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【步步高】2015届高考数学总复习 第六章 6.3等比数列及其前n项和课件 理 北师大版


数学

北(理)

§6.3 等比数列及其前n项和
第六章 数 列

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.等比数列的定义 如果一个数列 从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于
同一个常数(不为零) ,那么这个数列叫作等比数列,这个常数

r />
叫作等比数列的 公比 ,通常用字母 q 表示(q≠0). 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为 a1,公比为 q,则它的通项 an=
a1· qn
-1

(a1≠0,q≠0).

3.等比中项
2 G b (ab≠0),那么 G 为 a 与 b 的等比中项. 若 =a·

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要点梳理
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4.等比数列的常用性质
n-m q (1)通项公式的推广:an=am· ,(n,m∈N+).

(2)若{an}为等比数列,且 k+l=m+n (k,l,m,n∈N+),

al=am· an 则 ak·

.

? ?1? ? ? ?, (3)若{an}, {bn}(项数相同)是等比数列, 则{λan}(λ≠0), ? ?an? ? ? ?an? ? 2 ? {an},{an· bn},?b ? 仍是等比数列. ? ? n?

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要点梳理
5.等比数列的前 n 项和公式 等比数列{an}的公比为 q(q≠0),其前 n 项和为 Sn, ?q=1? ?na1 ? Sn=?a1?1-qn? a1-anq = ?q≠1? ? 1 - q 1 - q ? 6.等比数列前 n 项和的性质 公比不为-1 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则 Sn,S2n-
n q Sn,S3n-S2n 仍成等比数列,其公比为 .

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基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5
2

答案
(1)× (2) ×(3) × (4) × (5) √ (6) √

解析

A D
2n+1-2

2n

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( 17 D. 2 )

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________.

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( 17 D. 2 )

利用等比数列的通项公式与 前 n 项和公式列方程 ( 组 ) 计 算.

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________.

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( 17 D. 2 )

(1)显然公比 q≠1,由题意得 a1q3=1 ?a1q· ? ?a1?1-q3? =7 ? 1 - q ? ,

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________.

a =4 a =9 ? ? ? 1 ? 1 解得? 1 或? 1 (舍去), q=2 q=-3 ? ? ? ?
1 a1?1-q5? 4?1-25? 31 ∴S5= = = . 1 4 1-q 1- 2

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( 17 D. 2 )

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q(q≠0), 3 ? ?a1q -a1q=6 则? 4 , ? ?a1q -a1=15 q 2 两式相除,得 = , 1+q2 5 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 1 q=2. a =-16 ? ? ? 1 ?a1=1 所以? 或? 1 . ? q= ?q=2 ? ? 2 故 a3=4 或 a3=-4.

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________.

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( B ) 17 D. 2

(2) 设 等 比 数 列 {an} 的 公 比 为 q(q≠0), 3 ? ?a1q -a1q=6 则? 4 , ? ?a1q -a1=15 q 2 两式相除,得 = , 1+q2 5 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 1 q= . 2 a =-16 ? ? ? 1 ?a1=1 所以? 或? 1 . ? q= ?q=2 ? ? 2 故 a3=4 或 a3=-4.

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________. 4或-4

题型分类·深度剖析
题型一 等比数列的基本运算
思维启迪 解析 答案 思维升华

【例 1】 (1)设{an}是由正数组 成的等比数列, Sn 为其前 n 项和.已知 a2a4=1,S3=7, 则 S5 等于 15 31 33 A. B. C. 2 4 4 ( B ) 17 D. 2

等比数列基本量的运算是等 比数列中的一类基本问题, 数列中有五个量 a1,n,q, an, Sn,一般可以 “知三求 二 ” ,通过列方程 ( 组 )可迎 刃而解.

(2) 在等比数列 {an} 中,若 a4 -a2=6,a5-a1=15,则 a3 =________. 4或-4

题型分类·深度剖析
跟踪训练 1 (1)在等比数列{an}中,a1=1,公比为 q,且|q|≠1. ( C.11 D.12 )

若 am=a1a2a3a4a5,则 m 等于 A.9 B.10

(2)设 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,已知 3S3=a4-2,3S2=a3 -2,则公比 q 等于 A.3 B.4 C.5 D. 6 ( )

(3)已知{an}是首项为 1 的等比数列,Sn 是{an}的前 n 项和,且 1 9S3=S6,则数列{a }的前 5 项和为 ( ) n 15 31 31 15 A. 或 5 B. 或 5 C. D. 8 16 16 8

题型分类·深度剖析
解析 (1)∵a1=1,∴am=a1a2a3a4a5=q· q2· q3· q4=q10,

即 am=a1· q10,∴m=11.故选 C.
? ?3S3=a4-2, (2)因为? ? ?3S2=a3-2

① ②

a4 ①-②得 3a3=a4-a3,即 4a3=a4,则 q=a =4. 3 (3)若 q=1,则由 9S3=S6 得 9×3a1=6a1,
则 a1=0,不满足题意,故 q≠1.
a1?1-q3? a1?1-q6? 由 9S3=S6 得 9× = ,解得 q=2. 1-q 1-q

题型分类·深度剖析
n-1 n-1

故 an=a1q

=2

1 1 n-1 ,a =( ) . 2 n

1 1 所以数列{ }是以 1 为首项,以 为公比的等比数列, an 2 15 1×[1-?2? ] 31 其前 5 项和为 S5= =16. 1 1-2
答案 (1)C

(2)B

(3)C

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

各项均为正值,且 a6a10+a3a5= 41,a4a8=5,则 a4+a8=_____. (2)等比数列{an}的首项 a1=-1, S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 S5 32 比 q=________.

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

各项均为正值,且 a6a10+a3a5= 41,a4a8=5,则 a4+a8=_____. (2)等比数列{an}的首项 a1=-1, S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 S5 32 比 q=________.
利用等比数列的项的性质 和前 n 项和的性质求解.

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

(1)由 a6a10+a3a5=41 及 a6a10=

2 各项均为正值,且 a6a10+a3a5= a2 , a a = a 8 3 5 4,

41,a4a8=5,则 a4+a8=_____. 得 a2+a2=41. 4 8 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1, 因为 a4a8=5, S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 2 2 S5 32 所以(a4+a8)2=a4 +2a4a8+a8 比 q=________.
=41+2×5=51. 又 an>0,所以 a4+a8= 51.

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

各项均为正值,且 a6a10+a3a5= 41,a4a8=5,则 a4+a8=_____.

S10 31 (2) 由 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠1, =- . S5 32

(2)等比数列{an}的首项 a1=-1, 由等比数列前 n 项和的性质知 S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 S5 32 S5, S10-S5, S15-S10 成等比数列, 比 q=________.
且公比为 q5,
1 1 故 q =- ,q=- . 32 2
5

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

各项均为正值,且 a6a10+a3a5=

51 41,a4a8=5,则 a4+a8=_____.

S10 31 (2) 由 = , a1 =- 1 知公比 S5 32 S10-S5 1 q≠1, =- . S5 32

(2)等比数列{an}的首项 a1=-1, 由等比数列前 n 项和的性质知 S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 S5 32 S5,S10-S5,S15-S10 成等比数 1 5 - 列,且公比为 q , 比 q=________. 2
1 1 故 q5=- ,q=- . 32 2

题型分类·深度剖析
题型二 等比数列的性质及应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

【 例 2】

(1)在等比数列{an}中,

各项均为正值,且 a6a10+a3a5=

(1) 在解决等比数列的有关问题 时,要注意挖掘隐含条件,利用 性质,特别是性质“若 m+n=p

51 41,a4a8=5,则 a4+a8=_____.

an=ap· aq”,可以减 (2)等比数列{an}的首项 a1=-1, +q,则 am· 少运算量,提高解题速度. S10 31 前 n 项和为 Sn, 若 = , 则公 S5 32 (2)在应用相应性质解题时,要注 1 - 比 q=________. 2 意性质成立的前提条件,有时需

要进行适当变形.此外,解题时 注意设而不求思想的运用.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1)已知各项均为正数的等比数列{an}中,a1a2a3 ( D.4 2 )

=5,a7a8a9=10,则 a4a5a6 等于 A.5 2 B.7 C. 6

(2)记等比数列{an}的前 n 项积为 Tn(n∈N+),已知 am-1· am+1 -2am=0,且 T2m-1=128,则 m 的值为 A.4 B.7 C.10 D.12 ( )

(3)已知 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和,且 S3=8,S6=7,则 a4+a5+?+a9=________.

题型分类·深度剖析
解析 (1)把 a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9 看成一个整体,则由题意,

知它们分别是一个等比数列的第 1 项,第 4 项和第 7 项,这里 的第 4 项刚好是第 1 项与第 7 项的等比中项.
因为数列{an}的各项均为正数, 所以 a4a5a6= ?a1a2a3?· ?a7a8a9?= 5×10=5 2. (2)因为{an}是等比数列,所以 am-1am+1=a2 m, 又由题中 am-1am+1-2am=0,可知 am=2.
m 1 由等比数列的性质可知前(2m-1)项积为 T2m-1=a2 , m


即 22m-1=128,故 m=4.

题型分类·深度剖析

(3)根据等比数列的性质,知 S3,S6-S3,S9-S6 成等比数列, 即 8,7-8,S9-7 成等比数列, 1 所以(-1) =8(S9-7).解得 S9=78.
2

1 7 所以 a4+a5+?+a9=S9-S3=78-8=-8.
答案 (1)A (2)A
7 (3)-8

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n

项和为 Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n

项和为 Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

(1)由 an+Sn=n 及 an+1+Sn+1=n +1 转化成 an 与 an+1 的递推关 系,再构造数列{an-1}.

(2)由 cn 求 an 再求 bn.

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n

项和为 Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

(1)证明

∵an+Sn=n,



∴an+1+Sn+1=n+1.



②-①得 an+1-an+an+1=1,
∴2an+1=an+1,

∴2(an+1-1)=an-1,
an+1-1 1 ∴ = , an-1 2

∴{an-1}是等比数列. 1 又 a1+a1=1, ∴a1=2,

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

∵首项 c1=a1-1, 项和为 Sn,数列{bn}中,b1= 1 1 ∴c1=-2,公比 q=2. a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 又 cn=an-1, 1 1 an+Sn=n. ∴{cn}是以-2为首项, 以2为公比的

已知数列{an}的前 n

(1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

等比数列.
(2)解 由(1)可知
?1? =-?2?n, ? ? ? 1? ?1? - ? ?n 1 cn=?-2?· ? ? ?2?

?1? ∴an=cn+1=1-?2?n. ? ?

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n

项和为 Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.

∴当 n≥2 时,bn=an-an-1 ?1? ? ?1? - ? n =1-?2? -?1-?2?n 1? ? ? ? ? ? ? ?1? - ?1? ?1? n 1 n =?2? -?2? =?2?n. ? ? ? ? ? ?

1 又 b1=a1=2代入上式也符合,
?1? ∴bn=?2?n. ? ?

题型分类·深度剖析
题型三 等比数列的判定
思维启迪 解析 思维升华

【例 3】

已知数列{an}的前 n

项和为 Sn,数列{bn}中,b1= a1,bn=an-an-1 (n≥2),且 an+Sn=n. (1)设 cn=an-1,求证:{cn} 是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式.
注意判断一个数列是等比数列的 方法,另外第(2)问中要注意验证 n=1 时是否符合 n≥2 时的通项 公式,能合并的必须合并.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
解 (1)由 a1=1 及 Sn+1=4an+2,有 a1+a2=S2=4a1+2.

∴a2=5,∴b1=a2-2a1=3.
? ?Sn+1=4an+2, 又? ? ?Sn=4an-1+2,

① ②

①-②,得 an+1=4an-4an-1,
所以 an+1-2an=2(an-2an-1).

∵bn=an+1-2an,∴bn=2bn-1,

故{bn}是首项 b1=3,公比为 2 的等比数列.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2. (1)设 bn=an+1-2an,证明数列{bn}是等比数列; (2)求数列{an}的通项公式.
(2)由(1)知 bn=an+1-2an=3· 2n-1,
an+1 an 3 所以 n+1-2n=4, 2

an 1 3 故{ n}是首项为 ,公差为 的等差数列. 2 2 4
an 1 3 3n-1 n-2 所以2n=2+(n-1)· = ,得 a = (3 n - 1)· 2 . n 4 4

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例: (5 分)设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, ?). 则 q 的取值范围为__________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例: (5 分)设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, ?). 则 q 的取值范围为__________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

本题易忽视 q 的范围,由于等比数列求和公式中分两种情况 q=1 和 q≠1,而本题未说明 q 的范围,求解时应分类讨论,而不能直 a1?1-qn? 接利用公式 Sn= . 1-q

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例: (5 分)设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, ?). 则 q 的取值范围为__________________.
易 错 分 析 解 析 温 馨 提 醒

因为{an}为等比数列,Sn>0,
当 q=1 时,Sn=na1>0;

可以得到 a1=S1>0,q≠0,
a1?1-qn? 当 q≠1 时,Sn= >0, 1-q

? ?1-q<0, 1-qn 即 >0(n=1,2,3,?),上式等价于不等式组? n ? 1-q ?1-q <0,

(n=1,2,3,?),



题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例: (5 分)设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, ?). 则

(-1,0)∪(0,+∞) . q 的取值范围为__________________
易 错 分 析
? ?1-q>0, 或? n ? 1 - q >0, ?

解 析

温 馨 提 醒

(n=1,2,3,?).



解①式得 q>1,解②式,由于 n 可为奇数,可为偶数, 得-1<q<1.
综上,q 的取值范围是(-1,0)∪(0,+∞).

题型分类·深度剖析
易错警示系列6 等比数列求和忽视公比q的范围致误
典例: (5 分)设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和 Sn>0(n=1,2,3, ?). 则

(-1,0)∪(0,+∞) . q 的取值范围为__________________
易 错 分 析

解 析

温 馨 提 醒

a1?1-qn? a1-anq 在应用公式 Sn= 或 Sn= 求和时, 应注意公式的使 1-q 1-q 用条件为 q≠1, 而当 q=1 时, 应按常数列求和, 即 Sn=na1.因此, 对含有字母参数的等比数列求和时,应分 q=1 和 q≠1 两种情况 进行讨论,体现了分类讨论思想.

思想方法·感悟提高
1.已知等比数列{an} 1 2 (1)数列{c· an}(c≠0), {|an|}, {an}, {a }也是等比数列. n (2)a1an=a2an-1=?=aman-m+1.

方 法 与 技 巧

2.判断数列为等比数列的方法 an+1 (1)定义法: a =q(q 是不等于 0 的常数,n∈N+)?数 n an 列{an}是等比数列;也可用 =q(q 是不等于 0 的常 an-1 数,n∈N+,n≥2)?数列{an}是等比数列.二者的本质 是相同的,其区别只是 n 的初始值不同. (2)等比中项法:a2 n+1=anan+2(anan+1an+2≠0,n∈N+)? 数列{an}是等比数列.

思想方法·感悟提高

1.特别注意 q=1 时,Sn=na1 这一特殊情况.

失 误 与 防 范

2.由 an+1=qan,q≠0,并不能立即断言{an}为等比数 列,还要验证 a1≠0.
3.在运用等比数列的前 n 项和公式时,必须注意对 q =1 与 q≠1 分类讨论,防止因忽略 q=1 这一特殊 情形而导致解题失误.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

1. (2012· 安徽)公比为 2 的等比数列{an}的各项都是正数, 且 a3a11 =16,则 log2a10 等于 A.4 B. 5 C.6 D.7 ( B )

解析 利用等比数列的性质和通项公式求解.
2 ∵a3· a11=16,∴a7 =16.

又∵等比数列{an}的各项都是正数, ∴a7=4. 又∵a10=a7q3=4×23=25,
∴log2a10=5.故选 B.

练出高分
1 2
? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9 10

2.等比数列 an 中,|a1|=1,a5=-8a2.a5>a2,则 an 等于( A ) A.(-2)n C.(-2)n
解析
-1

B.-(-2)n

-1

D.-(-2)n

∵|a1|=1,∴a1=1 或 a1=-1.

∵a5=-8a2=a2· q3,∴q3=-8,∴q=-2. 又 a5>a2,即 a2q3>a2,∴a2<0. 而 a2=a1q=a1· (-2)<0,∴a1=1.
故 an=a1· (-2)n-1=(-2)n-1.

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1 2 3

A组
4

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5 6 7 8 9 10

3.(2013· 课标全国Ⅱ)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,已知 S3=a2+10a1,a5=9,则 a1 等于 1 1 1 A. B.- C. 3 3 9 ( C ) 1 D.- 9

解析 设等比数列{an}的公比为 q, 由 S3=a2+10a1 得 a1+a2+a3=a2+10a1, 即 a3=9a1,q2=9,
1 又 a5=a1q =9,所以 a1= . 9
4

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4.一个等比数列的前三项的积为 3,最后三项的积为 9,且所有 项的积为 729,则该数列的项数是 A.13 B.12 C.11 ( B ) D.10

解析 设该等比数列为{an},其前 n 项积为 Tn, 则由已知得 a1· a2· a3=3,an-2· an-1· an=9, (a1· an)3=3×9=33, ∴a1· an=3,又 Tn=a1· a2· ?· an-1· an, Tn=an· an-1· ?· a2· a1,
n 2 n ∴T2 = ( a · a ) ,即 729 = 3 ,∴n=12. n 1 n

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5.数列{an}中,已知对任意 n∈N+,a1+a2+a3+?+an=3n-1,
2 3 2 则 a2 + a + a +?+ a 1 2 3 n等于

( B )

1 n A.(3 -1) B. (9 -1) 2 1 n n C.9 -1 D. (3 -1) 4 解析 ∵a1+a2+?+an=3n-1,n∈N+, n≥2 时,a1+a2+?+an-1=3n-1-1, ∴当 n≥2 时,an=3n-3n-1=2· 3n-1,
n 2

又 n=1 时,a1=2 适合上式,∴an=2· 3n-1,
故数列{a2 n}是首项为 4,公比为 9 的等比数列. n 4 ? 1 - 9 ? 1 n 2 2 2 因此 a1+a2+?+an= = (9 -1). 2 1-9

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6.等比数列{an}中,Sn 表示前 n 项和,a3=2S2+1,a4=2S3+1,
3 . 则公比 q 为________

解析

由 a3=2S2+1,a4=2S3+1

得 a4-a3=2(S3-S2)=2a3,

a4 ∴a4=3a3,∴q= =3. a3

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7.(2012· 江西)等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,公比不为 1.若 a1=1,

11 则对任意的 n∈N+,都有 an+2+an+1-2an=0,则 S5=________.
解析 利用“特殊值”法,确定公比.

由题意知 a3+a2-2a1=0,设公比为 q,
则 a1(q2+q-2)=0.

由 q2+q-2=0 解得 q=-2 或 q=1(舍去),
a1?1-q5? 1-?-2?5 则 S5= = =11. 3 1-q

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8. 设等比数列{an}的公比为 q, 前 n 项和为 Sn, 若 Sn+1, Sn, Sn+2 成等差数列,则 q 的值为________ -2 .

解析 由已知条件得 2Sn=Sn+1+Sn+2,
an+2 即 2Sn=2Sn+2an+1+an+2,即 =-2. an+1

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9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1, b2+b3=a4, 求{bn} 的前 n 项和 Tn.
解 (1)设等差数列{an}的公差为 d,
? ?a1+d=2 则由已知得? ? ?a1+4d=8

.∴a1=0,d=2.

∴an=a1+(n-1)d=2n-2.

(2)设等比数列{bn}的公比为 q,则由已知得 q+q2=a4,

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9.已知等差数列{an}满足 a2=2,a5=8. (1)求{an}的通项公式; (2)各项均为正数的等比数列{bn}中, b1=1, b2+b3=a4, 求{bn} 的前 n 项和 Tn.
∵a4=6,∴q=2 或 q=-3.
∵等比数列{bn}的各项均为正数,∴q=2. b1?1-qn? 1×?1-2n? ∴{bn}的前 n 项和 Tn= = =2n-1. 1-q 1-2

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10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x +1 上,n∈N+. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn} 的前 n 项和,求 Tn.

解 (1)∵点(Sn,an+1)在直线 y=3x+1 上, ∴an+1=3Sn+1,an=3Sn-1+1(n>1,且 n∈N+), an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,∴an+1=4an,n>1,
a2=3S1+1=3a1+1=3t+1,
∴当 t=1 时,a2=4a1,数列{an}是等比数列.

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10.数列{an}的前 n 项和记为 Sn,a1=t,点(Sn,an+1)在直线 y=3x +1 上,n∈N+. (1)当实数 t 为何值时,数列{an}是等比数列; (2)在(1)的结论下,设 bn=log4an+1,cn=an+bn,Tn 是数列{cn} 的前 n 项和,求 Tn.

(2)在(1)的结论下,an+1=4an,an+1=4n, bn=log4an+1=n,cn=an+bn=4n-1+n, Tn=c1+c2+?+cn=(40+1)+(41+2)+?+(4n-1+n)
=(1+4+42+?+4n-1)+(1+2+3+?+n) 4n-1 n?n+1? = 3 + 2 .

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1

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2

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3 4

5

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1

B组
2

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3 4

5

1.已知{an}是首项为 1 的等比数列,若 Sn 是{an}的前 n 项和,且 ? ?1? ? ? 28S3=S6,则数列 a ?的前 4 项和为 ( C ) ? ? ? n? 15 40 40 15 A. 或 4 B. 或 4 C. D. 8 27 27 8

解析 设数列{an}的公比为 q. 当 q=1 时,由 a1=1,得 28S3=28×3=84. 而 S6=6,两者不相等,因此不合题意. 28?1-q3? 1-q6 当 q≠1 时,由 28S3=S6 及首项为 1,得 = . 1-q 1-q
解得 q=3.所以数列{an}的通项公式为 an=3n-1. ? 1 1 1 40 ?1? ? ? ? 所以数列 a 的前 4 项和为 1+ + + = . 3 9 27 27 ? n? ? ?

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5

2.(2013· 福建)已知等比数列{an}的公比为 q,记 bn=am(n-1)+1+ am(n-1)+2+?+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+1· am(n-1)+2· ?· am(n-1)+m (m,n∈N+),则以下结论一定正确的是 A.数列{bn}为等差数列,公差为 qm B.数列{bn}为等比数列,公比为 q2m C.数列{cn}为等比数列,公比为 qm2 D.数列{cn}为等比数列,公比为 qmm ( )

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5

解析 ∵bn=am(n-1)(q+q2+?+qm)
bn+1 amn?q+q2+?+qm? amn m ∴ b = = = q (常数). 2 m a ? q + q + ? + q ? a n m?n-1? m?n-1? bn+1-bn 不是常数.
又∵cn=(am(n-1))mq
1+2+?+m
m ?1 2 m

=(am(n-1) q

) ,

cn+1 amn m ∴ c =( ) =(qm)m=qm2(常数). am?n-1? n
cn+1-cn 不是常数.∴选 C.

答案 C

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5

3.在数列{an}中,已知 a1=1,an=2(an-1+an-2+?+a2+a1)
? n=1 ?1, an=? n-2 ? 2 × 3 , n≥2 . (n≥2, n∈N+), 这个数列的通项公式是____________________ ?

解析 由已知 n≥2 时,an=2Sn-1 当 n≥3 时,an-1=2Sn-2 an ①-②整理得 =3 (n≥3), an-1
? ?1, ∴an=? n-2 ? 2 × 3 , ?

① ②

n=1, n≥2.

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5

4.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 1 2 2 y -x =1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2 其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列.

(1)解 由已知点 An 在 y2-x2=1 上知,an+1-an=1, ∴数列{an}是一个以 2 为首项,以 1 为公差的等差数列, ∴an=a1+(n-1)d=2+n-1=n+1. 1 (2)证明 ∵点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2

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5

4.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 1 2 2 y -x =1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2 其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列.
1 ∴Tn=- bn+1, 2 1 ∴Tn-1=-2bn-1+1(n≥2), 1 1 ①②两式相减得 bn=- bn+ bn-1(n≥2), 2 2 ①



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5

4.已知在正项数列{an}中,a1=2,点 An( an, an+1)在双曲线 1 2 2 y -x =1 上,数列{bn}中,点(bn,Tn)在直线 y=- x+1 上, 2 其中 Tn 是数列{bn}的前 n 项和. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求证:数列{bn}是等比数列.
1 ∴bn=3bn-1(n≥2). 1 2 令 n=1,得 b1=- b1+1,∴b1= , 2 3 2 1 ∴{bn}是一个以 为首项,以 为公比的等比数列. 3 3

3 1 ∴ bn= bn-1, 2 2

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3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈N+),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. n

5

解 (1)设等比数列{an}的公比为 q, 因为 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列, 所以 S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即 4a5=a3,
a5 1 于是 q = = . a3 4
2

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2

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3 4

3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈N+),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. n

5

3 又{an}不是递减数列且 a1= , 2 1 所以 q=- . 2
3 ? 1?n-1 n-1 3 ? ? 故等比数列{an}的通项公式为 an=2× -2 =(-1) · 2n. ? ?

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3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈N+),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. n

5

1 ? ?1+2n,n为奇数, ? 1? (2)由(1)得 Sn=1-?-2?n=? ? ? ?1- 1n,n为偶数. ? 2
当 n 为奇数时,Sn 随 n 的增大而减小,
3 所以 1<Sn≤S1= , 2

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3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈N+),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. n

5

1 1 3 2 5 故 0<Sn-S ≤S1- = - = . S1 2 3 6 n
当 n 为偶数时,Sn 随 n 的增大而增大, 3 所以4=S2≤Sn<1, 1 1 3 4 7 故 0>Sn-S ≥S2-S =4-3=-12. n 2

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3 4

3 5.(2013· 天津)已知首项为 的等比数列{an}不是 递减数列,其前 n 项和 .. 2 为 Sn(n∈N+),且 S3+a3,S5+a5,S4+a4 成等差数列. (1)求数列{an}的通项公式; 1 (2)设 Tn=Sn-S (n∈N+),求数列{Tn}的最大项的值与最小项的值. n

5

7 1 5 综上,对于 n∈N+,总有- ≤Sn-S ≤ . 12 6 n
5 7 所以数列{Tn}最大项的值为6,最小项的值为-12.


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