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2014年整理函数作业5-奇偶性


2.4 函数的奇偶性 【知识网络】 1.奇函数、偶函数的定义及其判断方法; 2.奇函数、偶函数的图象. 3.应用奇函数、偶函数解决问题. 【典型例题】 例 1. (1)下面四个结论中,正确命题的个数是( ) ①偶函数的图象一定与 y 轴相交; ②函数 f ( x) 为奇函数的充要条件是 f (0) ? 0 ; ③偶函数的图象关于 y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是

f(x)=0(x∈R) . A.1 B.2 C.3 D.4 提示:①不对,如函数 f ( x) ? 1 是偶函数,但其图象与 y 轴没有交点;②不对, x2 因为奇函数的定义域可能不包含原点;③正确;④不对,既是奇函数又是偶函 数的函数可以为 f(x)=0〔x∈(- a , a ) 〕 ,答案为 A. (2)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 是偶函数,且其定义域为[ a ? 1, 2a ] ,则 ( ) 1 A. a ? ,b=0 B. a ? ?1 ,b=0 3 C. a ? 1 ,b=0 D. a ? 3 ,b=0 提示:由 f ( x) ? ax2 ? bx ? 3a ? b 为偶函数,得 b=0. 1 3 (3)已知 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ,则 f ( x) )在 又定义域为[ a ? 1, 2a ] ,∴ (a ? 1) ? 2a ? 0 ,∴ a ? .故答案为 A. ) B. y ? x(| x | ?2) R 上的表达式是( A. y ? x( x ? 2) C. y ?| x | ( x ? 2) D. y ? x(| x | ?2) 提示:由 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x , f ( x) 是定义在 R 上的奇函数得: 当 x<0 时, ? x ? 0 , f ( x) ? ? f (? x) ? ?( x2 ? 2x) ? x(? x ? 2) ( x ? 0) ,即 f ( x) ? x(| x | ?2) ,答案为 D. ( x ? 0) (4)已知 f ( x) ? x5 ? ax3 ? bx ? 8 ,且 f (?2) ? 10 ,那么 f(2)等于 ∴ f ( x) ? ? ? x( x ? 2) ? x(? x ? 2) 提 示 : f ( x) ? 8 ? x5 ? ax3 ? bx 为 奇 函 数 , f (?2) ? 8 ? 18 , ∴ f (2) ? 8 ? ?18 , ∴ f (2) ? ?26 . 第 1 页 共 7 页 (5)已知 f ( x) 是偶函数, g ( x) 是奇函数,若 f ( x) ? g ( x) ? 式为 x ?1 1 ,则 f ( x) 的解析 提 示 : 由 f ( x) 是 偶 函 数 , g ( x) 是 奇 函 数 , 可 得 f ( x) ? g ( x) ? ? x ?1 1 1 1 1 1 1 f ( x) ? g ( x) ? ? )? 2 ,得: f ( x) ? ( , ∴ f ( x) ? 2 x ?1 x ?1 x ?1 2 x ?1 ?x ? 1 例 2.判断下列函数的奇偶性: (1) f ( x) ? ( x ? 1) (3) f ( x) ? 1 ,联立 1? x ;(2) f ( x) ? 1 ? x2 ? x2 ?1 ; 1? x ? x2 ? x ( x ? 0) lg(1 ? x 2 )

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