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2016届高三第一次诊断性检测数学(文)试卷


第一次诊断性考试 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | ( x ? 1)( x ? 2) ? 0} , B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,则 A ? B ? (A) {x | ?1 ? x

? 2} (C) {x | ?1 ? x ? 2} 2.在 ?ABC 中,“ A ? (B) {x | ?1 ? x ? 2} (D) {x | ?2 ? x ? 1}

2 ? ”是“ cos A ? ”的 2 4

4

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 3.如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余 部分与挖去部分的体积之比为 (A) 3 :1 (B) 2 :1 (C) 1:1 (D) 1: 2 4.设 a ? ( )

正视图

侧视图

7 9

?

1 4

, b ? ( ) 5 , c ? log 2

9 7

1

7 ,则 a, b, c 的大小顺序 9

俯视图

是 (A) b ? a ? c (B) c ? a ? b (C) c ? b ? a (D) b ? c ? a 5.已知 m, n 为空间中两条不同的直线, ? , ? 为空间中两个不同的平面,下列命题中正确 的是 (A)若 m // ? , m // ? ,则 ? // ? (B)若 m ? ? , m ? n ,则 n //? (C)若 m // ? , m // n ,则 n // ? (D)若 m ? ? , m // ? ,则 ? ? ? 开始
输入k
S ? 0, n ? 0

?x ? y ? 4 ? 0 ? 6 . 已 知 实 数 x, y 满 足 ? x ? y ? 2 ? 0 , 则 ?y ? 2 ? 0 ?
z ? y ? 2 x 的最大值是

n?k?



(A)2

(B)4

(C)5

(D)6


S ? S ? 2n ? 2
n ? n ?1

7.执行如图所示程序框图,若使输出的结果不大于

输出S

结束

50,则输入的整数 k 的最大值为 (A)4 (B)5 (C)6 (D)7

8 . 已 知 菱 形 ABCD 边 长 为 2 , ?B ?

??? ? ??? ? ? , 点 P 满 足 AP ? ? AB , ? ? R . 若 3

??? ? ??? ? BD ? CP ? ?3 ,则 ? 的值为
(A)

1 2

(B) ?

1 2

(C)

1 3

(D) ?

1 3

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,若 E 上存在点 P 使 a 2 b2 a2 2? ?F1 F2 P 为等腰三角形,且其顶角为 ,则 2 的值是 b 3 2 3 3 4 3 (A) (B) (C) (D) 3 2 3 4
9.已知双曲线 E : 10.已知函数 f ( x) ? ?

?log 2 (2 ? x), 0 ? x ? k
3 2 ? x ? 3x ? 3, k ? x ? a

.若存在实数 k 使得函数 f ( x) 的值域为

[?1,1] ,则实数 a 的取值范围是
(A) [ ,1 ? 3]

3 2

(B) [2,1 ? 3]

(C) [1,3]

(D) [2,3]

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.设复数 z 满足 ?iz ? (3 ? 2i)(1 ? i) (其中 i 为虚数单位) ,则 z ? 12.已知函数 f ( x) ? x ? sin x ? 1 .若 f (a ) ? 3 ,则 f (? a ) ? 13.甲、乙两人在 5 次综合测评中成绩的茎叶图如图所示, 其中一个数字被污损, 记甲, 乙的平均成绩分别为 x 甲 ,x 乙 . 则 x 甲 ? x 乙 的概率是
2 2
?3

. . 甲 7 5 9 乙 6 4 1



4

8 9

7 2

O 为坐标原点, 14. 已知圆 x ? y ? 4 , 过点 P (0,1) 的直线 l 交该圆于 A, B 两点, 则 ?OAB 面积的最大值是 .

15.某房地产公司要在一块矩形宽阔地面(如图)上开发物业 , 阴影部分是不能开发的古建筑群, 且要求用在一条直线上的栏栅进 行隔离,古建筑群的边界为曲线 y ? 1 ?

4 2 x 的一部分,栏栅与矩 3

形区域边界交于点 M , N .则当能开发的面积达到最大时,OM 的长为 .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知等比数列 {an } 的公比 q ? 1 ,且 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 . (Ⅰ)求 q 的值;
2 (Ⅱ)若 a5 ? a10 ,求数列 {

an } 的前 n 项和 S n . 3n

17. (本小题满分 12 分) 有编号为 A1 , A2 ,? , A9 的 9 道题,其难度系数如下表: 编号

A1

A2

A3

A4

A5

A6

A7

A8

A9

0.48 0.56 0.52 0.37 0.69 0.47 0.47 0.58 0.50 难度系数 其中难度系数小于 0.50 的为难题. (Ⅰ)从上述 9 道题中,随机抽取 1 道,求这道题为难题的概率; (Ⅱ)从难题中随机抽取 2 道,求这两道题目难度系数相等的概率.

18. (本小题满分 12 分)

5 3 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x . 4 2 4 (Ⅰ)求函数 f ( x) 取得最大值时 x 取值的集合;
已知函数 f ( x) ?

C 为锐角三角形 ABC 的三个内角.若 cos B ? (Ⅱ) 设 A, B,
的值.

3 1 ,f (C ) ? ? , 求 sin A 5 4

19. (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 与正三角形 BCE 的边长均为 2,它们所在平面 互相垂直, FD ? 平面 ABCD ,且 FD ? 3 . (Ⅰ)求证: EF // 平面 ABCD ; (Ⅱ)若 ?CBA ? 60? ,求几何体 EFABCD 的体积.
B

F E C D A

20. (本小题满分 13 分) 已知椭圆 E : 点. (Ⅰ)求直线 PA 与 PB 的斜率之积;

x2 y 2 ? ? 1 的左右顶点分别为 A , B ,点 P 为椭圆上异于 A, B 的任意一 3 2

3 , 0) 作与 x 轴不重合的任意直线交椭圆 E 于 M , N 两点.证明:以 5 MN 为直径的圆恒过点 A .
(Ⅱ)过点 Q (?

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ?

1 2 ax ? (1 ? a ) x ? ln x(a ? R ) . 2 (Ⅰ)当 a ? 0 时,求函数 f ( x) 的单调递减区间;
(Ⅱ)当 a ? 0 时,设函数 g ( x) ? xf ( x) ? k ( x ? 2) ? 2 .若函数 g ( x) 在区间 [ , ??) 上

1 2

有两个零点,求实数 k 的取值范围.

数学(文科)参考答案及评分意见
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.B; 2.B; 3.C; 4.C; 5.D; 6.D; 7.A; 8.A; 9.D; 10.B.

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二.填空题:(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11. 1 ? 5i ; 12. -1 ; 13.

2 ; 5

14. 3 ;

15. 1 .

三、解答题:(本大题共 6 小题,共 75 分) 16.解: (Ⅰ)? 2(an ? an ? 2 ) ? 5an ?1 ,
2

? 2(an ? an q 2 ) ? 5an q.

由题意,得 an ? 0 ,? 2q ? 5q ? 2 ? 0.

1 ?q ? 2 或 . 2 ? q ? 1, ? q ? 2.
(Ⅱ)? a ? a10 ,
2 5

……………………6 分

? (a1q ) ? a1q .
4 2 9

? a1 ? 2 .

? an ? a1q n ?1 ? 2n.
an 2 ? ( )n . n 3 3 2 2 [1 ? ( ) n ] n ?1 3 ? 2? 2 . ? Sn ? 3 2 3n 1? 3
?

……………………12 分

17.解: (Ⅰ)记“从 9 道题中,随机抽取 1 道为难题”为事件 M ,9 道题中难题有 A1 , A4 ,

A6 , A7 四道.
∴ P( M ) ?

4 . 9

……………6 分

(Ⅱ)记“从难题中随机抽取 2 道难度系数相等”为事件 N ,则基本事件为: { A1 , A4 } ,

{ A1 , A6 } , { A1 , A7 } , { A4 , A6 } , { A4 , A7 } , { A6 , A7 } 共 6 个;难题中有且仅有 A6 , A7 的
难度系数相等. ∴ P( N ) ?

1 . 6

……………12 分

18.解: (Ⅰ) f ( x) ?

5 3 1 cos 2 x ? sin x cos x ? sin 2 x 4 2 4

?

5 3 sin 2 x 3 1 ? cos 2 x 1 3 3 ? ? ? ? ? ? (? cos 2 x ? sin 2 x) 4 2 2 2 2 2 4 4
1 3 ? ? sin(2 x ? ). 2 2 3
……………………3 分

?

要使 f ( x) 取得最大值,须满足 sin(2 x ? ) 取得最小值.

? 3

? ? ? 2k ? ? , k ? Z. 3 2 ? ? x ? k ? ? , k ? Z. 12

? 2x ?

……………………5 分

? 当 f ( x) 取得最大值时, x 取值的集合为 {x | x ? k ? ?
(Ⅱ)由题意,得 sin(

? , k ? Z}. ……………………6 分 12

? 3 ? 2C ) ? ? . 3 2
………………9 分

? ? 2? ? ? ? C ? (0, ), ? ? 2C ? (? , ). ? C ? . 2 3 3 3 3 ? 4 ? B ? (0, ) ,? sin B ? . 2 5
? sin A ? sin( B ? C ) ? sin B cos C ? cos B sin C

?

4 1 3 3 4?3 3 ? ? ? ? . 5 2 5 2 10

………………12 分

19.解: (Ⅰ)如图,过点 E 作 EH ? BC 于 H ,连接 HD.

? EH ? 3.

F E C H B A D

? 平面 ABCD ? 平面 BCE , EH ? 平面 BCE, 平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC, ? EH ? 平面 ABCD.
又? FD ? 平面 ABCD , FD ? 3.

? FD //EH .

? 四边形 EHDF 为平行四边形. ? EF//HD.
? EF ? 平面 ABCD , HD ? 平面 ABCD,

? EF // 平面 ABCD.

………6 分

(Ⅱ)连接 CF , HA .由题意,得 HA ? BC .

F E C H B A D

? HA ? 平面 ABCD, 平面 ABCD ? 平面 BCE 于 BC, ? HA ? 平面 BCE . ? FD //EH , EH ? 平面 BCE , FD ? 平面 BCE, ? FD // 平面 BCE. 同理,由 HB //DA 可证, DA// 平面 BCE. ? FD ? DA 于 D, FD ? 平面 ADF , DA ? 平面 ADF ,

? 平面 BCE // 平面 ADF . ? F 到平面 BCE 的距离等于 HA 的长. ? FD 为四棱锥 F ? ABCD 的高,
?VEFABCD ? VF ? BCE ? VF ? ABCD

1 1 1 1 ? S? BCE ? HA ? S? ABCD ? FD ? ? 3 ? 3 ? ? 2 3 ? 3 3 3 3 3

? 3.

……………………………12 分

20.解: (Ⅰ) A(? 3, 0), B( 3, 0) .设点 P ( x, y ) ( y ? 0) .

则有

x2 y 2 x2 2 ? ? 1 ,即 y 2 ? 2(1 ? ) ? (3 ? x 2 ). 3 2 3 3
2 (3 ? x 2 ) y y y2 2 ? ? ? 2 ?3 2 ?? . x ?3 3 x ? 3 x ? 3 x ?3

? k PA ? k PB

……………………4 分

? MN 与 x 轴不重合,∴设直线 lMN : x ? ty ? (Ⅱ) 设 M ( x1 , y1 ) ,N ( x2 , y2 ) ,
? 3 4 3 144 ? x ? ty ? , 得 (2t 2 ? 3) y 2 ? 由? ty ? ? 0. 5 5 25 ?2 x 2 ? 3 y 2 ? 6 ? 0 ?
? 4 3 t ? 5 ? y1 ? y2 ? 2 ? 2t ? 3 . 由题意,可知 ? ? 0 成立,且 ? 144 ? ? ? y1 y2 ? 225 ? 2t ? 3 ?

3 (t ? R ) . 5

??(*)

???? ? ???? 4 3 4 3 AM ? AN ? ( x1 ? 3, y1 )( x2 ? 3, y2 ) ? (ty1 ? )(ty2 ? ) ? y1 y2 5 5

? (t 2 ? 1) y1 y2 ?

4 3 48 t ( y1 ? y2 ) ? . 5 25

将(*)代入上式,化简得

144 2 144 48 2 ???? ? ???? ? 25 t ? 25 ? 25 t 48 48 2t 2 ? 3 48 AM ? AN ? ? ?? ? 2 ? ? 0. 2t 2 ? 3 25 25 2t ? 3 25 ∴ AM ? AN ,即以 MN 为直径的圆恒过点 A . ………………13 分 (ax ? 1)( x ? 1) 21.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0, ??) , f ?( x) ? ? (a ? 0). x 1 ①当 a ? (0,1) 时, ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 或 x ? 1 .∴当 x ? (0,1) , x ? ( , ??) 时, f ( x) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) . a ②当 a ? 1 时,恒有 f ?( x) ? 0 ,∴ f ( x) 单调递减. ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) . 1 ③当 a ? (1, ??) 时, ? 1 . a 1 1 由 f ?( x) ? 0, 得 x ? 1 或 x ? .∴当 x ? (0, ) , x ? (1, ??) 时, f ( x) 单调递减. a a 1 ∴ f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . a 1 综上,当 a ? (0,1) 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0,1) , ( , ??) ; a 当 a ? 1 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ??) ; 1 当 a ? (1, ??) 时, f ( x) 的单调递减区间为 (0, ) , (1, ??) . ………6 分 a
2 (Ⅱ) g ( x) ? x ? x ln x ? k ( x ? 2) ? 2 在 x ? [ , ??) 上有零点,

1 2

即关于 x 的方程 k ?

x 2 ? x ln x ? 2 1 在 x ? [ , ??) 上有两个不相等的实数根. x?2 2

x 2 ? x ln x ? 2 1 , x ? [ , ??) . 令函数 h( x) ? x?2 2
则 h?( x) ? 则 p?( x) ?

1 x 2 ? 3x ? 2 ln x ? 4 2 . 令函数 p ( x) ? x ? 3 x ? 2 ln x ? 4, x ? [ , ??) . 2 2 ( x ? 2)
(2 x ? 1)( x ? 2) 1 在 [ , ??) 上有 p?( x) ? 0 . x 2

故 p ( x) 在 [ , ??) 上单调递增.

1 2

? p (1) ? 0 ,

? 当 x ? [ ,1) 时,有 p( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 .∴ h( x) 单调递减;
当 x ? (1, ??) 时,有 p ( x) ? 0 即 h?( x) ? 0 ,∴ h( x) 单调递增.

1 2

102 ? 10 ln 2 102 ? 10 23 1 1 9 ln 2 ? ? ? h( ) , , h(1) ? 1, h(10) ? ? h( ) ? ? 12 12 3 2 2 10 5

? k 的取值范围为 (1,

9 ln 2 ? ]. 10 5

…………14 分


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