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2014年全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题(word版)


2014 年全国高中数学联赛湖南赛区初赛试题 (6 月 28 日 9:00 至 11:00)

一.选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分)
2 2 1.设 M ? a a ? x ? y , x, y ? Z ,则(

?

?

) C. 9 ? M ,10 ? M

D. 9 ? M ,10 ? M

A. 9 ? M ,10 ? M

B. 9 ? M ,10 ? M

2.设条件 p :实数 m, n 满足 ?

?2 ? m ? n ? 4, ?0 ? m ? 1, 条件 q :实数 m, n 满足 ? ,则() ?0 ? mn ? 3; ?2 ? n ? 3. A. p 是 q 的充分不必要条件 B. p 是 q 的必要不充分条件 C. p 是 q 的充要条件 D. p 既不是 q 的充分条件又不是 q 的必要条件

3. 若 ?an ? 是等差数列, 首项 a1 成立的最大自然数 n 是( A. 4025 B. 4026

a2013 ? a2014 ? 0 ,a2013 ? a2014 ? 0 , ?0, 则使前 n 项和 Sn ? 0
) C. 4027 D. 4028

4.给定平面向量 a ? (1,1) ,那么,平面向量 b ? ( A.顺时针旋转 60 所得 C.逆时针旋转 60 所得
o o

1? 3 1? 3 , ) 是向量 a 经过( 2 2 o B.顺时针旋转 120 所得 o D.逆时针旋转 120 所得



5.在如图所示的三棱柱中,点 A 、 BB1 的中点 M 以及

B1C1 的中点 N 所决定的平面把三棱柱割成体积不同的
两部分,则较小部分的体积和原三棱柱的体积之比为 ( ) A.

23 36

B.

13 36

C.

13 23

D.

12 23

* 2 * 6. 已知圆 C : x2 ? y 2 ? r 2 , 两点 P 、P 在以 O 为起点的射线上, 并且满足 OP ? OP ? r ,

则称 P 、 P 关于圆周 C 对称,那么双曲线 x 2 ? y 2 ? 1 上的点 P( x, y) 关于单位圆周
*

C : x2 ? y 2 ? 1 的对称点 P* 所满足的方程是( ) A. x 2 ? y 2 ? x 4 ? y 4 B. x 2 ? y 2 ? ( x 2 ? y 2 ) 2
C. x2 ? y 2 ? 2( x4 ? y 4 ) D. x2 ? y 2 ? 2( x2 ? y 2 )2

二.填空题(本大题共 6 小题,每小题 8 分,满分 48 分)
2 2 7.已知函数 f ( x) ? x ? 53 x ? 196 ? x ? 53 x ? 196 ,则 f (20) ? f (14) ?



8.已知 0 ? x ?

?

2 ,则 a ? b ? c ? c 是正整数)

,sin x ? cos x ?

π 1 a ,若 tan x ? 可以表示成 的形式( a ,b , 4 tan x b ? πc


2 9.不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解集是

3



10.已知一无穷等差数列中有 3 项(顺次排列但不一定相连) :13,25,41,则可以判断得 出 2013 (填“是” 、 “不是” 、 “不能确定” )数列中的一项.

11.随机挑选一个三位数 I ,则 I 含有因子 5 的概率为



? x ? y ≤ 0, ? 12.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 5 ≥ 0, 若不等式 a( x2 ? y 2 ) ≤ ( x ? y)2 恒成立,则实数 a 的 ? y ? 3 ≤ 0, ?
最大值是 .

三.解答题(本大题共 4 小题,满分 72 分) 13. (本小题满分 16 分) 已知 O 为 △ ABC 的内部一点,?BAO ? ?CAO ? ?CBO ? ?ACO ,试探究 △ ABC 的三边满足的关系,并证明你的结论.

14. (本小题满分 16 分) 某旅游区每年各个月接待游客的人数近似地满足周期性规律, 即第 n 个月从事旅游服务 工作的人数 f ( n) 可近似地用函数 f (n) ? 100[ A cos(?n ? ? ) ? k ] 来刻画,其中正整数 n 表
* 示月份且 n ? N ,例如 n ? 1 表示 1 月份, A 和 k 是正整数, ? ? 0 , ? ? ( , π ) .统计发

π 2

现,该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律: 每年相同的月份,该地区从事旅游服务工作的人数基本相同; 该地区从事旅游服务工作的人数最多的 8 月份和最少的 2 月份相差约 400 人; 2 月份该地区从事旅游服务工作的人数约为 100 人, 随后逐月递增直到 8 月份达到最多. (1)试根据已知信息,确定一个符合条件的 f ( n) 的表达式; (2)一般地,当该地区从事旅游服务工作的人数在 400 或 400 以上时,该地区也进入 了一年中的旅游“旺季” ,那么,一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”?请说明理由.

15. (本小题满分 20 分) 若 实 数 x0 满 足 f ( x0 ) ? x0 , 则 称 x ? x0 为 函 数 f ( x ) 的 一 个 不 动 点 . 已 知

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? 3 (其中 a , b 为常数)有互异的两个极值点 x1 和 x2 .
试判断是否存在实数组 ( a, b) ,使得 x1 和 x2 皆为不动点,并证明你的结论.

16. (本小题满分 20 分) 已知数列

?xn ? 满 足 : xn?2 ? 2xn?1 ? xn , x1 ? 2 , x2 ? 6 ; 数 列 ? yn ? 满 足 :

yn?2 ? yn?1 ? 2 yn , y1 ? 3 , y2 ? 9 .
求证:存在正整数 n0 ,使得对任意 n ? n0 都有 xn ? yn .


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