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(定稿)福州一中2013-2014高三理数试卷及答案


福州一中 2013-2014 学年第一学期期末考试

高三理科数学试卷
(完卷 100 分钟 满分 100 分)

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1, 2? , B ?

?2,3, 4? ,则 (?U A) ? B ? ( A. ?3, 4? B. )

?3, 4,5?


C.

?2,3, 4,5?

D. ?1, 2,3, 4?

2. 已知 i 为虚数单位,则 A. 2 ? i

5i ?( 1 ? 2i

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D.

?2 ? i
2 2

开始 k=1,S=0 S=S+2k

2 3.若 k , b ? R, 且 b ? 1, 命题 p : k ? b ? 1 ,命题 q : k ? 1 ? b ,

则 p 是 q 的( ) A.充分而不必要条件 C.充要条件

B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

k=k+2 k≥50 是 否

4. 设 ?ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c. 若 B ? 2 A, b ? 3a ,则角 A ? ( )

? A. 12
A.

? B. 6

? C. 4
B.

? D. 3
)

输出 S 结束

5.执行如右上图所示的程序框图,输出的 S 值为(

2 25 (4 ? 1) 3
50

2 26 (4 ? 1) 3
51

C. 2

?1

D. 2

?1

6.已知某个几何体的三视图如右下图所示,根据图中标出 的尺寸(单位:cm) ,则这个几何体的体积是( ) A. 8cm
3

B. 12cm
3

3

C. 24cm

D. 72cm

3

??? ? ???? ? ? ?| OP ? OM |? 12 7. 已知点 P(3,3), Q(3, ?3), O 为坐标原点,动点 M ( x, y ) 满足 ? ???? ???? ,则点 M 所 ? ? ?| OQ ? OM |? 12
构成的平面区域的面积是( A.12 B.16 ) C.32 D.64

1

8. 已知锐角 A, B 满足 2 tan A ? tan(A ? B) ,则 tan B 的最大值为( ) A. 2 2 B.

2

C.

2 2

D.

2 4

9.已知集合 A、B、C, 且 A ={直线}, B ={平面}, C ? A ? B ,若 a ? A, b ? B, c ? C ,有 四个命题① ?

?a / / b ?a ? b ?a ? b ?a / /b ? a / / c; ② ? ? a ? c; ? a / / c; ③ ? ? a ? c; ④ ? ?c / / b ?c / / b ?c ? b ?c ? b
C.②④ D.④

其中所有正确命题的序号是( ) A.①②③ B.②③④

10. 已知函数 f ( x) 在 R 上是单调函数, 且满足对任意 x ? R , 都有 f [ f ( x) ? 3x ] ? 4 , 则 f (4) 的值是( ) A.85 B.82 C.80 D.76

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,请把正确答案填在题 中横线上)
11. 某学校高一、高二、高三共有 2400 名学生,为了调查学生的课余学习情况,拟采用分 层抽样的方法抽取一个容量为 120 的样本.已知高一有 820 名学生,高二有 780 名学生, 则在该学校的高三应抽取 名学生. 12. 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 x ? a( a ? 0 )与曲线 y ? 形的面积为

x 及 x 轴所围成的封闭图

2 ,则 a ? . 3 x2 y 2 13. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 上一点 A 关于原点 O 的对称点为 B, F 为其右焦点,若 a b ?? ? ? . AF ? BF , 设 ?ABF ? ? , 且 ? ? ? , ? , 则椭圆离心率的取值范围是 ?12 4 ?
14.设 S 是整数集 Z 的非空子集, 如果 ?a, b ? S , 有 ab ? S , 则称 S 关于数的乘法是封闭的. 若 T , V 是 Z 的两个不相交的非空子集,T ?V ? Z 且 ?a, b, c ?T , 有 abc ? T ; ?x, y, z ?V , 有 xyz ?V ,有四个命题:① T , V 中至少有一个关于乘法是封闭的;② T , V 中至多有 一个关于乘法是封闭的;③ T , V 中有且只有一个关于乘法是封闭的; ④ T , V 中每一个 关于乘法都是封闭的.其中所有正确命题的序号是 .

2

三、解答题(本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤)
15. (本小题满分 10 分) 平行四边形 ABCD 中, AB ? 1, AD ? 2, 且 ?BAD ? 60 , 以 BD 为折线,把 ?ABD 折
?

起,使平面 ABD ? 平面 CBD ,连接 AC. (Ⅰ)求证: AB ? DC ; (Ⅱ) 求二面角 B ? AC ? D 的余弦值. A 16. (本小题满分 10 分) 已知向量 a ? (sin
?

D

C

A D B C

B

?

?x 1 ?

? ? ?x 3 , ), b ? (cos , ? ), ? ? 0, x ? 0, 函数 f ( x) ? a ? b 的 2 2 2 2

第 n(n ? N ) 个零点记作 xn (从小到大依次计数) ,所有 xn 组成数列 ? xn ? . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的值域; (Ⅱ)若 ? ? 2 ,求数列 ? xn ? 的前 100 项和 S100 . 17. (本小题满分 11 分)

x2 y 2 1 ? 2 ? 1(a, b ? 0) 的一条渐近线方程是 y ? x ,它的一个焦点在抛 2 a b 2 2 物线 y ? 4 5 x 的准线上,点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 是双曲线 C 右支上相异两点,且满足
已知双曲线 C :

x1 ? x2 ? 6, D 为线段 AB 的中点,直线 AB 的斜率为 k .
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)用 k 表示点 D 的坐标; (Ⅲ)若 k ? 0 , AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,直线 AB 交 x 轴于点 N ,求 ?DMN 的 面积的取值范围. 18. (本小题满分 11 分) 已知函数 f ( x) ?

1 2 ax ? 2 x ? a ln x (a ? R) 2

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 存在极大值和极小值,求 a 的取值范围; (Ⅱ) 设 m, n 分别为 f ( x) 的极大值和极小值, 其中 m ? f ( x1 ), n ? f ( x2 ), 且 x1 ? ( , ), 求 m ? n 的取值范围.

1 1 3 2

3

19.本题设有(1) (2) (3)三个选考题,每题 6 分,请考生任选 2 题作答,满分 12 分.如 果多做,则按所做的前两题计分.作答时先用 2B 铅笔在答题卷上把所选题目对应的题 号凃黑,并将所选题号填入横线中. (1) (本小题满分 6 分)选修 4—2:矩阵与变换
?1? 二阶矩阵 M 有特征值 ? ? 6 ,其对应的一个特征向量 e= ? ? ,并且矩阵 M 对应的变换 ?1?

将点 (1, 2) 变换成点 (8, 4) . (Ⅰ)求矩阵 M; (Ⅱ)求矩阵 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量.

(2) (本小题满分 6 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知 直线 l 的参数方程为 ?

? ? ? 2 2 cos( ? ? ).
4

? x ? 5 ? at , (t 为 参 数 ), 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 ? y ? ?1 ? t

(Ⅰ)若圆 C 关于直线 l 对称,求 a 的值; (Ⅱ)若圆 C 与直线 l 相切,求 a 的值. (3) (本小题满分 6 分)选修 4—5 : 不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 3 ? m, m ? R ,且 f ( x ? 2) ? 0 的解集为 [?3,1] . (Ⅰ)求 m 的值; (Ⅱ)已知 a, b, c 都是正数,且 a ? b ? c ? m ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? . a?b b?c c?a 4

4

福州一中 2013-2014 学年第一学期期末考试

高三理科数学试卷 参考解答及评分标准
一、选择题:每小题 3 分,共 30 分. 1.C; 2.B; 3.A; 4.B; 5.A; 6.B; 二、填空题:每小题 4 分,共 16 分.
11. 40; 12. 1; 13.

7.C;

8.D;

9.D;

10.B.

? 2 6? , ? ?; ? 2 3 ?

14. ①.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 54 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
15. 解: (Ⅰ)在 ?ABD 中, BD ? AB ? AD ? 2 ? AB ? AD ? cos 60 ? 3,
2 2 2 ?

所以 AD ? AB ? BD ,
2 2 2

所以 AB ? BD ,

因为平面 ABD ? 平面 BDC ,所以 AB ? 平面 BDC ,所以 AB ? DC ;…3 分 (Ⅱ)在四面体 ABCD 中,以 D 为原点,DB 为 x 轴,DC 为 y 轴,过 D 垂直于平面 BDC 的射线为 z 轴,建立如图的空间直角坐标系. A …4 分

z

则 D(0,0,0) ,B( 3 ,0,0) , C(0,1,0) ,A( 3 ,0,1)

D

x

C B

y

设平面 ABC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , 而 BA ? (0, 0,1), BC ? (? 3,1, 0),

?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ? ? ?z ? 0 ?n ? BA ? 0 , 取 n ? (1, 3, 0), 由 ? ? ??? 得: ? …6 分 ? ? ?? 3x ? y ? 0 ? ?n ? BC ? 0 ?? ??? ? ???? 再设平面 DAC 的法向量为 m ? ( x?, y?, z ?), 而 DA ? ( 3, 0,1), DC ? (0,1, 0), ?? ??? ? ?? ? ? m ? DA ?0 ? 3 x? ? z ? ? 0 ? , 取 m ? (1, 0, ? 3), 由 ? ?? ???? 得: ? ? ? y? ? 0 ? ?m ? DC ? 0 ? ?? ? ?? 1 n?m 1 所以 cos n, m ? ? ?? ? , 即二面角 B-AC-D 的余弦值是 ; 4 n m 4
16. 解: (Ⅰ) f ( x) ? a ? b ? …8 分

…10 分

? ?

1 3 sin ? x ? , ? ? 0, x ? 0, 2 4

…………2 分

5

所以函数 f ( x) 的值域为 ? ?

? 1 3 1 3? ? , ? ?; ? 2 4 2 4 ?

………4 分

(Ⅱ) f ( x) ?

1 3 sin 2 x ? , x ? 0, 2 4

由 f ( x) ? 0 得 sin 2 x ? 因此 S100 ?

? ? 3 , 所以 x ? k? ? 或 x ? k? ? , k ? N , ………6 分 6 3 2

?

? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? 49) ? 2475? . 2 b 1 2 2 17.解: (Ⅰ) ? , a ? b ? 5,? a ? 2, b ? 1, a 2 x2 ?双曲线 C 的方程为 ? y 2 ? 1 ; 4 ? 50 ?
(Ⅱ)方法一: 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? d , k ? ?

?

? (2? ? ) ? (4? ? ) ? ? ? (98? ? ) 2 2 2 2
…………10 分

?

?

?

……………3 分

x2 1 ? y 2 ? 1( x ? 2) 得 代入方程 , k ? 0, 4 2

(4k 2 ? 1) x 2 ? 8kdx ? 4(d 2 ? 1) ? 0, 当 ? ? 0 时记两个实数根为 x1 , x2 ,
则 x1 ? x2 ?

3(1 ? 4k 2 ) 8kd 4(d 2 ? 1) ? d ? , ? 6, x x ? ? 0, 1 2 1 ? 4k 2 4k 2 ? 1 4k 3(1 ? 4k 2 ) , 把 x ? 3 代入得 4k
………… 6 分

∴ AB 的方程为 y ? kx ?

yD ?

3 3 ,? D(3, ), 4k 4k
2 2

下求 k 的取值范围:法一:由 ? ? 0 得 d ? 1 ? 4k ? 0, 即

9(1 ? 4k 2 )2 ? 1 ? 4k 2 ? 0, 2 16k
………… 7 分

而 1 ? 4k ? 0, 所以
2

9(1 ? 4k 2 ) 3 5 ; ? 1 ? 0, 化简得 k ? 2 10 16k

法二:在

5 5 x2 ? y 2 ? 1 中令 x ? 3, 得 y 2 ? , ? yD ? , 4 2 4
3 5 3 5 ? , 所以 k ? , 4k 2 10



再结合 k ?

3 5 1 ; , 得k ? 10 2

………… 7 分

6

方法二: x1 ? 4 y1 ? 4, x2 ? 4 y2 ? 4, 两式相减得 6( x1 ? x2 ) ? 8 yD ? ( y1 ? y2 ),
2 2 2 2

?k ?

y1 ? y2 3 3 ,? yD ? , ? D(3, ), x1 ? x2 4k 4k

……………6 分

3(1 ? 4k 2 ) 3 (Ⅲ)由(Ⅱ)可知方程 y ? kx ? 中令 y ? 0, 得 xN ? 3 ? , 4k 4k 2
设点 M 的坐标为 (m,0), 由 k MD ? ?

1 15 15 , 得 m ? ,? M ( , 0), k 4 4

3 1 ? MN ? xM ? xN ? (1 ? 2 ), 4 k 1 3 1 3 9 1 1 ∴ S?DMN ? ? (1 ? 2 ) ? ? (1 ? 2 ) , 2 4 k 4k 32 k k
? k ? 0,? k ? 3 5 1 2 5 ,? 0 ? ? , 10 k 3 ? S?DMN ? (0, 29 5 ). 48

…………9 分

…… 11 分

18. 解: (Ⅰ) f ?( x) ?

ax 2 ? 2 x ? a , 其中 x ? 0, x
2

由题设知 a ? 0, 且关于 x 的方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有两个不相等的正数根,…… 1 分

? ? ? 4 ? 4a 2 ? 0 ? 2 ? 记为 x1 , x2 , 满足 ? x1 ? x2 ? ? 0 , 化简得 0 ? a ? 1, a ? x x ? 1 ? ? 1 2
经检验 0 ? a ? 1满足题设,故为所求;…… 4 分 (Ⅱ)方法一:由题设结合 x1 x2 ? 1, x1 ? x2 , 知 0 ? x1 ? 1, x2 ?

1 , x1

……………5 分

1 2 1 2 ax1 ? 2 x1 ? a ln x1 , n ? ax2 ? 2 x2 ? a ln x2 , 2 2 1 2 2 所以 m ? n ? a( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? a ln x1x2 2
且m ?

?

1 2 ?( x1 ? x2 ) 2 ? 2 x1 x2 ? ? ? ? 2( x1 ? x2 ) 2 x1 ? x2 ?

? ? ? 2 1 2 ? ?, ? ?( x1 ? x2 ) ? ? ? ?( x1 ? ) ? 1 x1 ? x2 x1 ? x1 ? ? ? x1 ? ? ?

……………7 分

7

因为 ( x1 ?

1 1 1 1 1 )? ? 1 ? 2 ? 0 ,所以 x1 ? 在区间 ( , ) 是减函数, x1 x1 x1 3 2
……………8 分

所以 x1 ?

1 5 10 ? ( , ), x1 2 3 1 2 5 10 2 , 且 g (t ) ? ?t ? ( ? t ? ) , g ?(t ) ? 2 ? 1 ? 0, x1 t 2 3 t

设 t ? x1 ?

5 10 ) 上是减函数, 2 3 5 33 10 59 59 33 g ( ) ? ? , g ( ) ? ? , 所以 g (t ) ? (? , ? ), 2 10 3 15 15 10 59 33 因此 m ? n ? (? , ? ). 15 10
所以 g (t ) 在区间 ( , 方法二:由题设结合 x1 x2 ? 1, x1 ? x2 , 知 0 ? x1 ? 1, x2 ?

……………9 分

……………11 分

1 , x1

……………5 分

1 2 1 2 ax1 ? 2 x1 ? a ln x1 , n ? ax2 ? 2 x2 ? a ln x2 , 2 2 1 2 2 所以 m ? n ? a( x1 ? x2 ) ? 2( x1 ? x2 ) ? a ln x1x2 2 a 4 4 2 ? ( 2 ? 2) ? ? ?a ? , 2 a a a 2 2 设 P(a) ? ?a ? (0 ? a ? 1) , P?(a) ? ?1 ? 2 ? 0 , a a
且m ? 所以 P(a ) 在区间 (0,1) 上是增函数, 而a ?

……………7 分

……………8 分

2 1 x1 ? x1

,设 h( x1 ) ?

2 1 x1 ? x1

,则 h( x1 ) 在 x1 ? (0,1) 时是增函数,

1 1 3 4 3 4 3 2 5 5 5 5 3 4 3 59 4 33 所以 P(a) ? ( P( ), P( )), 且 P( ) ? ? , P( ) ? ? , 5 5 5 15 5 10 59 33 因此 m ? n ? (? , ? ). 15 10
所以当 x1 ? ( , ) 时, h( x1 ) ? ( , ) ,即 a ? ( , ) ,

……………9 分

……………11 分

? ? ? 1 2 ? 1 2x ? ? ? x1 ? ? 2 1 方法三:由方法一知 m ? n ? ? ? ( x1 ? ) ? 1 x1 x1 x1 ? 1 ? x1 ? ? ? x1 ? ? ?
1 2( x 2 ? 1) 1 2x ? 设 q( x) ? ? x ? ? 2 ? x ? (0,1) ? ,则 q ( x) ? ?1 ? 2 ? 2 2 x ( x ? 1) x x ?1
8

…………7 分

? 2 1 ? (1 ? x 2 )(1 ? x 4 ) ? ( x 2 ? 1) ? 2 ? ? ? 0, 2 x2 ? x 2 ( x 2 ? 1) 2 ? ( x ? 1) ?
所以 q ( x ) 在区间 (0,1) 上是增函数, ……………9 分

59 1 33 , q( ) ? ? , 15 2 10 59 33 所以 m ? n ? (? , ? ). 15 10
而 q( ) ? ? 方法四:前同方法二知 m ? n ? ?a ?

1 3

……………11 分

2 (0 ? a ? 1) , a

……………7 分

2 当 0 ? a ? 1时,关于 x 的方程 ax ? 2 x ? a ? 0 有两个不相等的正数根 x1,2 ?

1 ? 1 ? a2 , a

?3 1 ? a 2 ? 3 ? a ? 1 1 ? 1 ? a2 1 3 4 ? ? , 即 ? 2 1 ? a 2 ? 2 ? a , 解得 ? a ? , 那么 ? 3 a 2 5 5 ?0 ? a ? 1 ? ?
下同方法二.

……………9 分

?a b? ? a b ? ?1? ?1? ? a ? b ? ?6 ? 19. (1)解: (Ⅰ)设 M= ? ? ,则由 ? ? ? ? =6 ? ? 得 ? ?=? ?, ?c d? ? c d ? ?1? ?1? ?c ? d ? ?6 ?

即 a+b=c+d=6.
? a ? 2b ? ?8 ? ? a b ? ?1 ? ?8 ? 由? ? ? ? = ? ? ,得 ? ? ? ? ? ,从而 a+2b=8,c+2d=4. ? c d ? ?2? ?4? ? c ? 2d ? ? 4 ?

…………1 分 ……………2 分

由 a+b =6 及 a+2b=8,解得 a=4,b=2; 由 c+d =6 及 c+2d=4,解得 c=8,d=-2,
?4 2 ? 所以 M= ? ?; ?8 ? 2 ?

……………3 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵 M 的特征多项式为
f (? ) ?

? ?4
?8

?2

??2

? (? ? 4)(? ? 2) ? 16 ? ? 2 ? 2? ? 24

……………4 分

令 f (? ) ? 0 ,得矩阵 M 的特征值为 6 与 ?4 .
?(? ? 4) x ? 2 y ? 0 ? 4x ? y ? 0 当 ? ? ?4 时, ? ??8 x ? (? ? 2) y ? 0

……………5 分

故矩阵 M 的属于另一个特征值 ?4 的一个特征向量为 ? ?4 ? .
? ?

? 1 ?

……………6 分

9

(2)解: (Ⅰ) 直线 l : x ? ay ? a ? 5 ? 0 ; 圆 C : x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,圆心为 C (1,1) ,半径 r ?
2 2

……………1分

2

……………2分 ……………3分 ……………5分

由题设知,直线 l 过圆心,所以 1 ? a ?1 ? a ? 5 ? 0 ,所以 a ? 2 ; (Ⅱ) 点 C 到直线 l 的距离为
2

2 a?2 a2 ? 1

, 因此

2 a?2 a2 ? 1

? 2,

整理得 a ? 8a ? 7 ? 0, ,所以 a ? 1 或 a ? 7. (3)解:(Ⅰ) 方法一: f ( x ? 2) ? x ? 2 ? 3 ? m ? 0 , x ? 1 ? m , 所以 m ? 0 ,且 ?m ? x ? 1 ? m,

……………6 分

……………1 分

所以 ?1 ? m ? x ? ?1 ? m, 又不等式的解集为 [?3,1] ,故 m ? 2 ;……………3 分
2 2 方法二: x ? 1 ? m 即: x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ,且 m ? 0 ,

……………1 分

不等式的解集为 [?3,1] ,所以方程 x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 的两个根为 ?3,1 ,
2 2

故 m ? 2; (Ⅱ) 证明一:

……………3 分

1 1 1 ? ? a ?b b ?c c ?a 1 1 1 1 ? (a ? b ? c) ( ? ? ) 2 a?b b?c c?a 1 1 1 1 ? ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a) ? ( ? ? ) 4 a?b b?c c?a
2

……………4 分

1? 1 1 1 ? ? ? a?b ? ? b?c? ? c?a? 4? a?b b?c c?a? ?

?

2 9 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时,等号成立. 3 4 1 1 1 证明二: ? ? a?b b?c c?a 1 1 1 1 ? ? (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a)? ? ( ? ? ) 4 a?b b?c c?a
1 1 ? 3 ? 3 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a ) ? 3 ? 3 4 (a ? b) ? (b ? c) ? (c ? a )

……………6 分

……………4 分

?

?

2 9 ,当且仅当 a ? b ? c ? 时,等号成立. 3 4

……………6 分

10


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