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函数单调性与导数极值问题


§3.3.2 函数的极值与导数 复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函 数 y=f(x) 在这个区间内为 函数; 如果在这个区间内 y ? ? 0 , 那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不等式,得 x 的范围就是递增区

间.③令 解不等式,得 x 的范围, 就是递减区间 .
二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近, y ? f ( x) 的导数的符号有什么规律?

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a) ? ;且在点 右侧 f ?( x) 0. 类似地, 函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0, 它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ;而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函数 y ? f ( x) 的极 大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值.极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 ,刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 (能,不能)成为极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 ,但它 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的 条件. ※ 典型例题 1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

(2, 变式 1: 已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx 在点 x0 处取得极大值 5, 其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1,0) , 0) ,

如图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值.

y

o

1

2

x
王新敞
奎屯 新疆

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤:

(1)确定函数的定义域;(2)求导数 f′(x);(3)求方程 f′(x)=0 的根
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(4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程
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根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根 处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值;

练 1. 求下列函数的极值: (1) f ( x) ? 6x2 ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? x3 ? 27 x ; (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x3 ; (4) f ( x) ? 3x ? x3 .

练 2. 下图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,试找出函数 y ? f ( x) 的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小 值点.

? 函数 y ? 2 ? x2 ? x3 的极值情况是( ) A.有极大值,没有极小值 B.有极小值,没有极大 C.既有极大值又有极小值 D.既无极大值也极小值 2. 三次函数当 x ? 1 时,有极大值 4;当 x ? 3 时,有极小值 0,且函数过原点,则 此函数是( ) 3 2 A. y ? x ? 6x ? 9x B. y ? x3 ? 6x2 ? 9x C. y ? x3 ? 6x2 ? 9x D. y ? x3 ? 6x2 ? 9x 3. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 在 x ? 1 时有极值 10,则 a、b 的值为( ) A. a ? 3, b ? ?3 或 a ? ?4, b ? 11 B. a ? ?4, b ? 1 或 a ? ?4, b ? 11 C. a ? ?1, b ? 5 D.以上 都不正确 4. 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? 3x ? 9 在 x ? ?3 时有极值 10,则 a 的值为 5. 函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? a(a ? 0) 的极大值为正数,极小值为负数,则 a 的取值范围为 课后作业 1. 如图是导函数 y ? f ?( x) 的图象,在标记的点中, 在哪一点处(1) 导函数 y ? f ?( x) 有 极大值? (2)导函数 y ? f ?( x) 有极小值?(3)函数 y ? f ( x) 有极大值?(4)导函数 y ? f ( x) 有 极小值?

2. 求下列函数的极值: ?
f ( x) ? 6x ? x ? 2 ; (2) f ( x) ? 48x ? x . §3.3.3 函数的最大(小)值与导数
2 3

新青蓝学习目标
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⒈理解函数的最大值和最小值的概念; ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步 骤. 复习 1:若 x0 满足 f ?( x0 ) ? 0 ,且在 x0 的两侧 f (x) 的导数异号,则 x0 是 f (x) 的极值 点, f ( x0 ) 是极值,并且如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左正右负” ,则 x0 是 f (x) 的 点, f ( x0 ) 是极 值;如果 f ?(x) 在 x0 两侧满足“左负右正” ,则 x0 是 f (x) 的 点, f ( x0 ) 是极 值
王新敞
奎屯 新疆

复习 2:已知函数 f ( x) ? ax3 ? bx 2 ?cx(a ? 0) 在 x ? ?1 时取得极值,且 f (1) ? ?1 , (1)试求常数 a、b、c 的 值; (2)试判断 x ? ?1 时函数有极大值还是极小值,并说明理由.

探究任务一:函数的最大(小)值 问题:观察在闭区间 ?a, b? 上的函数 f (x) 的图象,你能找出它的极大(小)值吗?最大值,最小值呢?

图 在图 1 图 中,在闭区间 ?a, b? 上 的 最 大 值 是
在图 2 中,在闭区间 ?a, b? 上的极大值是

,最小值是 ,极小值是

; ;最大值是 ,最小值是 .

1 2 新知:一般地,在闭区间 ?a, b? 上连续的函数 f (x) 在 ?a, b? 上必有最大值与最小值. 试试:

上图的极大值点 最大值为

,为极小值点为 ,最小值为

; .

反思: 1.函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的;函数的极值是比较极值点附 近函数值得出的. 2.函数 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上连续,是 f (x) 在闭区间 ?a, b? 上有最大值与最小值的 条件
3.函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个,而函数的极值可能不止一个,可能一个没有. ※ 典型例题

1 例 1 求函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 在[0,3]上的最大值与最小值. 3

小结:求最值的步骤 (1)求 f ( x) 的极值; (2)比较极值与区间端点值,其中最大的值为最大值,最小的值为最小值.

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x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f (x) 同时满足下列两个条件:1) ( x (2) f (x) 的最小值是 1; f (x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
例 2 已知 f ( x) ? log 3

变式:设 式.

6 2 3 ,求函数的解析 ? a ? 1 ,函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 3 2

小结:本题属于逆向探究题型.解这类问题的基本方法是待定系数法,从逆向思维出发,实现由已知向未知 的转化,转化过程中通过列表,直观形象,最终落脚在比较极值点与端点值大小上,从而解决问题. 练 1. 求函数 f ( x) ? 3x ? x3 , x ?[1, 2] 的最值.

练 2. 已知函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? a 在 [?2, 2] 上有最小值 ? 37 .(1)求实数 a 的值; (2)求 f ( x) 在 [?2, 2] 上 的最大值.

三、总结提升 ※ 学习小结

设函数 f (x) 在 ?a, b? 上连续,在 (a, b) 内可导,则求 f (x) 在 ?a, b? 上的最大值与最小值 的步骤如下: ⑴求 f (x) 在 (a, b) 内的极值;
⑵将 f (x) 的各极值与 f (a ) 、 f (b) 比较得出函数 f (x) 在 ?a, b? 上的最值.
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※ 知识拓展 利用导数法求最值,实质是在比较某些函数值来得到最值,因些我们可以在导数法求极值的思路的基础上 进行变通.令 f ?( x) ? 0 得到方程的根 x1 , x 2 , ? ,直接求得函数值,然后去与端点的函数值比较就可以了, 省略了判断极值的过程.当然导数法与函数的单调性结合,也可以求最值.

1. 若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 在区间 [0,3] 上的最大值、最小值分别为 M、N,则 M ? N 的 值为( ) A.2 B.4 C.18 D.20 3 2 2. 函数 f ( x) ? x ? 3x( x ? 1) ( ) A.有最大值但无最小值 B.有最大值也有最小值 C.无最大值也无最小值 D.无最大值但有最小值 3. 已知函数 y ? ?x2 ? 2x ? 3 在区间 [a, 2] 上的最大值为 15 ,则 a 等于( )
4

A. ? 3
2

B. 1

2

C. ? 1

2

D. 1 或 ? 3
2 2

4. 函数 y ? x ? 2 x 在 [0, 4] 上的最大值为 5. 已知 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? m( m 为常数)在 [?2, 2] 上有最大值,那么此函数在 [?2, 2] 上的 最小值是 新青蓝课后作业 1. a 为常数,求函数 f ( x) ? ?x3 ? 3ax(0 ? x ? 1) 的最大值.

2. 已知函数 f ( x) ? ? x3 ? 3x2 ? 9 x ? a , (1) f ( x) 的单调区间; 求 (2) f ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值为 20, 若 求它在该区间上的最小值.

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