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时椭圆的简单几何性质1课件


2.2.2 椭圆的简单几何性质

第一课时 椭圆的简单几何性质

课前自主学案

温故夯基
1.平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常 椭圆 数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做_____.这两个定

焦点 点叫做椭圆的_____,两焦点间的距离叫做椭圆
焦距 的_____.



2.写出椭圆的标准方程 2 2 x y 2+ 2=1(a>b>0) a b 焦点在x轴上时是_________________. 2 2 y x 2+ 2=1(a>b>0) 焦点在y轴上时是_________________. a b 3.到两定点F1(0,-1),F2(0,1)的距离的和等于 y2 x2 + =1 4的动点M的轨迹方程是___________. 4 3

二、椭圆
1、范围:x ? 1, 2
a
2

简单的几何性质
y2 ? 1得 : 2 b

-a≤x≤a,

-b≤y≤b

椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中 y
B2

A1

b F1

a F2

A2

o c
B1

y

B2 A1
F1 b O a c F 2 B1

A2
x

容易算得:| B2F2|=a

△B2F2O叫椭圆的特征三角形。

2,对称性
在曲线方程里,如果以-x代x方程不变,那么曲线关 于y轴对称

y

F1

O

F2

x

椭圆关于y轴对称。

在曲线方程里,如果以-y代y方程不变,那么曲线关于 x轴对称

y

F1

O

F2

x

椭圆关于x轴对称。

在曲线方程里,如果同时以-x代x,以-y代y方程不变, 那么曲线关于原点对称

y A1 F1 O

F2
A2

x

椭圆关于原点对称。

y

F1

O

F2

x

椭圆关于y轴、x轴、原点对称。

x y 在 2 ? 2 ? 1 中令y=0, a b
可得x= ? a 从而:A1(-a,0),A2(a,0)
A1

2

2

y B2 A2 O

x B1

同理:B1(0, -b),B2(0, b)

线段 A1 A2、B1B2 分别叫做椭圆的长轴和短轴. 它们的长度分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长 半轴长和短半轴长

y

O

x

上面椭圆的形状有什么变化?

离心率
椭圆的焦距与长轴长的比值
e ? c ,叫做椭圆的离心率 a

1 当e接近1时,c越接近a,从而 b ? a 2 ? c 2 越小,因此椭圆越扁。 2 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,图形越接近于圆。 3 当e=0时,c=0,a=b两焦点重合,椭圆的标准方程为图形就是圆。

y
x O

显然,a不变,b越小,椭圆越扁。 也即,a不变,c越大,椭圆越扁。
e? c a

课堂互动讲练

考点突破

椭圆的简单几何性质 已知椭圆的方程讨论其性质时,应先把椭圆的
方程化成标准形式,找准a与b,才能正确地写

出其相关性质.在求顶点坐标和焦点坐标时,
应注意焦点所在的坐标轴.

例1 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点

坐标、顶点坐标和离心率.
【思路点拨】 化为标准形式 → 确定焦点位置

→ 求a,b,c → 求椭圆几何性质

【解】

x2 y2 将椭圆方程变形为 + =1, 9 4

∴a=3,b=2,∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5; 焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0);顶点坐标 为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2),B2(0,2);离 c 5 心率 e= = . a 3

互动探究1

若本例中椭圆方程变为:“4x2+y2

=1”,试求长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐 标和离心率.

y2 x2 1 解:已知方程为 + =1,所以 a=1,b= ,c 1 1 2 4 = 1 3 1- = ,因此,椭圆的长轴的长和短轴的 4 2

c 3 长分别为 2a=2,2b=1,离心率 e= = ,两个 a 2 焦点分别为 个顶点是
? ? F1?0,- ? ? 3? 3? ? ? ? ,F2?0, ? ,椭圆的四 2? 2? ? ?

? ? ?1 ? 1 ? ? ? A1(0, -1), 2(0,1), 1?-2,0?, 2?2,0?. A B B ? ? ? ? ?

利用椭圆的几何性质求标准方程

(1)利用椭圆的几何性质求标准方程通常采用待
定系数法. (2)根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“ 选标准,定参数”,一般步骤是:①求出a2, b2的值;②确定焦点所在的坐标轴;③写出标

准方程.

求适合下列条件的椭圆的标准方程: 2 (1)长轴长是 6,离心率是 ; 3 (2)在 x 轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连
例2

线互相垂直,且焦距为 6.
【思路点拨】 因为要求的是椭圆的标准方程,

故可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数
法求参数a,b,c.

x2 y2 y2 【解】 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1(a>b>0)或 2+ a b a x2 =1(a>b>0).由已知得 2a=6,∴a=3. b2 c 2 又 e= = ,∴c=2.∴b2=a2-c2=9-4=5. a 3 x2 y2 y 2 x2 ∴椭圆的标准方程为 + =1 或 + =1. 9 5 9 5 (2)由题意知焦点在 x 轴上, x2 y2 故可设椭圆的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0), 且两 a b 焦点为 F′(-3,0),F(3,0).

如图所示,△A1FA2 为等腰直角三角形,

OF 为斜边 A1A2 的中线, 且|OF|=c, 1A2|=2b, |A ∴c=b=3. ∴a2=b2+c2=18. x2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1. 18 9

求椭圆的离心率
求椭圆的离心率的常见思路:一是先求a,c,

再计算e;二是依据条件中的关系,结合有关
知识和a、b、c的关系,构造关于e的方程,再 求解.注意e的范围:0<e<1.

x2 y 2 例3 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x a b 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠ F1PF2=60° ,则椭圆的离心率为( ) 2 3 A. B. 2 3 1 C. 2
【思路点拨】

1 D. 3
本题先求得P点坐标,再利用

直角三角形,得出a,b,c的关系.

b2 【解析】 由题意知点 P 的坐标为(-c, )或(- a 2 b c,- ),∵∠F1PF2=60° , a 2c ∴ 2 = 3,即 2ac= 3b2= 3(a2-c2). b a 3 ∴ 3e +2e- 3=0, ∴e= 或 e=- 3(舍去). 3
2

【答案】

B

【名师点评】

变式训练3

已知椭圆的两个焦点为F1、F2,A为

椭圆上一点,且AF1⊥AF2,∠AF2F1=60°,求 该椭圆的离心率. 解:不妨设椭圆的焦点在x轴上,画出草图如图所 示.

由 AF1 ⊥AF2 知△AF1F2 为直角三角形,且∠ AF2F1=60° . 由椭圆定义,知|AF1|+|AF2|=2a,|F1F2|=2c.则 在 Rt△AF1F2 中,由∠AF2F1=60° 得|AF2|=c, |AF1|= 3c,所以|AF1|+|AF2|=2a=( 3+1)· c, c 所以离心率 e= = 3-1. a

知新益能 椭圆的几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准方程 范围

x 2 y2 + =1(a>b>0) a2 b2

y2 x 2 + =1(a>b>0) a2 b2

|x|≤a,|y|≤b ____________

|x|≤b,|y|≤a ____________

焦点的位置 顶点 轴长

焦点在x轴上 (±a,0),(0,±b) _________________

焦点在y轴上 (±b,0),(0,±a) ________________

长轴A1A2,长度为2a, 短轴B1B2,长度为2b

焦点
焦距

F1(-c,0),F2(c,0)

F1(0,-c),F2(0,c) __________________

|F1F2|=2c 坐标轴 (0,0) 对称轴:_______,对称中心:____

对称性
离心率

c a 椭圆的焦距与实轴长的比,即e=___


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