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《复积变》考试试卷2012-2013(A卷)


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学号

□□□□□□□□□

安徽工业大学(2012-2013)《复变函数与积分变换》期末考试题(A 卷)
一 选择题 题 号 1-9 得 分 评卷人
一、单项选择题(本大题共有 9 小题,每题 3 分,满分 27 分)

请将各题正确答案的序号填入相应方框内: 得分 二、填空题(本大题共有 6 小题,每题 3 分,满分 18 分)

二 填空题 10-15 16 17

三 计算题 18 19 20 21

总分

得分

题号 答案 1. 幂级数

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10. 复数

?2 1 ? 3i

的辐角主值为



? nz
n ?1

?

11.设 e ? 1 ?
z

3i ,则 z ?




n ?1

在 z ? 1 内的和函数为 12.极限 lim
z?i

(A)

z 1? z

(B)

z 1? z

(C)

z (1 ? z ) 2

(D)

1 (1 ? z ) 2

iz 3 ? 1 ? z?i

2.下列命题不正确的是 (A) z 0 是 f (z ) 的极点,则 f (z ) 在 z 0 处不可导;

13.函数 f ( z ) ?

1 在 z ? 0 处展成幂级数为(并注明收敛域) z?2


(B)若函数在某点解析,它的各阶导数在该点不一定解析; (C)若 f (z ) 在区域 D 内解析, f (z ) 在 D 内从 z 1 到 z 2 的积分与路径无关; 则 (D)幂级数在其收敛圆内的和函数是解析函数; 3.下列级数中,绝对收敛的级数为 (A) 14.幂级数

nz n ? 3 n 的收敛半径为 n ?1

?



15.设 f ( z ) ?
?

?

? ( 6 ? 5i ) ( ?1) i ? n ] (C) (B) ? [ n n 8 2 n ?1 n ?1 ? n n
2 2 2

?(
n ?1
2

? i 1 ? 5i n ) (D) ? 2 n ?2 n

n

z ? sin z ,则 Re s[ f ( z ),0] ? z3



三、计算题(本大题共有 6 小题,满分 55 分) 得分 16. (8 分)讨论复变函数 f ( z ) ? z Im( z ) 的可导性,若可导, 求出 f ' ( z ) 。

4. 若函数 f ( z ) ? x ? 2 xy ? y ? i ( y ? axy ? x ) 在复平面内处处解析, 那么实常数 a ? (A) 0 (B) 1 5. 设I ? (D) ? 2

(C) 2

?

|z ? z0 | ? r

dz ( n为整数 ),则下列结论正确的是 ( z ? z 0 ) n ?1
(B) n ? 0时, I ? 2?i , (D) I的值与 z 0 及r有关;
2

(A) n ? 0时, I ? 0, (C)

n ? 0时, I ? 0,

6. 设 C 是从 i 到 1 ? i 的直线段, f ( z ) ? y ? x ? 3 x i ,则积分

?

C

f ( z )dz ?

(A)

1 ?i 2

(B) 1 ? i

(C)

i 2

(D) 1 ?

i 2

7. z ? 0为函数 z ? sin z的 (A) 2 (B) 3 (C) 4 8. 下列命题中,正确的是( )

阶零点. (D)

1

得分

17.(5 分)计算积分

?

C

z?2 dz , C 是 正 向 上 半 圆 周 z

(A)设 v1 , v 2 在区域 D 内均为 u 的共轭调和函数,则必有 v1 ? v2 ; (B) | sin z |? 1 ; (C) 以调和函数为实部与虚部的函数是解析函数; (D) 指数函数 e 是周期函数; 9. z ? 0为函数 (A) 2
z

z ? 2e i? , 0 ? ? ? ? .

1 ? e 2z 的 z4
(C)

阶极点.

(B) 4

3

(D)

5

得分

18 (9 分)计算积分

?

z dz ,C 取正向圆周 C ( 2 z ? 1)( z ? 2)

得分

20.(12 分)将函数 f ( z ) ? 朗(Laurent)级数, (1) | z | ? 1 ;

1 在下列范围内展为幂级数或罗 1 ? z2

1 (1) C为| z |? 1 ; (2) C为| z ? 1 |? 2

(2) 1 ? | z ? i | ? 2

(3) 2 ? | z ? i | ? ??

得分

19.(10 分)利用留数计算积分 圆周.

1 ? |z|? 3 z 2 ( z ? 2) dz , z ? 3 取正向

得分

21. (11 分)已知 u( x , y ) ? x ? ay ? xy ,求常数 a 及二元函
2 2

数 v( x, y ) 使得 u ? iv 为解析函数且满足 f (i ) ? ?1 ? i .

安徽工业大学《复变函数与积分变换》期末考试题(A 卷)
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