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函数周期性和对称性


周期性 对称性

周期性定义: 若T为非零常数,对于定义域内的任一x, 使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数, T叫做这个函数的一个周期.
思考: 若T为函数f(x)的一个周期,则-T、2T、 3T、kT (k为非零整数)是否也是这个函数的 一个周期?请说明理由.
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若函数f(x)对于定义域D内

的任一x都分别满足下列 关系式,试分别探究函数f(x)的周期性并写出函数 f(x)的一个周期: ① f(x+6)= f(x) ② f(x+3)= f(x-3) 周期为 ③ f(x+7)= f(x+1)

T ?6

若函数f(x)对于定义域内任意x都满足f(x+a)= f(x+b) (a≠b),则函数f(x)有何性质?

T ?| a ? b |

自变量差为定值,函数值相等
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若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列 关系式,试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数 f(x)的对称轴: ① f(2+x)= f(2-x) ② f(x)= f(4-x) 对称轴为 ③ f(x-1)= f(5-x)

x?2

对上述结果进行分析归纳: 当函数f(x)满足f(x)= f(a-x)时,对称轴为______. 当函数f(x)满足f(a+x)= f(b-x)时,对称轴为______.

自变量和为定值,函数值相等
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若函数f(x)对于定义域D内的任一x都分别满足下列关 系式,试分别探究函数f(x)的对称性并写出函数f(x)的 对称中心: ① f(2+x)= - f(2-x) ② f(x)= - f(4-x) 对称中心为 ③ f(x-1)= - f(5-x)

(2, 0)

对上述结果进行分析归纳: 当函数f(x)满足f(x)=- f(a-x)时,对称中心为___. 当函数f(x)满足f(a+x)=- f(b-x)时,对称中心为___. 当函数f(x)满足f(a+x)=- f(b-x)+c时,对称中心为___.

自变量和为定值,函数值和为定值
5

一个函数f(x)对于定义域内任意x都满足下列各式:
f(x+a)= f(x+b) 周期性 T=|a-b| 自变量差为定值,函数值相等(差为零)

a?b f(a+x)= f(b-x) x? 轴对称 2 自变量和为定值,函数值相等(差为零) a?b c f(a+x)=- f(b-x)+c , ) 中心对称 ( 2 2 自变量和为定值,函数值和为定值
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例1:⑴ 若函数f(x)=|x+a|,且f(x)满足对x∈R都有 f(3+x)=f(2-x),则实数a=______.
⑵ 若函数f(x)=(x+a)3,且f(x)满足对x∈R都 有f(3+x)=-f(2-x),则实数a=______.

例2:请写出函数f(x)=sinx的对称轴和对称中心, 并利用本节课所讲结论证明.

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例3:⑴ 函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=-f(x),若 f(2)=3,则f(2012)=______.
1 ⑵ 奇函数f(x)对x∈R都有f(x+4)= ? ,且 f ( x)

当x∈(0,2)时, f(x)=x,则f(2011)=_____.

例4:若函数f(x)满足对x∈R都有f(x+2)=f(2-x),且 f(x+2)=f(x) ,当x∈[2,3]时, f(x)=x2+x . ⑴ 分别求下列区间上函数f(x)的解析式: ① [1,2] ② [4,5] ③ [2011,2012] ⑵ 求区间[2k,2k+2](k∈Z)上函数f(x)的解析式.
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例5:若定义域为R的函数f(x)满足对任意x∈R都有 f(2+x)=f(2-x), f(1+x)=f(5-x) ,试判断函数 f(x)是否是周期函数? 思考:你可以推广得到关于周期的一般性结论吗? 两对称轴: x=a、x=b => 周期 T=2|a-b| => 周期 T=2|a-b|

两对称中心:(a,0)、(b,0)

一轴一中心: x=a 、(b,0)

=> 周期 T=4|a-b|

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例6:设函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足对 任意x∈R都有f(2+x)=-f(x),又当x∈[-1,1]时 f(x)=x3 , ⑴ 证明:直线x=1是f(x)图像的一条对称轴; ⑵ 当x∈[1,5]时,求函数f(x)的解析式. 例7:⑴ 若函数f(x)对任意x∈R都有f(a+x)=f(b-x), 则函数 f(x)的对称轴为__________. ⑵ 两个函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图像关 于直线_________对称.
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