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第三十教时 函数概念、性质、指数运算及指数函数


第三十教时
教材:单元复习之一——函数概念 、性质、指数运算及指数函数 目的:通过复习与练习要求学生对函数概念、性质、指数、指数函数有 更深的理解 过程: 一、复习:映射、一一映射、函数定义、性质、反函数、指数、指数函数 二、 《教学与测试》 P49 第 34 课 49 “基础训练题” 例 1)
2
[来源:学科网]

例二、 已知函数 f (x), 当 x , y?R 时, 恒有 f (x + y) = f (x) + f (y) , 1? 求证: f (x) 是奇函数。 2? 若 f (?3) = a,试用 a 表示 f (24)

[来源:Zxxk.Com]

3? 如果 x > 0 时,f (x) > 0 且 f (1) < 0,试求 f (x) 在区 间[?2,6]上 的 最大值与最小值。 解: 令 x = y = 0 1? (? x), ∴f (x) = f (? x) ∴f (x)为奇函数 得 f (3) = ? f(?3) = ?a, 2? 由 f (?3) = a 得 f (0) = 0, 再令 y = ? x 得 f (0) = f (x) + f

1



例一、 (《教学与测试》 已知函数 4,求 a 的值。

f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间[?1,2]上的最大值是

解:抛物线对称轴为 x ? ?a , 1? 当 2≥?a , 2a +1 = 4, a = ?1 (不 合)
1 2? 当 ? ?a ? 2 , 2

区间[?1,2]中点为

1 2

f (24) = f ( 3 + 3 + ?? + 3) = 8 f (3) = ? f (3) 即 1?
8个 3

即 a≤?2 时,由题设:f (?1) = 4,

3? 设 x 1) < f (x 1),

x 1 < x2 ,则 f (x2) = f (x 1 + x2 ? x 1) = f (x 1) + f (x2 ?

( ∵ x2 ? x 1 > 0 , f ( x2 ? x 1) < 0 ) 即 ?2 ? a ? 1 时, 由题设: (?1) = 4, f 即 ∴f (x) 在区间[?2,6]上是减函数。 ∴f (x) max = f (?2) = ?f (2) = ?2f (1) = 1 即 ? ? a ? 1 时, 由题设: (2) = 4, f
1 2

a = ?1 3? 当 ? 1 ? ?a ? 4 + 4a +1 = 4,
a?? 1 4

1 , 2



f (x) min = f (6) = 6 f (1) = ?3 例三、 (《教学与测试》第 28 课 求函数 y ? 例一)
1? 2x 的值域和单调区间。 4x

4? 当 ?a<?1, +1 = 4,
a?? 1 4

即 a>1 时,由题设:f (2) = 4,

即 4 + 4a

解: y ?

1? 2x 1 1 1 1 1 1 ? ( x ) 2 ? x ? [( ) x ? ]2 ? ? ? x 2 2 4 4 4 2 2

(不合) 注:若是已知最小值,此种分类同样适用,也可分 ?a 在

1 ? ∴函数的值域为 ?? ,?? ? 4 ?

?? ?, ? 1?,
?? 1, 2?, ?2,??? 三个区 间。 但本题亦可将 1?、 2?和 3?、
4?分别合并成 两个区 间讨论。

1 ∵设 u ? ( ) x , 它在 ?? ?,??? 上单调递减, 2 1 1 1 1 而二次函数 y ? (u ? ) 2 ? 在 u ? 时是减函数, u ? 时是增 在 2 2 2 4 1 1 1 1 函数令 ( ) x ? ,则 x ≥ 1 令 ( ) x ? ,则 x ≤ 1 2 2 2 2

1? 2x ∴函数 y ? 在 ?1, ? ?? 上是增函数,在 ?? ?,1] 上是 4x

y1 ? y 2 ? 2 x ? x 2 ? 3 ? x ? ?1或x ? 3

2.当 0

< a < 1,由 y1 < y2 ,得 2x > x2 ?3 ,解得 ?1 < x < 3 当 a > 1, y1 < y2 , 2x < x2 ?3 , 由 得 解得 x < ?1 或 x>3 三、作业: P50 3—7 《教学与测试》 P58 6、7

减函数。 例四、 (《教学与测试》第 28 课 1.已知 f ( x) ?
x

例二)

[来源:学科网]

2 ? m 是奇函数,求常数 m 的值。 3 ?1

2.画出函数 y ?| 3 x ? 1 | 的图象,并利用图象回答:k 为何值时,方 程
| 3 x ? 1 |? k 无解?有一解?有两解?

解:1.定义域:x ? 0 若 f (x)为奇函数,则 ( ∴m ? ? 3.图象如图所示:
2 2 ? m) ? ( ? x ? m) ? 0 3 ?1 3 ?1
x

1 1 1 3x ? ?x ?? x ? x ?1 3x ? 1 3 ? 1 3 ?1 3 ?1
y

1 o x

当 k < 0 时, 直线 y = k 与函数 y ?| 3 x ? 1 | 图象无交点 ∴方程无解。 当 k = 0 或 k ≥ 1 时, 直线 y = k 与函数 y ?| 3 x ? 1 | 图 象有一个交点 个交点 ∴方程有一解。
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

当 0 < k < 1 时, 直线 y = k 与函数 y ?| 3 x ? 1 | 图象有两
[来源:学科网 ZXXK]

∴方程有两解。 例五、 (《教学与测试》第 28 课 设 y1 ? a 2 x , y 2 ? a x 问:x 为何值时有 1? y1 = y2
2

例三)——机动,可以不讲
?3

,其中 a > 0,a ? 1, 2? y1 < y2

解 : 1 . 由 于 指 数 函 数 是 单 调 函 数 , ∴


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