 2、已知cos? = ,? ? ? ,2? ?,求cos(? ? ). 5 3 ? 2 ? 3 ? 3? ? 解: ? cos ? = ,? ? ? ,2? ?
5 ? 2 ? 4 ?3? 2 ? sin ? ? ? 1 ? cos ? ? ? 1 ? ? ? ? ? 5 ?5? cos(? ? ) ? cos ? cos ? sin ? sin 3 3 3 3 1 ? 4? 3 ? ? ? ?? ?? 5 2 ? 5? 2 3? 4 3 ? . 10
2

?

?

?

2 3 ?? ? ? 3? ? 3、已知 sin ? = ,? ? ? ,? ?, cos ? =- ,? ? ? ? , ? 3 4 ?2 ? ? 2 ? 求 cos(? ? ? ). 2 5 ?? ? 解: ? sin ? = ,? ? ? ,? ? ? cos ? ? ? 3 3 ?2 ?
3 7 ? 3? ? ? cos ? =- ,? ? ? ? , ? ? sin ? ? ? 4 4 ? 2 ? ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? 5 ? 3? 2 ? 7? ?? ??- ? ? ?? ? ? ? 3 ? 4? 3 ? 4 ? ? 3 5 ?2 7 ? . 12

1 47 ? 4、已知 cos ? = , cos(? ? ? )=- , 0 ? ? ,? ? , 17 51 2 求 cos ? .

提示: 拆角思想:cos ? ? cos ? (? ? ? ) ? ? ? .
4 4 ? 7? ? 5、已知 cos(? ? ? )= , cos(? ? ? )=- ,且? +? ? ? , 2? ? , 5 5 ? 4 ? ? 3? ? ? -? ? ? , ? ? 求 cos 2? . ? 4 ?

提示:拆角思想:cos 2? ? cos ? (? ? ? ) ? (? ? ? )? .

5 ?? ? 6、已知 sin ? = ,? ? ? , ? ? 13 ?2 ? 求 cos 2? .
119 . 解: cos 2? ? 1 ? 2sin ? ? 169
2



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