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四川省成都实验外国语学校2013届高三上学期12月月考 数学理试题


四川省成都实验外国语学校 2013 届高三上学期月考 数学理试题
试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分。满分 150 分,考试时间 120 分钟。 注意事项: 1.答题前,考试务必先认真核对条形码上的姓名,准考证号和座位号,无误后将本人姓名、准 考证号和座位号填写在相应位置, 2.答选择题时,必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂

其它答案标号; 3.答题时,必须使用黑色签字笔,将答案规范、整洁地书写在答题卡规定的位置上; 4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效; 5.考试结束后将答题卡交回,不得折叠、损毁答题卡。

第I卷

(选择题 共 50 分)

一、选择题: (每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 ) 1.设集合 A ? ?x | x ? 3? , B ? ? x | A. ? B. ? 3, 4 ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A ? B ? x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

? 4,???
25 3

2.已知向量 a ? ?1, m ? 2? , b ? ?m,?1? ,且 a // b ,则 b 等于 A. 2 B.2 C.

20 3

D.

3. “数列 ?an ? 为常数列”是“数列 ?an ? 既是等差数列又是等比数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题 P:若 x,y∈R.则|x|+ |y|>1 是|x+y| >1 的充分而不必要条件; 命题 q :函数 y= | x ?1| ?2 的定义域是(一∞,一 1]U[3,+∞) ,则 A. “pVq”为假 B.“p ? q”为真 C.“ p ? ? q ”为真 D.“ ? p ? q ”为真

5.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ? 3 cos x ,则 A.函数 f ?x ? 的周期为 2? B.函数 f ?x ? 在区间 ??

?

?

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 6? ?
?? ? ,0 ? 对称 ?6 ?

C.函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? ?

?
12

对称

D.函数 f ?x ? 的图象关于点 ?

·1·

6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ; ④若 l ∥ m ,则 ? ? ? . A.1 B.2 ②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; 其中真命题的个数为 C.3 D.4 ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;

7.将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m , n ,则函数 y ? 函数的概率是( A. ) B.

2 3 mx ? nx ? 1 在 ?1 , ? ?? 上为增 3

1 2

5 6

C.

3 4

D.

2 3

8.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值如下 表,f(x)的导 函 数 x -1 0 2 3 4 y ? f ?( x) 的 f(x) 1 2 0 2 0 图象如上右图所示。 -1

y

O

2

3

4

x

当 1<a<2 时,函数 y=f(x)-a 的零点的个数为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 9 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 = 9, a5 = 17 , 记 数 列 ?

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 an ? ?

S 2 n ?1 ? S n ?
A.5

m , (m ? Z ) ,对任意的 n ? N * 成立,则整数 m 的最小值为 10
B.4 C.3 D.2

10.设 O 是正三棱锥 P ? ABC 的底面⊿ ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S ,与 PA 、 PB 的 延长线分别交于 Q 、 R ,则 A、有最大值而无最小值 C、无最大值也无最小值

1 1 1 ? ? ( PQ PR PS

)

B、有最小值而无最大值 D、是与平面 QRS 无关的常数

·2·

第Ⅱ卷 (非选择题 共 100 分)
二、填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在 纸的相应位置上。 ) 11.输入 x=2,运行右图的程序输出的结果为 。 答 题

? a? ?x? 2 ? x ? 12.若 ? 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

6



?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2|x|+y 的取值范围_______ ? y ? ?1 ?
x x2 ?1 1 |? 2|log2 | , x ? ( , 2) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为_ 14.若不等式 a ? | x 2

? a11 ? 15.由 9 个正数组成的数阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 每行中的三个数成等差数列,且 a11 ? a12 ? a13 , a33 ? ?

a21 ? a22 ? a23 , a31 ? a32 ? a33 成等比数列.给出下列结论:
①第二列中的 a12 , a22 , a32 必成等比数列; ②第一列中的 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列; ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 ; 其中正确的序号有 ④若 9 个数之和大于 81,则 a 22 >9. . (填写所有正确结论的序号) .

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 75 分。 ) 16. (本题满分 12 分) 已知向量 m ? (cos 设函数 f ( x) ? m ? n +

??

? x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) , 2 2 2

?? ?

1 ? 3 (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; (2)在△ABC 中,角 A,B, 2 2 3

C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)的取值范围. 17. (本小题满分12分) 某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的 周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每 位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科 目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明,
·3·

各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 18. (本小题满分 12 分) P 如右图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA?CD,PA = 1, PD= 2 ,E 为 PD 上一点,PE = 2ED. (Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC? 若存在,指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由. 19 (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? 2ax2 ? 4 x ? 3 ? a , a ? R . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围. 20. (本小题满分 13 分)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? (Ⅲ)设 c n ? a n sin
B

E A D C

an?1 1 ? , an ? ( n ? 2, n ? N ) 。 n 4 (?1) an?1 ? 2

1 ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n ; 2 an

(2n ? 1)? 4 ? ,数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ,求证:对 ?n ? N , Tn ? 。 2 7 1 2 21.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? ax ? (a ? 1) x( a ? R且a ? 0) . 2
(1)求函数 f (x) 的单调递增区间; (2) 记函数 y ? F (x) 的图像为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 是曲线 C 上不同两点. 如果在 曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) 使得: x 0 ? ① 则称函数 F (x ) 存在“中值相依切线”.
·4·

x1 ? x 2 ; ②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 2

试问:函数 f (x) 是否存在“中值相依切线” ,请说明理由.

题及答案 一.选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A ? ?x | x ? 3? , B ? ? x | A. ? B. ? 3, 4 ?

? ?

x ?1 ? ? 0? ,则 A ? B ? B x?4 ?
C. ? ?2,1? D.

? 4,???
25 3

2.已知向量 a ? ?1, m ? 2? , b ? ?m,?1? ,且 a // b ,则 b 等于 A A. 2 B.2 C.

20 3

D.

3. “数列 ?an ? 为常数列”是“数列 ?an ? 既是等差数列又是等比数列”的 B A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.命题 P:若 x,y∈R.则 Ixl + lyl>1 是 Ix+yl >1 的充分而不必要条件; 命题 q :函数 y= | x ?1| ?2 的定义域是(一∞,一 1]U[3,+∞) ,则 D A. "pVq"为假 C. “ p ? ? q ”为真 B. "p ? q"为真 D.“ ? p ? q ”为真

5.已知函数 f ( x) ? cos x sin x ? 3 cos x ,则 C A.函数 f ?x ? 的周期为 2? B.函数 f ?x ? 在区间 ??

?

?

? ? ?? 上单调递增 , ? 6 6? ?

C.函数 f ?x ? 的图象关于直线 x ? ? D.函数 f ?x ? 的图象关于点 ?

?
12

对称

?? ? ,0 ? 对称 ?6 ?

6.已知直线 l , m ,平面 ? , ? ,且 l ? ? , m ? ? ,给出下列四个命题: ①若 ? ∥ ? ,则 l ? m ;②若 l ? m ,则 ? ∥ ? ; ③若 ? ? ? ,则 l ∥ m ;④若 l ∥ m ,则 ? ? ? .
·5·

其中真命题的个数为 B A.1 B.2

C.3

D.4

7.将一颗骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m , n ,则函数 y ? 上为增函数的概率是( A.
1 2

2 3 mx ? nx ? 1 在 ?1 , ? ?? 3

B
5 6

) C.
3 4

B.

D.

2 3
y

8.已知函数 f(x)的定义域为[-1,4] ,部分对应值如下 表,f(x)的导函数 y ? f ?( x) 的图象如上右图所示。 x f(x) -1 1 0 2 2 0 3 2 4 0 -1 O 2 3 4 x

当 1<a<2 时, 函数 y=f(x)-a 的零点的个数为 C) ( A.2 B.3 C.4 D.5 9 . 已 知 等 差 数 列 ?an ? 中 , a3 = 9, a5 = 17 , 记 数 列 ?

?1? ? 的 前 n 项 和 为 Sn , 若 ? an ?

S 2 n ?1 ? S n ?
A.5

m , (m ? Z ) ,对任意的 n ? N * 成立,则整数 m 的最小值为 B 10
B.4 C.3 D.2

10.设 O 是正三棱锥 P ? ABC 的底面⊿ ABC 的中心,过 O 的动平面与 PC 交于 S ,与 PA 、 PB 的 延长线分别交于 Q 、 R ,则

1 1 1 ? ? (D PQ PR PS

)

A、有最大值而无最小值 C、无最大值也无最小值

B、有最小值而无最大值 D、是与平面 QRS 无关的常数

二.填空题(每小题 5 分,共 25 分) 11.输入 x=2,运行下面的程序输出的结果为

1



·6·

? a? ?x? 2 ? x ? (理科)12.若 ? 展开式的常数项为 60,则常数 a 的值为

6

4



(文科)12.已知关于 x 的不等式 ax ? b ? 0 的解集是 (1, ??) ,则关于 x 的不等式 是 ▲ (?1,2) .

ax ? b ? 0 的解集 x?2

?x ? 3y ? 3 ? 0 ? 13.已知实数 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z=2|x|+y 的取值范围是____[-1,1]_____ ? y ? ?1 ?
x x2 ?1 1 |? 2|log2 | , x ? ( , 2) 上恒成立,则实数 a 的取值范围为_ a ? 1 14.若不等式 a ? | x 2

? a11 ? 15.由 9 个正数组成的数阵 ? a21 ?a ? 31

a12 a22 a32

a13 ? ? a23 ? 每行中的三个数成等差数列,且 a11 ? a12 ? a13 , a33 ? ?

a21 ? a22 ? a23 , a31 ? a32 ? a33 成等比数列.给出下列结论:
①第二列中的 a12 , a22 , a32 必成等比数列; ②第一列中的 a11 , a21 , a31 不一定成等比数列; ③ a12 ? a32 ? a21 ? a23 ; ④若 9 个数之和大于 81,则 a 22 >9. 其中正确的序号有 三.简答题 16. (本题满分 12 分) ①②③ . (填写所有正确结论的序号) .

? ?? ? 1 x x x , ?1), n ? ( 3 sin , cos 2 ) ,设函数 f ( x) ? m ? n + 2 2 2 2 ? 3 (1)若 x ? [0, ] ,f(x)= ,求 cos x 的值; 2 3 (2)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a , b, c ,且满足 2b cos A ? 2c ? 3a ,求 f(B)的取值
已知向量 m ? (cos

??

范围.

·7·

18、解: (1)依题意得 f ( x ) ? sin( x ? 由 x ? [0,

?
6

) ,????????????2 分

?
2

] 得: ? ?

6

? x?

?
6

?

? , sin( x ? ? ) ?
3

6

3 ? 0, 3

从而可得 cos( x ?

?
6

)?

6 ,????????????4 分 3

则 cos x ? cos[( x ?

?

? ? ? ? ? 2 3 ??6 分 ) ? ] ? cos cos( x ? ) ? sin sin( x ? ) ? ? 6 6 6 6 6 6 2 6
? 3 ,从而 0 ? B ? ,????????10 分 6 2

(2)由 2b cos A ? 2c ? 3a 得: cos B ? 故 f(B)=sin( B ?

?
6

) ? (? , 0]

1 2

????????????12 分

17. (理科) (本小题满分12分) 某高中为了推进新课程改革,满足不同层次学生的需求,决定从高一年级开始,在每周的 周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座,每 位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座,也可以放弃任何一门科 目的辅导讲座。 (规定:各科达到预先设定的人数时称为满座,否则称为不满座)统计数据表明, 各学科讲座各天的满座的概率如下表:

根据上表: (1)求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率; (2)设周三各辅导讲座满座的科目数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列和数学期望。 17、解(I)设数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座为事件 A, 则 P ( A) ? (1 ? )(1 ? )(1 ? ) ?

1 2

2 3

2 3

1 ?????????????????????4 分 18

(II) ? 的可能值得为 0,1,2,3,4,5

1 2 1 P (? ? 0) ? (1 ? ) 4 ?(1 ? ) ? , 2 3 48 1 1 3 2 1 2 1 1 P(? ? 1) ? C4 ? ?(1 ? ) ? ? ) ? (1 ? ) 4 ? ? , (1 2 2 3 2 3 8 1 2 1 2 2 1 2 7 2 1 1 P(? ? 2) ? C4 ?( ) ?(1 ? ) ?(1 ? ) ? C4 ? (1 ? )3 ? ? , 2 2 3 2 2 3 24
·8·

1 2 1 2 1 3 1 2 1 P(? ? 3) ? C4 ?( )3 ?(1 ? )? ? ) ? C4 ? ) 2 ? ? ) 2 ? ? , (1 ( (1 2 2 3 2 2 3 3 1 2 1 2 1 3 1 P(? ? 4) ? ( ) 4 ? ? ) ? C4 ? )3 ? ? )? ? , (1 ( (1 2 3 2 2 3 16 1 2 1 P (? ? 5) ? ( ) 4 ? ? , ???????????????????????9 分 2 3 24
所以随机变量 ? 的分布列如下:

?

0

1

2

3

4

5

1 1 7 3 1 8 3 24 16 24 1 1 7 1 3 1 8 故 E? ? 0? ? 1? ? 2? ? 3? ? 4? ? 5? ? ?????????12 分 48 8 24 3 16 24 3

P

1 48

17. (文科) (本题满分 13 分) 2013 年春晚歌舞类节目成为春晚顶梁柱,尤其是不少创意组合都被网友称赞很有新意。王 力宏和李云迪的钢琴 PK,加上背景板的黑白键盘,更被网友称赞是行云流水的感觉。某网站从 2012 年 11 月 23 号到 11 月 30 做了持续一周的在线调查,共有 n 人参加调查,现将数据整理分 组如题中表格所示。 序号 1 2 3 4 5 年龄分组 [20,25) [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) 组中值 mi 22.5 27.5 32.5 37.5 42.5 频数(人数) x 800 y 1600 z 频率(f) s t 0.40 0.32 0.04

(2)求 n 及表中 x,y,z,s,t 的值 (3)为了对数据进行分析,采用了计算机辅助计算,分析其中一部分计算,见算法流程图,求输出 的 S 值,并说 明 S 的统计意义。 (3)从年龄在[20,30)岁人群中采用分层抽样法抽取 6 人参加元宵晚会活动,其中选取 2 人作 为代表发言,求选 开 取 2 S=0 名 代 i=1 表 中 输入 mi , fi 恰 有 s ? s ? mi fi 1 i=i+1 人 否 年

·9·

1600 =5000,x=5000-(800+2000+1600+200)=400,y=5000 × 0.32 400 400 0.40=2000,z=5000×0.04=200,s= =0.08,t= =0.16????????4 分 5000 5000
17 、 解 :( 1 ) 依 题 意 则 有 n= (2) 依 题 意 则 有 S = 22.5 × 0.08+27.5 × 0.16+32.5 × 0.40+37.5 × 0.32+42.5 × 0.04=32.9; ????????????5 分 S 的统计意义即是指参加调查者的平均年龄。????????????6 分 (3)∵[20,25)年龄段与[25,30)年龄段人数的比值为

400 1 ? ,??????8 分 800 2

∴采用分层抽样法抽取 6 人中年龄在[20,25)岁的有 2 人,年龄在[25,30)岁的有 4 人,设在[25,30) 岁的 4 人分别为 a,b,c,d,在[20,25)岁中的 2 人为 m,n;选取 2 人作为代表发言的所有可能情况为 (a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b,m),(b,n),(c,d), (c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n) 共 有 15 种 , 其 中 恰 有 1 人 在 年 龄 [25,30) 岁 的 代 表 有 (a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m),(c,n)共 8 种,????????????12 分 故概率 P ?

8 ????????????13 分 15

18. (本小题满分 12 分) 如图所示, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 1 的正方形,PA?CD,PA = 1, PD= 2 ,E 为 PD 上一点,PE = 2ED. (Ⅰ)求证:PA ?平面 ABCD; (Ⅱ)求二面角 D-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)在侧棱 PC 上是否存在一点 F,使得 BF // 平面 AEC? 若存在,指出 F 点的位置,并证明;若不存在,说明理由. 18、解: (Ⅰ) ? PA = PD = 1 ,PD = 2 , ? PA2 + AD2 = PD2, 即:PA ? AD 又 PA ? CD , AD , CD 相交于点 D, ? PA ? 平面 ABCD (Ⅱ)过 E 作 EG//PA 交 AD 于 G, 从而 EG ? 平面 ABCD, 且 AG = 2GD , EG = 1 1 PA = , 3 3 ---2 分 -------4 分
B A E D C P

------5 分

连接 BD 交 AC 于 O, 过 G 作 GH//OD ,交 AC 于 H, 连接 EH.? GH ? AC , ? EH ? AC , ? ? EHG 为二面角 D—AC―E 的平面角.

-----6 分

6 EG 2 -------8 分 ? tan?EHG = GH = 2 .? 二面角 D—AC―E 的平面角的余弦值为 3

·10·

(Ⅲ)以 AB , AD , PA 为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系. 则 A(0 ,0, 0) ,B(1,0,0) ,C(1,1,0) ,P(0,0,1) ,E(0 , 2 1 , ), AC = (1,1,0), 3 3 ---9 分

AE = (0 , 3 ,3 )
设平面 AEC 的法向量 n = (x, y,z) , 则

2 1

?n ? AC ? 0 ?x ? y ? 0 ? ,即: ? , 令y=1, ? ?n ? AE ? 0 ?2 y ? z ? 0 ?
则 n = (- 1,1, - 2 ) 假设侧棱 PC 上存在一点 F, 且 CF = ? CP , (0 ? ? ? 1), 使得:BF//平面 AEC, 则 BF ? n = 0. 又因为: BF = BC + CF = (0 ,1,0)+ (- ? ,- ? , ? )= (- ? ,1- ? , ? ),
? BF ? n = ? + 1-

-------------10 分

? - 2? = 0 , ?? = 2 ,
----------------12 分

1

所以存在 PC 的中点 F, 使得 BF//平面 AEC.

2 19 (本小题满分 12 分)函数 f ( x) ? 2ax ? 4 x ? 3 ? a , a ? R .

(Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 在 ??1,1? 上的最大值; (Ⅱ)如果函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在零点,求 a 的取值范围. 19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,则 f ( x) ? 2 x ? 4 x ? 4
2

? 2( x2 ? 2 x) ? 4 ? 2( x ? 1)2 ? 6 .
因为 x???1,1? ,所以 x ? 1 时, f ( x)max ? f (1) ? 2 . ??????????3 分 (Ⅱ)当 a ? 0 时, f ( x) ? 4 x ? 3 ,显然在 ?? 1,1? 上有零点, 所以 a ? 0 时成立.??4 分 当 a ? 0 时,令 ? ? 16 ? 8a(3 ? a) ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0 , 解得 a ? ?1, a ? ?2 . ???????????????5 分

·11·

(1) 当 a ? ?1 时,

f ( x) ? ?2x2 ? 4x ? 2 ? ?2( x ?1)2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ? 1?[ ? 1,1] ;
2 2 当 a ? ?2 时, f ( x) ? ?4 x ? 4 x ? 1 ? ?4( x ? ) .

1 2

由 f ( x) ? 0 ,得 x ?

1 ? [ ? 1,1] , 2

所以当 a ? 0, ?1, ?2 时, y ? f ( x) 均恰有一个零点在 ??1,1? 上.??????7 分 (2)当 f (?1)?f (1) ? ( a ? 7)( a ?1) ? 0 ,即 ?1 ? a ? 7 时,

y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上必有零点.
(3)若 y ? f ? x ? 在 ??1,1? 上有两个零点, 则

???????????????9 分

?a ? 0, ?a ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ?? ? 8(a ? 1)(a ? 2) ? 0, ? ? ? ? 1 1 或 ??1 ? ? ? 1, ??1 ? ? ? 1, a a ? ? ? f (?1) ? 0, ? f (?1) ? 0, ? ? ? f (1) ? 0 ? f (1) ? 0.
解得 a ? 7 或 a ? ?2 .

???????13 分

综上所述,函数 f ( x) 在区间 ??1,1? 上存在极值点,实数 a 的取值范围是

a ? ?1 或 a ? ?2 .

???????????????14 分

20. (本小题满分 13 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

an?1 1 ? , an ? ( n ? 2, n ? N ) 。 n 4 (?1) an?1 ? 2

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 ,求 ?bn ?的前 n 项和 S n ; 2 an
(2n ? 1)? 4 ? ,数列 ?c n ?的前 n 项和 T n ,求证:对 ?n ? N , Tn ? 。 2 7
·12·

(Ⅲ)设 c n ? a n sin

20、解: (Ⅰ)∵

? 1 ? 1 1 2 ,∴ ? (?1) n ? ? (?1) n ? (?2)? ? (?1) n?1 ? , an a n ?1 an ? an?1 ?

又∵

?1 ? 1 ? (?1) ? 3 ,∴数列 ? ? (?1) n ? 是首项为 3,公比为-2 的等比数列, a1 ? an ?

(?1) n ?1 1 。????????????4 分 ? (?1) n = 3(?2) n?1 ,即 a n ? an 3 ? 2 n ?1 ? 1
(Ⅱ) bn ? (3 ? 2 n?1 ? 1) 2 ? 9 ? 4 n?1 ? 6 ? 2 n?1 ? 1,

Sn = 9 ?

1 ? (1 ? 4 n ) 1 ? (1 ? 2 n ) ? 6? ? n = 3 ? 4 n ? 6 ? 2 n ? n ? 9 。???8 分 1? 4 1? 2
(2n ? 1)? (?1) n?1 1 = (?1) n ,∴ cn ? , ? n ?1 n n ?1 2 3 ? (?2) ? (?1) 3? 2 ?1

(Ⅲ)∵ sin

当 n≥3 时, T n =

1 1 1 1 ? ? ??? 2 n ?1 3 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 3? 2 ?1 1 1 ? [1 ? ( ) n ? 2 ] 11 12 1 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ??? ? = 2 3 n ?1 1 4 7 3? 2 3? 2 3? 2 28 1? 2

=

11 1 ? 1 ? 11 1 47 4 ? ? ? ,?????12 分 ? ? ?1 ? ( ) n ?2 ? ? 28 6 ? 2 ? 28 6 84 7
4 。???????????13 分 7

? 又∵ T1 ? T2 ? T3 ,∴对 ?n ? N , Tn ?

21(理科) .(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? (1)求函数 f (x) 的单调递增区间;

1 2 ax ? (a ? 1) x(a ? R且a ? 0) . 2

(2) 记函数 y ? F (x) 的图像为曲线 C .设点 A( x1 , y1 ),B( x2 , y 2 ) 是曲线 C 上不同两点. 如果在 曲线 C 上存在点 M ( x0 , y0 ) 使得: x 0 ? ① 则称函数 F (x ) 存在“中值相依切线”.
·13·

x1 ? x 2 ; ②曲线 C 在点 M 处的切线平行于直线 AB , 2

试问:函数 f (x) 是否存在“中值相依切线” ,请说明理由.

1 ? 函数 f ( x) 在 (0,1) 和 (? , ??) 上单调递增 a
综上所述:⑴当 a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 ⑵当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ? ) 和 (1, ??) 上单调递增 ⑶当 a ? ?1 时,函数 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递增; ⑷当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x) 在 (0,1) 和 ( ?

。。。。。。6 分 。。。。。

1 a

1 , ??) 上单调递增 a

………….7 分

·14·

依题意得:

ln x2 ? ln x1 1 x ?x 2 ? a( x1 ? x2 ) ? (a ? 1) ? ? a ? 1 2 ? (a ? 1) . x2 ? x1 2 x1 ? x2 2
x 2( x2 ? x1 ) ln x2 ? ln x1 2 ? ? , 即 ln 2 = x1 x2 ? x1 x1 ? x2 x2 ? x1
2( x2 ? 1) x1 . x2 ?1 x1

化简可得:

….11 分



2(t ? 1) 4 4 x2 ? 2? ? 2. ? t ( t ? 1 ),上式化为: ln t ? , ln t ? t ?1 t ?1 t ?1 x1

令 g (t ) ? ln t ?

4 1 4 (t ? 1)2 ? , g '(t ) ? ? .因为 t ? 1 ,显然 g '(t ) ? 0 ,所以 g (t ) 在 t ?1 t (t ? 1) 2 t (t ? 1)2

21(文科). (本小题满分 14 分)
·15·

已知函数 f ( x ) ? (1)求 a 、 b 的值;

ax ,且 f (1) ? 1 , f (?2) ? 4 . x?b

(2)已知定点 A(1, 0) ,设点 P ( x, y ) 是函数 y ? f ( x)( x ? ?1) 图象上的任意一点,求 | AP | 的最小 值,并求此时点 P 的坐标; (3)当 x ? [1, 2] 时,不等式 f ( x) ?

2m 恒成立,求实数 m 的取值范围. ( x ? 1) | x ? m |

21. 解: (1)由 ?

? f (1) ? 1 ? a ? b ?1 ,得 ? , ? f (?2) ? 4 ? ?2a ? b ? 2

解得: ?

? a?2 . ··········· ··········· ·········· ·· 分 ··········· ·········· ··········· · 3 ·········· ··········· ··········· · ? b ?1
2x , x ?1
2 2 2

(2)由(1) f ( x ) ?
2

所以 | AP | ? ( x ? 1) ? y ? ( x ? 1) ? 4( 令 x ?1 ? t ,t ? 0 , 则 | AP | ? (t ? 2) ? 4(1 ? ) ? t ?
2 2 2 2

x 2 ) , x ?1

1 t

4 2 ? 4(t ? ) ? 8 2 t t

2 2 2 ? (t ? ) 2 ? 4(t ? ) ? 4 ? (t ? ? 2) 2 t t t 因为 x ? ?1 ,所以 t ? 0 , 2 所以,当 t ? ? ?2 2 , t
所以 | AP |2 ? (?2 2 ? 2)2 , ····························· 8 分 ··········· ·········· ········ ·········· ··········· ········ 即 AP 的最小值是 2 2 ? 2 ,此时 t ? ? 2 , x ? ? 2 ? 1 点 P 的坐标是 (? 2 ?1, 2 ? 2) 。 ··························9 分 ··········· ·········· ····· ·········· ··········· ···· (3)问题即为

2x 2m ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1) | x ? m |

也就是 x ?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ······················ 10 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · | x?m|

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 .

·16·

法一:在 0 ? m ? 1 或 m ? 2 下,问题化为 | x ? m |? 即m?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x

m m ? x ? ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, x x

mx ? m ? x 2 ? mx ? m 对 x ? [1, 2] 恒成立,
①当 x ? 1 时,

1 ? m ?1或m ? 2 , 2

②当 x ? 1 时, m ?

x2 x2 且m ? 对 x ? (1, 2] 恒成立, x ?1 x ?1

对于 m ?

x2 x2 ) max , 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (2,3] ,

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (2,3] 递增, x ?1 t t ?(
4 x2 4 ) max ? , m ? ,结合 0 ? m ? 1 或 m ? 2 ,? m ? 2 3 x ?1 3

对于 m ?

x2 x2 )min 对 x ? (1, 2] 恒成立,等价于 m ? ( x ?1 x ?1

令 t ? x ? 1 , x ? (1, 2] ,则 x ? t ? 1 , t ? (0,1] ,

x2 (t ? 1) 2 1 ? ? t ? ? 2 , t ? (0,1] 递减, x ?1 t t ?( x2 ) min ? 4 ,? m ? 4 ,? 0 ? m ? 1或2 ? m ? 4 , x ?1

综上: 2 ? m ? 4 ···································16 分 ··········· ·········· ··········· ··· ·········· ··········· ··········· ·· 法二:问题即为

2x 2m ? 对 x ? [1, 2] 恒成立, x ? 1 ( x ? 1) | x ? m |

也就是 x ?

m 对 x ? [1, 2] 恒成立, ······················ 10 分 ··········· ·········· · ·········· ··········· · | x?m|

要使问题有意义, 0 ? m ? 1 或 m ? 2 .
·17·

故问题转化为 x | x ? m |? m 对 x ? [1, 2] 恒成立, 令 g ( x) ? x | x ? m | ①若 0 ? m ? 1 时,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x( x ? m) ? x2 ? mx ,

g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增,依题意 g (2) ? m , m ?

4 ,舍去; 3

②若 m ? 2 ,由于 x ? [1, 2] ,故 g ( x) ? x(m ? x) ? ?( x ?

m 2 m2 ) ? , 2 4

考虑到

m ? 1 ,再分两种情形: 2

(ⅰ) 1 ?

m m m2 ? 2 ,即 2 ? m ? 4 , g ( x) 的最大值是 g ( ) ? , 2 2 4

m2 ? m ,即 m ? 4 ,? 2 ? m ? 4 ; 依题意 4
(ⅱ)

m ? 2 ,即 m ? 4 , g ( x) 在 x ? [1, 2] 时单调递增, 2

故 g (2) ? m ,? 2(m ? 2) ? m ,? m ? 4 ,舍去。 综上可得, 2 ? m ? 4 ································ 16 分 ··········· ·········· ··········· ·········· ··········· ···········

·18·


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