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第三节 随机事件的概率、古典概型与几何概型


第三节
过往六年考点: 14 13 12 11 10 09

随机事件的概率、古典概型与几何概型
难度 较易 较易

考点 第 12 题考查古典概型的概率计算,5 分; 第 17 解答题,本题考查频数分布表、分层抽样与古典概型, 12 分。

第 17 解答题,本题考查样本的均值与方差,等可能事件的

概率计算,12 分。 第 17 解答题,考查二联表、分层抽样与古典概型,12 分 第 18 解答题,考查茎叶图、平均数、方差与古典概型,12 分。

较易

较易

教学目标:
1.了解概率的意义,能区分频率与概率; 2. 能区别互斥事件与对立事件,能运用互斥事件的概率加法公式及正难则反的方法进行有 关概率的计算; 3.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件及事件发生的概率; 4.能从具体问题中提炼其概率概型,掌握古典概型与几何概型的计算公式。

教学重点:概率的有关计算 一、基础回顾:
1.气象台预报“广州市明天降雨的概率是 80%” ,下列理解正确的是( )。 A.广州市明天将有 80%的地区降雨 B.广州市明天将有 80%的时间降雨 C.明天出行不带雨具肯定要淋雨 D.明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 2.袋中共有 5 个除了颜色外完全相同的球,其中 2 个白球和 3 个黑球,从袋中任取两球,至 少有一个白球的概率是( ) (A)

1 5

(B)

3 10

(C)

3 5

(D)

7 10
(2013 湖北)

3.在区间 [ ?2, 4] 上随机地取一个数 x,若 x 满足 | x | ? m 的概率为 考查内容: 题 1:考查对概率这一概念的正确理解;

5 ,则 m ? 6

题 2:考查古典概型,要求能列举出试验的结果,能运用互斥事件的概率加法公式或对立事 件求概率; 题 3:考查几何概型,含参问题的处理方法。

二、典型例题:
例 1:给定一个区间 ?- 1 , 3?: (1)从该区间中任取一个整数,求这个数是偶数的概率; (2)从该区间中任取两个整数,求这两个数中恰有一个偶数的概率; (3)从该区间中任取一个数,求这个数的绝对值大于 1 的概率; (4)从该区间中任取两个数,求这两个数的和小于 3 的概率。 考查内容: (1)概率问题的归类; (2)古典概型与几何概型的求法; (3)古典概型基本事 件的列举。 操作程序: (1)古典概型:写出基本事件的所有结果,找出符合条件的基本事件,再作比; (2)几何概型:认清问题的测度,找到问题所指的区域,再作比。 小结归纳: (1)注意“取一个”和“取两个”的取法上的显著区别; (2)几何概型要认清其本质: “面积比”还是“长度比” 。

变式:在区间 ?- 1 , 3?上任取一个数 a ,则使函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? x ? 3 为 R 上的增函数的 概率为____________ 例 2:设平面向量 a m =(m,1) , bn =(2,n) ,其中 m,n∈{1,2,3,4}. (I)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (II)记“使得 a m ⊥( a m - bn )成立的(m,n)”为事件 A,求事件 A 发生的概率.(2010 福建) 考查内容: (1)本题主要考查列举试验结果、古典概型、两向量垂直等基础知识; (2)考查 应用意识、化归与转化思想; 操作程序: (1)采用列表法或一一列举,应注意列举时做到不重不漏; (2)先利用 a m ⊥(a m-b n)这一重要信息,找出 m,n 的关系。

小结归纳: (1)要恰当运用化归与转化思想找出所要求事件的本质,如本题应使

n ? (m ? 1) 2 ;(2)要明确列举的所有结果总数

变式: (1)记“使得 a m ∥ bn 成立的(m,n)”为事件 B,则事件 B 发生的概率为_______ (2)设 z ? am ? bn , 记 “使得 z ? 6 成立的 (m, n) ”为事件 C, 则事件 C 发生的概率为_______

总结提升: 1.古典概型对基本事件的列举应做到心中有数,基本事件的总个数通常可通过计算、推理得 到; 2.几何概型要注意分清问题的测度,主要类型包括长度比、面积比、体积比、角度比等。

三、巩固练习:
1.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表

则样本数据落在区间[10,40]的频率为( ) A 0.35 B 0.45 C 0.55 D 0.65 (2012 湖北) 2. 【2014 高考广东卷文第 12 题】从字母 a 、 b 、 c 、 d 、 e 中任取两个不同的字母,则取 到字母 a 的概率为 . 3【2014 高考福建卷文第 13 题】如图,在边长为 1 的正方形中, 随机撒 1000 粒豆子, 有 180 粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为___________.

4(2013·江西文).若集合 A ? ?2,3? , B ? ?1,2,3? ,从 A,B 中各任意取一个数,则这两 数之和等于 4 的概率是( A. ) B.

2 3

1 2

C.

1 3

D.

1 6

5.有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能 性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 (2011 北京) 4

6.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点,取到的点到

O 的距离大于 1 的概率为( (A)

)

? 4

(B) 1 ?

? 4

(C)

? 8

(D) 1 ?

? (2010 辽宁) 8

7.甲、乙两校各有 3 名教师报名支教,其中甲校 2 男 1 女,乙校 1 男 2 女. (I)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名 教师性别相同的概率; (II)若从报名的 6 名教师中任选 2 名,写出所有可能的结果,并求选出的 2 名教师来自同 一学校的概率. (2011 山东) 8.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶 图如图 7. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差 (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的同学 被抽中的概率.

(2009 广东)

第三节

随机事件的概率、古典概型与几何概型参考答案

例 1 解: (1)区间 ?- 1 , 3?上有 5 个整数:-1、0、1、2、3,其中偶数是 0、2,故取一个偶数 的概率为

2 ; 5

(2)5 个整数-1、0、1、2、3 中取两个数的所有结果为(-1,0) 、 (-1,1) 、 (-1,2) 、 (-1,3) 、 (0,1) 、 (0,2) 、 (0,3) 、 (1,2) 、 (1,3) 、 (2,3)共 10 个;其中恰有一个偶 数的结果为 (-1, 0) 、 (-1, 2) 、 (0, 1) 、 (0, 3) 、 (1, 2) 、 (2, 3) 共 6 个, 故其概率为

6 3 ? ; 10 5

3? ,其长度为 2,故概率 , 3?的长度为 4,绝对值大于 1 的数分布在区间 ?1, (3)区间 ?- 1


2 1 ? 4 2

(4)因为是在区间中任取两个数,故应在平面区域里考虑这个问题,概率成为面积之

9 2 ? 23 比,概率为 16 32 16 变式:
1? 3 4

例 2 解:(Ⅰ)有序数组(m,n)的所有可能结果为: (1,1) , (1,2) , (1,3) , (1,4) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,1) , (3,2) , (3,3) , (3,4) , (4,1) , (4,2) , (4,3) , (4,4) ,共 16 个.
2 2 (Ⅱ)由 am ? (am ? bn ) 得 m ? 2m ? 1 ? n ? o ,即 n ? (m ? 1) .

由于 m, n ?{1,2,3,4} ,故事件 A 包含的基本条件为(2,1)和(3,4) ,共 2 个.又基

本事件的总数为 16,故所求的概率

P( A) ?

2 1 ? 16 8 .

变式:

1 8

3 8

巩固练习 7 解: (I)甲校两男教师分别用 A、B 表示,女教师用 C 表示; 乙校男教师用 D 表示,两女教师分别用 E、F 表示 从甲校和乙校报名的教师中各任选 1 名的所有可能的结果为: (A,D) (A,E) , (A,F) , (B,D) , (B,E) , (B,F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) 共 9 种。 从中选出两名教师性别相同的结果有: (A,D) , (B,D) , (C,E) , (C,F)共 4 种, 选出的两名教师性别相同的概率为 P ?

4 . 9

(II)从甲校和乙校报名的教师中任选 2 名的所有可能的结果为: (A,B) , (A,C) , (A,D) , (A,E) , (A,F) , (B,C) , (B,D) , (B,E) , (B, F) , (C,D) , (C,E) , (C,F) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 15 种, 从中选出两名教师来自同一学校的结果有: (A,B) , (A,C) , (B,C) , (D,E) , (D,F) , (E,F)共 6 种, 选出的两名教师来自同一学校的概率为 P ?

6 2 ? . 15 5

8 【解析】 (1) 由茎叶图可知: 甲班身高集中于 160 : 179 之间, 而乙班身高集中于170 : 180 之间。因此乙班平均身高高于甲班;

158 ? 162 ? 163 ? 168 ? 168 ? 170 ? 171 ? 179 ? 179 ? 182 ? 170 10 1 2 2 2 2 2 甲班的样本方差为 [(158 ? 170) ? ?162 ? 170 ? ? ?163 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? ? ?168 ? 170 ? 10
(2) x ?

? ?170 ? 170 ? ? ?171 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?179 ? 170 ? ? ?182 ? 170 ? ] =57
2 2 2 2 2

(3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176,173)共 10 个基本事件,而事件 A 含有 4 个基本事件;

? P ? A? ?

4 2 ? 。 10 5


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