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2013年高考文科+理科数学试题分类汇编:函数与导数


2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

2013 年全国各省市高考文科、理科数学 试题分类汇编:函数与导数
1.(2013 广东.理)(14 分)设函数 f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? kx 2 (其中 k ? R ). (Ⅰ) 当 k ? 1 时,求函数 f ? x

? 的单调区间;(Ⅱ) 当 k ? ? ,1? 时,求函数 f ? x ? ? ?
1 ?2 ?

在 ? 0, k ? 上的最大值 M . 【解析】(Ⅰ) 当 k ? 1 时,
f ? x ? ? ? x ? 1? e x ? x 2 , f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 x ? xe x ? 2 x ? x ? e x ? 2 ?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln 2 当 x 变化时, f ? ? x ? , f ? x ? 的变化如下表:
x
f ?? x? f ? x?

? ?? , 0 ?
?

0 0

? 0, ln 2 ?
?

ln 2
0

? ln 2, ?? ?
?

极大
?
f ? x?

极小
?





?

右表可知,函数

的 递 减 区 间 为 ? 0, ln 2 ? , 递 增 区 间 为

? ?? , 0 ? , ? ln 2, ?? ? .
(Ⅱ) f ? ? x ? ? e x ? ? x ? 1? e x ? 2 kx ? xe x ? 2 kx ? x ? e x ? 2 k ? , 令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? ln ? 2 k ? , 令 g ? k ? ? ln ? 2 k ? ? k ,则 g ? ? k ? ? ? 1 ?
k 1 1? k k
?1 ? ? 0 ,所以 g ? k ? 在 ? ,1? 上递增, ?2 ?

所以 g ? k ? ? ln 2 ? 1 ? ln 2 ? ln e ? 0 ,从而 ln ? 2k ? ? k ,所以 ln ? 2 k ? ? ? 0, k ? 所以当 x ? ? 0, ln ? 2 k ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ln ? 2 k ? , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; 所以 M
? max ? f ? 0 ? , f ? k ?? ? max ??1, ? k ? 1? e k ? k 3 ?

1

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函数与导数专题

邓老师

令 h ? k ? ? ? k ? 1? e k ? k 3 ? 1 ,则 h? ? k ? ? k ? e k ? 3k ? , 令 ? ? k ? ? e k ? 3k ,则 ? ? ? k ? ? e k ? 3 ? e ? 3 ? 0 所以 ? ? k ? 在 ? ?
3? 1 ? ?1? ? ,1? 上递减,而 ? ? ? ? ? ?1? ? ? e ? ? ? e ? 3 ? ? 0 2? ?2? ? ?2 ?

所以存在 x0 ? ? ?

? ?1 ? ,1? 使得 ? ? x0 ? ? 0 ,且当 k ? ? , x0 ? 时, ? ? k ? ? 0 , ?2 ? ?2 ? 1

当 k ? ? x0 ,1? 时, ? ? k ? ? 0 ,所以 ? ? k ? 在 ? ? 调递减. 因为 h ? ?

? , x0 ? 上单调递增,在 ? x0 ,1? 上单 ?2 ? 1

1? 1 7 ?1 ? e ? ? 0 , h ?1? ? 0 ,所以 h ? k ? ? 0 在 ? ,1? 上恒成立,当 ??? 2 8 ?2? ?2 ?

且仅当 k ? 1 时取得“ ? ”. 综上,函数 f ? x ? 在 ? 0, k ? 上的最大值 M 2. (本小题满分 14 分)(2013 广东文) 设函数 f ( x ) ? x 3 ? kx 2 ? x ?k ? R ? . (1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k ,? k ? 上的最小值 m 和最大值 M .
' 2 【解析】 f ? x ? ? 3 x ? 2 kx ? 1 : ' 2 (1)当 k ? 1 时 f ? x ? ? 3 x ? 2 x ? 1, ? ? 4 ? 12 ? ?8 ? 0

? ? k ? 1? e k ? k 3 .

? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增.
' 2 (2)当 k ? 0 时, f ? x ? ? 3 x ? 2 kx ? 1 ,其开口向上,对称轴 x ?

k 3

,且

1 过 ? 0 ,?

(i)当 ? ? 4 k

2

? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即
k

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ? k ? 上单调递

增,

-k

x?

k 3

2

k

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从而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k , 当 x ? ? k 时, f ? x ? 取得最大值 M ( ii ) 当
? ? k2 4 ? 2 ?k 1 4

? f ? ? k ? ? ? k 3 ? k 3 ? k ? ?2k 3 ? k .
3 k

?

???

?

? 3 ?0 k?? 3 , 即

时 , 令

f ' ? x ? ? 3 x 2 ? 2 kx ? 1 ? 0

解得: x1 ?

k ? k2 ?3 3

, x2 ?

k ? k2 ?3 3

,注意到 k ? x2 ? x1 ? 0 ,
2k 3 ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ?
3

1

者由对称结合图像判断)
? m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ?? , M ? max ? f ? ? k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ? k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ? k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x 2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ? k ? ? ?2 k 3 ? k

综 上 所 述 , 当 k ?0 时 ,
M ? f? ? ? ? 2? 3 k k ?k

f ? x?

的最小值

m ? f? ? ? k

k ,最大值

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ? ? k , ? k ? ,都有
f ( x ) ? f ( k ) ? x 3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x 2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x ) ? f ( ? k ) ? x 3 ? kx 2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x 2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k ) 2 ? k 2 ? 1] ? 0

故 f ? x ? ? f ? ? k ? ,而 所以

f ( k ) ? k ? 0 , f ( ? k ) ? ?2 k 3 ? k ? 0

f ( x ) max ? f ( ? k ) ? ?2 k 3 ? k , f ( x ) min ? f ( k ) ? k

3(本小题共 13 分)(2013 北京.理)

3

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设 l 为曲线 C : y ? ln x 在点 (1,0) 处的切线.
x

(Ⅰ)求 l 的方程; (Ⅱ)证明:除切点 (1,0) 之外,曲线 C 在直线 l 的下方. 解: (I)? y ?
ln x x ? y? ? 1 ? ln x x2

,所以 l 的斜率 k ? y ?

x ?1

?1

所以 l 的方程为 y ? x ? 1 (II)证明:令 f ( x) ? x( x ? 1) ? ln x( x ? 0) 则 f ?( x ) ? 2 x ? 1 ? ?
x 1 (2 x ? 1)( x ? 1) x

? f ( x ) 在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,又 f (1) ? 0

x ? (0,1) 时, f ( x ) ? 0 ,即
x ? (1, ?? ) 时,

? x ?1 x ln x f ( x ) ? 0 ,即 ? x ?1 x

ln x

即除切点(1,0)之外,曲线 C 在直线 l 的下方

4. (13 分) (2013?北京.文)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? x sin x ? cos x (1)若曲线 y ? (2)若曲线 y ?
f ( x ) 在点 ( a, f ( a )) 处与直线 y ? b 相切,求 a 与 b 的值; f ( x ) 与直线 y ? b 有两个不同交点,求 b 的取值范围. f ( x ) 在点 ( a, f ( a )) 处与直线 y ? b 相

解: f ?( x) ? 2 x ? x cos x ,因为曲线 y ? (1) 切, 所以 ?

? 2 a ? a cos a ? 0 ?? 2 ? ? f (a) ? b ? a ? a sin a ? cos a ? b ? f ?( a ) ? 0

?a ? 0 故 a ? 0, b ? 1 ? ?b ? 1

(2)? f ?( x) ? x(2 ? cos x) 于是当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 单调递增. 当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 单调递减. 所以当 x ? 0 时, f ( x ) 取得最小值 f (0) ? 1 ,
4

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故当 b ? 1 时,曲线 y ? 围是 (1, ?? ) .

f ( x ) 与直线 y ? b 有两个不同交点.故 b 的取值范

5.(2013 大纲版.文)(12 分)已知函数 f ( x ) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3 x ? 1 (1)求当 a ? ?
2 时,讨论 f ( x ) 的单调性;

(1)若 x ? [2, ??) 时, f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 解:(1)求当 a ? ?
2 时, f ( x ) ? x 3 ? 3ax 2 ? 3 x ? 1
2 ?1 或 x ?

f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 2 x ? 3 ,令 f ?( x ) ? 0 ? x ?

2 ?1

当 x ? ( ??, 当 x?( 当 x?(

2 ? 1) 时, f ?( x ) ? 0

, f ( x ) 单调递增, , f ( x ) 单调递减,

2 ? 1, 2 ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 2 ? 1, ?? ) 时, f ?( x ) ? 0

, f ( x ) 单调递增;
5

(2)由 f (2) ? 0 ,可解得 a ? ? ,当 a ? ? , x ? (2, ?? ) 时,
4 5 1 f ?( x ) ? 3( x 2 ? 2 ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 2 2 4

5

所以函数 f ( x ) 在 (2, ?? ) 单调递增,于是当 x ? [2, ??) 时,
f ( x) ? f (2) ? 0

综上可得, a 的取值范围是 [ ? , ?? ) .
4

5

6. (13 分) (2013?福建)已知函数 f ( x) ? x ? a ln x(a ? R) (1)当 a ? 2 时,求曲线 y ? (2)求函数 f ( x ) 的极值. 解:函数 f ( x ) 的定义域为 (0, ?? ) , f ?( x) ? 1 ?
a x 2 x
f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程;

(1)当 a ? 2 时, f ( x) ? x ? 2 ln x , f ?( x) ? 1 ? ,
5

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因而 f (1) ? 1, f ?(1) ? ?1 , 所以曲线 y ?
f ( x ) 在点 A(1, f (1)) 处的切线方程为 x ? y ? 2 ? 0

(2)由 f ( x ) ? 1 ? ?
x

a

x?a x

( x ? 0) 知:

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (0, ?? ) 上的增函数,函数 f ( x ) 无极 值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? a 又当 x ? (0, a ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (a, ??) 时, f ?( x) ? 0 . 从而函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值,且极小值为 f (a ) ? a ? a ln a ,无极 大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? a 处取得极小值 f (a ) ? a ? a ln a ,无极大值.

7. (14 分) (2013?福建)已知函数 f ( x ) ? x ? 1 ? 的底数) (1)若曲线 y ?

a ex

( a ? R ), ( e 为自然对数

f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值;

(2)求函数 f ( x ) 的极值; (3)当 a ? 1 时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? 大值. 解:(1)由 f ( x ) ? x ? 1 ?
a e
x

f ( x ) 没有公共点,求 k 的最

,得 f ?( x) ?1 ?
a e

a ex

,又曲线 y ?

f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处

的切线平行于 x 轴,? f ?(1) ? 0 ? 1 ? ? 0 ? a ? e (2) f ?( x ) ? 1 ?
a ex



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函数与导数专题

邓老师

①当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 为 (??, ??) 上的增函数,函数 f ( x ) 无 极值; ②当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 ,解得 x ? ln a 又当 x ? (??, ln a ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? (ln a, ?? ) 时, f ?( x) ? 0 .
? f ( x ) 在 (??, ln a ) 上单调递减,在 (ln a, ??) 上单调递增,

从而函数 f ( x ) 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f (ln a ) ? ln a ,无极 大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 无极值; 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 x ? ln a 处取得极小值 f (ln a ) ? ln a ,无极大值. (3)当 a ? 1 时, f ( x ) ? x ? 1 ? 则直线 l : y ? kx ? 1与曲线 y ? 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g (0) ? 1 ? 0 , g (
1 k ?1 ) ? ?1 ? e 1
1 k ?1

1 e
x

,令 g ( x ) ? f ( x ) ? ( kx ? 1) ? (1 ? k ) x ?

1 ex

f ( x ) 没有公共点,等价于方程 g ( x ) ? 0 在 R



又函数 g ( x) 的图象连续不断,由零点存在定理可知 g ( x ) ? 0 在 R 上至少 有一解,与“方程 g ( x ) ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 . 又 k ? 1 时, g ( x ) ? 最大值为1 .
1 ex ? 0 ,知方程 g ( x ) ? 0 在 R 上没有实数解,所以 k 的

8. (13 分) (2013?安徽)设函数
f n ( x ) ? ?1 ? x ? x2 2
2

?

x3 3
2

?? ?

xn n
2

( x ? R , n ? N * ) ,证明:

(1)对每个 n ? N * ,存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足 f n ( xn ) ? 0 ;
3
7

2

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(2)对于任意 p ? N * ,由(1)中 x n 构成数列 ? xn ? 满足 0 ? xn ? xn ? p ? .
n

1

证明: (1)对每个 n ? N * ,当 x ? 0 时,由函数
f n ( x ) ? ?1 ? x ? x 2 x2 22 ? x3 32 ?? ? x n ?1 n xn n2 ( x ? R * , n ? N * ) ,可得

f ?( x ) ? 1 ?

?

x2 3

?? ?

? 0 ,故函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上是增函数.求得

f1 (1) ? 0, f n (1) ?

1 2
2

?

1 3
2

?? ?

1 n2

? 0 ,又

2 2 2 ( ) 2 ( )3 ( )n n 2 2 3 ? 3 ? ? 3 ] ? ? 1 ? 1 ? ( 2 )i f n ( ) ? ?1 ? ? [ 2 ? 3 3 2 32 n2 3 4 i?2 3

2 2 ( ) 2 [1 ? ( ) n ?1 ] 1 1 1 2 3 ?? ? ? 3 ? ? ? ( ) n ?1 ? 0 2 3 4 3 3 1? 3

根据函数的零点的判定定理,可得存在唯一的 xn ? [ ,1] ,满足
3
f n ( xn ) ? 0 .

2

(2)对于任意 p ? N * ,由(1)中 x n 构成数列 ? xn ? ,当 x ? 0 时,
? f n ?1 ( x ) ? f n ( x ) ? x n ?1 ( n ? 1) 2 ? f n ( x ) ,? f n ?1 ( xn ) ? f n ( xn ) ? f n ?1 ( xn ?1 ) ? 0
xn ?1 ? xn ? xn ? xn ? p ? 0 .

由 f n ?1 ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增,可得 故数列 ? xn ? 为递减数列,即对任意的 由于 f n ( xn ) ? ?1 ? xn ?
f n ? p ( xn ? p ) ? ? 1 ? xn ? p ?
( xn ? p ) n ?1 ( n ? 1) 2 ( xn ? p ) n ? 2 ( n ? 2) 2

n , p ? N * , xn ? xn ? p ? 0

( xn ) 2 22

?

( xn ) 3 32
?

?? ?

( xn ) n n2

......①,

( xn ? p ) 2 22

( xn ? p ) 3 32

?? ?

( xn ? p ) n n2

?

?

?? ?

( xn ? p ) n ? p (n ? p)2

..............②,
? 1 ,可得

用①减去②并移项,利用 0 ? xn ? p

8

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xn ? xn ? p ? ?
k ?2

n

( xn ? p ) k ? ( xn ) k k2

?

k ? n ?1

?
1

n? p

( xn ? p ) k k2

?

k ? n ?1

?

n? p

( xn ? p ) k k2

?

k ? n ?1

?

n? p

1 k
2

?

k ? n ?1

?

n? p

1 k ( k ? 1)

?

1 n

?

n? p

?

1 n

综上可得,对于任意 p ? N * ,由(1)中 x n 构成数列 ? xn ? 满足
0 ? xn ? xn ? p ? 1 n



9. (本小题满分 14 分) (2013 陕西.理) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 若直线 y ? kx ? 1 与 f ( x ) 的反函数的图像相切, 求实数 k 的值; (Ⅱ) 设 x ? 0 , 讨论曲线 y ? (Ⅲ) 设 a ? b , 比较 【解析】(Ⅰ)
2

f ( x ) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0)

公共点的个数.

f (a ) ? f (b)



f (b ) ? f ( a ) b?a

的大小, 并说明理由.

f ( x ) 的反函数 g ( x) ? ln x .

设直线 y ? kx ? 1 与 g ( x) ? ln x 相切 。所以 k ? e ?2 的公共点个数

? kx 0 ? 1 ? lnx 0 ? 2 ?2 与点 P(x 0, y 0 ), 则? 1 ? x0 ? e ,k ? e ? k ? g' (x 0 ) ? x 0 ?

(Ⅱ)

当 x ? 0, m ? 0 时, 曲线 y ?

f ( x ) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0)

即方程 f ( x ) ? mx 2 根的个数。 由 f ( x ) ? mx 2 ? m ?
ex x

,令 h ( x ) ? 2

ex x2

? h '( x ) ?

xe x ( x ? 2) x2

则 h( x) 在 (0, 2) 上单调递减,这时 h( x) ? (h(2), ??) , h( x) 在 (2, ?? ) 上单调递 增,这时 h ( x ) ? ( h(2), ??), h(2) ?
e2 4 .

h(2) 是 y ? h ( x ) 的极小值即最小值.

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邓老师

所以对曲线 y ? 当 m ? (0, 当m?(
e2 4 e2 4

f ( x ) 与曲线 y ? mx 2 (m ? 0)

公共点的个数,讨论如下: ,有1 个公共点;

) 时,有 0 个公共点;当 m ?

e2 4

, ?? ) 有 2 个公共点; f (b ) ? f ( a ) b?a
?

(Ⅲ) 设
?

f ( a ) ? f (b ) 2

?

?

(b ? a ? 2 ) ? f ( a ) ? (b ? a ? 2 ) ? f (b ) 2 ? (b ? a )
? ea

(b ? a ? 2 ) ? e a ? (b ? a ? 2 ) ? e b 2 ? (b ? a )

(b ? a ? 2 ) ? (b ? a ? 2 ) ? e b ? a 2 ? (b ? a )

令 g ( x ) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, ,则 g '( x ) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x
g ?( x ) 的导函数 g ''( x ) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0,

所以 g ?( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增, 且 g ?(0) ? 0 ,因此 g ?( x ) ? 0, g ( x) 在 (0, ?? ) 上单调递增,而 g (0) ? 0 所以在 (0, ?? )上g ( x) ? 0 。 因为当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0 且 a ? b
? (b ? a ? 2 ) ? (b ? a ? 2 ) ? e b ? a 2 ? (b ? a ) ?ea ? 0

所以当 a ? b 时,

f ( a ) ? f (b ) 2

?

f (b ) ? f ( a ) b?a

10. (本小题满分 14 分) (2013 陕西.文) 已知函数 f ( x) ? e x , x ? R . (Ⅰ) 求 f ( x ) 的反函数的图象上图象上点 (1, 0) 处的切线方程; (Ⅱ) 证明: 曲线 y ?
f ( x ) 与曲线 y ?
? 2 ?

1 2

x 2 ? x ? 1 有唯一公共点.

(Ⅲ) 设 a ? b , 比较 f ? a ? b ? 与 ? ?

f (b ) ? f ( a ) b?a

的大小, 并说明理由.

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2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

解(Ⅰ) y ? x ? 1 . (Ⅱ) 证明曲线 y ?
1 2
f ( x ) 与曲线 y ?

1 2

x 2 ? x ? 1 有唯一公共点,过程如下。

令 h( x ) ? f ( x ) ? x 2 ? x ? 1 ? e x ? x 2 ? x ? 1, x ? R , 则
2

1

h '( x ) ? e x ? x ? 1, h '( x ) 的导数 h ''( x ) ? e x ? 1, 且

h(0) ? 0,h '(0) ? 0, ''(0) ? 0 因此, ,h

当 x ? 0 时, h ''( x) ? 0 ? y ? h '( x) 单调递减; 当 x ? 0 时, h ''( x) ? 0 ? y ? h '( x) 单调递增.
? y ? h '( x ) ? h '(0) ? 0, 所以 y ? h ( x ) 在 R 上单调递增,最多有一个零点
x?0

所以,曲线 y ? (Ⅲ) 设
?

f ( x ) 与曲线 y ?

1 2

x 2 ? x ? 1 只有唯一公共点 (0,1) .(证毕)
(b ? a ? 2 ) ? f ( a ) ? (b ? a ? 2 ) ? f (b ) 2 ? (b ? a )
? ea

f ( a ) ? f (b ) 2

?

f (b ) ? f ( a ) b?a
?

?

(b ? a ? 2 ) ? e a ? (b ? a ? 2 ) ? e b 2 ? (b ? a )

(b ? a ? 2 ) ? (b ? a ? 2 ) ? e b ? a 2 ? (b ? a )

令 g ( x ) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x , x ? 0, 则 g '( x ) ? 1 ? (1 ? x ? 2) ? e x ? 1 ? ( x ? 1) ? e x
g ?( x ) 的导函数 g ''( x ) ? (1 ? x ? 1) ? e x ? x ? e x ? 0,

所以 g ?( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增, 且 g ?(0) ? 0 ,因此 g ?( x ) ? 0, g ( x) 在 (0, ?? ) 上单调递增,而 g (0) ? 0 所以在 (0, ?? )上g ( x) ? 0 。 因为当 x ? 0 时, g ( x ) ? x ? 2 ? ( x ? 2) ? e x ? 0 且 a ? b
? (b ? a ? 2 ) ? (b ? a ? 2 ) ? e b ? a 2 ? (b ? a ) ?ea ? 0

所以 当a < b时,

f ( a ) ? f (b ) 2

?

f (b ) ? f ( a ) b?a
11

2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

11.(本小题满分 14 分)(2013 湖北.理) 设 n 为正整数, r 为正有理数. (I)求函数 f ? x ? ? ?1 ? x ? (II)证明:
n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1
r ?1

? ? r ? 1? x ? 1 ? x ? ? 1? 的最小值;

r?2

?n ?
r

? n ? 1?

r ?1

? n r ?1

r ?1

;

(III)设 x ? R, ? x ? 为 不小于 x 的最小整数,例如 ? 2 ? =2,?? ? =4,? ? 记 ? ... 令 S ? 3 81 ? 3 82 ? 3 83 ? ?????? ? 3 125, 求 [ S ] 的值。 (参考数据: 80 3 ? 344.7,813 ? 350.5,124 3 ? 618.3,126 3 ? 631.7. ) 解 .(1) 因 为
x?0
f ?( x ) ? r ? 1 ) ? 1 ( (x
r

3? ? =-1. ? 2?

4

4

4

4

?) r ? ( ? 1r)? (

?1x) r ?1 [(

) ,令

? f1(]x ) ? 0

解得

当 ?1 ? x ? 0 时, 当 x ? 0 时,

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (?1, 0) 内是减函数

f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 (0, ?? ) 内是增函数

故函数 f ( x ) 在 x ? 0 处取得最小值 f (0) ? 0

(2)由(1),当 x ? (?1, ?? ) 时,有 f ( x) ?

f (0) ? 0

即 (1 ? x ) r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x 且等号当且仅当 x ? 0 时成立. 故当 x ? (?1, ?? ) 且 x ? 0 时,有 (1 ? x ) r ?1 ? 1 ? ( r ? 1) x ………..① 在①中,令 x ? ,(这时 x ? (?1, ?? ) 且 x ? 0 )得 (1 ? ) r ?1 ? 1 ?
n n 1 1 r ?1 n

上式两边同乘 n r ?1 得 ( n ? 1) r ?1 ? n r ?1 ? n r ( r ? 1) 即 nr
? ( n ? 1) r ?1 ? n r ?1 r ?1

…………………………………………..②

12

2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

当 n ? 1 时, 在①中,令 x ? ? ,(这时 x ? (?1, ?? ) 且 x ? 0 ),类似可得
n
nr ? n r ?1 ? ( n ? 1) r ?1 r ?1

1

………………………………………………③

且当 n ? 1 时, ③式也成立 综合②③得
n r ?1 ? ? n ? 1? r ?1
r?2

?n ?
r

? n ? 1?

r ?1

? n r ?1

r ?1

; ………..



(3)在④中,令 r ? , n 分别取 81,82,83,…,125,得
3
3 4 3 4 3 4
4 4

1

(813 ? 80 3 ) ? 3 81 ?
4 4

3 4 3 4 3 4

(82 3 ? 813 ) ,
4 4

4

4

(82 3 ? 813 ) ? 3 82 ?
4 3 4 3

(83 3 ? 82 3 )
4 3 4 3

(83 ? 82 ) ? 83 ?
3

(84 ? 83 )

…………………………….
3 4
4 4

(125 3 ? 124 3 ) ? 3 125 ?

3 4

4

4

(126 3 ? 125 3 )

将以上各式相加,并整理得
3 4 (125 ? 80 ) ? S ?
4 3 4 3

3 4

(126 ? 81 )
4 4 4 4

4 3

4 3

代入数据计算,可得

3

3 (125 3 ? 80 3 ) ? 210.2 , (126 3 ? 813 ) ? 210.9 4 4

由 [ S ] 的定义,得 [ S ] ? 211.

12. (本小题满分 13 分)(2013 湖北.文) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ? ax ? b .
x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性;
13

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(Ⅱ)当 x ? 0 时,称 f ( x) 为 a 、 b 关于 x 的加权平均数. (i)判断 f (1) ,
f( b a b b b ) , f ( ) 是否成等比数列,并证明 f ( ) ? f ( ) a a a



(ii)a 、b 的几何平均数记为 G . 称 若H ?
f ( x) ? G ,求 x 的取值范围.

2ab a?b

为 a 、b 的调和平均数, 记为 H .

解: (Ⅰ)函数的定义域为 ? x

x ? ? 1? , f ?( x ) ?

a?b ( x ? 1) 2

所以

当 a ? b ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ??, ?1) , ( ?1, ?? ) 上单调递增; 当 0 ? a ? b 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 在 ( ??, ?1) , ( ?1, ?? ) 上单调递减. (Ⅱ) (i)计算得 f (1) ?
? ( ab ) 2 ?

a?b 2

, f(

b

b 2 ab ) ? ab , f ( ) ? a a a?b

a ? b 2 ab b b ? ? f (1), f ( ), f ( ) 成等比数列, 2 a?b a a 2 ab a?b ? b b ab ? f ( ) ? f ( ) a a

? a ? 0, b ? 0,?

(ii)由(i)知 f (1) ? 故由 H ?
f ( x ) ? G ,得

a?b

2 a a?b b f ( ) ? f ( x ) ? f (1) . a b a

, f( )?

b

2 ab

当 a ? b ? 0 时,函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递增.这时 ? x ? 1 ,即 x 的取 值范围为 ? x ? 1 ;
a b

当 0 ? a ? b 时,函数 f ( x ) 在 (0, ?? ) 上单调递减.所以 x 的取值范围为
1? x ? b a

13. (2013 江苏卷)(本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ln x ? ax , g ? x ? ? e x
? ax

,其中 a 为实数.

14

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(1) 若 f ? x ? 在 ?1,?? ? 上是单调减函数,且 g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值, 求 a 的范围; (2) 若 g ? x ? 在 ? ? 1, ?? ? 上是单调增函数,试求 f ? x ? 的零点个数,并证明 你的结论. 解: (1) f ( x ) ' ? x ?1 ? a , g ( x ) ' ? e x ? a 由题意: f ( x ) ' ? 0 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立 即 a ? x ?1 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立? a ? 1
? g ? x ? 在 ?1,?? ? 上有最小值
a ? 0 时, g ( x ) ' ? 0 恒成立, g ( x ) 在 ?1, ?? ? 无最值 a ? 0 时,由题意 ln a ? 1 , a ? e

综上: a 的范围是: a ? e (2)? g ? x ? 在 ? ? 1, ?? ? 上是单调增函数
' 对 ? g ( x ) ? 0 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立

即 a ? e x 对 x ? ? ?1, ?? ? 恒成立? a ? e ?1 令 f ( x) ? 0 ,则 a ?
ln x x ln x x

则有 f ( x ) 的零点个数即为 y ? a 与 y ? 令 h( x) ?
ln x x

图像交点的个数

? x ? 0 ? 则 h( x)' ?

1 ? ln x x2

易知 h( x) 在 ? 0, e ? 上单调递增,在 ? e, ?? ? 上单调递减 在 x ? e 时取到最大值 h(e) ? ? 0
e 1

当 x ? 0 时, h ( x ) ?
? h( x ) 图像如下

ln x x

? ?? 当 x ? ?? 时, h ( x ) ?

ln x x

?0

15

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所以由图可知: a ? 0 时, f ( x ) 有 1 个零点
0?a? 1 e

时, f ( x ) 有 2 个零点 a ? 时, f ( x ) 有 1 个零点
e

1

综上所述: a ? 0 或 a ? 时, f ( x ) 有 1 个零点
e 0?a? 1 e

1

时, f ( x ) 有 2 个零点

14(本小题满分 13 分)(2013 湖南.理) 已知 a ? 0 ,函数 f ( x ) ?
x?a x ? 2a

(1)记 f ( x ) 在区间 [0, 4] 上的最大值为 g (a) ,求 g (a) 的表达式 (2)是否存在 a ,使函数 y ?
f ( x ) 在区间 (0, 4) 内的图象上存在两点,

在该两点处的切线互相垂直?若村子啊,求出 a 的取值范围, 若不存在,请说明理由 解(1)当 0 ? x ? a 时, f ( x ) ? 当 x ? (0, a ) 时, f
'( x ) ? ? 3a ( x ? 2a )2 3a ( x ? 2a )2
a?x x ? 2a

;当 x ? a 时, f ( x ) ?

x?a x ? 2a

,因此,

? 0 , f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减;

当 x ? ( a, ?? ) 时, f

'( x ) ?

? 0 , f ( x ) 在 ( a , ?? ) 上单调递增;
f (0) ? 1 2

①若 a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减, g ( a ) ?

②若 0 ? a ? 4 ,则 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a , 4) 上单调递增。所以
g ( a ) ? max{ f (0), f (4)} ,而 f (0) ? f (4) ?

1 2

?

4?a 4 ? 2a

?

a ?1 2?a

,故当 0 ? a ? 1 时,

16

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g ( a ) ? f (4) ?

4?a 4 ? 2a

;当当1 ? a ? 4 时, g ( a ) ?

f (0) ?

1 2

.

? 4?a ? 4 ? 2a , 0 ? a ? 1 综上所述, g ( a ) ? ? ? 1 ? ,a ?1 ? ? 2

(2)由(1)知,当 a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, 4) 上单调递减,故不满足要求。 当 0 ? a ? 4 时, f ( x ) 在 (0, a ) 上单调递减,在 ( a , 4) 上单调递增,若存在
x1 , x2 ? (0, 4)( x1 ? x2 ) ,使曲线 y ? f ( x ) 在 ( x1 , f ( x1 )), ( x2 , f ( x2 )) 两点处的切线

互相垂直,则 x1 ? (0, a ), x2 ? ( a, 4) ,且 f 即
? 3a ( x1 ? 2 a )
2

'( x1 ) ? f '( x2 ) ? ?1 ,
3a x2 ? 2 a 3a x2 ? 2 a ?( 3a 4 ? 2a

?

3a ( x2 ? 2 a )
2

? ?1

亦即 x1 ? 2 a ?

(*)

由 x1 ? (0, a ), x2 ? ( a, 4) 得 x1 ? 2a ? (2a, 3a ) ,

,1)

故(*)成立等价于集合 A ? { x | 2a ? x ? 3a} 与集合 B ? { x | 交集非空. 因为
3a 4 ? 2a ? 3a ,所以当且仅当 0 ? 2a ? 1,即 0 ? a ? 1 2

3a 4 ? 2a

? x ? 1} 的

时, A ? B ? ?

综上所述,存在 a 使函数 f ( x ) 在区间 (0, 4) 内的图像上存在两点,在该 两点处的切线互相垂直,且 a 的取值范围是 (0,
1 2 )

15. (13 分) (2013?湖南.文)已知函数 f ( x ) ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)证明:当 f ( x1 ) ?

1? x 1 ? x2

ex .

f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时, x1 ? x2 ? 0 .

解: (I)易知函数 f ( x ) 的定义域为 R .
f ?( x ) ? ( 1? x 1? x
2

)?e x ?

1? x 1? x
2

ex

17

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?

x2 ? 2x ?1 (1 ? x )
2 2

ex ?

1? x 1? x
2

ex ?

? x[( x ? 1) 2 ? 2] (1 ? x )
2 2

ex

当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 .∴函数 f ( x ) 的单调递增区 间为 ( ??, 0) ,单调递减区间为 (0, ?? ) . (II)当 x ? 1 时,由于
1? x 1? x
2

? 0, e x ? 0 ? f ( x ) ? 0 ;

同理,当 x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ; 当 f ( x1 ) ?
f ( x2 )( x1 ? x2 ) 时,不妨设 x1 ? x2 .

由(I)可知: x1 ? ( ??, 0), x2 ? (0,1) . 下面证明: ?x ? (0,1), f ( x) ? 此不等式等价于 (1 ? x )e x ? 令 g ( x ) ? (1 ? x )e x ?
1? x e
x

f ( ? x ) ,即证

1? x 1? x
2

ex ?

1? x 1? x
2

e? x .

1? x ex

? 0.

,则 g ?( x ) ? ? xe ? x (e 2 x ? 1) .

当 x ? (0,1) 时, g ?( x ) ? 0, g ( x ) 单调递减,? g ( x) ? g (0) ? 0 即 (1 ? x )e x ?
1? x ex ?0

??x ? (0,1), f ( x) ? f ( ? x) ,而 x2 ? (0,1) ? f ( x2 ) ? f ( ? x2 )

从而, f ( x1 ) ?

f ( ? x2 ) .

由于 x1 , ? x2 ? ( ??, 0), f ( x) 在 ( ??, 0) 上单调递增,
? x1 ? ? x2 ? x1 ? x2 ? 0

16(本小题满分 13 分) (2013 山东.理) 设函数 f ( x ) ?
x e2 x ? c (e ? 2.71828? 是自然对数的底数, c ? R ) .

(1)求 f ( x ) 的单调区间,最大值; (2)讨论关于 x 的方程 | ln x |?
f ( x ) 根的个数.

18

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解: (1) f ?( x ) ? 当 x ? ( ?? , ) 时,
2 1

1? 2x e
2x

,令 f ?( x ) ? 0 ? x ?

1 2

f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递增; f ?( x) ? 0 , f ( x ) 单调递减;

当 x ? ( , ?? ) 时,
2

1

所以当 x ? 时,函数取得最大值
2 f max ( x ) ? 1 2e ?c 1 2e ? c ,然后递

1

(2)由(1)知, f ( x ) 先增后减,即从负无穷增大到

减到 c,而函数 ln x 是 (0,1) 时由正无穷递减到 0 ,然后又逐渐增大。 故令 f (1) ? 0 得, c ? ? 所以当 c ? ? 当c ? ? 当c ? ?
1 e2 1 e2 1 e2 1 e2



时,方程有两个根;

时,方程有一两个根; 时,方程有无两个根.

17(山东.文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? ln x (a, b ? R ) (Ⅰ)设 a ? 0 ,求 f ( x ) 的单调区间 (Ⅱ) 设 a ? 0 ,且对于任意 x ? 0 , f ( x) ?
f (1) 。试比较 ln a 与 ?2b 的大小

解: (Ⅰ)由 f ( x ) ? ax 2 ? bx ? ln x (a , b ? R ) 知 f ?( x ) ? 2 ax ? b ? 又 a ? 0 ,故当 a ? 0 时, f ?( x ) ?
bx ? 1 x

1 x

若 b ? 0 时,由 x ? 0 得, f ?( x) ? 0 恒成立, 故函数的单调递减区间是 (0, ?? ) ; 若 b ? 0 , f ?( x 令 ) 是增函数.
19

? 0

可得 x ? , 即函数在 (0, ) 上是减函数, ( , ?? ) 上 在
b b b

1

1

1

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所以函数的单调递减区间是 (0, ) ,单调递增区间是 ( , ?? )
b b

1

1

当 a ? 0 时,令 f ?( x ) ? 0 ? 2ax 2 ? bx ? 1 ? 0 由于 ? ? b 2 ? 8a ? 0 ,故有 x1 ? 显然有 x1 ? 0, x2 ? 0 , 故在区间 (0,
?b ? b 2 ? 8a 4a ?b ? b 2 ? 8a 4a ) 上,导数小于 ?b ? b 2 ? 8a 4a , x2 ? ?b ? b 2 ? 8a 4a

0,函数是减函数;在区间

(

, ?? ) 上,导数大于

0,函数是增函数

综上,当 a ? 0, b ? 0 时,函数的单调递减区间是 (0, ?? ) ; 当 a ? 0, b ? 0 时, 函数的单调递减区间是 (0, ) , 单调递增区间是
b 1 ( , ?? ) b 1

当 a ? 0 ,函数的单调递减区间是 (0, 间是 (
?b ? b 2 ? 8a 4a , ?? )

?b ? b 2 ? 8a 4a

) ,单调递增区

(II)由题意,函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取到最小值, 由(1)知,
?b ? b 2 ? 8a 4a

是函数的唯一极小值点故

?b ? b 2 ? 8a 4a

?1

整理得 2a ? b ? 1 ? b ? 1 ? 2a 令 g ( x) ? 2 ? 4 x ? ln x ,则 g ?( x ) ? 由 g ?( x ) ?
1? 4x x 1 4 ?0? x? 1 4 1? 4x x

当 0 ? x ? 时, g ?( x) ? 0 ,函数单调递增; 当 x ? ( , ?? ) 时, g ?( x) ? 0 ,函数单调递减
4 1

因为 g ( x ) ? g ( ) ? 1 ? ln 4 ? 0
4
20

1

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故 g ( a ) ? 0 ,即 2 ? 4a ? ln a ? 2b ? ln a ? 0 ,即 ln a ? ?2b

18. (13 分) (2013?安徽)设函数 f ( x ) ? ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ( a ? 0) ,区间
l ? ? x f ( x ) ? 0?

(Ⅰ)求 l 的长度(注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ) ; (Ⅱ)给定常数 k ? (0,1) ,当1 ? k ? a ? 1 ? k 时,求 l 长度的最小值. 解: (Ⅰ)因为方程 ax ? (1 ? a 2 ) x 2 ? 0(a ? 0) 有两个实根 x1 ? 0, x2 ? 故 f ( x) ? 0 的解集为 ? x 因此区间 l ? (0, (Ⅱ)设 d ( a ) ?
a 1? a a 1 ? a2
2

a 1? a2

? 0,

x1 ? x ? x2 ?

) ,区间长度为

a 1 ? a2



,则 d ?( a ) ?

1? a2 (1 ? a 2 ) 2

令 d ?(a ) ? 0 ? a ? 1 ,由于 0 ? k ? 1 , 故当1 ? k ? a ? 1 时, ?(a) ? 0, d (a ) 单调递增; 1 ? a ? 1 ? k 时, ?(a) ? 0, 当 d d 单调递减, 因此当 1 ? k ? a ? 1 ? k 时,d (a ) 的最小值必定在 a ? 1 ? k ,或 a ? 1 ? k 处取得.
1? k d (1 ? k ) 1 ? (1 ? k ) 2 2 ? k 2 ? k 3 而 ? ? ? 1 ,故 d (1 ? k ) ? d (1 ? k ) . 1? k d (1 ? k ) 2 ? k2 ? k3 1 ? (1 ? k ) 2
d (a )

因此当 a ? 1 ? k 时, (a ) 在区间 [1 ? k ,1 ? k ] 上取得最小值 d 度的最小值为
1? k 2 ? 2k ? k 2

1? k 2 ? 2k ? k 2

, l长 即



21

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19.(2013 全国卷.文)已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? (Ⅱ)若 a 解(略)
f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 a ] 上的最小值.

20.(本小题满分 14 分)(2013 江西.理) 已知函数 f ( x ) ? a (1 ? 2
x? 1 2 ), a 为常数且 a ? 0 .

(1)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 对称;
2

1

(2)若 x 0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 ,但 f ( x0 ) ? x0 ,则 x 0 称为函数 f ( x ) 的二阶周 期点,如果 f ( x ) 有两个二阶周期点 x1 , x2 ,试确定 a 的取值范围; (3)对于(2)中的 x1 , x2 ,和 a ,设 x3 为函数 f ( f ( x )) 的最大值点,
A( x1 , f ( f ( x1 ))), B ( x2 , f ( f ( x2 ))), C ( x3 , 0) ,记 ?ABC 的面积为 S (a ) ,讨论

S (a ) 的单调性。

(1)证明:? f ( ? x ) ? a (1 ? 2 x ) , f ( ? x ) ? a (1 ? 2 x )
2 2 1 1 1 ? f ( ? x ) ? f ( ? x ) ,? f ( x ) 的图象关于直线 x ? 2 2 2

1

1

对称.

(2)解:当 0 ? a ? 时,有
2

1

1 ? 2 ?4a x( x ? 2 ) ? f ( f ( x )) ? ? ? 4 a 2 (1 ? x )( x ? 1 ) ? ? 2



? f ( f ( x )) ? x 只有一个解 x ? 0 ,又 f (0) ? 0 ,故 0 不是二阶周期点.

当 a ? 时,有
2

1

1 ? x( x ? ) ? ? 2 f ( f ( x )) ? ? ?1 ? x ( x ? 1 ) ? ? 2

22

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? 1? ? f ( f ( x )) ? x 有解集, ? x x ? ? ,故此集合中的所有点都不是二阶周期 2? ?

点.
1 ? 2 4a x( x ? ) ? 4a ? ?2a ? 4a 2 x( 1 ? x ? 1 ) ? 4a 2 f ( f ( x )) ? ? ? 2 a (1 ? 2 a ) ? 4 a 2 x ( 1 ? x ? 4 a ? 1) ? 2 4a ? 4a ? 1 ?4a 2 ? 4a 2 x( x ? ) 4a ?

当 a ? 时,有
2

1

? f ( f ( x )) ? x 有四个解: 0 ,

2a

1 ? 4a 2 1 ? 2a 1 ? 4 a 2

,

2a

,

4a 2

由 f (0) ? 0 , f ( 故只有
2a

2a 1 ? 2a
4a 2

)?

2a 1 ? 2a

, f(

2a 1 ? 4a

)? 2

2a 1 ? 4a 2

, f(

4a 2 1 ? 4a

)? 2

4a 2 1 ? 4a 2

1 ? 4a 2 1 ? 4a 2

,

是 f ( x ) 的二阶周期点,综上所述,所求 a 的取值

范围为 a ?

1 2
2a 1 ? 4a
4a 2 1 ? 4a 2

(3)由(2)得 x1 ?

, x2 ? 2

.
1 4a

? x2 为函数 f ( x ) 的最大值点,所以 x3 ?

或 x3 ?

4a ? 1 4a

当 x3 ?

1 4a

时, S ( a ) ?

2a ? 1 4(1 ? 4 a 2 )

.求导得:

S ?( a ) ?

2( a ?

1? 2 1? 2 )( a ? ) 2 2 (1 ? 4 a 2 ) 2
1 1? 2 1? 2 , ) 时, S (a ) 单调递增,当 a ? ( , ?? ) 时, 2 2 2

所以当 a ? (

S (a ) 单调递减.

当 x3 ?

4a ? 1 4a

时, S ( a ) ?

8a 2 ? 6 a ? 1 4(1 ? 4 a 2 )

,求导得 S ?( a ) ?
23

12 a 2 ? 4 a ? 3 2(1 ? 4 a 2 ) 2

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因为 a ? ,从而 S ?( a ) ?
2 1

1

12 a 2 ? 4 a ? 3 2(1 ? 4 a 2 ) 2

所以当 a ? ( , ?? ) 时, S (a ) 单调递增.
2

21. (本小题满分 14 分)(2013 江西.文) 设函数
?1 2 ? a x (0 ? x ? a ) ? 常数且 a ? (0,1) . f ( x) ? ? ? 1 (1 ? x )( a 2 ? x ? 1) ?1 ? a ?

(1)当 a ? 时,求 f ( f ( )) ;
2 3

1

1

(2)若 x 0 满足 f ( f ( x0 )) ? x0 但 f ( x0 ) ? x0 ,则称 x 0 为 f ( x ) 的二阶有且仅有 两个二阶周期点,并求二阶周期点 x1 , x2 ;
x (3)对于 (2) x1 , x2 , Ax ,1f (f ( ,) (1 B,x( f( f2)x 中 设 (
2

, C ( a 2 , 0) , ?ABC 记

的面积为 S (a ) ,求 S (a ) 在区间 [ , ] 上的最大值和最小值。
3 2

1 1

解: (1)当 a ? 时,求 f ( ) ? ,故 f ( f ( )) ? f ( ) ? 2(1 ? ) ?
2 3 3 3 3 3
?1 2 ? a 2 x (0 ? x ? a ) ? ? 1 ( a ? x )( a 2 ? x ? a ) ? a (1 ? a ) ? f ( f ( x )) ? ? ? 1 ( x ? a )( a ? x ? a 2 ? a ? 1) 2 ? (1 ? a ) ? ? 1 (1 ? x )( a 2 ? a ? 1 ? x ? 1) ? a (1 ? a ) ?

1

1

2

1

2

2

2 3

(2)

当 0 ? x ? a 2 时,由 的二阶周期点; 当 a 2 ? x ? a 时,由

1 a2

x ? x ,解得 x ? 0 ,因为 f (0) ? 0 ,故 x ? 0 不是函数

1 (1 ? a )
2

( x ? a ) ? x ,解得 x ?

a ?a ? a ? 1
2

? (a 2 , a )

24

2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

因为 f ( 故x ?

a ?a ? a ? 1 a
2

)?

1 a

?

a ?a ? a ? 1
2

?

1 ?a ? a ? 1
2

?

a ?a ? a ? 1
2

?a 2 ? a ? 1

是函数的二阶周期点;
1 (1 ? a )
2

当 a ? x ? a 2 ? a ? 1 时,由 为 f(
1 2?a )? 1 2?a

( x ? a ) ? x ,解得 x ?

1 2?a

? ( a , a 2 ? a ? 1) ,因

,故得 x ?
1

1 2?a

不是函数的二阶周期点;
1 ?a ? a ? 1
2

当 a 2 ? a ? 1 ? x ? 1 时,由 因为 f ( 故x ?
1 ?a ? a ? 1 1
2

a (1 ? a )

(1 ? x ) ? x ,解得 x ?

? ( a 2 ? a ? 1,1) ,

)?

a ?a ? a ? 1
2

?

1 ?a ? a ? 1
2



?a 2 ? a ? 1

是函数的二阶周期点;
a ?a ? a ? 1
2

因此函数有两个二阶周期点, x1 ?

?a ? a ? 1 a a 1 1 (3)由(2)得 A( 2 , 2 ) , B( 2 , 2 ) ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1 ?a ? a ? 1
2

, x2 ?

1

则 S ( a ) ? S ?OCB ? S ?OCA ? 所以 S ?( a ) ?
1 2 ?

1 2

?

a 2 (1 ? a ) ?a 2 ? a ? 1



a ( a 3 ? 2 a 2 ? 2 a ? 2) ?a 2 ? a ? 1 1 2 ? a ( a 3 ? 2 a 2 ? 2 a ? 2) ?a 2 ? a ? 1

因为 a ? ( , ) ,有 a 2 ? a ? 1 ,所以 S ?( a ) ?
3 2
? 1 2 ? a[( a ? 1)( a ? 1) 2 ? ( ? a 2 ? a ? 1)] ?a 2 ? a ? 1 ?0

1 1

(或令 g ( a ) ? a 3 ? 2a 2 ? 2a ? 2 利用导数证明其符号为正亦可)
1 1 S (a ) 在区间 [ , ] 上是增函数, 3 2

故 S (a ) 在区间[ , ]上的最小值为 S ( ) ?
3

1

1 33

,最大值为 S ( ) ?
2

1

1 20

.

22. (12 分) (2013?辽宁.理)已知函数
f ( x ) ? (1 ? x )e
?2 x

, g ( x ) ? ax ?

x3 2

? 1 ? 2 x cos x ,当 x ? [0,1] 时,

25

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(I)求证:1 ? x ? f ( x ) ?

1 1? x



(II)若 f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围. (I) 证明:①当 x ? [0,1) 时, (1 ? x )e ?2 ? 1 ? x ? (1 ? x )e ? x ? (1 ? x )e x

令 h( x ) ? (1 ? x )e ? x ? (1 ? x)e x ,则 h?( x ) ? x (e x ? e ? x ) . 当 x ? [0,1) 时, h?( x) ? 0 ,所以 h( x) 在 [0,1) 上是增函数,
? h( x ) ? h(0) ? 0 ,即 f ( x ) ? 1 ? x .

②当 x ? [0,1) 时, f ( x ) ? 令 u ( x) ? e
x

1 1? x
x

? ex ? 1? x ,

? x ? 1 ,则 u ?( x ) ? e ? 1

,当 x ? [0,1) 时, u ?( x) ? 0
1 1? x

? u ( x) 在 [0,1) 单调递增,? u ( x) ? u (0) ? 0 ,? f ( x ) ?

综上可知:1 ? x ? f ( x ) ? (II) 解:设 G ( x ) ?

1 1? x

.
x3 2 ? 1 ? 2 x cos x ) x2 2

f ( x ) ? g ( x ) ? (1 ? x )e ?2 x ? ( ax ? x3 2

? 1 ? x ? ax ? 1 ? x2 2

? 2 x cos x ? ? x ( a ? 1 ?

? 2 cos x )

令 H ( x) ?

? 2 cos x ,则 H ?( x ) ? x ? 2 sin x

令 K ( x) ? x ? 2 sin x ,则 K ?( x) ? 1 ? 2 cos x 当 x ? [0,1) 时, K ?( x) ? 0 , 可得 H ?( x) 是 [0,1) 上的减函数,? H ?( x) ? H ?(0) ? 0 , 故 H ( x ) 在 [0,1) 单调递减,? H ( x) ? H (0) ? 2 ? a ? 1 ? H ( x) ? a ? 3 所以当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1) 上恒成立. 下面证明当 a ? ?3 时, f ( x) ? g ( x) 在 [0,1) 上不恒成立.
f ( x) ? g ( x) ? 1 1? x ? (1 ? ax ? x3 2 ? 2 x cos x )

26

2013 全国高考文科、理科数学

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?

?x 1? x

? ax ?

x3 2

? 2 x cos x ? ? x ( x2 2

1 1? x

? a ? 2 cos x ) .

令 V ( x) ? 则 V ?( x ) ?

1 1? x

?a?

? 2 cos x ?

1 1? x

? a ? H ( x) ,

?1 (1 ? x ) 2

? H ?( x ) .

当 x ? [0,1) 时, V ?( x) ? 0 ,故 V ( x) 在 [0,1) 上是减函数,
?V ( x ) ? ( a ? 1 ? 2 cos1, a ? 3]

当 a ? ?3 时, a ? 3 ? 0 . 所以存在 x0 ? (0,1) ,使得 V ( x0 ) ? 0 ,此时, f ( x0 ) ? g ( x0 ) . 即 f ( x) ? g ( x) 在 [0,1) 上不恒成立. 综上实数 a 的取值范围是 ( ??, ?3]

23.(2013 大纲版.理)(12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln(1 ? x ) ?
x (1 ? ? x ) 1? x

.

(Ⅰ)若 x ? 0 时 f ( x ) ? 0 ,求 ? 的最小值; (Ⅱ)设数列 {an } 的通项 an ? 1 ?
1 2 ? 1 3 ?? ? 1 n

,证明: a2 n ? an ?
(1 ? x ) 2

1 4n

? ln 2 .

解: (I)由已知, f (0) ? 0 , f ?( x ) ?
1

(1 ? 2? ) x ? ? x 2

,且 f ?(0) ? 0 …3 分

若 ? ? ,则当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 0 ? x ? 2(1 ? 2? ) 时,
2
f ( x) ? 0 ;

若 ? ? ,则当 x ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,所以当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0
2

1

综上, ? 的最小值为 …6 分
2

1

( II)令 ? ? ,由(I)知,当 x ? 0 时, f ( x ) ? 0 ,
2
27

1

2013 全国高考文科、理科数学

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邓老师



x (2 ? x ) 2 ? 2x
1 k

? ln(1 ? x )
2k ? 1 2 k ( k ? 1)
1 4n ?
2 n ?1 k ?n

取 x ? ,则 于是 a2 n ? an ?
?
2 n ?1 k ?n

? ln

k ?1 k

...............9 分

? ( 2k ? 2( k ? 1) )
k ?1 k ? ln 2 n ? ln n ? ln 2

1

1

? 2k ( k ? 1) ? ln
?
k ?n

2k ? 1

2 n ?1

所以 a2 n ? an ?

1 4n

? ln 2 …12



24.(2013 大纲版.文)(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? =x 3 ? 3ax 2 ? 3 x ? 1. (I)求 a ?
2 时,讨论 f ( x ) 的单调性;

(II)若 x ? ? 2, ?? ? 时, f ( x ) ? 0 ,求 a 的取值范围. 【解析】(Ⅰ)当 a ? ? 2 时, f ? x ? =x 3 ? 3 令 f ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 当 x ? ( ??, 当 x?( 当 x?(
2 ? 1, x2 ?
2 x 2 ? 3 x ? 1. f ? ? x ? =3x 2 ? 6 2 x ? 3 .

2 ?1.

2 ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( ?? , 2 ? 1) 上是增函数;

2 ? 1 2 ? 1) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 2 ? 1 2 ? 1) 上是减函数; 2 ? 1, ?? ) 时, f ?( x ) ? 0 , f ( x ) 在 ( 2 ? 1, ?? ) 上是增函数;

(Ⅱ)由 f (2) ? 0 得 a ? ? .
4

5

当 a ? ? , x ? (2, ??) 时,
4 5 1 x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) 2 2
f (2) ? 0 .

5

f ? ? x ? =3x 2 ? 6ax ? 3 ? 3( x 2 ? 2 ax ? 1) ? 3( x 2 ?

所以 f ( x ) 在 (2, ?? ) 是增函数,于是当 x ? [2, ??) 时, f ( x ) ? 综上, a 的取值范围是 [ ? , ?? )
4 5

28

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25. (14 分) (2013?四川.理)已知函数 f ( x ) ? ?

? x 2 ? 2 x ? a ( x ? 0) ? ln x ( x ? 0)

,其中 a

是实数,设 A( x1 , f ( x1 )) , B ( x2 , f ( x2 )) 为该函数图象上的点,且 x1 ? x2 . (I)指出函数 f ( x ) 的单调区间; (II) 若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直, x2 ? 0 , x2 ? x1 且 求 的最小值; (III)若函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合,求 a 的取值范围. 解: (I)当 x ? 0 时, f ( x ) ? ( x ? 1) 2 ? a
? f ( x ) 在 ( ?? , ?1) 上单调递减,在 (?1, 0) 上单调递增;

当 x ? 0 时, f ( x) ? ln x ,在 (0, ?? ) 单调递增. (II)? x1 ? x2 ? 0 ,? f ( x ) ? x 2 ? 2 x ? a ,
f ?( x) ? 2 x ? 2

所以函数 f ( x ) 在点 A, B 处的切线的斜率分别为 f ?( x1 ), f ?( x2 ) 因为函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直,
? f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? ?1? (2 x1 ? 2)(2 x2 ? 2) ? ?1 ? 2 x1 ? 2 ? 0, 2 x2 ? 2 ? 0

? x2 ? x1 ?

1 2

[(2 x2 ? 2) ? (2 x1 ? 2)] ? ? (2 x2 ? 2)(2 x1 ? 2) ? 1 3 2 1

当且仅当 ?(2 x1 ? 2) ? 2 x2 ? 2 ? 1 ,即 x1 ? ? , x2 ? ? 时等号成立.
2

所以函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线互相垂直, x2 ? 0 时,x2 ? x1 的 且 最小值为1 . (III)当 x1 ? x2 ? 0 或 0 ? x1 ? x2 时,? f ?( x1 ) ?
? x1 ? 0 ? x2 f ?( x2 ) ,故不成立,

29

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当 x1 ? 0 时,函数 f ( x ) 在点 A( x1 , f ( x1 )) ,处的切线方程为
y ? ( x12 ? 2 x1 ? a ) ? (2 x1 ? 2)( x ? x1 ) ? y ? (2 x1 ? 2) x ? x12 ? a

当 x2 ? 0 ,函数 f ( x ) 在点 B ( x2 , f ( x2 )) 处的切线方程为
y ? ln x2 ? 1 x2 ( x ? x2 ) ? y ? 1 x2 x ? ln x2 ? 1

函数 f ( x ) 的图象在点 A, B 处的切线重合的充要条件是
?1 ? x ? 2 x1 ? 2...............(1) ? 2 ? ln x ? 1 ? ? x 2 ? a......(2) ? 2 1

由(1)及 x1 ? 0 ? x2 可得 ?1 ? x1 ? 0 , 由(1)(2)得 a ? x12 ? ln
1 2 x1 ? 2 ? 1 ? x12 ? ln(2 x1 ? 2) ? 1

因为函数 y ? x12 ? 1, y ? ? ln(2 x1 ? 2) 在区间 (?1, 0) 上单调递减,
? a ( x1 ) ? x12 ? ln(2 x1 ? 2) ? 1 在 ( ?1, 0) 上单调递减,且 x1 ? ? 1 时,

ln(2 x1 ? 2) ? ?? ,即 ? ln(2 x1 ? 2) ? ?? ,也即 a ( x1 ) ? ?? .
x1 ? 0 时, a ( x1 ) ? ?1 ? ln 2

所以 a 的取值范围是 (?1 ? ln 2, ??) .

26 (本小题满分 14 分) (2013 天津.理) 已知函数 f ( x) ? x 2 ln x . (Ⅰ) 求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ) 证明: 对任意的 t ? 0 , 存在唯一的 s, 使 t ?
f (s) .

(Ⅲ) 设(Ⅱ)中所确定的 s 关于 t 的函数为 s ? g (t ) , 证明: 当 t >e 2 时, 有
2 5 ? ln g (t ) ln t ? 1 2

30

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解: (Ⅰ)由题意可知函数的定义域为 (0, ?? ) , 求导数可得 f ?( x ) ? 2 x ln x ? x 2 ? ? x (2 ln x ? 1)
x 1

令 f ?( x ) ? 0 ? x ?

1 e

当 x 变化时, f ?( x ), f ( x ) 的变化情况如下表:
x
(0,
f ?( x ) f ( x)

1 e

)

1 e

(

1 e

, ?? )

单调递减

0 极小值
1 e

+ 单调递增
1 e , ?? )

所以函数 f ( x ) 的单调递减区间为 (0,

) ,单调递增区间为 (

(Ⅱ)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ? 0 ,设 t ? 0 , 令 h( x ) ?
f ( x ) ? t ( x ? [1, ??)) ,

由(Ⅰ)可知, h( x) 在区间 (1, ?? ) 单调递增, h(1) ? ?t ? 0 ,
h (e t ) ? e 2 t ln e t ? t ? t (e 2 t ? 1) ? 0 ,

故存在唯一的 s ? (1, ?? ) ,使得 t ?

f ( s ) 成立; f ( s ) ,且 s ? 1 ,

(Ⅲ)证明:因为 s ? g (t ) ,由(Ⅱ)知, t ? 从而
ln g (t ) ln t ? ln s ln f ( s ) ? ln s ln( s ln s )
2

?

ln s 2 ln s ? ln ln s

?

u 2u ? ln u

,其中 u ? ln s ,

要使 ?
5

2

ln g (t ) ln t

?

1 2

成立,只需 0 ? ln u ? ,
2

u

当 t ? e 2 时,若 s ? g (t ) ? e ,则由 f ( s ) 的单调性, 有t ?
f ( s ) ? f (e) ? e 2 矛盾,

所以 s ? e ,即 u ? 1 ,从而 ln u ? 0 成立, 另一方面,令 F (u ) ? ln u ? , u ? 1, F ?(u ) ? ?
2 u
31

u

1

1 2

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令 F ?(u ) ? 0 ? u ? 2 当 1 ? u ? 2 时, F ?(u ) ? 0 ,当 u ? 2 时, F ?(u ) ? 0 , 故函数 F (u ) 在 u ? 2 处取到极大值,也是最大值 F (2) ? 0 , 故有 F (u ) ? ln u ? ? 0 ? ln u ? .
2 2 u u

综上可证:当 t ? e 2 时,有

2 5

?

ln g (t ) ln t

?

1 2

成立.

27 (本小题满分 14 分) (2013 天津.文) 设 a ? [?2, 0] , 已知函数
? x 3 ? ( a ? 5) x , ? f ( x) ? ? 3 a ? 3 2 x ? ax, ?x ? ? 2 x ? 0, x ? 0.

(Ⅰ) 证明 f ( x) 在区间 (?1,1) 内单调递减, 在区间 (1, ?? ) 内单调递增; (Ⅱ) 设曲线 y ?
f ( x) 在点 Pi ( xi , f ( xi ))(i ? 1, 2, 3) 处的切线相互平行,

且 x1 x2 x3 ? 0,

证明 x1 ? x2 ? x3 ? 1 .
3

解: (I)令 f1 ( x ) ? x 3 ? (a ? 5) x( x ? 0) , f 2 ( x ) ? x 3 ?

a?3 2

x 2 ? ax ( x ? 0) .

① f1? ( x ) ? 3 x 2 ? ( a ? 5) ,由于 a ? [ ?2, 0] ,从而当 ?1 ? x ? 0 时,
f1? ( x ) ? 3 x 2 ? ( a ? 5) ? 3 ? 5 ? a ? 0 ,

所以函数 f1 ( x ) 在区间 (?1, 0) 内单调递减, ② f 2? ( x ) ? 3 x 2 ? ( a ? 3) x ? a ? (3 x ? a )( x ? 1) ,由于 a ? [ ?2, 0] , 所以 0 ? x ? 1 时 f 2? ( x ) ? 0 ; 当 x ? 1 时,f 2? ( x ) ? 0 , 即函数 f 2 ( x ) 在区间 (0,1) 内单调递减, 在区间 (1, ?? ) 上单调递增. 综合①②及 f1 (0) ?
f 2 (0) ,可知: f ( x ) 在区间 ( ?1,1) 内单调递减,在区间

(1, ?? ) 内单调递增;

32

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(II) 证明: (I) 由 可知:f ?( x ) 在区间 ( ??, 0) 内单调递减, 在区间 (0, 内单调递减,在区间 ( 因为曲线 y ?
a?3 6 , ?? ) 内单调递增.

a?3 6

)

f ( x ) 在点 Pi ( xi , f ( xi ))(i ? 1, 2, 3) 处的切线相互平行,从而

x1 , x2 , x3 互不相等,且 f ?( x1 ) ? f ?( x2 ) ? f ?( x3 ) .

不妨 x1 ? 0 ? x2 ? x3 ,由 3 x12 ? ( a ? 5) ? 3 x22 ? ( a ? 3) x2 ? 3 x32 ? ( a ? 3) x3 ? a . 可得 3 x22 ? 3 x32 ? ( a ? 3)( x2 ? x3 ) ? 0 ? x2 ? x3 ? 从而 0 ? x2 ?
a?3 6 ? x3 . a?3 6 ) ? g ( x2 ) ? g (0) ? a . a?3 3



设 g ( x ) ? 3 x 2 ? ( a ? 3) x ? a ,则 g ( 由 3 x12 ? ( a ? 5) ? g ( x2 ) ? a ? ? 所以 x1 ? x2 ? x3 ? ? 设t ?
2a ? 5 3 2a ? 5 3 ?

2a ? 5 3

? x1 ? 0 ,

a?3 3

, ,

,则 a ?
3 3

3a 2 ? 5 2
15 3 ]

? a ? [ ?2, 0] ? t ? [

,

故 x1 ? x2 ? x3 ? ?t ?
1

3t 2 ? 1 6

?

1 2

(t ? 1) 2 ?

1 3

??

1 3

故 x1 ? x2 ? x3 ? ? .
3

28(新课标Ⅰ.理) (12 分)已知函数 f ( x ) ? x 2 ? ax ? b , g ( x ) ? e x (cx ? d ) ,若 曲线 y ?
f ( x ) 和曲线 y ? g ( x ) 都过点 P (0, 2) ,且在点 P 处有相同的切线

y ? 4x ? 2 .

(Ⅰ)求 a , b, c, d 的值;

33

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(Ⅱ)若 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x ) ,求 k 的取值范围. 解: (I)由题意知 f (0) ? 2, g (0) ? 2, f ?(0) ? 4, g ?(0) ? 4 , 而 f ?( x ) ? 2 x ? a, g ?( x ) ? e x (cx ? d ? c ) ,故 b ? 2, d ? 2, a ? 4, d ? c ? 4 从而 a ? 4, b ? 2, c ? 2, d ? 2 ; (II)由(I)知, f ( x ) ? x 2 ? 4 x ? 2 , g ( x ) ? e x ( x ? 1) 设 F ( x ) ? kg ( x ) ?
f ( x ) ? 2 ke x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ? 2 ,

则 F ?( x ) ? 2ke x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 2( x ? 2)( ke x ? 1) 由题设得 F (0) ? 0 ? k ? 1 ,令 F ?( x ) ? 0 ? x1 ? ? ln k , x2 ? ?2 (i)若1 ? k ? e 2 ,则 ?2 ? x1 ? 0 ,从而当 x ? (?2, x1 ) 时, F ?( x) ? 0 , 当 x ? ( x1 , ?? ) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x ) 在 x ? (?2, x1 ) 上减,在 ( x1 , ?? ) 上是增,故 f ( x ) 在 [ ?2, ?? ) 上的最小 值为 F ( x1 ) ,而 f ( x1 ) ? ? x1 ( x1 ? 2) ? 0 ,故当 x ? ?2 时, f ( x) ? 0 , 即 f ( x) ? kg ( x ) 恒成立, (ii)若 k ? e 2 ,则 F ?( x ) ? 2e 2 ( x ? 2)(e x ? e ?2 ) , 从而当 x ? (?2, ??) 时, F ?( x) ? 0 , 即 F ( x ) 在 [ ?2, ?? ) 上是增,而 f ( ?2) ? 0 ,故当 x ? ?2 时, f ( x ) ? 0 , 即 f ( x) ? kg ( x ) 恒成立, (i)ii 若 k ? e 2 时,则 F ( ?2) ? ?2ke ?2 ? 2 ? ?2e ?2 ( k ? e 2 ) ? 0 , 故当 x ? ?2 时, f ( x) ? kg ( x ) 不可能成立, 综上, k 的取值范围是 [1, e 2 ] .

34

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29 (新课标Ⅰ.文) 分) (12 已知函数 f ( x ) ? e x ( ax ? b) ? x 2 ? 4 x , 曲线 y ? 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 (Ⅰ)求 a , b 的值 (Ⅱ)讨论 f ( x ) 的单调性,并求 f ( x ) 的极大值. 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? e x ( ax ? b ) ? x 2 ? 4 x ,
? f ?( x ) ? e x ( ax ? a ? b ) ? 2 x ? 4 ,

f ( x)

因为曲线 y ?

f ( x ) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4

所以 f (0) ? 4, f ?(0) ? 4 ,? b ? 4, a ? b ? 8 ? a ? 4, b ? 4 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,? f ( x ) ? 4e x ( x ? 1) ? x 2 ? 4 x ,
1 f ?( x ) ? 4e x ( x ? 2) ? 2 x ? 4 ? 4( x ? 2)(e x ? ) 2

令 f ?( x) ?? 0 ? x ? ? ln 2 或 x ? ?2
? x ? (??, ?2) ? ( ? ln 2, ?? ) 时, f ?( x ) ? 0 , x ? ( ?2, ? ln 2) 时, f ?( x ) ? 0

所以 f ( x ) 的单调增区间是 (??, ?2), ( ? ln 2, ??) ,单调减区间是 (?2, ? ln 2) 当 x ? ?2 时,函数 f ( x ) 取得极大值,极大值为 f ( ?2) ? 4(1 ? e ?2 ) .

30(新课标Ⅱ.理) (12 分)已知函数 f ( x ) ? e x ? ln( x ? m ) (Ι)设 x ? 0 是 f ( x ) 的极值点,求 m ,并讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)当 m ? 2 时,证明 f ( x) ? 0 . 解: (Ⅰ)? f ?( x ) ? e x ?
? f ?(0) ? 1 ? 1 m 1 x?m

, x ? 0 是 f ( x ) 的极值点,

? 0 ? m ?1.

所以函数 f ( x ) ? e x ? ln( x ? 1) ,其定义域为 ( ?1, ?? ) .
f ?( x ) ? e x ? 1 x ?1 ? e x ( x ? 1) ? 1 x ?1

.
35

2013 全国高考文科、理科数学

函数与导数专题

邓老师

设 g ( x ) ? e x ( x ? 1) ? 1 ,则 g ?( x) 函数,

? ex x ? ( 1 )

? ex 0 ?

,所以 g ( x) 在 ( ?1, ?? ) 上为增

又? g (0) ? 0,? x ? 0 时, g ( x ) ? 0 ,即 f ?( x) ? 0 ; 当 ?1 ? x ? 0 时, g ( x) ? 0, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x ) 在 (?1, 0) 上为减函数;在 (0, ?? ) 上为增函数; (Ⅱ)证明:当 m ? 2, x ? (? m, ?? ) 时, ln( x ? m) ? ln( x ? 2) ,故只需证明当
m ? 2 时 f ( x) ? 0 .

当 m ? 2 时,函数 f ?( x ) ? e x ?
f ?( ?1) ? 0 , f ?(0) ? 0 .

1 x?2

在 ( ?2, ?? ) 上为增函数,且

故 f ?( x) ? 0 在 ( ?2, ?? ) 上有唯一实数根 x 0 ,且 x0 ? (?1, 0) . 当 x ? ( ?2, x0 ) 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? ( x0 , ?? ) 时, f ?( x) ? 0 , 从而当 x ? x0 时, f ( x ) 取得最小值. 由 f ?( x0 ) ? 0 ? e x 故 f ( x) ?
f ( x0 ) ?
0

?

1 x0 ? 2

? ln( x0 ? 2) ? ? x0
( x0 ? 1) 2 x0 ? 2

1 x0 ? 2

? x0 ?

?0

综上,当 m ? 2 时, f ( x) ? 0

31(新课标Ⅱ.文) (12 分)己知函数 f ( x ) ? x 2 e ? x (Ⅰ)求 f ( x ) 的极小值和极大值; (Ⅱ)当曲线 y ? 值范围. 解: (Ⅰ)? f ( x ) ? x 2 e ? x ? f ?( x ) ? 2 xe ? x ? x 2 e ? x ? e ? x (2 x ? x 2 )
36

f ( x ) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取

2013 全国高考文科、理科数学

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邓老师

令 f ?( x ) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 令 f ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? 2 ; 令 f ?( x ) ? 0 ? x ? 0 或 x ? 2 ; 故函数 f ( x ) 在区间 ( ??, 0) 与 (2, ?? ) 上是减函数,在区间 (0, 2) 上是增函 数. 所以 x ? 0 是极小值点, x ? 2 极大值点,又 f (0) ? 0, f (2) ? 小值和极大值分别为 0,
0

4 e2

故 f ( x ) 的极

4 e2

.

(II)设切点为 ( x0 , x02 e ? x ) ,则切线方程为
2 2 y ? x0 e ? x0 ? e ? x0 (2 x0 ? x0 )( x ? x0 ) ,

令y ?0? x? 因为曲线 y ?

2 x0 ? x0

x0 ? 2

? ( x0 ? 2) ?

2 x0 ? 2

?3

f ( x ) 的切线 l 的斜率为负数,

2 ? e ? x0 (2 x0 ? x0 ) ? 0 ? x0 ? 0 或 x0 ? 2 ,

当 x0 ? 2 时, x ? ( x0 ? 2) ? 当且仅当 x0 ? 2 ?

2 x0 ? 2

? 3 ? 2 ( x0 ? 2) ?

2 x0 ? 2

?3 ? 2 2 ?3,

2 时取等号,

当 x0 ? 0 时, x ? ( x0 ? 2) ? 当且仅当 x0 ? 2 ? 去.

2 x0 ? 2

? 3 ? ?2 (2 ? x0 ) ?

2 2 ? x0

?3 ? 3?2 2



2 时取等号,但是 x0 ? 2 ? 2 ? 0 不符合条件,故应舍

综上可知:切线 l 在 x 轴上截距的取值范围是 [3 ? 2

2, ?? ) .

32(本题满分 14 分)(2013 浙江.理)

37

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函数与导数专题

邓老师

已知 a∈R,函数 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 3ax ? 3a ? 3 (I)求曲线 y ?
f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程;
f ( x)

(II)当 x ? [0, 2] 时,求

的最大值。

解: (1)因为 f ( x ) ? x 3 ? 3 x 2 ? 3ax ? 3a ? 3 , 所以 f ?( x ) ? 3 x 2 ? 6 x ? 3a 故 f ?(1) ? 3a ? 3 ,又 f (1) ? 1 ,所以所求的切线方程为 y ? (3a ? 3) x ? 3a ? 4 (2)由于 f ?( x ) ? 3( x ? 1) 2 ? 3(a ? 1), (0 ? x ? 2) 故当 a ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递减, 故
f ( x ) max ? max ? f (0) , f (2) ? ? 3 ? 3a

当 a ? 1 时,有 f ?( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 在 [0, 2] 上单调递增, 故
f ( x ) max ? max ? f (0) , f (2) ? ? 3a ? 1

当 0 ? a ? 1 时,由 3( x ? 1) 2 ? 3( a ? 1) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

1 ? a , x2 ? 1 ? 1 ? a

所以,当 x ? (0, x1 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 当 x ? ( x1 , x2 ) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递减; 当 x ? ( x2 , 2) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增. 所以函数 f ( x ) 的极大值 f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a )
f ( x2 ) ? 1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a . 1 ? a ,极小值

故 f ( x1 ) ?

f ( x2 ) ? 2 ? 0 , f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 4(1 ? a ) 1 ? a ? 0 .
f ( x2 )

从而 f ( x1 ) ? 所以

.

f ( x ) max ? max ? f (0), f (2) , f ( x1 )?

当 0 ? a ? 时, f (0) ?
3

2

f (2)

.又
a 2 (3 ? 4 a ) 2(1 ? a ) 1 ? a ? 2 ? 3a
38

f ( x1 ) ? f (0) ? 2(1 ? a ) 1 ? a ? (2 ? 3a ) ?

?0

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f ( x ) max ? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a



当 ? a ? 1 时,
3

2

f (2) ? f (2), ,且 f (2) ? f (0) .
a 2 (3 ? 4 a ) 2(1 ? a ) 1 ? a ? 3a

又 f ( x) ?
2 3

f (2) ? 2(1 ? a ) 1 ? a ? (3a ? 2) ?

所以当 ? a ? 时, f ( x1 ) ?
4

3

f (2)



故 f ( x ) max
3 4

? f ( x1 ) ? 1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a .

当 ? a ? 1 时, f ( x1 ) ? 故 f ( x ) max

f (2)



? f (2) ? 3a ? 1 .

综上所述 f ( x ) max

? ?3 ? 3a ( a ? 0) ? 3 ? ? ?1 ? 2(1 ? a ) 1 ? a (0 ? a ? ) . 4 ? 3 ? ?3a ? 1( a ? 4 ) ?

33(15 分) (2013?浙江.文)已知 a ? R ,函数 f ( x ) ? 2 x 3 ? 3(a ? 1) x 2 ? 6ax (Ⅰ)若 a ? 1 ,求曲线 y ? (Ⅱ)若 a
f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程;

? 1 ,求 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 a ] 上的最小值.

解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ?( x ) ? 6 x 2 ? 12 x ? 6 ,所以 f ?(2) ? 6
? f (2) ? 4,?曲线 y ? f ( x ) 在点 (2, f (2)) 处的切线方程为 y ? 6 x ? 8 ;

(Ⅱ)记 g (a ) 为 f ( x ) 在闭区间 [0, 2 a ] 上的最小值.
f ?( x ) ? 6 x 2 ? 6( a ? 1) x ? 6 a ? 6( x ? 1)( x ? a )

令 f ?( x) ? 0 ,得到 x1 ? 1, x2 ? a 当 a ? 1 时,

39

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x
f ?( x )

0

(0,1)

1
0

(1, a )

a
0

(a, 2a )

2a

+
0



+

f ( x)

单调递 极大值 增
3a ? 1

单调递 极小值 单调递 4a 3 减
(3 ? a ) a 2

增 ;

比较 f (0) ? 0 和 f ( a ) ? (3 ? a ) a 2 的大小可得 g ( a ) ? ? 当 a ? ?1 时,
x
f ?( x ) f ( x)

? 0(1 ? a ? 3)
2 ? (3 ? a ) a ( a ? 3)

0

(0,1)

1
0

(1, ?2a )

?2a


0

+ 单调递增
?28a 3 ? 24 a 2

单调递减 极小值
3a ? 1

? g ( a ) ? 3a ? 1? f ( x )

?3a ? 1( a ? ?1) 在闭区间 [0, 2 a ] 上的最小值为 g ( a ) ? ?0(1 ? a ? 3) ? ? 2 ? (3 ? a ) a ( a ? 3)

34(13 分) (2013?重庆.理)设 f ( x) ? a ( x ? 5) 2 ? 6 ln x ,其中 a ? R ,曲 线y?
f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与 y 轴相交于点 (0, 6) .

(1)确定 a 的值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间与极值. 解: (1)因为 f ( x) ? a ( x ? 5) 2 ? 6 ln x ,故 f ?( x ) ? 2a ( x ? 5) ? ( x ? 0)
x 6

令 x ? 1 ,得 f (1) ? 16a, f ?(1) ? 6 ? 8a ,所以曲线 y ? 线方程为 y ? 16a ? (6 ? 8a)( x ? 1) 由切线与 y 轴相交于点 (0, 6) ,? 6 ? 16 a ? 8a ? 6 ? a ?
40

f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切

1 2

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(2)由(I)得 f ( x ) ? ( x ? 5) 2 ? 6 ln x( x ? 0)
f ?( x ) ? x ? 5 ? 6 x ? 2 ( x ? 2)( x ? 3) x

1

,令 f ?( x ) ? 0 ? x ? 2 或 x ? 3

当 0 ? x ? 2 或 x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, 2) , (3, ?? ) 上为增函数, 当 2 ? x ? 3 时, f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (2, 3) 上为减函数, 故 f ( x ) 在 x ? 2 时取得极大值 f (2) ? ? 6 ln 2 ,在 x ? 3 时取得极小值
2
f (3) ? 2 ? 6 ln 3 .

9

41


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